| 
| Государственное автономное ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ образовательное учреждение московской области «профессиональный КОЛЛЕДЖ «московия» |
оДб.07 МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ДЛЯ ПРОФЕССИИ: 23.01.03 Автомеханик
Данные методические рекомендации предназначены для обучающихся по профессии: Автомеханики при выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика: Алгебра и начала математического анализа, геометрия.ОДб.07. по учебному плану.
В методических рекомендациях разработаны различные виды самостоятельной внеаудиторной работы, даны указания по их выполнению, составлены контрольные вопросы и определены формы контроля.
Утверждены Методическим Советом Львовское ОСП, протокол №?2, от 00.00.2016г.
Составитель: Лысенюк А.В., преподаватель.
Рецензенты:
Содержание
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Нормативное обеспечение и планирование внеаудиторной самостоятельной работы
Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. ОДб.07 по учебному плану предназначены для обучающихся по профессии : Автомеханики
Настоящие методические указания содержат задания, которые позволят студентам самостоятельно овладеть знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности по профилю подготовки, опытом творческой и исследовательской деятельности, и направлены на формирование следующих компетенций:
ОК1 Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК2 Организовывать свою деятельность, исходя из цели и способов её достижения, определённых руководителем.
ОК3 Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.
ОК4 Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.
ОК5 Использовать информационно-коммуникативные технологии в профессиональной деятельности.
ОК6 Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.
ОК7 Организовывать свою деятельность с соблюдением требований охраны труда и экологической безопасности..
ОК8 Использовать воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний.
Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении внеаудиторной самостоятельной работы.
Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, цели работы, задания, порядок выполнения работы, формы контроля, требования к выполнению и оформлению заданий. Для получения дополнительной, более подробной информации по изучаемым вопросам, приведен перечень необходимого учебно-методического и информационного обеспечение.
Внеаудиторная самостоятельная работа учащихся – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.
Целью самостоятельной работы студентов является:
обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;
формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;
формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.
Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы студентов, в образовательной среде техникума являются:
систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;
развитие исследовательских умений.
Назначение и разновидности самостоятельной работы
Внеаудиторная самостоятельная работа учащихся – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.
Целью самостоятельной работы студентов является:
обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;
формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;
формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.
Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы студентов, в образовательной среде техникума являются:
систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;
развитие исследовательских умений.
Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:
Изучение материала по учебнику.
Выполнение еженедельных домашних заданий.
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы (ВСР).
В сборнике Вам предлагается перечень внеаудиторных самостоятельных работ, которые вы должны выполнить в течение учебного года.
При выполнении (ВСР) студент может обращаться к преподавателю для получения консультации.
Перечень видов самостоятельной работы
Вид самостоятельной работы Кол-во часов
Форма контроля
Типовые расчеты
20
Письменный отчет
Решение задач по образцу
40
Письменный отчет
Составление кроссворда на тему
3
Защита кроссворда
Подготовка и написание сообщения
4
Защита сообщения
Оформление мультимедийных презентаций учебных разделов и тем
5
Представление мультимедийной презентации
Подготовка и написание рефератов
6
Защита реферата
Изготовление информационных моделей
1
Представление на уроке
Написание конспекта
2
Защита конспекта
Домашняя контрольная работа
4
Письменный отчет
ИТОГО
85
Требования к организации ВСР
ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
После получения проверенной преподавателем работы обучающийся должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.
Любая самостоятельная работа дается на определенный срок (день, неделя,…). Если работа в срок не выполнена, то она оценивается меньшим количеством баллов.
Организация контроля ВСР
Контроль результатов самостоятельной работы студентов осуществляется в урочное время и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением продукта творческой деятельности.
Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы преподаватель проводит инструктаж (консультацию) с определением цели задания, его содержания, сроков выполнения, основных требований к результатам работы, критериев оценки, форм контроля и перечня литературы.
Согласно требованиям федеральных государственных образовательных стандартов и плана учебного процесса каждый студент обязан выполнить по каждой учебной дисциплине определенный объем внеаудиторной самостоятельной работы.
В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы используется защита рефератов, сообщений, выступление на занятиях, защита проектов, презентаций, оформление таблиц.
Критериями оценки результатов самостоятельной работы студента являются:
уровень усвоения студентом учебного материала;
умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
сформированность ключевых (общеучебных) компетенций;
обоснованность и четкость изложения материала;
уровень оформления работы.
Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).
