Системы счисления. Основные определения, виды, свойства

• 1 слайд

  СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
  ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ВИДЫ, СВОЙСТВА.
  

• 2 слайд

  ОПРЕДЕЛЕНИЯ
  СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - совокупность приемов и правил для записи чисел.
  Коэффициенты - знаки (цифры), используемые для записи чисел.
  Наиболее известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  

• 3 слайд

  Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:
  возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
  единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
  простоту оперирования числами.
  

• 4 слайд

  СВОЙСТВА СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
  Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные.
  
  Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные система счисления в настоящее время используются редко, в основном для целей нумерации. Примером такой системы является римская система счисления с цифрами:
  
  Десятичные цифры1510501005001000и т. д.
  Римские цифрыIV X L C D Mи т. д.
  Несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются: ХХХ =Х +Х +Х= 30. Если рядом стоят две разные цифры, причем младшая - справа от старшей, то они также суммируются: XVI= X+ V+ I= 16; если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры: IX= X- I= 9.
  
  Например, MCMLXV= 1965; MMDCLIII= 2653.
  

• 5 слайд

  ОСНОВНЫЕ НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ:
  
  Теоретически имеют бесконечное количество цифр;
  Арифметические действия над числами в них очень сложны.
  Например, умножить: XXXII и XXIV.
  Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления.
  

• 6 слайд

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
  Позиционными называются такие системы, в которых значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе.
  Например, 222 - первая цифра справа означает две единицы, соседняя с ней - два десятка, а левая - две сотни.
  Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.
  

• 7 слайд

  ОСНОВАНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
  Основание позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых для изображения чисел в данной системе.
  Возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав, таким образом, новую систему. Например, запись числа в шестнадцатеричной системе может производиться с помощью следующих цифр(знаков): 0,1,...,9,A,B,...,F.
  

• 8 слайд

  Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления
  
  

• 9 слайд

  РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
  Для позиционной системы счисления справедлива теорема:
  Любое число в позиционной системе можно записать в развернутой форме, через основание, причем единственным способом. Т.е.:
  A= anpn + an-1pn-1 + ... + a1p1 + a0p0 + a-1p-1 + ...
  + a-mp-m
  , где
  А- произвольное число, записанное в системе счисления с основанием р;
  аi- коэффициенты ряда (цифры системы счисления);
  n, m- количество целых и дробных разрядов.
  На практике используют сокращенную запись чисел:
  А= anan-1 ... a1a0a-1... a-m
  

• 10 слайд

  ПРИМЕРЫ РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
  В десятичной системе счисления числа изображаются с помощью цифр 0,1,…,9. Например, 3957,25=3*103+9*102+5*101+7*100+
  2*10-1+5*10-2
  В восьмеричной системе счисления числа изображают с помощью цифр 0,1,...,7. Например, 124,5378= 1*82 + 2*81 +4*80 + 5*8-1 + 3*8-2 +
  7*8-3.
  В двоичной системе счисления используют цифры 0, 1. Например, 1001,11012=1*23 + 0*22 + 0*21 +1*2-1 + 1*2-2 +1*2-3 +0*2-4 .
  Для записи чисел в троичной системе берут цифры 0, 1, 2. Например, 21223=2*33 + 1*32 + 2*31 + 2*30.