Справочник для подготовки к экзаменам по математике PowerPoint

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение

гимназия № 8 городского округа города Райчихинска Амурской области

Проект по теме

 «Электронный справочник

для подготовки к экзаменам по математике»

Автор:

Кадникова Татьяна Константиновна,

обучающаяся 10а класса

Руководитель проекта:

Косенко Регина Владимировна,

учитель информатики

г. Райчихинск

2019

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение……………………………………………………..…………..3

1.   Основная часть………………………………….……………………5                                  

     1.1. Исследование результата ОГЭ 2018 среди учеников, использовавших справочник………………………………………………………………5

     1.2. Оценка степени готовности обучающихся 9-х классов к экзамену по математике.………………...………………………………………….......5

1.3. Что такое справочник………….…………………………….........6

1.4. Материал для справочника……………………………………….8

1.5. Расширение объема информации в справочнике……………….8

1.6. Содержание и структура справочника…………………………..7

1.7. Оформление справочника………………………………………..10

1.8. Презентация справочника………………………………………..10

2. Выводы…………………………………………………………..…......11

Заключение………………………………….…..………….…….…..…...12

Список использованных источников…………….…………….….…….13

Приложения……………………………………………….………………14

Введение

Актуальность.

В прошлом году я, в рамках проектной работы, создала электронный справочник для подготовки к ОГЭ по математике. Нашему классу впервые предстояло пройти государственную итоговую аттестацию, среди обязательных для сдачи экзаменов – был экзамен по математике, которую мы изучали на протяжении 9 лет. Но как систематизировать все имеющиеся знания, как повторить весь теоретический материал по модулям «Алгебра» и «Геометрия», который так необходим при выполнении заданий ОГЭ по математике? Этим вопросом задается не один выпускник 9 классов. Поэтому мне и пришла идея создания данного справочника. Я распространила справочник среди своих одноклассников и попросила их готовиться с его помощью. Проведя исследование, я выяснила, что из 56 процентов одноклассников, сдавших экзамен на оценки 4 и 5, 37 процентов использовали для подготовки мой справочник. Результат моего исследования натолкнул меня на мысль продолжения работы над данным проектом и большего распространения справочника для подготовки к экзаменам по математике.

Цель: разработать электронный справочник для подготовки к экзаменам по математике в редакторе PowerPoint.

Задачи:

1. Исследовать применение справочника моими сверстниками для подготовки к ОГЭ 2018. И изучить результаты экзамена среди учеников, использовавших справочник.

2. Оценить степень готовности обучающихся к экзамену по математике, изучить предпочитаемые учениками источники для подготовки (электронные или бумажные носители).

3. Изучить информацию о справочниках.

4. Отобрать новый материал для справочника, основываясь на содержание КИМов ЕГЭ.

5. Расширить уже имеющиеся в справочнике темы новой информацией и добавить новые, изученные в 10-ом классе темы.

6. Структурировать содержание справочника.

7. Оформить справочник с помощью программы «PowerPoint».

8. Презентовать продукт, разместить на сайте гимназии, в Дневник.ру, распространить среди учеников 9-ых , 10-ых и 11-ых классов и учителей математики.

Ожидаемые результаты: «Электронный справочник для подготовки к экзаменам по математике» не только поможет обучающимся систематизировать и повторить весь теоретический материал по математике, но станет существенной помощью, как выпускникам, так и учителям при подготовке к занятиям по подготовке к экзаменам по математике, что позволит ученикам успешно сдать экзамен.

1.     Основная часть

1.1.          Исследование результата ОГЭ 2018 среди учеников, использовавших справочник.

      До экзамена я попросила 10 одноклассников готовиться к экзамену при помощи моего справочника. Затем я подсчитала результаты экзаменов и выяснила, что 56 процентов учеников получили положительные оценки (4 и 5). Среди них 37 процентов использовали для подготовки к ОГЭ мой справочник. А также не один ученик, использовавший справочник, не получил за экзамен оценку 2.

1.2.          Оценка степени готовности обучающихся к экзамену по математике.

Для оценки степени готовности выпускников к экзамену по математике и предпочитаемых форм подготовки я провела опрос, состоящий из 4-х вопросов. Было опрошено 50 учеников.

Результаты опроса: я выяснила, что для многих учеников экзамен по математике является наиболее сложным. Большей части опрошенных удобнее готовиться к экзаменам на электронных носителях. И  почти все опрошенные умеют использовать программу PowerPoint.

(Вопросы анкеты - приложение 1, результаты анкетирования – приложение 2)

1.3.          Что такое справочник?

Справочник – это книжка или некое пособие, созданное в помощь человеку. Он предназначен для удобного и очень быстрого поиска необходимой нам тематической информации. В справочнике всё располагается по порядку. Т.е. в хронологическом, цифровом или алфавитном.

Справочник — периодическое издание практического назначения, с кратким изложением сведений в систематической форме, в расчёте на выборочное чтение, на то, чтобы можно было быстро и легко навести по нему справку.

Стремительный процесс компьютеризации на основе современных компьютерных систем, открывает и в образовании новые технологии. Одно из таких направлений – электронные справочники. Разработка электронных учебных пособий в настоящее время является актуальным направлением в развитии информационных технологий, направленных на помощь преподавателю и ученику в образовательном процессе.

Итак, электронные справочники – это средства обучения информационного типа, которые могут быть разработаны, также как учебники и пособия на основе мультимедиа, но они не предусматривают обратной интерактивной связи, перевода информации на уровень знаний и умений.

Организация

Справочники рассчитаны на выборочное чтение и предназначены для быстрого нахождения по ним справки. Справочники обычно имеют систематизированную структуру, заглавия в них упорядочены по определённому принципу.

Многие справочники снабжаются вспомогательными указателями (алфавитным, предметным, именным и пр.)

Классификация

По целевому назначению справочники различают на:

·  научные

·  массово-политические

·  производственно-практические

·  учебные

·  популярные

·  бытовые

Приложения для создания электронных справочников

Существует множество приложений направленных именно на создание электронных справочников. Вот некоторые из них: EBookMaestro FREE (Бесплатная версия программы для создания электронных книг),HTML HelpWorkshop (Приложение для создания и редактирования справочных документов и связанных с ними файлов.), SunRavBookOffice (мощный инструмент для создания электронных книг и файлов помощи в форматах HTML, CHM, PDF и EXE.) и т.д. Но также есть наиболее популярные и доступные приложения, в которых также возможно создать электронный справочник (например,MicrosoftWordили PowerPoint)

Достоинства электронных справочников

 Мобильность, данный справочник имеет размер;
Простой и удобный механизм навигации в пределах электронного справочника. В печатном издании таких возможностей две: оглавление и колонтитулы. Однако для практической реализации этих возможностей необходимо листать страницы учебника. В электронном справочнике, не листая страниц, мы можем быстро перейти к нужному разделу с помощью гиперссылок.
Электронный справочник дает возможность каждому работать в своем темпе. Никто не торопит, не подгоняет. Для одного этот процесс протекает быстро, а с применением электронного учебного пособия, еще быстрее, при этом задаваемый преподавателем темп зачастую сдерживает его возможности. Для некоторых процесс освоения знаний идет медленнее, чем с преподавателем, при обучении приходится полагаться только на себя. В любом случае, в системе образования знания носят индивидуальный и личностный характер, и важно создать условия для развития способностей личности учиться и самоутверждаться.

В результате соединения информационных и коммуникационных технологий создается новая среда знаний. Приходит время, когда важным фактором становится владение техникой интеллектуальной работы, порождающей творчество.

1.4. Материал для справочника

Я отобрала информацию для справочника, основываясь на содержании КИМов на бумажных носителях, учебников по алгебре и геометрии и различных интернет-ресурсов. Также я брала информацию из уже существующих электронных справочников для подготовки к экзаменам.

1.5. Расширение объема информации в справочнике

Так как я решила сделать справочник для подготовки не только к ОГЭ, но и ЕГЭ, пришлось увеличить объем информации. Я изучила справочники для подготовки к ЕГЭ и учебник за 10 класс и добавила уже изученные темы (например объемы фигур или логарифмы). Также справочник находится ещё в процессе разработки, и на протяжении изучения новых тем, справочник будет расширяться. Это не создаст трудностей, так как в мой справочник легко можно вносить новые заметки и поправки.