Процент результативности (правильных ответов) Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
90 ÷ 100
5
отлично
80 ÷ 89
4
хорошо
70 ÷ 79
3
удовлетворительно
менее 70
2
неудовлетворительно
Виды самостоятельной работы студентов по математике:
решение заданий по образцу;
опережающие домашние задания;
выполнение заданий по алгоритму;
типовые расчеты;
решение экзаменационных вариантов, в том числе ЕГЭ;
составление алгоритмов для типовых заданий;
составление и решение самостоятельно составленных заданий;
выполнение расчетно-графических работ;
составление и заполнение таблиц для систематизации учебного материала;
составление теста и эталона к нему;
ответы на контрольные вопросы;
составление или решение математического кроссворда на математические понятия, определения и т.п.;
творческие работы (реферат, доклад, сообщение, эссе);
изготовление информационных моделей (изготовление геометрических фигур);
разработка проекта, включающего элементы самостоятельного исследования и направленного на поиск новых методов решения поставленных задач (например, «Математика в моей профессии»).
Приложение
Раздел 1: Развитие понятия о числе
Самостоятельная работа № 1 на тему: Действительные числа . Комплексные числа. 1,5 ч
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при алгебраических вычислениях.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М.: Академия,2012.
п\п Название работы
Страница в задачнике
№ заданий
1
Действия с дробями
6
1.1:А;
Б.
1.2:А,Б
1.3:А,Б
1.5:А
1.9 А
2
Приближенные вычисления, погрешность
10
1.124
1.13
3
Комплексные числа.
12
19
1.17
1.29 А
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 1: Корни, степени, логарифмы
Самостоятельная работа № 2 на тему: Корень n-ой степени , 3,5 ч
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний на применение свойств степени.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
п\п Название работы
Страница в задачнике
№ заданий
1
Вычисление значений выражений
24
2.1 А: 1)
2)
3)
Б:1)- 10)
2
Сравнение значений выражений
29
2.6 А: 1)- 8)
3
Степени и корни
40
2.18 А
В
4
Построение графиков
159
165
7.1 А
7.11
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №3 на тему: Решение иррациональных уравнений, 1,5 ч
Цель: Закрепить навыки решения иррациональных уравнений.
Теоретический материал
Формулы для повторения:
;
;
Решение квадратных уравнений:
,
Если то
Если то
Если то корней нет
Типовые расчеты
Вариант 1
Решить уравнения
= ;
= ;
= ;
=4 ;
= 1;
=0;
принимает значение равное 2?
Вариант 2
Решить уравнения
= ;
= ;
;
=3 ;
+2 = 5;
- 3 =0 ;
принимает значение равное 3?
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 4 на тему: Преобразование выражений, содержащих логарифмы . 1,5 ч
Цель: применение основного логарифмического тождества и свойств логарифмов при решении упражнений.
Теоретический материал:
Основное логарифмическое тождество:
Свойство логарифмов:
-
;
.
Типовые расчеты
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Вычислить:
1.6..
Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:
-
Вычислить:
.
Вычислить:
-
-
-
-
Вариант 2
Вычислить:
1.6. .
Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:
-
Вычислить:
3.3.
Вычислить:
-
-
-
-
-
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №5 на тему: Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств, 3,5 ч
Цель: Знать методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, применять их при решении упражнений.
Теоретический материал
Степени чисел от 0 до 10
n 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
1
4
16
64
256
1024
4096
16384
65536
262144
1
5
25
125
625
3125
15625
78125
390625
1
6
36
216
1296
7776
46656
279936
1
7
49
343
2401
16807
117649
1
8
64
512
4096
32768
1
9
81
729
6561
59049
1
10
100
1000
10000
Решение квадратных уравнений:
,
Если то
Если то
Если то корней нет
Формулы сокращенного умножения:
Свойства степеней
Свойства корней n-ой степени
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени
Решение показательных уравнений. Метод выноса за скобки
Образцы решения
Решить уравнение:
В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:
Ответ: х = 2.
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Образцы решения
Решить уравнение: .
Решение: Заметив, что
Перепишем заданное уравнение в виде:
Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:
Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:
Решим первое уравнение:
Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х.
Ответ: 2.
Образцы решения логарифмических уравнений
Решить уравнение:
Решение: Используя формулу: , заменим сумму логарифмов произведением:
=0
.
Проверка:
- не существует.
Ответ: х
Решить уравнение:
. Используем метод замены.
. Подставим в замену.
.
Ответ: .
Образцы решения показательных неравенств
Решить неравенство
Решение:
Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. .
Получим:
Так как основание , то неравенство равносильно неравенству того же смысла
Ответ: .
Решить неравенство
Решение.
Заменим :
Получим неравенство: Трехчлен разложим на множители: .
.
Ответ: .
