Фестиваль: «Юные интеллектуалы Среднего Урала»

Эрудит – 2014

Дорогие участники!

Сегодня вам предстоит решить 10 заданий. Соберитесь с мыслями и покажите Ваш творческий потенциал, Ваши умения применять знания в нестандартных ситуациях! Желаем успеха!

Эрудит  2014

Ответы и решения.

№1 Криптограмма.

1)    Ньютон; 2) масштаб; 3) арабские; 4) множитель; 5) диаграмма.

Не боги горшки обжигают

№2 Вова ошибся, так как всего было написано четное число записок, а получено 3  29 – нечетное число записок.

№3 Массу одного винтика, одного шпунтика и одной гаечки обозначим В, Ш и Г. Тогда верно равенство

                                               5В + 2Ш + 3Г = В + 7Ш + 4Г,

Из которого следует, что верно равенство

                                                4В = 5Ш + Г.

Это означает, что 4В > 5Ш, но тогда  4В > 4Ш, то есть В > Ш. Итак, винтик тяжелее шпунтика.

№4 На 1 км по течению реки моторная лодка расходует  бака топлива, а на 1 км против течения реки -  бака топлива. Представим, что рыбак проплыл 1 км по течению и обратно (все равно в какой последовательности). На эту поездку он затратит  бака топлива. Это означает, что 1 км составляет  от наибольшего расстояния, на которое может отплыть рыбак по реке на своей лодке, чтобы топлива хватило и на обратный путь. Тогда это наибольшее расстояние равно 12 км.

                                                 Ответ. 12 км

№5  Представим, что мама дала детям по четыре конфеты, тогда у нее осталось три конфеты. Если бы у нее было еще две конфеты, то она смогла бы дать детям пять конфет (3 + 2 = 5), дав каждому ребенку еще по 1 конфете. Следовательно, детей было пять.

Ответ. 5 детей.

№6 Найдем число концов у всех мостов: 5 + 44 + 33 + 1 = 31.

31 – является числом нечетным. Так как число концов у всех мостов должно быть четным, то такого расположения мостов быть не может.

№7         9          6          5

               8          7          4

               1          2          3

№8  Так как Аня не проигрывала мальчикам в шахматы, то она – лучший шахматист. Так как художник не нарисовал своего портрета, а нарисовал портрет Игоря, то Игорь – лучший математик, а Олег – лучший художник.

                                     Ответ: Олег – лучший художник, Аня – лучший      

                                                   шахматист, Игорь – лучший математик.

№9 Задача решается с конца. Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 копейки, а до перехода третьего моста – 12 копеек. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (копеек), а до перехода второго моста – 36 : 2 = 18 (копеек). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (копейки), а перед переходом первого моста – 42 : 2 = 21 (копейка). Таким образом, у бездельника сначала была 21 копейка.

Ответ: 21 копейка.

№10 Проведем 2 разреза, центрально симметричные уже сделанным. Куски 1, 2, 6, 9 достались Малышу, а симметричные им 7, 8, 4 и 3 – Карлсону, которому отошла еще и середина 5. Поэтому Карлсону досталось не менее половины торта.

Введение

Данный сборник состоит из заданий по математике, составителем которого является учитель математики средней школы № 30 города Асбеста Грачёва Ольга Степановна.  Основу сборника составляют задачи нестандартные по содержанию и способам решения, занимательные задачи и задачи повышенной сложности. Сборник может быть использован учителями математики для проведения кружковых, факультативных  занятий или школьных математических олимпиад для учащихся 5 – 6 классов.

В сборник включено 20 задач. Задачи снабжены решениями и указаниями.

Сборник конкурсных задач по математике предназначен так же для учащихся, проявляющих интерес к математике, для их родителей.

Целью создания сборника является

·        желание помочь учащимся освоить способы и приёмы решения олимпиадных задач,

·        оказать помощь учителям математики в подборе задач для проведения конкурсов, олимпиад для учащихся 5-6 классов.