1.6.Содержание и структура справочника

Справочник содержит два раздела:  модуль «Алгебра» и модуль «Геометрия».

Каждый раздел состоит из подразделов. Например, модуль «Алгебра», на данный момент, содержит в себе 22 подраздела:

1. Приближённые значения. Округление чисел. Стандартный вид числа .                         

2. Отношения. Пропорции.
3. Проценты.
4. Действия с дробями .                                                                                                5. Алгебраические выражения.
6. Степень с целым показателем.
7. Многочлены. Преобразование выражений.
8. Алгебраические дроби.                                                                                                              9. Квадратные корни.                                                                                                                       10. Линейные уравнения.                                                                                            11. Квадратные уравнения.
12. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.
13. Неравенства с одной переменной и системы неравенств.                                                    14. Решение систем квадратных неравенств.                                                                         15. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
16. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
17. Исследование функции и построение графика.
18. Решение иррациональных уравнений и уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля .
19. Задания, содержащие параметр, модуль.
20. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

     21. Логарифмы.

     22. Показательные уравнения.

Модуль «Геометрия» состоит из 13 подразделов, каждый из них содержит всю необходимую информацию о какой-либо фигуре и в нём находятся ещё подразделы, объясняющие свойства фигур:

—  Параллельные прямые.

—  Треугольник.

—  Параллелограмм.

—  Свойство середин сторон четырёхугольника.

—  Прямоугольник.

—  Квадрат.

—  Ромб.

—  Трапеция.

—  Формулы площади четырёхугольника.

—  Подобные фигуры.

—  Правильный многоугольник.

—  Окружность.

—  Стереометрия.

1.7. Оформление справочника

Данный справочник разработан с помощью программы PowerPoint. Пользователь переходит на различные страницы справочника с помощью гиперссылок, размещённых на слайдах. Данный справочник работает в любой операционной системе и не требует установки дополнительного ПО.

У слайдов клетчатый фон, что сразу даёт понять, что справочник по математике. Фон не яркий, чтобы не отвлекать ученика. Гиперссылки представлены в виде стрелок, так как по их направлению становится понятно, на какой слайд они переносят. Таким образом, читателю не придётся запоминать значение каких-либо обозначений или всё время возвращаться на слайд с условными обозначениями.

Некоторые страницы электронного справочника представлены в виде скриншотов в Приложении 3.

1.8. Презентация продукта

Созданный мною справочник был представлен ученикам, после чего был проведен соцопрос, показывающий, что ученики остались довольны справочником, считают его удобным в использовании и полезным (результаты в Приложении 4). Исследование показало, что справочник положительно влияет на результаты экзаменов. Я разместила Электронный справочник для подготовки к экзаменам по математике на сайте гимназии и в Дневнике.ру.

2.Выводы

        1. Я исследовала применение справочника для подготовки к ОГЭ 2018. И выяснила, что «Справочник для подготовки к ОГЭ по математике положительно повлиял на результаты экзаменов.

2. С помощью опроса я оценила степень готовности к экзаменам учеников. Также опрос помог мне выяснить, что справочник для подготовки по математике будет наиболее нужным. И актуальнее сделать этот справочник электронным, так как ученикам удобнее готовиться к экзамену на электронных носителях.

3.Я изучила информацию об электронных справочниках и, выяснив какие бывают электронные справочники и  в каких приложениях их создают, решила продолжить его создание в приложении PowerPoint.

4. Чтобы отобрать информацию для справочника я использовала различные КИМы и уже существующие электронные справочники.

5. Я рассмотрела материалы для подготовки к ЕГЭ и добавила новые темы в свой справочник.

6. Я структурировала содержание справочника, изучив, как составлены другие справочники для подготовки к экзаменам и, ориентируясь на свои представления о том, в какой структуре удобнее было бы использовать справочник.

7. Я оформила справочник в приложении PowerPoint, так как я уже умела использовать это приложение, кроме того, опрос показал, что большинство учеников также владеют использованием этого приложения. Также у большинства пользователей это приложение есть на компьютере и не придётся скачивать какие-либо дополнительные приложения.

9. Я презентовала продукт, путём его размещения на сайте гимназии и в Дневнике.ру. Также справочник был прорекламирован и оценен  учениками. В приложении 4 представлены отзывы учащихся о созданном мною справочнике.

Электронный справочник для подготовки к экзаменам по математике поможет обучающимся систематизировать и повторить весь теоретический материал по математике. Кроме того, станет существенной помощью учителям при подготовке к занятиям по подготовке к экзаменам, что позволит успешно сдать экзамен.

Заключение

В данном справочнике охвачена вся информация, требуемая для решения заданий ОГЭ по математике, а также справочник пополнен информацией для сдачи ЕГЭ. Анализ литературы по данной теме, показал, что практика использования электронных учебников и справочников значительно улучшает качество усвоения учебного материала учениками. 

Развитие информационных технологий дает широкую возможность для изобретения новых образовательных методик, что позволяет представить традиционные предметы, такие как геометрия и алгебра, в более интересном  удобном формате, в результате чего повышается интерес и учебная мотивация к изучению данных предмета. Основная идея, заложенная в основе электронного справочника, заключается в его универсальности и возможности легкой адаптации при использовании в различных учебных дисциплинах. 

Что даёт мне работа над созданием электронного справочника для подготовки к экзаменам по математике? Такая форма самостоятельной творческой деятельности дает возможность мне не только повторить учебный материал, причем неоднократно, но и разобрать материал, который ранее был мне непонятен. Кроме того, я улучшила свои пользовательские навыки и узнала новые для себя функции приложения PowerPoint.

Справочником можно пользоваться как в этом учебном году, так и  в будущем учебном году, так как задания в экзаменах по математике остаются подобными.

Также данный справочник находится в процессе разработки, в него очень просто вносить новые темы, и дополнять старые. Именно поэтому, за этим проектом может быть большое будущее.

Данный справочник поможет ученикам повторить весь материал, необходимый для сдачи экзамена и разобрать непонятные им темы.

Источники

1. ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко

2. Учебники по алгебре 7-9 класс, авторы: Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Мишустина Т.Н..

3.Учебник по геометрии 7-9 класс, авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев.

4. Учебник по математике 10 класс, авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева

5. Учебник по геометрии 10-11 класс, авторы: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г

6. https://ru.wikipedia.org

7. https://oge.sdamgia.ru/

8. mathus.ru

9. www.step-into-the-future.ru

10. school-assistant.ru

11. www.mathematics-repetition.com

12. www.yaklass.ru

13. www.treugolniki.ru

14. soft.mydiv.net

15. infourok.ru

16. learningapps.org

17. ru.solverbook.com

18. math-prosto.ru

19. egemaximum.ru

20. mathprofi.ru

21. www.myadept.ru

Приложение 1

Вопросы для анкетирования

1. К какому экзамену вы готовы меньше всего?

А) математика

Б) русский язык

В) предмет по выбору

2. Как вы оцениваете свою подготовленность к экзамену по математике?

А)  полностью готов к экзамену

Б)  скорее готов, чем не готов

В) скорее не готов, чем готов

Г) совсем не готов

3. Как вам удобнее готовиться к экзамену по математике?

А) в интернете и на электронных носителях

Б) по учебникам и КИМам на бумажных носителях

4. Умеете ли вы использовать приложение PowerPoint?

1)да

2)нет

Приложение 2

Результаты анкетирования

Приложение 3

Скриншоты справочника

Приложение 4

Отзывы учеников о справочнике.

1. Справочник понравился, удобно использовать, есть много нужной для ОГЭ информации.

2. Очень полезный. Быстро находишь нужную информацию. Понятно как использовать. Содержит много информации для подготовки к ОГЭ по математике.

3. Хороший справочник. Всё понятно и удобно.

4. Справочник понравился, так как по нему удобно готовиться к ОГЭ.

5. Справочник хорошо разработан, содержит много полезной информации, очень поможет подготовиться к экзамену. Пользоваться также очень просто и понятно. Не нужно скачивать какие-то приложения для чтения справочника, так как на компьютере уже есть PowerPoint.