Типовые расчеты:
Решить уравнения и неравенства:
п/п Вариант 1
Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
Показательные и логарифмические неравенства
1
2
3
4
5
6
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 7: Прямые и плоскости в пространстве
Самостоятельная работа № 6 на тему: Параллельность прямых и плоскостей.,1 ч
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач на применения свойств параллельности прямых и плоскостей.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
п\п Название работы
Страница в задачнике
№ заданий
1
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
51
А :3.1;
3.2;
3.3;
3.4;
В :3.7.
2
Параллельность прямых и плоскостей
53
А:3.19;
3.20;
3.21;
3.24;
В:3.31.
3
Проектирование
60
А: 3.78;
3.83;
3.84;
В:3.92
4
Матричный тест
66
А: 3.133
5
Самостоятельная работа
69
А:3.138
Б:3.139
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №7 на тему: Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, 3 ч
Цель: Уметь находить угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.
Теоретические сведения
Угол между прямой и плоскостью.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.
Определим понятие угла между плоскостями.
Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями . 
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.
Решить самостоятельно. Ответы обосновать.
Вариант 1
Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D.
В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB1C1.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1B1C.
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC.
Вариант 2
Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 6. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 18. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCC1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями BC1D и BA1D.
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и BCC1.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB1.
В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 8 на тему: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах, 1 ч
Цель: рассмотреть понятие- расстояния от точки до плоскости; изучить теорему о трёх перпендикулярах; рассмотреть типичные ситуации её применения на примерах решения задач.
Теоретический материал
Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. 
Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость
Вопросы для закрепления.
Как найти расстояние от точки до плоскости?
Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?
Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?
Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?
Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах
Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?
Что называется углом между прямой и плоскостью?
Решить самостоятельно.
Вариант 1
Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.
Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD=1дм, ВС=8 дм?
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4 см.
Докажите равенство углов, образованных прямыми SA, SB, SD с плоскостью квадрата.
Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.
Отрезок SA длиной 15 см – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором АС=10 см, АВ=6 см.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC имеют равные площади.
Вариант 2
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.
Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ=2дм, АВ=8 дм?
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4см. Точки K, L, M, N – середины сторон квадрата.
Докажите равенство углов, образованных прямыми SK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.
Найдите эти углы, если площадь АВСD равен 64 см2.
Отрезок SA длиной 6 см – перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором АС=8 cм.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскости квадрата равны.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №9 . Составление кроссвордов на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, 3 ч
Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.
Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.
Правила составления кроссвордов
В общем случае определение должно состоять из одного предложения.
Определения должны быть по во возможности краткими. Следует избегать перечислений, не злоупотреблять причастными и деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными. Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью и содержательностью.
Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых слов, даже с различными определениями.
В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.
Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола, деепричастия.
Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.
В работе должна быть изюминка, то есть нечто, отличающее ее от миллионов других.
Запрещается помещать слова без пересечений (встречается и такое).
Не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску.
Образец оформления и составления кроссвордов:
По горизонтали:
1. Сторона прямоугольного треугольника.
4. Он есть у функции и последовательности.
8. Его штаны равны во все стороны.
10. Полный круг вращения.
13. Французский математик, специалист теории вероятностей.
14. Арифметическое действие.
16. Гектар — ... площади.
17. Часть матрицы.
18. Свойство углов.
19. Полупрямая.
22. Нейтральный элемент относительно умножения.
23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.
24. Наибольший общий ...
По вертикали:
2. Бублик как математический объект.
3. Положение, нуждающееся в доказательстве.
4. Поверхность, имеющая 2 измерения.
5. Линейное алгебраическое уравнение.
6. Тригонометрическая функция.
7. Один из двух экстремумов.
9. Функция по своей сути.
11. Часть прямой.
12. Линия.
15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.
17. Полный квадрат первого двузначного числа.
18. Для него необходимы натуральные числа.
20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.
21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.
Ответы:
По горизонтали: 1-катет;
4-предел;
8-пифагор;
10-оборот;
13-пуассон;
14-умножение;
16-мера;
17-строка;
18-смежность;
19-луч;
22-единица;
23-период;
24-делитель;
По вертикали:
2-тор;
3-теорема;
4-плоскость;
5-лау;
8-синус;
7-максимум;
9-отображение;
11-отрезок;
12-кривая;
15-угол;
17-сто;
18-счёт;
20-цепь;
21-цикл.
Контроль: представить кроссворд в разгаданном виде на учебном занятии
Самостоятельная работа №10 на тему: Прямые и плоскости в пространстве, 3 ч
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с широтой и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
Задание для учащихся. Написать реферат на заданную тему «Параллельное проектирование»
Написание реферата - это вид внеаудиторной самостоятельной работы по написанию исследования небольшого объёма на заданную тему. Обучающийся должен собрать и представить исчерпывающую информацию, раскрыть о суть проблемы, привести различные точки зрения, статистические данные , интересные факты используя как можно больше источников. При раскрытии темы, необходимо проявить энциклопедичность знаний.