          Задачи сборника в разные годы были предложены школьникам в рамках городского заочного конкурса « Эрудит», успешно прошли апробацию.

Эрудит-I

Задача 1.

Решение.

Допустим, что по тропинке шли только индюки. У индюка только 2 ноги, всего было бы 22 ноги (11 ´ 2 = 22). А в действительности их было 30, т. е. 8 "лишних" ног (30 - 22 = 8).

Чьи это ноги? Конечно, жеребят. Но у каждого жеребенка на 2 ноги (4 - 2 = 2) больше, чем у индюка, значит "лишние" 8 ног принадлежат 4 жеребятам (8 : 2 = 4). Но если жеребят 4, то индюков 7.

2 способ:

Методы решения:

·        Арифметический, метод рассуждений

·        Метод подбора подбора,

Задача может быть предложена после темы «Умножение натуральных чисел. Решаем задачи» для ознакомления с разными способами решения арифметических задач, обучения формам записи решения олимпиадных задач.

Задача 2.

В ящике лежит сотня шаров - красные, зеленые, желтые и синие. Какое наименьшее число шаров надо взять, не глядя, чтобы среди них оказалось не меньше, чем десять одноцветных?

Решение.

В самом неблагоприятном случае можно набрать по 9 шаров каждого цвета, т. е. 36 шаров. Остается взять всего один шар, чтобы получить 10 шаров одного цвета, т. е. надо взять 37 шаров.

Методы решения: комбинаторная задача, перебор возможных вариантов.

Задача может быть предложена при изучении темы «Комбинаторные задачи»

Задача 3.

Три подруги пришли на день рождения в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли также были белого, зеленого и синего цветов.

Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях.

Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

Решение.

Наташа была в зеленых туфлях. В таблице отметим этот факт знаком "+". Тогда по диагонали и по вертикали в столбце 3 и строке 2 цвет туфель отметим знаком "-". Платье у нее не может быть зеленым.

Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Этот факт отметим знаками "-".

Отсюда вывод: у Ани туфли, а значит и платье белые; туфли  у Вали синие, значит платье - зеленое; у Наташи туфли зеленые, а платье - синее.

Методы решения: с помощью графов, таблицы

Задача явно олимпиадного характера, способствует развитию логики рассуждений, была предложена после знакомства с темой «Опровержение утверждений».

Задача 4.

Путник! Здесь прах погребен Диофанта.

И числа поведать могут, о чудо,

Сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни -

Пухом покрылся тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

Прошло пятилетье -

Он был осчастливлен рожденьем

Прекрасного первенца-сына,

Коему рок половину лишь жизни

Счастливой и светлой дал на земле

По сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела

Конец воспринял,

Переживши года четыре с тех пор,

Как сына лишился.

Скажи, скольких лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?

Жил греческий математик Диофант, по-видимому, в III веке н. э., остальные известные факты его биографии исчерпываются этим стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии. Разгадайте эту загадку.

Решение.

Решить задачу можно после изучения тем «Дроби», «Сложение и вычитание дробей» на занятиях кружка или факультатива по теме «Старинные задачи на дроби».

 составляет 5+4 = 9 лет.

Тогда всех прожитых Диофантом лет составляет 1 год. Следовательно,  прожил Диофант 84 года.

Методы решения: арифметический

Задача 5.

Я еду в поезде, который идет со скоростью 60 км/ч и вижу, как в течение 3 секунд мимо моего окна в противоположном направлении проходит поезд, имеющий длину 120 м.

С какой скоростью прошел встречный поезд?

Решение.

120 м : 3 с. = 40 м/с.       относительная скорость встречного по  сравнению с моим (скорость сближения).

40 м/с. = 40 ´ 60 ´ 60 м/час = 144 000 м/час = 144 км/час

144-60 = 84 (км/час)      скорость встречного поезда.

Задача может быть решена на занятии кружка или факультатива после темы «Задачи на движение»

Задача 6.