• 1 слайд

  Электронный справочник для подготовки к экзаменам по математике
  Автор : Кадникова Татьяна Константиновна
  Руководитель: Косенко Регина Владимировна
  

• 2 слайд

  Условные обозначения (гиперссылки)
  Перейти на следующий слайд
  
  
  Вернуться на предыдущий слайд, или вернуться к началу темы
  
  Вернуться к содержанию модуля
  

• 3 слайд

  модуль
  алгебра
  геометрия
  

• 4 слайд

  Модуль алгебра
    1 Приближённые значения. Округление чисел. Стандартный вид числа. 2Отношения. Пропорции .
  3 Проценты.
  4Действия с дробями . 5Алгебраические выражения.
  6Степень с целым показателем.
  7Многочлены. Преобразование выражений .
  8Алгебраические дроби. 9Квадратные корни. 10Линейные уравнения. 11Квадратные уравнения .
  12Системы двух уравнений с двумя неизвестными .
  13Неравенства с одной переменной и системы неравенств . 14Решение систем квадратных неравенств. 15Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
  16Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии .
  17Исследование функции и построение графика .
  18Решение иррациональных уравнений и уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля .
  19Задания, содержащие параметр , модуль.
  20Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей .
  21Логарифмы
  22Показательные уравнения
  

• 5 слайд

  Модуль геометрия
  Параллельные прямые.
  Треугольник.
  Параллелограмм.
  Прямоугольник.
  Квадрат.
  Ромб.
  Трапеция.
  Подобные фигуры.
  Правильный многоугольник.
  Окружность.
  Стереометрия
  

• 6 слайд

  Стереометрия
  Аксиомы стереометрии
  Теоремы о параллельности прямой и плоскостей
  Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости
  Теоремы о перпендикулярности плоскостей
  Двугранные углы
  Многогранники
  Призма
  Параллелепипед
  Пирамида
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Аксиомы стереометрии
  Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую. Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.
  Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
  Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.
  
  Некоторые следствия из аксиом
  Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
  Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
  Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
  

• 8 слайд

  Теоремы о параллельности прямой и плоскостей
  1. Если прямая AB (рис. 1) параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости P, то она параллельна самой плоскости.
  2. Если плоскость R (рис. 2) проходит через прямую AB, параллельную другой плоскости P, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения CD параллельна первой прямой AB.
  3. Если две параллельные плоскости P и Q (рис. 2) пересекаются третьей плоскостью R, то линии пересечения AB и CD параллельны.
  4. Если две пересекающиеся прямые AB и DC (рис. 3) одной плоскости соответственно параллельны двум прямым 11 A B и 11 CD другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  
  

• 9 слайд

  Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости
  1. Для того что бы прямая AB (рис. 4) была перпендикулярна плоскости P, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум произвольным непараллельным прямым CD и EF, лежащим в этой плоскости.
  2. Для того, чтобы прямая DE (рис. 5) проведенная на плоскости P через основание наклонной AC была ей перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна к проекции BC, наклонной на плоскость P. (Достаточное условие этой теоремы называется «Теоремой о трех перпендикулярах»: AC, BC, DE.).
  3. Если две прямые AB и CD (рис. 6) перпендикулярны одной плоскости P, то они параллельны между собой.
  4. Если две плоскости перпендикулярны одной прямой AB, то они параллельны друг другу.
  

• 10 слайд

  Теоремы о перпендикулярности плоскостей
  1. Если плоскость P проходит через перпендикуляр к другой плоскости Q (рис. 8), то плоскость P перпендикулярна плоскости Q.
  2. Если две плоскости P и Q взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии пересечения плоскостей, перпендикулярна другой плоскости.
  Взаимное расположение прямых в пространстве
  Прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости или в разных плоскостях.
  – Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
  – Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют общую точку.
  – Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
  Скрещивающиеся прямые
  1. Угол  между скрещивающимися прямыми AB и CD (рис. 9) определяется как угол между одной из этих прямых (например, CD) и любой прямой 11 A B , проходящей через ее произвольную точку E параллельно другой прямой.
  2. Расстояние h между скрещивающимися прямыми AB и CD определяется как кратчайшее расстояние от одной из этих прямых и может быть найдено как расстояние от одной их этих прямых (например, AB) до плоскости P, проходящей через другую прямую CD параллельно первой.
  
  

• 11 слайд

  Двугранные углы
  1. Пересечение двух полупространств, границами которых служат непараллельные плоскости P и Q (рис. 10) называется двугранным углом.
  2. Ограничивающие двугранный угол плоскости P и Q называются его гранями, а прямая AB, являющаяся общей границей этих плоскостей — ребром двугранного угла.
  3. Пересечение двугранного угла и плоскости S, перпендикулярной к его ребру, называется линейным углом двугранного угла (рис. 11). Величиной q двугранного угла называется величина его линейного угла, т. е. величина угла между прямыми CD и CE, перпендикулярными ребру AB двугранного угла.
  4. Величину меньшего из двугранного углов, определяемых двумя пересекающимися плоскостями, называют углом между этими плоскостями. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0 градусов; если они перпендикулярны, то угол между ними равен п/2
  

• 12 слайд

  Многогранники  
  Пусть G ― фигура на плоскости. Фигура G называется областью (или связной фигурой), если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре G. Фигура, состоящая из двух параллельных плоскостей, не является связной.
  Пусть G ― область на плоскости. Точка X плоскости называется граничной точкой для области G, если имеются сколь угодно близкие к X точки, принадлежащие фигуре G, и точки, не принадлежащие ей. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Например, границей шара является сфера. Точка фигуры, не являющаяся граничной, принадлежит ей и называется внутренней точкой фигуры. Все точки пространства, достаточно близкие к внутренней, так же принадлежат фигуре.
  Если соединить область G и ее граничные точки, то мы получим новую фигуру G. Она называется замкнутой областью.
  Геометрическим телом (или просто телом) называется ограниченная связная фигура в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу геометрического тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.
  Плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью, называется сечением тела.
  Многогранником или многогранной поверхностью называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.
  Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
  Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
  

• 13 слайд

  Призма
  Призмой называется многогранник, две грани которого n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы.
  Боковые ребра призмы, как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны.
  Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
  Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности призмы. Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов.
  Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной.
  У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.
  Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если она прямая, и ее основания — правильные многоугольники.
  

• 14 слайд

  Параллелепипед
  Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.
  Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.
  Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные.
  Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани ― боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.
  Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.
  Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда.
  Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
  Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.
  
  Свойства параллелепипеда:
  Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
  2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  3. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
  4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  

• 15 слайд

  Пирамида
  Пирамидой называется многогранник одна из граней которого является произвольным многоугольником, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Тетраэдр — это пирамида, в основании которой лежит треугольник. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Обычно выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а остальные грани называют боковыми гранями. Правильным тетраэдром называют тетраэдр у которого все ребра равны. Правильной пирамидой называется такая пирамида, если ее основание — правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого многоугольника. Прямая, содержащая высоту правильной пирамиды называется ее осью. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой..
  
  Свойства пирамиды: Рассмотрим девять утверждений.
  1.Боковые ребра пирамиды равны.
  2. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды.
  3. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
  4. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит внутри пирамиды.
  5. Все двугранные углы при основании пирамиды равны.
  6. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.
  7. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведённые из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит вне пирамиды.
  8. Двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания пирамиды равны.
  

• 16 слайд

  Свойства правильной пирамиды:
  В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.
  Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
  Двугранные углы при основании правильной пирамиды равны между собой.
  Двугранные углы при боковых рёбрах правильной пирамиды равны.
  
  
  Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию
  – Сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию (перпендикулярной высоте) делит высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.
  – Сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию (перпендикулярной высоте) есть многоугольник, подобный основанию пирамиды, причем коэффициент подобия этих многоугольников равен отношению их расстояний от вершины пирамиды.
  – Площади сечений, параллельных основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
  
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  логарифмы
  Логарифм положительного числа b по основанию а —  logab — это показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить b.
  
  Виды логарифмов
  loga b - логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
  lg b - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).
  ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e). Основание является число Эйлера (e = 2,7).
  

• 19 слайд

  Правила логарифмов:
  основание a всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
  если а > 0, то и аb>0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.
  