Этапы подготовки реферата:
1. Подобрать и изучить источники по теме, содержащуюся в них информацию.
2. Выбрать главное и второстепенное.
3. Составить план реферата.
4. Лаконично, но ёмко раскрыть содержание проблемы, используя различные источники и приводя примеры .
5. Оформить реферат и сдать в установленный срок.
Контроль: Реферат должен быть защищен на занятии и сдан преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ.
Интернет - ресурсы
1.Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm
2.Открытая математика. http://www.mathematics.ru/courses/index.htm
Раздел 6: Комбинаторика
Самостоятельная работа №11 на тему: Задачи комбинаторики, 2,5 ч
Цель: закрепить навыки решения комбинаторных задач.
Теоретический материал.
Комбинаторика (комбинаторный анализ, комбинаторная математика) – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами
Число размещений из п элементов по т определяется по формуле:
Произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1•2•3•......•n , называется «факториалом» (англ. factorial, от лат. factor – делающий, производящий) и обозначается n! Термин ввёл Л. Арбогаст (1800), обозначение n! –К. Крамп (1808).
№1 Например, из 32 букв русского алфавита можно составить
двухбуквенные комбинации, не содержащие повторений букв.
№2 Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день из 4 различных предметов?
Решение: Речь идёт о размещении из 8 элементов по 4. Имеем:
А48=8!/(8-4)!=8!/4!=8*7*6*5=1680
Ответ: расписание можно составить 1680 способами.
Для нахождения числа перестановок используют формулу Pn = n!
№3 Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц забега на восьми беговых дорожках?
Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.
Р8=8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320.
Ответ: существует 40320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.
Размещениями с повторениями, находится по формуле
№4 На пример, из 30 букв русского алфавита (исключая ь и ъ) можно составить 302 = 900 двухбуквенных серий (например, для денежных знаков) и 303 = 27 000 трехбуквенных серий.
Число этих перестановок вычисляется по формуле
Pnn1 , n2 , ... nk = , где п — общее количество элементов, входящих в перестановку, a n1, n2,, nk — количество одинаковых элементов в первой, второй, ..., k-й группах.
№5 Определим число перестановок с повторениями, которое можно получить из букв, составляющих словоформу математика. Всего в перестановках участвует десять букв, т. е. n = 10; буква м повторяется два раза, поэтому если бы все остальные буквы были различными, то искомое число перестановок, было бы равно P210= 10! / 2!. На самом деле, кроме двух одинаковых м в нашем слове имеются три а и два т. Поэтому общее число перестановок, полученных из букв, входящих в словоформу математика, равно
P 102,2,3 =
Группы комбинаций, различающиеся только элементами, называются сочетаниями из п элементов по т. Их число равно :
№6 имеется пять гвоздик разного цвета. Требуется составить букет изтрёх гвоздик разного цвета.
Решение:С35=5!/3!*(5-3)!=5!/3!*2!=4*5/1*2=20/2=10.
Решите задачи:
Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?
Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?
Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
В магазине продаётся 8 различных наборов марок, спортивной тематики. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Сколькими способами может разместится семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел7: Координаты и векторы.
Самостоятельная работа №12 на тему: Действие над векторами в координатной форме, 2 ч
Цель: закрепить знания учащихся по теме в ходе решения задач.
Теоретический материал
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.
Теорема. Вектор имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде /
Вариант 1
п/п Название операции
Формулы
1
Найти сумму векторов
2
Найти разность векторов
3
Найти произведение вектора на число
,
4
Вычислить координаты середины отрезка
Точка A Точка B (-3;4;-1 Точка С- середина отрезка АВ. С(;
5
Найти координаты вектора
Точка A Точка B (-1;4;-7.Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
6
Найти длину вектора
7
Вычислить скалярное произведение векторов
8
Найти косинус угла между векторами
9
При каких значениях и векторы коллинеарны?
10
Проверьте перпендикулярность векторов
- условие перпендикулярности векторов
Вариант 2
п/п Название операции
Формулы
1
Найти сумму векторов
2
Найти разность векторов
3
Найти пароизведение на число
,
4
Вычислить координаты середины отрезка
Точка A Точка B (2;-3;1 Точка С- середина отрезка АВ. С(;
5
Найти координаты вектора
Точка A Точка B (1;-4;7.
Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
6
Найти длину вектора
7
Вычислить скалярное произведение векторов
8
Найти косинус угла между векторами
9
При каких значениях и векторы коллинеарны?
10
Проверьте перпендикулярность векторов
- условие перпендикулярности векторов
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 13 на тему: Жизнь и деятельность математиков-ученых, 4 ч
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с жизнью и деятельностью математиков – ученых.
