- 08.04.2015
- 1268
- 1
Система уроков в математическом классе по теме «Различные методы решения экстремальных задач».
Я, Лукашева Татьяна Валентиновна, работаю в 11 физико-математическом классе МБОУ лицея №11 г. Челябинска.
Завершаю тему «Наибольшее и наименьшее значение функции» серией уроков, связанных с методами решения экстремальных задач.
В своей работе я часто использую метод укрупнения дидактических единиц. Это позволяет учащимся увидеть взаимосвязи внутри темы и связь различных тем между собой. Это позволяет мне гибкой, более рационально использовать время, отведённое на тему, учитывать особенности учеников класса.
Данную тему, как и многие другие, я выстраиваю с помощью системы опорных задач. В них отражены различные приёмы решения, из разных областей школьной математики. Идеи решения этих опорных задач лежат в основе большинства задач темы, поэтому я рекомендую выписать и запомнить эти опоры.
После разбора этих задач ученикам предлагается рабочая карта с задачами без указания метода их решения и здесь можно организовать групповую работу с указанием номеров заданий или индивидуальную работу. Можно предложить учащимся визуально сопоставить предлагаемые задачи с опорными задачами, чтобы ребята попытались спрогнозировать метод её решения, т.е. мы здесь видим элементы проблемного метода в обучении. Домашние задания можно задать из этой же карты.
Итак, цели урока:
1) формирование интеллектуальных и практических умений учащихся;
2) обобщение и систематизация знаний;
3) связь изученного материала с ранее пройденным;
4) научить использовать идеи решения опорных задач в практической работе.
Использую лекционно- практико- зачётную систему обучения.
Систему уроков можно условно разбить на три основных этапа.
Этап А.
Чтобы сделать урок более эмоционально окрашенным, начну его с исторической задачи Дидоны. Согласно древнему мифу, воспроизведенному в поэме Вергилия «Энеида», будущая основательница
Карфагена – Дидона (вероятно, IX в. до н. э.) – бежала от преследований своего брата, тирана финикийского города Тир, на корабле с небольшим отрядом преданных ей людей. Они высадились на североафриканском побережье, принесли богатые подарки местному царю и попросили о выделении им участка; царь согласился отдать лишь «столько земли, сколько занимает воловья шкура». Тогда Дидона сделала из шкуры длинный тонкий ремень и огородила им значительную территорию на берегу моря, где и возник город Карфаген. Задачей Дидоны традиционно называется задача о том, какую форму должен иметь этот участок, чтобы занять наибольшую территорию при заданной длине ремня. Рассмотрим эту задачу для случая, когда берег прямолинеен. Пусть ремень имеет длину L и опоясывает некую фигуру Ф1. Отразим ее относительно берега. Тогда ремень и его отражение вместе являются границей (длины 2L) новой фигуры Ф2, составленной из фигуры Ф1 и ее отражения. Если решение изопериметрической задачи – круг, то площадь Ф2 (при данном периметре 2L) максимальна, когда Ф2 – круг. Но поскольку площадь Ф2 ровно в 2 раза больше, чем у Ф1, площадь Ф1 тоже максимальна, если Ф2 – круг, а ремень, соответственно, образует полуокружность.
Это хорошо известная изопериметрическая задача- экстремальная геометрическая задача.
Этап Б.
Ученикам выдается карта с опорными задачами. Начинаем разбираться с методами их решения. Это может занять не один урок. Я думаю, что торопиться здесь не надо, так как тема является очень важной, экзаменационной. Кроме того, разбирая эти задачи , мы повторяем значимые темы всего курса математики.
Опорные задачи.
1) Метод: Использование производной.
а) Число 18 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
б) Найти точку графика функции y
, ближайшую к точке (1/4;1).
2) Метод: Использование геометрической теории.
а) В данный остроугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.
3) Метод: Использование тригонометрии.
а) Известно, что 1
. Найти наибольшее и наименьшее значение
выражения z=
4)Метод: Использование свойств векторов.
а) Известно, что 
Найти наибольшее и наименьшее
значение выражения 2x+y-z.
5)Метод: Использование системы координат.
а) Найти наименьшее значение выражения 
б) Найти наименьшее значение
выражения 
6) Метод: Использование неравенства Коши.
а) Найти наименьшее значение функции y
при x
7) Метод: Использование следствия из неравенства Коши.
а) Найти наибольшее значение функции y= 
б) Доказать, что из всех треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
8) Метод: Нахождение наибольшего и наименьшего значения многочлена второй степени от двух аргументов ( в том числе выделение квадрата двучлена).