  
  
  
  Примеры решения заданий с логарифмами
  
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Показательные уравнения
  Уравнение, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательными
  Свойства степени с натуральным показателем
  

• 22 слайд

  При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями.
  Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
  Пусть нам дан пример:
  22х - 8х+1 = 0
  Первый зоркий взгляд - на основания. Два и восемь.
  8 = 23
  можно записать:
  8х+1 = (23)х+1
  Если вспомнить :
  (аn)m = anm,
  то получается:
  8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1)
  Исходный пример стал выглядеть вот так:
  22х - 23(х+1) = 0
  Переносим 23(х+1) вправо, получаем:
  22х = 23(х+1)
  Убираем основания:
  2х = 3(х+1)
  х = -3
  Смотреть примеры решения показательных уравнений
  
  

• 23 слайд

• 24 слайд

  Приближённые значения. Округление чисел. Стандартный вид числа
  Правила округления. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из сохраняющихся цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохра­няемых цифр остаётся неизменной.
  Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они сто­ят после запятой, то их отбрасывают.
  Смотреть примеры
  Стандартный вид числа
  рас­смот­рим неко­то­рые боль­шие и до­ста­точ­но малые числа. 
  На­при­мер, рас­сто­я­ние до Солн­ца – 150 000 000 км.
  Но его можно за­пи­сать иначе – 1,5∙108 км. Эта за­пись верна и смот­рит­ся ком­пакт­нее.
  Вто­рым при­ме­ром будет диа­метр мо­ле­ку­лы воды (d = 0,0000000003 м)
  За­пи­шем его более ком­пакт­но: d = 3∙10^-10
  Стан­дарт­ным видом по­ло­жи­тель­но­го числа «а» на­зы­ва­ют его пред­став­ле­ние в виде
  а0∙10m,
  где а0є [1; 10), m – целое число.
  
  
  

• 25 слайд

  Округлить до целых: 12,5
  Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде единиц (целых) и смотрим на цифру, стоящую за ней. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения, а все цифры после нее отбрасываем. Если же за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на единицу.
   12,5≈13;
  Округлить до десятых: 0, 246;  
  Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых, а затем поступаем согласно правилу: все стоящие после подчеркнутой цифры отбросим. Если за подчеркнутой цифрой была цифра 0 или 1 или 2 или 3 или 4, то подчеркнутую цифру не изменяем. Если за подчеркнутой цифрой шла цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на 1.
   0, 246≈0,2;
  Округлить до сотых: 2, 045;
  Решение. Подчеркиваем цифру в разряде сотых и, в зависимости от того, какая цифра стоит после подчеркнутой, оставляем подчеркнутую цифру без изменения (если за ней 0, 1, 2, 3 или 4) или  увеличиваем подчеркнутую цифру на 1 (если за ней стоит 5, 6, 7, 8 или 9).
  2, 045≈2,05;
  Важно:  в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.
  
  

• 26 слайд

  Отношения. Пропорции
  Отношение двух чисел — это частное от деления одного из них на другое. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
  Взаимно обратными называют числа, произведение которых равно 1 
  Отношение b/a называют обратным отношению а/b.
  Обратное отношение — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному.
  Пропорция — это равенство двух отношений.
  В пропорции  a : b = с : d числа а и d называют крайними, а числа b и с — средними членами пропорции.
  Основное свойство пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов.
  Если для двух отношений a : b и с : d выполняется равенство ad = bc, то a : b = с : d — верная пропорция.
  Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившиеся новые пропорции верны.
  
  Смотреть примеры
  

• 27 слайд

  примеры
  В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации.
  Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?
  400 – общее число товара
  200 – РФ
  Ответ: 200 : 400 = 0,5 или 50%
  Два равных отношения образуют пропорцию
  В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения.
  К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста,
  а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста,
  то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:
  1. 200 : 400 = 0,5 или 50%
  2. 300 : 600 = 0,5 или 50%
  Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится,
  что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции,
  а четыреста и триста – средними членами пропорции.
  Произведение средних членов пропорции
  200 × 600 = 120 000
  300 × 400 = 120 000
  Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член.
  По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.
  

• 28 слайд

  Проценты
  Процент — это одна сотая часть от числа.
  Соотношения между десятичными дробями и процентами
  Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
  Например:   4 = 400%;   0.4 = 40%;   0.04 = 4%;   0.004 = 0.4%.
  Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
  Например:   500% = 5;   50% = 0.5;   5% = 0.05;   0.5% = 0.005.
  
  
  
  
  Метод решения задач с процентами
  Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции
  Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
  все      -      100%
  часть      -      часть в %
  которые можно записать в виде пропорции
  Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.
  Смотреть примеры
  

• 29 слайд

  примеры
  Найти число B составляющее 5% от числа 20.
  Решение:
  
  
  Ответ: B = 1.
  Найти сколько процентов составляет число 35 от числа 20.
  Решение:
  
  
  Ответ: 175%.
  Сберегательный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% годовых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?
  Решение.Через год вклад­чик по­лу­чит 20 % дохода, что со­ста­вит
   
    800*0.2=160 руб
  Таким образом, через год на счете будет:
   
    800+160=960 руб. 
  
  Ответ: 960.
  
  

• 30 слайд

  Действия с дробями
  Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину, отличную от 0, то значение дроби останется прежним.
  Пример
  3/5=6/10
  ½=10/20
  Если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби.
  Пример
  4/8=1/2
  3/9=1/3
  

• 31 слайд

  Сравнение дробей. Для сравнения, сложения и вычитания обыкновенных дробей их следует привести к одному и тому же знаменателю.
  Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с большим числителем будет больше.
  Пример 1
  ½ и ¾ ½=2/4
  2/4 меньше ¾ , следовательно ½ меньше 3/4
  Пример 2
  ½ и 1/3 ½=3/6 1/3=2/6
  3/6 больше 2/6, следовательно ½ больше 1/3
  

• 32 слайд

  Умножение дробей. Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:  
  
  
  
  Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же: 
  

• 33 слайд

  Деление дробей. Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй: 
  
  
  Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить тем же: 
  
  

• 34 слайд

  Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель.
  a/b обратная b/a
  Преобразование между разными форматами записи дробей. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. При этом не всегда можно получить конечную десятичную дробь.
  3/5=0.6
  Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если в разложении её знаменателя на простые множители присутствуют только множители 2 и 5.
  Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень числа 10. Затем к результату справа приписать целую часть, формируя смешанную дробь.
  3/5=6/10=0.6
  
  

• 35 слайд

  Алгебраические выражения
  Алгебраическим выражением называется запись из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок, составленная со смыслом. 
  Например:
  a2−3b - алгебраическое выражение
  Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т.е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными.
  Например, алгебраическое выражение a2−3b при a=−16 и b=−14 имеет значение 298, т.к.
  a2−3b=(−16)2−3⋅(−14)=256+42=298,
  а вот алгебраическое выражение a2−3a+2 при a=−4 имеет значение −6,5,
  т.к.(−4)2−3−4+2=16−3−2=13−2=−6,5
  И это же алгебраическое выражение a2−3a+2 при a=−2 не имеет смысла, т.к. a+2=−2+2=0, т.е. будет деление на ноль.
  
  Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
  

• 36 слайд

  Степень с целым показателем
  Пусть a − любое действительное число; 
  n − натуральное число, большее единицы. Назовем n-ной степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a1 = a. Число a называется основанием степени, число n − показателем степени.
  Пример
  5^2=5*5=25 a=5 n=2
  3^3=3*3*3=9 a=3 n=3
  
  

• 37 слайд

  Свойства степени с целым показателем.
  

• 38 слайд

  По определению полагают, что a0 = 1 для любого a ≠0.
  Если а ≠ 0, то   где n — натуральное число.
  
  Справедливо равенство :
  
  

• 39 слайд

  Многочлены. Преобразование выражений
  Одночленом называют выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения.
  Одночлен называется представленным в стандартном виде, если он записан в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
  Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена, сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена.
  Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.
  Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида.
  