Задание для учащихся.
1.Написать сообщение на заданную тему.
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.
Выполнить самостоятельно:
Написать сообщение на тему: «Математики - известные ученые» (на выбор).
Николай Лобачевский; Софья Ковалевская;
Николай Боголюбов;
Григорий Перельман;
Пафнутий Чебышев;
Виктор Садовничий;
Леонтий Магницкий;
Владимир Брадис;
Константин Поссе;
Андрей Колмогоров;
Интернет - ресурсы
http://www.lapl.org/newsroom/
http://www.osp.ru
http://kvant.mirror1.mccme.ru
http://ru.Wikipedia.org/wiki
Контроль: работу представить на учебном занятии в установленный срок.
Рене Декарт;
Эварист Галуа;
Карл Вейерштрасс;
Пьер Ферма;
Джон Непер;
Жан Даламбер;
Клаус Мёбиус;
Евклид;
Пифогор;
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц.
Самостоятельная работа №14 на тему: Координаты и векторы, 3ч
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с широтой и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
Задание для учащихся. Написать реферат на заданную тему «Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве»
Написание реферата - это вид внеаудиторной самостоятельной работы по написанию исследования небольшого объёма на заданную тему. Обучающийся должен собрать и представить исчерпывающую информацию, раскрыть о суть проблемы, привести различные точки зрения, статистические данные , интересные факты используя как можно больше источников. При раскрытии темы, необходимо проявить энциклопедичность знаний.
Этапы подготовки реферата:
1. Подобрать и изучить источники по теме, содержащуюся в них информацию.
2. Выбрать главное и второстепенное.
3. Составить план реферата.
4. Лаконично, но ёмко раскрыть содержание проблемы, используя различные источники и приводя примеры .
5. Оформить реферат и сдать в установленный срок.
Контроль: Реферат должен быть защищен на занятии и сдан преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ.
Интернет - ресурсы
1.Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm
2.Открытая математика. http://www.mathematics.ru/courses/index.htm
Раздел 2: Основы тригонометрии
Самостоятельная работа №15 на тему: Тригонометрические формулы, 5ч
Цель: способствовать закреплению навыков преобразования тригонометрических выражений.
Основные формулы тригонометрии
;
;
;
;t ; .
Синус и косинус суммы и разности аргументов:
Формулы двойного аргумента:
Формулы понижения степени:
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:
Вариант 1
Вариант 2
Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Докажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
Докажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
-
Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
5.Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
6.Известно, что ,
Найдите:
6.Известно, что ,
0
Найдите:
7.Известно, что . 0
Найдите: ,
7.Известно, что . 0
Найдите: ,
Представить в виде произведения:
8.Представить в виде произведения:
Представить в виде произведения:
-
9.Представить в виде произведения:
-
10.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
10.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №16 на тему: Тригонометрические уравнения , 3 ч
Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.
Теоретический материал
Формулы для повторения
arcsin( a) = arcsin a
arccos (a) =
arctg (a) = arctg a
arcctg (a) = arcctg a
Общие формулы решения тригонометрических уравнений
;
II tg x = a, a – любое число
T x = arctg x +
I ctg x = a, a – любое число
х= arcctgx +
Частные решения тригонометрических уравнений
sin x=0 х=
sin x=1
x=
sin x=-1 x=
cos x=0
x=
cos x=1
x=
cos x=-1
x=
Значение тригонометрических функций
град 00
300
450
600
900
радиан
0
sin
0
1
cos
1
0
tg
0
1
не существ
ctg
Не существ
1
0
Формулы для повторения:
, .
Если , то корни квадратного уравнения находим по формуле:
Образцы решения тригонометрических уравнений второго порядка:
Образец№1
Решить уравнение:
Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 =.
Значит, либо sin x = 2, либо sin x = . Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим
Образец №2
Решить уравнение:
Решение:
Воспользуемся тем, что
Тогда заданное уравнение можно записать в виде:
После преобразования получим:
Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:
2z2 –z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =
Значит, либо cos x = 1, либо cos x =
Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение
.
Решая второе уравнение, находим решение:
xarccos
) +
+ 2
Образец №3
Решить уравнение:
Решение:
С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что - это тождество верно для любого значения х.
Тогда .
Заменив в первом уравнении 2 на , получим:
sinxcosx + 5
sinxcosx + 5
Обе части уравнения разделим на cos2 x почленно
Так как , то полученное уравнение запишем в виде:
tg2x -
Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:
+3=0, решая уравнение, получим: t =
Итак, tg x=
x= arctg
x= , .
Решить самостоятельно
Вариант 1 1. Решить уравнения:
2 – = 0
tg2x + 1= 0
sin = 1
2. Определить число корней уравнения
3ctg 2x = 0 принадлежащих отрезку .