Пусть М - натуральное число.

Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел  делится на 24.

Решение.

М, (М + 1), (М + 2), (М + 3) - четыре последовательных числа. Среди четырех последовательных чисел обязательно найдется два четных числа, одно из которых делится на 4. Обязательно найдется и число, которое делится на 3. Следовательно, произведение делится на 2, 4 и 3, то есть  на 2 ´ 4´ 3 = 24.

(Вообще, среди пяти последовательных натуральных чисел обязательно найдется такое, которое делится на 4, такое, которое делится на 3 и т. д.)

Задача олимпиадного характера,  предложена после изучения темы «Делимость чисел. Признаки делимости».

Задача 7.

Какой цифрой оканчивается сумма 135 ³ + 31 ⁷ + 56 ¹¹ ?

Решение.

Число, оканчивающееся "5", в любой степени дает число, вновь оканчивающееся "5". Число, оканчивающееся "1", в любой степени дает число, вновь оканчивающееся "1". То же происходит и с числом, оканчивающимся "6".

Итак, сумма слагаемых в последнем разряде имеет: 5 + 1 + 6 = 12. Следовательно, сумма оканчивается цифрой "2".

Задача предложена после изучения темы «Степень числа»

Задача 8.

14 человек делят большой пирог.

Первый берет себе 1/5 часть пирога, второй - 1/6 часть оставшегося. Эти двое с трудом съели свои порции, а остальные решили разделить остаток пирога поровну. Какая часть пирога досталась каждому из них?

Решение.

         часть пирога осталась после того, как взял 1/5 первый.

  пирога, эту часть пирога  и поделили 12 человек между собой поровну, т. е.  часть пирога.

Тема: умножение и деление дробей

Задача 9.

Винни-Пух купил себе на день рождения 12 банок варенья и пригласил в гости Пятачка.

Известно, что Пятачок ест варенье в 2 раза медленнее Винни-Пуха. Через 2 часа все варенье было съедено.

Сколько банок варенья съел Пятачок за это время?

Решение.

Рассуждая так:

за 1 час Винни-Пух и Пятачок съели 6 банок варенья. При этом 1 часть варенья съел Пятачок, 2 части - Винни-Пух. Всего 3 части, т. е. на 1 часть приходится 2 банки варенья (6 : 3 = 2).

Задача по теме «Задачи на части»

Задача 10.

В одном озере растет волшебная лилия. Ее размеры увеличиваются за каждый день ровно в 2 раза.

Если посадить одну такую лилию в пруд, то через 20 дней она заполнит его полностью.

За сколько дней весь пруд закроется, если сразу посадить четыре таких лилии?

Решение.

Если посадить четыре одинаковых лилии, то они заполнят пруд полностью при условии, что каждая заполнит 1/4 пруда.

За 20 дней каждая из них заполнит полностью пруд:

за 19 дней – 1/2 пруда,

за 18 дней – 1/4 пруда.

Ответ: за 18 дней.

Тема «Доли и дроби»

Эрудит-II

Задача 1.

На вопрос, сколько у него учеников, Пифагор ответил так: "половина моих учеников изучает математику, четверть - изучает природу, восьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы".

Сколько учеников было у Пифагора?

Решение.

Из рисунка видно, что 3 девы - это восьмая часть всех учеников Пифагора. У Пифагора 3 ´ 8 = 24 ученика.

Задача по теме «Дроби»

Задача 2.

У Змея Горыныча 2000 голов.

Сказочный богатырь может отрубить ему одним ударом меча 33, 21, 17 или 1 голову, но при этом у Змея Горыныча вырастает в замену соответственно 48, 0, 14 и 349 голов. Если отрублены все головы, то новые не вырастают.

Может ли богатырь победить Змея? Как ему надо действовать?

Решение.