  
  

• 40 слайд

  Формулы преобразования многочленов.
  Для любых a, b и с верны следующие равенства:
  
  1 Квадрат суммы 
  
  2 Квадрат разности
   
  3 Разность квадратов
  
  4 Куб суммы 
  
  5 Куб разности 
  
  6 Сумма кубов 
  
  7 Разность кубов
  Смотреть примеры
  

• 41 слайд

  примеры
  1
  
  
  2
  
  
  3
  
  
  4
  
  

• 42 слайд

  5
  
  
  6
  
  
  7
  

• 43 слайд

  Алгебраические дроби
  Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.
  
  Примеры алгебраических дробей.
  
  
  
  Основное свойство дроби: 
  

• 44 слайд

  Действия с дробями (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):
  
  

• 45 слайд

  Квадратные корни
  Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а, то есть выполняются условия:
  при любом а ≥ 0.
  Свойства арифметического квадратного корня.
  1Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей, то есть если а ≥ 0, b ≥ 0, то
  2 Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному отделения квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, то есть если a ≥ 0, b > 0, то
  
  3 При любом значении а и натуральном k верно равенство
  
  
  

• 46 слайд

  Линейные уравнения
  Уравнение вида ах + b = 0, где a и b — некоторые числа, х — переменная, называется линейным. Корни линейного уравнения
  • при a ≠ 0, b ∈ R х = —b/a;
  • при а = 0, b = 0 х ∈ R;
  • при а = 0, b ≠ 0 х ∈ Ø
  примеры:
  2х + 7 = 0.    Здесь а=2, b=7
  0,1х - 2,3 = 0   Здесь а=0,1, b=-2,3
  12х + 1/2 = 0   Здесь а=12, b=1/2
  Смотреть примеры решения линейных уравнений
  
  
  
  

• 47 слайд

  Решение линейного уравнения
  х - 3 = 2 - 4х
  Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
  Для этого нужно перенести -4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а -3 - в правую.
  Получим:
  х + 4х = 2 + 3
  Приводим подобные, считаем:
  5х = 5
  Делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
  х=1
  
  

• 48 слайд

  Квадратные уравнения
  Уравнение вида ах2 + bx + с = 0, а ≠ 0 называется квадратным уравнением.
  Дискриминант D = b2 — 4ас.
  Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня:
  
  Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два кратных корня  (имеет один корень).
  Если D < 0, то действительных корней нет.
  Формулы Виета.
  Если х1, x2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, то
  
  Для уравнения вида х2 + рх + q = 0
  смотреть прмеры
  
  

• 49 слайд

  Решение квадратного уравнения
  Пример 1
  Полное квадратное уравнение
  x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
  D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
  D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
  
  
  Пример 2
  Неполное квадратное уравнение
  x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
  

• 50 слайд

  Системы двух уравнений с двумя неизвестными
  имеет вид: 
  
  Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных (х; у), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.
  • Система имеет единственное решение, если
   
  • Система не имеет решений, если 
  • Система имеет бесконечно много решений, если
  смотреть методы решения
  
  

• 51 слайд

  Методы решения систем
  Метод подстановки. 
  1)  Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например  x, через коэффициенты и другое неизвестное  y:
                                                   x = ( c – by ) / a .                             
  2)  Подставляем во второе уравнение вместо x :
                                             d ( c – by ) / a + ey = f .
  3)  Решая последнее уравнение, находим  y :
                                                    y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
  4)  Подставляем это значение вместо y  в выражение :
                                                 x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
  П р и м е р .  Решить систему уравнений:
                                                     
                        Из первого уравнения выразим  х  через коэффициенты и  y : 
                                                              x = ( 2y + 4 ) / 3 .
                         Подставляем это выражение во второе уравнение и находим  y :
                                                         ( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 ,  откуда   y = 1 .
                                  
                       Теперь находим  х, подставляя найденное значение вместо  y  в
                        выражение для  х: 
   x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда   x = 2 .
  
  

• 52 слайд

   Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.            
  1)  Умножаем обе части 1-го уравнения системы на  (– d ), а обе части 2-го уравнения на  а  и складываем их:
                                            
  
  
  Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).  
  2)  Подставляем найденное для  y  значение в любое уравнение системы   
                                   ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
  3)  Находим другое неизвестное:   x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).
   
  П р и м е р .  Решить систему уравнений:
                                              
                                   
  Умножаем первое уравнение на  –1, второе – на 3 и складываем их:
  
                                                 
  
  отсюда  y = 1. 
  Подставляем это значение во второе уравнение (или в первое) 
   3x + 9 = 15, отсюда  x = 2.
  

• 53 слайд

  Неравенства с одной переменной и системы неравенств
  Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
  Областью определения неравенства с одной переменной называется множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.
  Из данного неравенства получается равносильное ему неравенство, если
  1) из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком;
  2) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число;
  3) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный;
  4) в какой-либо части неравенства или в обеих его частях выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения неравенства.
  Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Множеством решений системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему.
  Смотреть пример
  

• 54 слайд

  Система нервнств
  Решите систему неравенств 
  
  
  Решение                                                                                                                    
  

• 55 слайд

  Решение систем квадратных неравенств
  Квадратным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах2 + bх + с > 0, где а, b, с — действительные числа, а ≠ 0.
  Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства).
  Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
  Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
  Квадратный трёхчлен ах2 + bх + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а.
  Смотреть способы решения
  
  

• 56 слайд

  Решать такие неравенства можно различными способами.
  Аналитически.
  Графически.
  Методом интервалов.
  
  

• 57 слайд

  аналитически
  Находим корни квадратного трёхчлена. Раскладываем на множители, используя формулу
  От квадратного неравенства переходим к двум системам линейных неравенств. Решив их, запишем ответ.
  Пример:
  Решение: D=25-24=1 , . Х , X 
  Произведение больше 0, если множители имеют одинаковые знаки (оба положительны или отрицательны)
   или  
  Решаю первую систему, получаю x>3. Вторая система даёт решение x<2
  
  Ответ:
  
  

• 58 слайд

  Графический способ 
  Графический способ основан на том, что левую часть неравенства можно рассматривать как квадратичную функцию , где для решения неравенства применяется нахождение промежутка знакопостоянства функции (промежуток, где функция сохраняет свой знак)
  При этом пользуйся алгоритмом:
  1.Определи направление ветвей параболы по знаку коэффициента a;
  2.Найди нули функции, если они есть. (Это корни квадратного уравнения);
  3.Построй эскиз графика;
  4.По графику определи, при каких значениях х, функция принимает указанные в задании значения.
  
  

• 59 слайд

  Метод интервалов
  
  В основе метода лежит свойство непрерывной функции. Если она непрерывна, то она сохраняет знак между своими нулями.
  Алгоритм решения квадратного неравенства с одной переменной методом интервалов.
  1.Вычисляем дискриминант и находим корни (нули функции), если они есть.
  2.Разбиваем числовую ось этими нулями на интервалы.
  3. Находим знаки функции в каждом их промежутков.
  4. Выбираем по условию нужные промежутки.
  
  

• 60 слайд

  Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
  Модуль вещественного аргумента 
  Основные свойства модуля.
  
  
  
  
  Решением неравенства |x| < b являются значения х, удовлетворяющие неравенству —b< х < b.
  Решением неравенства |x| > b являются значения х, удовлетворяющие совокупности неравенств
  
  
  

• 61 слайд

  Некоторые методы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль:
  1) Общий метод. Разобьём числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Решаем неравенства на каждом из полученных промежутков.
  2) Метод возведения в квадрат. |f(x)| = g(х) равносильно системе 
  
  3) Метод замены. 
  
  Замена: 
  
  

• 62 слайд

  Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии
  Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обычно обозначают буквой d.
  1. Если an есть n-й член, d — разность и Sn — сумма n первых членов арифметической прогрессии, то
  
  
  
  Арифметическая прогрессия возрастает, если d > 0, и убывает, если d < 0.
  Пример
  1 ,3 ,5 ,7 ,9 а1=1 d=2 n=5 прогрессия возрастает
  

• 63 слайд

  Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначают буквой q.
  1. Если bn есть n-й член, q — знаменатель и Sn — сумма п первых членов геометрической прогрессии, то
  
  
  
  2. Если bk, bl, bm, bn — члены геометрической прогрессии с такими номерами, что k + l= m + n, то bk ∙ bl = bm ∙ bn.
  3. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличного от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
  
  
  бесконечно убывающая, если |g| < 1.Если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то
   пример
  1, 3, 9, 27 b1=1 q=3 n=4
  

• 64 слайд

  Исследование функции и построение графика
  Область определения функции.
  Областью определения D(y) функции у = f(x) называется множество всех значений аргумента х, для которых выражение f(x) определено (имеет смысл).
  Области определения основных элементарных функций. Область определения любого многочлена — R.
  