Вариант 2
Решить уравнения:
tgx – 1 = 0
2sin = 1
2cos (2x +) =
Найдите наименьший положительный корень уравнения
sin = .
Решить уравнения:
3sin2x – 5sinx – 2 = 0
3cos22x + 10cos2x + 3 = 0
3cos2x + 10cosx + 3 = 0
2sin2x + 3cosx = 0
3tg2x + 2tgx – 1 = 0
-
-
Решить уравнения:
6cos2x + cosx – 1 = 0
2sin22x – 3sin2x + 1 = 0
3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
5cos2x + 6sinx – 6 = 0
2tg2x + 3tgx – 2 = 0
-
-
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 3: Функции, их свойства и графики.
Самостоятельная работа №17 на тему: Построение графиков функции, 4 ч
Цель: способствовать формированию умения по графику функции определить ее свойства, а также строить графики функций.
Вариант 1
По графику функции , изображенному на рисунке, определите промежуток убывания функции:
.
По графику функции , изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.
По графику функции , изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.
По графику функции , изображенному на рисунке, указать промежутки, где .
Найти область определения функции .
Укажите наибольшее значение функции на отрезке .
При каких значениях функция принимает положительные значения?
Найдите нули функции .
Постройте график функции:
Вариант 2
По графику функции , изображенному на рисунке, определите промежуток возрастания функции.
По графику функции , изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.
По графику функции , изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.
По графику функции , изображенному на рисунке, указать промежутки, где .
5. Найти область определения функции .
1.
6. Укажите наименьшее значение функции на отрезке .
1. -1; 2.
7. При каких значениях функция принимает отрицательные значения?
1. .
8. Найдите нули функции .
9.Постройте график функции:
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 18 на тему: Функции, 3 ч
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при выявлении свойств тригонометрической функции.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
п\п Название работы
Страница в задачнике
№ заданий
1
Чётность функции
164
7.10
А 8)- 10)
Б 8)
В 8)
2
Свойства функции
176
7.29 А 1)-6)
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 7: Многогранники и круглые тела
Самостоятельная работа № 19 на тему: Многогранники и их поверхности, 3 ч
Цель: Знать формулы вычисления площади боковой и полной поверхности призмы, пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.
Теоретический материал
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Основные формулы
п/п Наименование многогранника
Изображение
Площадь боковой и полной поверхности
1
Куб
2
Прямоугольный параллелепипед
3
Призма
4
Пирамида
Решить самостоятельно.
Вариант 1
Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.
Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?
Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.
Вариант 2
Объем куба равен 8 м3. Найдите площадь его поверхности.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.
Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа №20 на тему: Выполнение моделей многогранников, 1 ч
Цель: Закрепить понятие правильных многогранников, при изготовлении моделей, используя развертки.
Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.
Контроль: работу представить на учебном занятии в установленный срок.
Раздел 11: Тела и поверхности вращения.
Самостоятельная работа № 21 на тему: Площади поверхности и объем фигур вращения, 4 ч
Цель: Знать формулы для вычисления площадей поверхности фигур вращения и уметь применять их при решении задач.
Теоретический материал
п/п Наименование фигуры
Изображение
Формула площадей полной и боковой поверхности
1
Цилиндр
2
Конус
3
Сфера, шар
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?; в)объемы?
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.
Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.
Прямоугольник вращается вокруг одной из сторон, равной 5см. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 100 см2. Найдите площадь прямоугольника.
Вариант 2
Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.
Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.
Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.
Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей? в)объемы?
Как изменится площадь поверхности и объем шара, если увеличить радиус шара в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм и 3 дм, описан шар. Найдите площадь его поверхности.
Прямоугольник, одна из сторон которого равна 5см, вращается вокруг неизвестной стороны. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 60 см2. Найдите площадь прямоугольника.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 22 на тему: Геометрия Евклида, 5 ч
Цель: расширить кругозор учащихся, познакомить с трудами великого математика Евклида.
Задание для учащихся.
Написать сообщение на заданную тему.
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.
Выполнить самостоятельно:
Написать сообщение на тему: (на выбор).
Геометрия Евклида;
Аксиоматика Евклида;
Современная аксиоматика Евклида;
Неевклидова геометрия;
От геометрии к логике.
Контроль: работу представить на занятии в установленный срок
Раздел 4: Начала математического анализа
Самостоятельная работа №23 на тему: Вычисление предела функции, 1 ч
Цель: Знать понятие предела функции в точке, уметь вычислять пределы и раскрывать неопределённости вида: .
Теоретический материал
Формулы для повторения
, где С = const
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.
-
-
-
при
Образец решения:
1. Найти предел:
2. Найти предел:
Имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень числа х, т.е. на .
