Статья на тему:"УЧЕБНЫЕ ЗАТРУДНЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ИНТЕГРАЛ» И ПУТИ ИХ ПРЕОДОЛЕНИЯ."

УЧЕБНЫЕ ЗАТРУДНЕНИЯ УЧАЩИХСЯ      ПРИ  ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ИНТЕГРАЛ»

    И ПУТИ ИХ ПРЕОДОЛЕНИЯ.

«В сердце каждой трудности кроется возможность.»

 Альберт Эйнштейн

 Вопрос о том, как преодолевать  математические трудности учащихся при изучении в школе элементов математического анализа постоянно находится в зоне повышенного внимания педагогической общественности.

Необходимо организовать учебный процесс так, чтобы каждый ученик имел возможность выявить свои успехи и трудности в учебной деятельности, их причины, осуществлять коррекцию возникающих ошибок, преодолеть встретившиеся затруднения, в системе деятельности обогатить собственный опыт. В этих условиях является вполне закономерным переход от традиционного средства управления учебной деятельностью в виде «контроля и учета знаний и умений учащихся», к внедрению в педагогический тезаурус категории «диагностика» как способа перманентного отслеживания всех изменений, которые происходят в  учебном процессе. На это указывают многие авторы, в том числе Кваша  О.В. (9). В своей работе она отмечает, что при таком понимании диагностики ключевую роль в ее реализации должен играть не только и не столько учитель, сколько сам учащийся как полноправный соучастник учебного процесса.

  Существенные исследования по проблеме диагностики знаний и развития учащихся проведены в области психологии и педагогики (Беспалько В.П., Загрекова Л.В., Ингенкамп К., Каган В.И., Карпова Г.А., Климова Т.Е., Кочетов А.И., Подласый И.П., Пидкасистый П.И., Симонов В.П., Сычеников М.А.и др.). Различные аспекты диагностики математических знаний и развития затрагиваются в ряде методических исследований (Ганеев Х.Ж., Груденов Я.И., Епишева О.Б., Иванова Т.А., Кваша О.В., Колягин Ю.М, Крупич В.И., Малова И.Е., Манвелов С.Т., Перевозчикова Е.Н., Родионов М.А., Розанова С.А., Саранцев Г.И., Столяр А.А. и др.), авторы которых в контексте деятельностного подхода ставят и решают проблему управления процессом обучения действиям, адекватным этапам формирования основных элементов математического содержания, в том числе диагностики качества их овладения учащимися. Таким образом, можно говорить о возможности для перехода на принципиально новый для методической науки уровень решения затронутой проблемы, который характеризуется принятием роли субъекта диагностики самим обучаемым.

Особое значение данная проблема приобретает применительно к разделу «Интеграл», изучаемого в школе. Как показывает практика, число учащихся, испытывающих почти непреодолимые трудности при его изучении, с каждым годом растет. Сложность учебного материала по этой теме в значительной степени определяется числом реализуемых в процессе его изучения внутрипредметных и межпредметных связей.

 Среди основных причин, объясняющих затруднения учащихся при изучении темы «Интеграл», следует назвать ориентацию обучения, прежде всего на получение ответа в математическом задании, а не на овладение общими способами деятельности.  В результате такой ориентации несформированными и, следовательно, неприменяемыми являются умения учащихся разбивать конечную цель решения учебной задачи на ряд промежуточных, выбирать рациональные способы решения в контексте имеющегося целевого предписания; анализировать причины собственных удач и неудач в поисковой математической деятельности; самостоятельно находить и исправлять свои и чужие ошибки; осознавать истинный смысл вопроса учителя и отвечать именно на этот вопрос; формулировать свои вопросы и определять, в каком направлении можно применить приобретенные знания.

Практическая значимость темы определяется тем, что разработанные подходы к процессу изучения темы «Интеграл» в соответствии с требованиями, определяющими характер работы по преодолению учебных затруднений учащихся, могут быть непосредственно использованы в реальной учебной практике обучения математике  в школе с целью повышения качества базовых знаний и развития  учащихся.