  
  

• 65 слайд

  Множество значений функции.
  Множеством (областью) значений Е(у) функции у = f(x) называется множество всех таких чисел уо, для каждого из которых найдется такое число хо, что f(x0) = у0.
  Области значений основных элементарных функций.
  Областью значений всякого многочлена чётной степени является промежуток [m; +∞), где m — наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток [—∞; n], где n — наибольшее значение этого многочлена.
  Областью значений всякого многочлена нечётной степени является R.
  
  

• 66 слайд

  Чётность и нечётность функции.
  Функция у = f(x) называется чётной, если для любого х ∈ D(f) верно равенство f(—x) =f(x). График чётной функции симметричен относительно оси Оу.
  Функция у = f(x) называется нечётной, если для любого х ∈ D(f) верно равенство f(—x)= —f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
  
  

• 67 слайд

  Графики элементарных функций.
  

• 68 слайд

  Общая схема исследования функций
  и построения их графиков
  
  1.  Нахождение области определения функции.
  2.  Исследование функции на четность и нечетность.
  3.  Установление области непрерывности  функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.
  4.  Исследование поведения функции при  (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.
  5.  Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.
  6.  Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.
  7.  Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства  функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.
  8.  Построение графика функции.
  
  

• 69 слайд

   Решение иррациональных уравнений и уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля
  
  Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.
  К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида 
  
  

• 70 слайд

  Основные способы решения иррационального уравнения
  I. Переход к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.
  1) По определению 
  2) От иррационального уравнения вида    можно перейти к равносильной ему системе:
  
  
  3) От иррационального уравнения вида     можно перейти к одной из равносильных ему систем:
  
  
  
  
  Неравенство g(х) ≥ 0 (или f(x) ≥ 0) в этих системах выражает условие, при котором уравнение можно возводить в чётную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки.
  
  

• 71 слайд

  II. Введение новой переменной.
  Если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины, то имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой переменной и попытаться решить уравнение сначала относительно введённой неизвестной, а затем уже найти исходную неизвестную.
  Например     Обозначим   тогда уравнение равносильно системе уравнений 
  
  

• 72 слайд

  III. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений.
  Уравнения вида   где а, b, с, d — некоторые числа, часто удаётся решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных   где у, z ≥ 0 и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений. Полученное уравнение будет содержать две неизвестных, которые зависят одна от другой посредством старой переменной х. С помощью преобразований можно получить систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z.
  
  

• 73 слайд

  IV. Использование свойства монотонности функций.
  Если уравнение имеет вид f(x) = 0, где f(x) возрастает (убывает), или f(x) = g(x), где f(x) и g(x) «встречно монотонны», то есть f(x) возрастает, а g(х) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удаётся привести уравнение к такому виду и найти корень, то он и будет решением данного уравнения. Во многих случаях корень такого уравнения удобно находить подбором.
  

• 74 слайд

  Задания, содержащие параметр
  Пусть дано уравнение вида f(a, x) = g(a, x), где а, х — переменные величины.
  Переменная а, которая при решении этого уравнения считается постоянной, называется параметром, а само уравнение — уравнением, содержащим параметр.
  Решить уравнение (с переменной х и параметром а) — значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получаемых из данного при всех допустимых значениях параметра а.
  Многие уравнения с параметром могут быть решены с помощью следующего алгоритма.
  1) Определить ограничения, налагаемые на значения неизвестного х и параметра а, исходя из того, что функции f(a, х) и g(а, х) имеют смысл.
  2) Определить формальные решения уравнения, записываемые без учёта ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось Оа. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение.
  3) Исключить те значения параметра, при которых формальные решения не удовлетворяют полученным ограничениям.
  4) На числовую ось Оа добавить значения параметра, найденные в п. 3. Для каждого из промежутков на оси Оа записать все полученные решения в зависимости от значений параметра а.
  5) Записать ответ, то есть решения в зависимости от значений параметра а.
  Смотреть пример уравнения с параметром
  
  
  

• 75 слайд

   Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
  (2a – 1)x2 + ax + (2a – 3) =0  имеет не более одного корня.
  Решение:
  При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
  Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
  Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:
  D = a2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a2 + 32a  – 12;
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ,
  
  
  
  

• 76 слайд

  Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
  Общее понятие вероятности
  Пусть у неко­то­ро­го ис­пы­та­ния име­ет­ся всего n рав­но­воз­мож­ных эле­мен­тар­ных ис­хо­дов. Среди них ровно m ис­хо­дов яв­ля­ют­ся бла­го­при­ят­ству­ю­щи­ми для неко­то­ро­го со­бы­тия A. Тогда от­но­ше­ние m/n будет на­зы­вать­ся ве­ро­ят­но­стью со­бы­тия A при про­ве­де­нии дан­но­го ис­пы­та­ния. Обо­зна­ча­ет­ся эта ве­ро­ят­ность P(A)=m/n.
  Ве­ро­ят­но­стью со­бы­тия А при про­ве­де­нии неко­то­ро­го ис­пы­та­ния на­зы­ва­ют от­но­ше­ние числа тех ис­хо­дов, в ре­зуль­та­те ко­то­рых на­сту­па­ет со­бы­тие А , к об­ще­му числу всех рав­но­воз­мож­ных между собой ис­хо­дов этого ис­пы­та­ния.
  Из опре­де­ле­ния видно, что:
  · Чис­лен­ное зна­че­ние ве­ро­ят­но­сти все­гда лежит в про­ме­жут­ке 0;1 (по­то­му что как общее число ис­хо­дов, так и число бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов не могут быть от­ри­ца­тель­ны­ми и число бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов не может быть боль­ше об­ще­го числа ис­хо­дов).
  ·  Ве­ро­ят­ность равна нулю для невоз­мож­но­го со­бы­тия и ве­ро­ят­ность равна еди­ни­це для до­сто­вер­но­го со­бы­тия.
  · Для всех осталь­ных, для слу­чай­ных со­бы­тий ве­ро­ят­ность боль­ше нуля и мень­ше еди­ни­цы. Смотреть примеры
  

• 77 слайд

  пример
  Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что при еди­нич­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости вы­па­дет одно очко?
  Со­бы­тие  А– вы­па­де­ние 1.
  M(A)=1 (число гра­ней, на ко­то­рых на­ри­со­ва­но одно очко).
  Общее ко­ли­че­ство ис­хо­дов n=6  (общее число гра­ней).
  Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность  P(A)=m/n=1/6
  Ответ: 1/6.
  
  

• 78 слайд

  Достоверное событие, невозможное событие
  В окру­жа­ю­щем нас мире можно на­блю­дать раз­лич­ные яв­ле­ния, мы будем при­ме­нять тер­мин «со­бы­тие», ко­то­рые обя­за­тель­но про­изой­дут при некой со­во­куп­но­сти усло­вий, такие со­бы­тия на­зы­ва­ют­ся до­сто­вер­ны­ми.
  До­сто­вер­ное со­бы­тие – это такое со­бы­тие, ко­то­рое обя­за­тель­но про­изой­дет при­ со­блю­де­нии опре­де­лен­ных усло­вий.
  На­при­мер, если под­бро­сить мо­не­ту, то она через неко­то­рое время обя­за­тель­но упа­дет на стол или на любую дру­гую из окру­жа­ю­щих по­верх­но­стей. Это при­мер до­сто­вер­но­го со­бы­тия.
  Невоз­мож­ное со­бы­тие
  С дру­гой сто­ро­ны, су­ще­ству­ют невоз­мож­ные со­бы­тия – это те со­бы­тия, ко­то­рые не про­изой­дут ни при каких усло­ви­ях.
  При­мер невоз­мож­но­го со­бы­тия: при под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты она не упа­дет ни на одну из окру­жа­ю­щих по­верх­но­стей.
  Оба при­ве­ден­ных при­ме­ра поз­во­ля­ют од­но­знач­но пред­ска­зать про­изой­дет дан­ное со­бы­тие либо не про­изой­дет. Тем не менее такое пред­ска­за­ние носит всего лишь ка­че­ствен­ный ха­рак­тер, по­то­му что не при­во­дит­ся ни­ка­ких чис­лен­ных оце­нок или ко­ли­че­ствен­ных рас­че­тов для того, чтобы сде­лать такое пред­ска­за­ние. Идея о том, что воз­мож­ность на­ступ­ле­ния того или иного со­бы­тия можно вы­ра­зить чис­лом, по­яви­лась у людей после того, как на­блю­да­лось мно­же­ство яв­ле­ний, в ко­то­рых при со­блю­де­нии одних и тех же усло­вий ка­кое-ли­бо со­бы­тие то на­сту­па­ло, то не на­сту­па­ло.
  Смотреть пример
  