Тактика богатыря может быть такой: сначала богатырь отрубает по 21 голове 94 раза. При этом новых голов не вырастает и у Змея остается 26 голов. Далее он три раза подряд отрубает по 17 голов. при этом вырастает по 14 голов. В конце этой "операции" остается 17 голов (26 - 17 + 14 - 17 + 14 - 17 + 14). Последним ударом богатырь отрубит 17 голов. При этом новых голов не вырастает.

Задача олимпиадного характера на отыскание стратегии игры, может быть предложена после изучения темы «Действия с натуральными числами».

Задача 3.

Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвет рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли. ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях и в рубашке другого цвета.

Как были одеты клоуны?

Решение.

Исходя из утверждений, можно сделать вывод о том, что у Бома туфли могут быть только синего цвета. Тогда цвет рубашки и туфель может совпадать, если этот цвет красный - так Бим был одет в красную рубашку и красные туфли.

Следовательно, у Бома туфли синие. Их цвет не совпадает с цветом рубашки, она - зеленая. А у Бома рубашка синяя.

Итак,

Методы решения: с помощью графов, таблицы

Задача явно олимпиадного характера, способствует развитию логики рассуждений, была предложена после знакомства с темой «Опровержение утверждений».

Задача 4.

Десять команд участвуют в турнире по футболу. Доказать, что при любом расписании игр всегда найдутся 2 команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

Решение.

В турнире участвуют 10 команд. Следовательно, количество игр. сыгранных каждой командой, может быть равно любому целому числу от 0 до 9. Если бы в какой-либо момент турнира все команды сыграли разное количество игр, то одна из команд не сыграла бы ни одного матча, другая - 1 матч, третья - 2 и так далее. Последняя команда должна была бы сыграть в этот момент 9 матчей, т. е. со всеми  участниками турнира. Но это невозможно, т. к. первая команда не сыграла ни одного матча.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, предположение, что в какой-то момент турнира все команды сыграли разное количество матчей, неверно.

Задача может быть предложена после знакомства с темой «Опровержение утверждений».

Задача 5.

Превратите лесенку в квадрат, предварительно разрезав его на три части.

Разрезать так!                           Так сложить!

Задачи на разрезание

Задача 6.

Расставьте в кружках, изображенных на рисунке, числа от 1 до 11 так, чтобы сумма трех чисел на каждом из отрезков была одна и та же.

Решение.

Суммы двух чисел в каждой паре, выделенной на рисунке, должны быть равны. Таких пар пять.

Сумма всех чисел

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 = (1 + 11) + (2 + 10) + … + (5 + 7) + 6 = 66.

Тогда в невыделенном кружочке может быть либо 6, либо 11.

Решение, соответствующее первому случаю, приведено на рисунке.

Задача по теме «Действия с натуральными числами»

Задача 7.

Дошла до царя Гороха молва, что убит наконец-то Змей Горыныч. Царь Горох знал, что мог это сделать один из богатырей русских: Илья Муромец, Добрыня Никитич, Алеша Попович. И, призвав на двор свой их, стал царь спрашивать. Трижды каждый богатырь речь держал.

Кто убил Змея, если каждый богатырь правду только 2 раза сказал. а один раз слукавил?

Решение.

1)  Если Змея убил Илья Муромец, то он слукавил 2 раза (1, 2).

2)  Если Змея убил Алеша Попович, то все три высказывания Ильи Муромца будут правдой.

3)  Не противоречит условию только предположение, что Змея убил Добрыня Никитич.

Задача может быть предложена после знакомства с темой «Опровержение утверждений».

Задача 8.

Чему равно значение суммы  ?

Решение.

 =

Задача по теме «Сложение и вычитание дробей. Свойства арифметических действий». Задача поможет учителю познакомить учащихся с методом группировки при выполнении вычислений.

Задачи 9 и 10 были предложены для решения на школьном туре олимпиады 2013- 2014 года:

Задача 9.

Перед проведением олимпиады для учащихся было проведено занятие факультатива по теме «Задачи на переливание»

Задача 10.