Получим:
Применяя теоремы о вычислении предела, получим:
3. Найти предел:
Решение:
Имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, разложим на множители числитель и знаменатель.
Примечание:
=0;
Типовые расчеты
Решить самостоятельно:
Вариант 1 Найти указанные пределы:
Вариант 2
Найти указанные пределы:
Вариант 3
Найти указанные пределы:
Вариант 4
Найти указанные пределы:
Дополнительное задание:
Найти указанные пределы:
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 24 на тему: Последовательности, 1 ч
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при выявлении свойств тригонометрической функции.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
п\п Название работы
Страница в задачнике
№ заданий
1
Последовательность
247
9.53
А
2
Предел функции
248
9.56 А
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 25 на тему: Геометрический смысл производной, 1 ч
Цель: Иметь понятие о геометрическом смысле производной. Уметь находить тангенс угла наклона касательной к оси ох.
Теоретический материал
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой .
-
-
-
-
-
Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
-
.
Вариант 2
Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой .
-
-
-
-
-
Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
-
.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 26 на тему: Применение производной к исследованию функции, 2 ч
Цель: Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении графика.
Признак возрастания функции: Если в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция возрастает.
Признак убывания функции: Если в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция убывает.
Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке х0, а на интервале и на интервале , то x0 является точкой максимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке х0, а на интервале и на интервале , то x0 является точкой минимума
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
Схема исследования функции.
Находим область определения;
Вычисляем производную;
Находим стационарные точки
Определяем промежутки возрастания и убывания;
Находим точки максимума и минимума;
Вычисляем экстремум функции;
Данные заносят в таблицу.
На основании такого исследования строится график функции.
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
-
-
-
-
Найти экстремум функции
Исследовать функцию и построить график
Вариант 2
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
-
-
-
-
Найти экстремум функции
Исследовать функцию и построить график
Вариант 3
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
-
-
-
-
Найти экстремум функции
Исследовать функцию и построить график
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 27 на тему: Приложение понятия производной, 2 ч
Цель: рассмотреть, как используются в приложениях понятие производной.
Написание конспекта - представляет собой вид внеаудиторной работы по созданию образа информации, содержащейся в объекте конспектирования, в более краткой форме. В конспекте должно быть отражены основные принципиальные положения источника. Ценность конспекта значительно повышается, если обучающийся излагает мысли своими словами, в лаконичной форме.
Конспект должен начинаться с указанием реквизитов источника(фамилии автора, полного наименование работы, места и года издания). Особо значимые места, примеры выделяются цветным подчёркиванием, взятием в рамку, пометками на полях, чтобы акцентировать на них внимание и прочнее запоминать.
Работа выполняется письменно, озвучиванию подлежат главные положения и выводы работы в виде краткого устного сообщения в рамках занятия
Критерии оценки:
содержательность конспекта (основные типы задач);
обработка задач в привычном для учащихся виде;
наличие поясняющих чертежей;
грамотность изложения;
сопровождение выступления презентациями;
выполнение задания в срок.
Задание: написать конспект занятия №7 Прикладные задачи из учебника: Математика. Учебник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012. Стр 185-190.
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 4: Интеграл и его применение
Самостоятельная работа № 28 на тему: Вычисление площадей плоских фигур, 2 ч
Цель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;
Теоретический материал
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают: , где - есть некоторая первообразная функции на этом промежутке, С – const. При этом знак называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.
Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.
Таблица неопределенных интегралов
Свойства неопределенного интеграла:
;
;
;
Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.
.
Образец решения:
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
у = 4 - х² и у=0
Решение:
1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: ;
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.1 .
1.2. .
1.3. .
1.4. .
1.5. .
Вариант 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
1.3. .
1.4. .
1.5. .
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 6: Элементы теории вероятностей и математической статистики
Самостоятельная работа № 29 на тему: Элементы теории вероятностей и математической статистики, 2,5 ч
Цель: закрепить навыки решения задач на вычисление вероятностей.
В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.
Результат или исход каждого испытания назовём событием. Каждое событие, которое может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием. Мерой возможности появления события A при осуществлении комплекса условий является вероятность P(А) этого события. Если результаты испытания можно представить в виде полной системы n равновозможных и попарно несовместимых событий и если случайное событие появляется только в m случаях, то вероятность события A равна Р(A) = m/n, т. е. отношению количества случаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех случаев.
Правило сложения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) =Р(А)+ Р(В).
Таблица факториалов
1! = 1
6! =
720
2! =
2
7! =
5 040
3! =
6
8! =
40 320
4! =
24
9! =
362 880
5! =
120
10! =
3 628 800
Примеры решения задач.