• 79 слайд

  На­при­мер, у нас в рас­по­ря­же­нии име­ют­ся три таб­лич­ки с на­ри­со­ван­ны­ми на них бук­ва­ми «С», «О», «К». Из этих трех букв можно со­ста­вить шесть раз­ных ком­би­на­ций.
  
  
  
  
  Рас­по­ло­жим таб­лич­ки слу­чай­ным об­ра­зом вза­кры­тую. Слу­чай­но по­лу­чим ком­би­на­цию «С», «О», «К». Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что рас­по­ло­жен­ные слу­чай­ным об­ра­зом буквы об­ра­зу­ют слово «сок»? Если взгля­нуть на вы­пи­сан­ные ком­би­на­ции таб­ли­чек, видно, что одна из шести ком­би­на­ций об­ра­зу­ет слово «сок». Таким об­ра­зом, из об­ще­го числа ком­би­на­ций букв слово «сок» со­став­ля­ет  1/6  часть.
  По­лу­чен­ное число  1/6  – это ве­ро­ят­ность того, что рас­по­ло­жен­ные вот так в слу­чай­ном по­ряд­ке буквы об­ра­зу­ют нуж­ное слово. Опре­де­ле­ние по­ня­тия «ве­ро­ят­ность» пока не вве­де­но, од­на­ко, даже на этом про­стом при­ме­ре можем про­чув­ство­вать смысл этого по­ня­тия.
  

• 80 слайд

  Случайные события, несовместимые и противоположные события
  Два слу­чай­ных со­бы­тия на­зы­ва­ют­ся несов­ме­сти­мы­ми, если на­ступ­ле­ние од­но­го из них ис­клю­ча­ет воз­мож­ность на­ступ­ле­ние дру­го­го.
  На­при­мер, при еди­нич­ном под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние орла» пол­но­стью ис­клю­ча­ет слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние решки», то есть эти со­бы­тия несов­мест­ны. Дру­гой при­мер: при бро­са­нии иг­раль­ной кости со­бы­тие «вы­па­де­ние од­но­го очка» пол­но­стью ис­клю­ча­ет со­бы­тие «вы­па­де­ние шести очков», эти два со­бы­тия также несов­мест­ны. Про­ти­во­по­лож­ный при­мер: если бро­са­ют две иг­раль­ные кости, то слу­чай­ное со­бы­тие, со­сто­я­щее в сле­ду­ю­щем «вы­па­де­ние трех очков на пер­вой кости», и слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние пяти очков на вто­рой иг­раль­ной кости», не ис­клю­ча­ют друг друга, такие со­бы­тия яв­ля­ют­ся сов­мест­ны­ми.
  Со­бы­тие  В на­зы­ва­ют про­ти­во­по­лож­ным со­бы­тию А, если со­бы­тие В на­сту­па­ет тогда и толь­ко тогда, когда не на­сту­па­ет со­бы­тие А .
  Обо­зна­че­ние:   – со­бы­тие, про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тию А.
  Сумма ве­ро­ят­но­стей про­ти­во­по­лож­ных со­бы­тий равна 1.
  Эта тео­ре­ма об­ла­да­ет хо­ро­шим прак­ти­че­ским при­ло­же­ни­ем, с ее по­мо­щью можно вы­чис­лять ве­ро­ят­но­сти со­бы­тий в том слу­чае, когда ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия под­счи­тать го­раз­до легче, чем ве­ро­ят­ность са­мо­го со­бы­тия.
  Смотреть пример
  
  

• 81 слайд

  Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что при трёх по­сле­до­ва­тель­ных брос­ках иг­раль­ной кости хотя бы один раз вы­па­дет 6 очков?
  Ре­ше­ние
  При одном бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­но вы­па­де­ние од­но­го, двух, трёх, че­ты­рёх, пяти или шести очков. При вто­ром бро­са­нии, вне за­ви­си­мо­сти от преды­ду­ще­го брос­ка, воз­мож­ны те же ре­зуль­та­ты, для тре­тье­го брос­ка – то же самое.
  При каж­дом брос­ке воз­мож­но вы­па­де­ние од­но­го из шести зна­че­ний. По пра­ви­лу умно­же­ния, общее ко­ли­че­ство воз­мож­ных ис­хо­дов со­бы­тия   ис­хо­дов.
  Со­бы­тие  А – вы­па­де­ние хотя бы одной ше­стер­ки.
  Про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тие   – ше­стер­ка не вы­па­дет ни од­но­го раза. При этом на ку­би­ке при каж­дом брос­ке вы­па­дет два, три, че­ты­ре либо пять очков. Если еще раз при­ме­нить пра­ви­ло умно­же­ния, то по­лу­ча­ем: ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов для про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия    воз­мож­ных эле­мен­тар­ных ис­хо­дов.
  Ве­ро­ят­ность того, что ше­стер­ка не вы­па­дет ни разу, равна:
  
  
  Сразу же можно найти ве­ро­ят­ность ис­ход­но­го со­бы­тия А, так как со­бы­тия А и  – про­ти­во­по­лож­ные.
  
  
  
  

• 82 слайд

  Параллельные прямые
  Свойства и признаки параллельных прямых.
  Теорема Фалеса.
  Теорема о пропорциональных отрезках.
  

• 83 слайд

  Свойства и признаки параллельных прямых.
  
  1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
  2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
  
  
  3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
  
  

• 84 слайд

  4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, односторонние углы в сумме составляют 180°.
  5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
  6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
  7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  
  
  Накрест лежащие углы 3 и 5;2 и 8
  Соответственные углы  1 и 5;4 и 8;2 и 6;3 и 7
  Односторонние углы 3и8; 2и5
  

• 85 слайд

  Теорема Фалеса.
  
  Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки 
  
  
  
  
  
  Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :
  
  
  
  

• 86 слайд

  Теорема о пропорциональных отрезках.
  
  Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.
  
  

• 87 слайд

  Треугольник.
  Признаки равенства треугольников.
  Признаки равенства прямоугольных треугольников.
  Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё.
  Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
  Неравенство треугольника и следствия из него.
  Средняя линия треугольника.
  Теоремы о медианах треугольника.
  Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
  Теорема о высотах треугольника.
  Теорема о биссектрисах треугольника.
  Свойство биссектрисы треугольника.
  Признаки подобия треугольников.
  Площади подобных треугольников.
  Прямоугольный треугольник.
  Теорема Пифагора.
  Метрические соотношения в треугольнике.
  Формулы площади треугольника.
  
  

• 88 слайд

  Признаки равенства треугольников.
  
  Первый признак равенства треугольников:  
  треугольники равны, если у них равны две стороны и угол между ними.
  Второй признак равенства треугольников:  
  треугольники равны, если у них равны два угла и сторона между ними.  
  Третий признак равенства треугольников:  
  треугольники равны, если у них равны три стороны.  
  

• 89 слайд

  Признаки равенства прямоугольных треугольников.
  
  1. По двум катетам.
  
  
  2. По катету и гипотенузе.
  
  
  3. По гипотенузе и острому углу.
  
  
  4. По катету и острому углу.
  
  

• 90 слайд

  Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё.
  Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
   
  Следствие 2.  В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
   
  Следствие 3.  В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
   
  Следствие 4.  В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.
   
  Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  
  Сумма углов треугольника равна 180°.
  

• 91 слайд

  Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
  
  Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.
  
  
  1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
  3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
  4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.
  
  

• 92 слайд

  Неравенство треугольника и следствия из него.
  
  1. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.
  2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.
  3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
  4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
  5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
  
  

• 93 слайд

  Средняя линия треугольника.
  
  Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
  
  
  Свойства средней линии треугольника
  Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине. Например, на рисунке  
  В любом треугольнике три средних линии, при пересечении которых образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.
  Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  
  

• 94 слайд

  Теоремы о медианах треугольника.
  
  Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  
  
  
  
  
  Свойства медиан треугольника
  Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
  Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, начиная от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.
  В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.
  

• 95 слайд

  Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
  
  Серединный перпендикуляр треугольника – это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника.
  Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.
  Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.
  Свойства срединных перпендикуляров треугольника:
  Любая точка серединного перпендикуляра к стороне равноудалена от концов этой стороны.
  Любая точка, равноудаленная от концов стороны, лежит на серединном перпендикуляре к ней.
  Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
  
  

• 96 слайд

  Теорема о высотах треугольника.
  
  
  Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
  Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) для краткости называют ортоцентром треугольника.
  

• 97 слайд

  Теорема о пересечении биссектрис треугольника
  
  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  

• 98 слайд

  Свойство биссектрисы треугольника.
  
  
  Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
  
  
  Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому
  

• 99 слайд

  Признаки подобия треугольников.
  
  I. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  Если ∢B=∢E и ∢C=∢F, то ΔABC∼ΔDEF.
  II. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  Если AB\DE=AC\DF и ∢A=∢D, то ΔABC∼ΔDEF
  III. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
  Если AB\DE=BC\EF=ACDF, то ΔABC∼ΔDEF.
  
  
  

• 100 слайд

  Площади подобных треугольников.
  
  Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  Доказательство. Обозначим через S и S1 площади треугольников ABC и  A1B1C1  с коэффициентом k подобия . Так как угол A=А1 , то
  S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1
  Из свойств подобных треугольников следует, что АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k.
  Тогда
  S/S1 = k2
  Теорема доказана.
    
  
  

• 101 слайд

  Прямоугольный треугольник.
  
  Прямоугольный треугольник - треугольник, у которого один из углов– прямой = 90∘​​.
  a, b - катеты
  c - гипотенуза
  В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.
  Признаки подобия прямоугольных треугольников:
  одному острому углу:   α= α​1​​ или ∠β=∠β1
  из пропорциональности двух катетов: a\a1=b\b1 ,a​1\​​​​a​​=​b​1\​​​​b​​
  из пропорциональности катета и гипотенузы: a\a1=c\c1, a​1​​​​\a​​=​c​1​​​​\c​​ или b\b1=c\c1, ​b​1\​​​​b​​=​c​1\​​​​c​​.
  
  
  

• 102 слайд

  Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
  Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α=a\c,  sin β=b\c
  Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α=b\c,  cos β=a\c
  Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tgα=a\b,  tgβ=b\a
  Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgα=b\a,  ctgβ=a\b
  

• 103 слайд

  Теорема Пифагора.
  
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^​2​​+b^​2​​=c^​2​​.
  

• 104 слайд

  Метрические соотношения в треугольнике.
  
  1. Теорема синусов
  
  2. Теорема косинусов
  
  
  
  
  
  3. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
  
  

• 105 слайд

  Формулы площади треугольника.
  Пусть дан треугольник , r и R — радиусы его вписанной и описанной окружностей (соответственно),   — полупериметр.
  
  
  
  
  
  5. Формула Герона: 
  

• 106 слайд

  Параллелограмм.
  
  Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
  Свойства и признаки параллелограмма.
  1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
  2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
  3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
  4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
  5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  
  

• 107 слайд

  а, b — стороны;
  h — расстояние между сторонамиb;
  α — угол параллелограмма;
  D1, D2 — диагонали;
  γ — угол между диагоналями.
  
  

• 108 слайд

  Прямоугольник.
  
  Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
  Свойства и признаки прямоугольника.
  1. Диагонали прямоугольника равны.
  2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
  Формула для вычисления площади прямоугольника:  
  Формула для вычисления периметра прямоугольника:  
                                                
  
  Формула для вычисления диагонали прямоугольника:  
                                                
  
  
  

• 109 слайд

  Квадрат.
  
  Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
  S - площадь квадрата
  a - длина стороны квадрата
  d - длина диагонали квадрата
  P - периметр квадрата
  

• 110 слайд

  Ромб.
  
  Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.
  Свойства и признаки ромба.
  1. Диагонали ромба перпендикулярны.
  2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
  3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
  4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
  5.Стороны ромба равны.
  
  a — сторона;
  α — угол ромба;
  D1, D2 —диагонали.
  
  Р=4а
  

• 111 слайд

  Трапеция.
  
  Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
  Средняя линия трапеции.
  Равнобедренная трапеция.
  Площадь и периметр трапеции.
  
  
  

• 112 слайд

  Средняя линия трапеции.
  
  1. Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полу- разности её оснований.
  Формула средней линии трапеции через основания
  b - верхнее основание
  a - нижнее основание
  m- средняя линия
   
  Формула средней линии, (m ):
  
  

• 113 слайд

  Равнобедренная трапеция.
  Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
  1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
  2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
  
  

• 114 слайд

  Площадь и периметр трапеции.
  
  а, b — основания;
  с, d — боковые стороны;
  D1, D2 — диагонали;
  α — угол между диагоналями;
  m — средняя линия;
  h — высота.
  
  

• 115 слайд

  Подобные фигуры
  
  
  Подобные фигуры — фигуры, у которых можно сопоставить точки таким образом, что для любой пары точек A и B первой фигуры и соответствующих им точек A1​ и B1​ второй фигуры выполняется соотношение AB=k⋅A1​B1​, где k— некоторая постоянная величина. Величина k называется коэффициентом подобия.
  Свойства подобных фигур
  Соответствующие углы подобных многоугольников равны;
  Площади подобных фигур отличаются в k^2 раз, то есть S=k^2⋅S1​.
  
  
  
  

• 116 слайд

  Правильный многоугольник.
  
  Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. 
  
  Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.
  Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.
  
  Свойства правильного многоугольника.Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают
  Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.
  Сторона an правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой an=2Rsin180∘n=2Rsinπnan=2Rsin180∘n=2Rsinπn.
  Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.
  
  

• 117 слайд

  Формулы
  
  Пусть R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен r=R⋅cosπnr=R⋅cosπn, а длина стороны многоугольника равна a=2R⋅sinπna=2R⋅sinπn.
  
  Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны a составляет S=n4a2⋅ctgπnS=n4a2⋅ctgπn.
  
  Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R составляет S=n2R2⋅sin2πnS=n2R2⋅sin2πn.
  Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r составляет S=nr2⋅tgπnS=nr2⋅tgπn.
  
  

• 118 слайд

  Окружность.
  
  Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удалённых отданной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.
  1.Касательная к окружности.
  2. Углы, связанные с окружностью.
  3. Свойство хорд окружности.
  4. Вписанные и описанные окружности.
  5. Формулы площади и длины окружности.
  

• 119 слайд

  Касательная к окружности.
  
  Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
  1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  2. Если прямая о, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая а — касательная к окружности.
  3. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности в точках В и С, то АВ= АСи ∠ВАО = ∠САО, где точка О — центр окружности.
  4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
  
  

• 120 слайд

  Углы, связанные с окружностью.
  
  1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
  LO=AB
  2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
  LD=1/2AB
  3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  4. Углы, опирающиеся на диаметр окружности , равны 90 градусов.
  

• 121 слайд

  Свойство хорд окружности.
  
  Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ ∙ ЕВ = СЕ ∙ED .
  
  

• 122 слайд

  Вписанные и описанные окружности.
  1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
  2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — это середина гипотенузы.
  3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
  4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
  5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
  6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
  7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону
  8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
  
  Вписанная
  окружность
  Описанная
  окружность
  

• 123 слайд

  Формулы площади, периметра и длины окружности.
  
   S - площадь круга
  π - число пи (3.1415)
  R - радиус круга
  
  L- длина окружности
  D- диаметр