При рассмотрении вопросов по проблеме исследования были приняты  во внимание  статьи в различной методической литературе. А также материалы, предложенные в  сборниках научных работ, на различных Интернет-сайтах,  материалы конференций и  периодических печатных изданий.

 Трудности, возникающие у учащихся, могут быть рассмотрены в различных аспектах: и в социальном, и в педагогическом, и в субъективно-психологическом.
       В психологической литературе проблема трудностей анализируется достаточно широко, причем не только в негативном, но и в позитивном влиянии их на успеваемость учащихся.  Анализ психолого-педагогической литературы позволяет выделить следующие основные затруднения у учащихся, связанные с наличием пробелов в фактических знаниях и специальных для данного предмета умениях, которые не позволяют охарактеризовать существенные элементы изучаемых понятий, законов, теорий, а также осуществить необходимые практические действия;

наличием  пробелов в навыках учебно-познавательной деятельности, снижающих темп работы настолько, что ученик не может за отведенное время овладеть необходимым объемом знаний, умений, навыков;

  недостаточный уровень развития и воспитанности личностных качеств, не позволяющий ученику проявлять самостоятельность, настойчивость,
организованность и другие качества, необходимые для успешного учения.
Проведённый анализ психолого-педагогической литературы позволяет выделить следующие группы затруднения учащихся:

   І. Затруднения психологического характера.

1. Затруднения, связанные с тем, что    все учащиеся представляют собой неоднородную группу. Форма презентации учебного материала по-разному влияет на успешность усвоения знаний разными учащимися .

 Затруднения, связанные с тем, что ученик имеет отрицательные черты характера( отвлекается в те моменты работы когда требуется напряжение мысли, идет объяснение сложного материала )

       ІІ. Общеучебные затруднения.

 Ученик затрудняется за отведенное время овладеть необходимым объемом знаний, умений, навыков из-за наличия пробелов в навыках учебно-познавательной деятельности. Ученик затрудняется в воспроизведении теоретических положений, воспринятых из рассказа учителя или из текста учебника. Ученик не может ответить на вопросы учителя, выделить главное, определить части изложения, оценить правильность рассказа товарища, правильность его ответов на вопросы.  Ученик не замечает ошибок.. Затруднения, связанные с тем, что ученик    не стремится получать новые знания теоретического характера: не ищет и с людьми, которые могли бы ему в этом помочь, не слушает научно-популярные передачи, не смотрит научно-популярные фильмы, телепередачи, не стремится совершенствовать умения, навыки, избегает трудностей творческой деятельности,равнодушен к своим успехам - неудачам, не может или не хочет дать оценку качества своей работы.Т.е. не сформированы унив уч дейст.

         ІІІ. Математические затруднения.

Ученик  испытывает трудности в применении формулы, не может применить формулировку для решения задачи нового типа; самостоятельно проанализировать данные, составить план решения задачи; определить, в чем трудность задачи (увидеть проблему); не может сказать, какое новое знание получено в результате решения задачи.

  Рассмотренная литература позволяет выделить учебные затруднения учащихся, объясняет  причины  возникающих затруднений у учащихся, но  пути преодоления возникающих учебных затруднений  практически не указывает.

Сложные темы характерны тем, отмечает Гуревич В.Ю.(10), что для осознанного изучения и  применения полученных  знаний надо использовать больший объём учебного материала, рассматривавшегося не только на предыдущих уроках, но и задолго до изучения данной темы. Другими словами, сложность учебного материала в значительной степени определяется числом реализуемых в процессе его изучения внутрипредметных и межпредметных связей. Гуревич В.Ю.(10) отмечает, что тема «Интеграл» является одной из сложных тем школьного курса  математики, и требует специальной подготовки учащихся к восприятию и усвоению. Он предлагает следующие рекомендации для учителя, направленные на уменьшение трудностей, возникающих у учащихся при изучении сложных тем, в частности, при изучении темы «Интеграл»:

1.Учителю необходимо заблаговременно выявить (составить список определений, понятий, теорем, формул) те из приобретённых ранее знаний, которые будут использованы при изучении данного материала. Эту работу надо делать за один или два урока до  изучения материала.