а) Найти наименьшее значение многочлена 
9)Метод: Использование свойств квадратного трёхчлена.
а) Найти наименьшее значение функции y=x(x+1)(x+2)(x+3).
б) Найти наибольшее из значений z, для которых существуют числа x ,y,
удовлетворяющие условию 2
Этап В.
Ученикам предлагается рабочая карта с задачами без указания метода их решения. Учащимся можно предложить выбрать задачи, соответствующие тому или иному методу (это можно сделать визуально, используя имеющиеся опорные задачи), классифицировать задачи. Учеников можно разбить на группы и предложить решить из списка те или иные задачи. Из рабочей карты можно выбрать задачи и на урок и предложить в качестве домашнего задания.
Это будет зависеть от индивидуальных особенностей учащихся класса.
Рабочая карта.
1)
Найти наибольшее и наименьшее значение выражения 
, если 2|x|+|y|=2.
2)
Найти наибольшее и наименьшее значение выражения 
.
3)
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y
4) По углам квадратного листа со стороной a надо вырезать одинаковые квадраты так, чтобы после загибания краёв образовалась открытая коробка наибольшего объёма. Какой должна быть сторона каждого вырезанного квадрата?
5)
Найти наибольшее значение выражения a
6)
Найти наименьшее значение, принимаемое выражением x+5y, если x
7)
Числа x,y и z таковы, что 
Какое наибольшее значение
может принимать выражение 2x+y-z ?
8)
Найти наибольшее значение суммы x+3y, если x и y удовлетворяют
неравенству 
9) Забором длиной 4a нужно огородить прямоугольный участок наибольшей площади . Каковы должны быть размеры участка?
10) Какого наибольшего объёма можно сделать ящик, если сумма длин его 12 рёбер должна быть равной t?
11) Дан отрезок АВ. Найти геометрическое место точек С таких, что произведение сторон АС и ВС треугольника АВС, делённое на высоту СН этого треугольника, принимает наименьшее значение?
12)
Найти наибольшее значение произведения 
при условии, что A,B,C- углы
треугольника.
13) Дан правильный треугольник со стороной a. Найти длину
наименьшего отрезка, соединяющего точки двух сторон треугольника и делящего треугольник на две равновеликие части.
14) Среди прямоугольных треугольников с гипотенузой c найти тот, который имеет наибольший радиус вписанной окружности.
15) В два различных сосуда налиты растворы соли , причём в первый сосуд налито 5 кг, а во второй -20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в p раз, а во втором сосуде –в q раз. Известно, что pq=9. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?
16) В окружность радиуса R вписана трапеция АВСD, основание АВ которой является диаметром окружности. Какова должна быть длина боковой стороны трапеции, чтобы трапеция имела наибольшую площадь?
17)
Среди всех решений неравенства y-x
найти те, для которых y2x
принимает наименьшее значение.
18) Какое наименьшее значение может принимать выражение
+
?
19) Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.
20)
Найти максимальное значение выражения xyz , если 
21) На графике функции y=|3x-2| найти точку, ближайшую к точке А(3;0).
22) Среди прямоугольных треугольников с гипотенузой c найти тот, который имеет наибольший радиус вписанной окружности.
23) При
каких x и y выражение 2
имеет
наименьшее значение. Найти его.
24) Найти наименьшее значение выражения
, если x-y-3=0.
25)
Найти наименьшее и наибольшее значение функции y
Задачи, которые я здесь представила, стыкуют разные темы математики. Именно поэтому они завершают тему. Такие задачи, как правило, вызывают большой интерес у учеников, увлекающихся математикой, а мне, как учителю, позволяют решить задачу обобщения и систематизации изученного материала, красоту и единство школьной математики.
Используя основные идеи проблемного подхода в обучении, я активно применяю метод укрупнения дидактических единиц и использую опорные задачи при работе в классах с углублённым изучением математики. Считаю их использование эффективным и целесообразным.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Представленные в моей работе задачи разбиты на два блока. В первом предлагаются задачи для совместной работы учеников с учителем. Здесь рассматриваются разные методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение. Такие как: 1)геометрический; 2)векторный; 3)координатный;4)с помощью проиизводной; 5)с помощью свойств числовых неравенств. Во втором блоке предложен общий список задач, с которым учитель может организовывать самостоятельную работу учащихся. Можно также предложить ученику визуально по тексту задачи опеределить метод её решения.Эти задачи можно предложить ученикам как для подготовки к ЕГЭ, так и во внеклассной работе.
6 664 172 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Лукашева Татьяна Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.