№1 На полке 6 видеокассет. Найдите вероятность того, что все кассеты окажутся на свеем месте.
Решение : N=6!=720- число всех событий ,
N(А)=1- число благоприятствующих событий.
Р(А)=1/720 =0,0014.
Ответ : 0,0014
№2 Слово апельсин написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила их в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что это слово спаниель
Решение: : N=8!=40320 - число всех событий ,
N(А)=1- число благоприятствующих событий.
Р(А)=1/40320 =0,000025.
Ответ : 0,000025
№3. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 - билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
А - выиграть не менее 20 руб.,
А1 - выиграть 20 руб.,
А2 - выиграть 100 руб.,
А3 - выиграть 500 руб.
Очевидно, А= А1 +А2+А3.
По правилу сложения вероятностей:
Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061
Решите задачи:
№1 Найдите вероятность того , что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера- это цифры 2,3.1. в произвольном порядке.
№2 Для участие в телевикторине случайным образом выбирают 3 игрока из 8 претендентов. Какова вероятность того, что будут выбраны 1-й, 4-й, и 8-й игрок
№3 Производится бомбометание по трём складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
№4
№5
№6
№7
№8
№9
Ответы(№2-0,018;№3-0,45;№4-0,545, 0,364, 0,091; №5-0, 559; №6-,417, 0, 152; №7-0,56; №9- 0,72)
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Раздел 5: Уравнения и неравенства.
Самостоятельная работа №30 на тему: Решение алгебраических уравнений и неравенств с одной переменной, 5 ч
Цель: Знать методы решения линейных, квадратных уравнений и неравенств. Применять их при решении упражнений.
Теоретический материал:
Простейшее линейное уравнение:
Приведенное квадратное уравнение:
Теорема Виета:
Решение квадратных уравнений:
,
Если то
Если то
Если то корней нет
Алгоритм решения квадратного уравнения
Решить квадратное уравнение
Найдите коэффициенты квадратного уравнения
Запишите формулу для нахождения дискриминанта квадратного уравнения
Найдите дискриминант
Запишите формулу для нахождения корней квадратного уравнения
Найдите корни квадратного уравнения
Запишите ответ
a= , b= , c=
D=
D=
х1,2=
х1=
х2=
Ответ:
Решить самостоятельно уравнения:
п/п Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Решение линейных и квадратных неравенств
Теоретический материал
Алгоритм решения квадратного неравенства 
Решить самостоятельно:
п/п Вариант 1
Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Самостоятельная работа № 31 на тему: Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств, 2,5 ч
Цель: способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при выявлении свойств тригонометрической , логарифмической, показательной функций.
Типовые расчёты.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
п\п Название работы
Страница в задачнике
№ заданий
1
Тригонометрические уравнения
289
12.7
А (1—5)
2
Логарифмические и показательные неравенства
292
12.10 А (14-20)
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Обобщающее повторение. Подготовка к экзамену
Самостоятельная работа №32 на тему: Домашняя контрольная работа , 4 ч
Цель: Контроль знаний учащихся
Выбор варианта (№1,4,7,10,13,16,19,22,25- ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ)
(№2,5,8,11,14,17,20,23,26- ВТОРОЙ ВАРИАНТ)
(№3,6,9,12,15,18,21,24,27- ТРЕТИЙ ВАРИАНТ)
Вариант 1
Отрезок имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 16 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 12 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение:
Решить систему уравнений:
Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
в точке с абсциссой .
Решить уравнение:
Решите уравнение:
Найдите все первообразные функции:
Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: .
Вариант 2
Отрезок имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:2, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 15 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 18 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение:
Решить систему уравнений:
Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
в точке с абсциссой .
Решить уравнение:
Решите уравнение:
Найдите все первообразные функции:
Радиус основания цилиндра равен 3 см, площадь боковой поверхности втрое больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: .
Вариант 3
Отрезок имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2:3, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 20 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 24 см и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение:
Решить систему уравнений:
Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
в точке с абсциссой .
Решить уравнение:
Решите уравнение:
Найдите все первообразные функции:
Радиус основания цилиндра равен 6 см, площадь боковой поверхности в четыре раза больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: .
Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.
Литература:
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Математика. Задачник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
Математика. Учебник: учеб.пособие для образ. уч.начального и сред.проф. образования/М.И. Башмаков.- М. :Академия,2012.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.
Интернет - ресурсы
http://catalog.alledu.ru/predmet/math/
Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htm
Сайт-справочник правил, формул и теорем по математике:
http://matemathik.narod.ru/
Мир Геометрии: http://geometr.info/
Страна Математика: http://www.bymath.net/
Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm
Графики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/
Виртуальная школа юного математика
http://math.ournet.md/indexr.html
www. book.ru
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.