2. Необходимо провести актуализацию знаний. Элементы знаний, которые изучались на предыдущем уроке, могут быть актуализированы в процессе опроса, проверки домашнего задания, фронтальной беседы с классом. А те элементы знаний, которые изучались не на предыдущем уроке, могут быть актуализированы одним из способов: в домашнее задание к данному уроку включается повторение необходимых элементов знаний при условии, что это не приводит к перегрузке учащихся. Или  необходимые элементы знаний напоминает учитель.

3. Конкретизация знаний. Некоторые из актуализируемых элементов знаний могут применяться в ситуациях, в которых они прежде не применялись. Поэтому их надо применить в условиях, близких к тем, в которых они будут использованы. Например, при доказательстве  теоремы о площади криволинейной трапеции используется понятие приращения функции. Здесь это понятие рассматривается как площадь некоторой геометрической фигуры, а ранее оно вводилось как изменение ординаты точки графика функции. Поэтому понятие приращения функции  необходимо конкретизировать в тех условиях, в которых оно будет использовано на  уроке.

В результате актуализации и конкретизации появляется возможность организовать изучение материала при высокой степени активности учащихся: направить их мысль на  самостоятельное открытие свойств рассматриваемых объектов, выдвижение гипотезы, формулирование теоремы и доказательство этой теоремы.

4. Расчленять учебный материал на логически завершённые части, если материал отличается большим объёмом. Результатом рассмотрения каждой части должен быть вывод.

Одна из трудностей, возникающих у учащихся, при изучении математики связана с тем, что школьники не умеют пользоваться учебной  литературой.

 Для учащихся с высоким качеством мыслительной деятельности и отрицательным отношением к учению ознакомление с биографическими данными, подлинниками математических трудов может дать толчок к самостоятельному творчеству и проявлению интереса к предмету.

 У Оганесяна В.А.(2) встречаем следующие рекомендации для учителя, связанные с формированием навыков у учащихся при  работе с учебной литературой:

1. Проводить анализ литературы с целью выявления соответствия изучаемой литературы познавательным интересам школьников.

Литература должна быть доступной, увлекать содержанием, стилем или новизной подхода к вопросу, расширять и углублять знания учащихся.

2. Систематически использовать дополнительную литературу в процессе обучения (на классных занятиях и в домашней работе учащихся);

3. Деятельность учителя по обучению учащихся общим приёмам работы с учебной литературой должна быть целенаправленной;

4. Постановка специальных заданий школьникам, требующих привлечение дополнительной  литературы и контроль за выполнением.

Здесь можно предложить  задания в форме вопросов. Например,

Найти определение неопределённого интеграла. Как, используя определение неопределённого интеграла  записать правила интегрирования?

Найти  в тексте, как иначе называют формулу?

Сравнить метод решения задачи с тем, который предложен в учебнике.

Найти в дополнительной литературе другой метод решения разобранной задачи. Подготовить доклад по прочитанному. Составить таблицу производных, схему вычисления площади криволинейной трапеции в зависимости от того как расположена ограничивающая её функция относительно оси Ох.

 Для преодоления трудностей. возникающих у слабоуспевающих учащихся, в связи с низким качеством их мыслительной деятельности, Мешкова С.М. Малова И.Е.(5),  предлагают следующие пути преодоления трудностей:

 1. Помочь ориентироваться в содержании школьного учебника. Для этого: обратить внимание на  вариативность условных обозначений, помочь сориентироваться в тексте, предложив рекомендации по работе с содержанием.  

2. Обеспечить успешность обучения. Для этого:

Использовать задания на пошаговую отработку умений.

Включение пропусков в примеры-образцы.

Мотивация содержания и способов деятельности с ними через пояснения, почему именно это содержание, именно эти способы деятельности.

Представление информации разными способами.

Оказать помощь, используя приём затребованной помощи. Этот приём позволяет преодолеть учащимся затруднения на этапах: анализа условия задания, поиска способа его выполнения, составление плана решения, оформления решения. Суть приёма в том, что по запросу учащегося учитель предоставляет ему в письменном виде рекомендации для осуществления соответствующего этапа деятельности, а затем карточку для самопроверки выполнения данных ему рекомендаций.

   3) Включить в активную мыслительную деятельность. Сопоставлять прошлый опыт и изменённую ситуацию, через вопросы: Что общего? Чем отличаются? Как это различие повлияет на решение? Предложить учащимся самим сделать выводы, а потом сравнить их с выводами, предложенными в учебнике. Предложить учащимся поставить вопросы к теме до её изучения. Обсуждение различных способов решения одной задачи.

  4) Повысить интерес к изучению, начиная изучение с проблемного вопроса или проблемной ситуации. Через использование эпиграфов и цитат. Установить связь изучаемого материала с жизнью. Использовать задания с игровыми элементами.

Как преодолевать трудности, возникающие при изучении темы «Интеграл»? Думаю, что на трудных моментах стоит подробнее останавливаться, не дожидаясь,  когда у детей возникнут  затруднения. Ведь часто учитель из собственного опыта знает сложности рассматриваемого материала. Так почему же в этом месте не обратить внимание учащихся  на возможные затруднения? Так  поступают авторы многих методических пособий. Рассмотрим  некоторые приводимые рекомендации.

  Авторы: Денищева Л.О., Дудницин Ю. П. (1) предлагают для того, чтобы включить учащихся в активную мыслительную деятельность:

1. Приступая к изучению темы «Интеграл» повторить уже известные учащимся формулы дифференцирования (степенной функции, квадратных корней, тригонометрических функций).

2. При введении понятия первообразной необходимо рассмотреть пример из механики, приводящий к этому понятию. Это не случайно: приложения дифференциального и интегрального исчислений  в физике, и в частности в механике, играют большую роль. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, полезно сделать следующее замечание.       

  Тесную связь понятий производной с механикой подчёркивает механический смысл производной: если задана координата точки как функция от времени (при движении точки по прямой), то скорость точки есть не что иное, как производная координаты по времени, а ускорение-производная скорости по времени. Однако для механики такая ситуация не типична. Обычно законы механики позволяют определить силу, действующую на тело а, следовательно, и ускорение в каждый момент времени. Таким образом, приходится решать обратную задачу: по известному ускорению найти скорость и координату точки. В таком виде решения, естественно, неоднозначно, и приходится задавать некоторые дополнительные условия. Обычно это координата и скорость точки, в какой либо момент времени, после задания, которых решение становится однозначным.

При этом решается задача: по известной производной найти функцию. При решении подобных задач используется операция интегрирования - нахождение функции по её производной.

  3. На этапе усвоения понятия первообразной следует обратить внимание учащихся на то, что первообразная для функции задана на промежутке, на котором определена заданная функция, причём первообразная этой функции дифференцируема в каждой точке этого промежутка. При выполнении упражнений на проверку условия, является ли функция F для функции f на заданном промежутке первообразной, достаточно проверить равенство F’(x) =f(x) почти во всех упражнениях задаётся промежуток, на котором это равенство выполняется. Поэтому не следует каждый раз обсуждать целесообразность выбора этого промежутка. Однако при выполнении некоторых упражнений это полезно сделать. При формировании у учащихся умения определять, является ли функция F для функции f на заданном промежутке следует привести пример о том, что функция  не является первообразной для функции : равенство  F’(x) =f(x) не выполняется в точке π.

Рыжик В. И.(4)предлагает свой способ борьбы с учебными затруднениями, он предлагает учить на ошибках. При обучении он «допускает» те ошибки, на которые хочет обратить внимание детей. Он отмечает, что ученики бывают чересчур доверчивые к тому, что говорят учителя. От такой доверчивости рождается невнимательность, порой безразличие. Как этого избежать? Вот некоторые рекомендации:

1. «Доказать» неверное утверждение. Найдём интеграл на таком промежутке, где подынтегральная функция имеет разрыв:

              .

2. Получить верный результат, но с ошибкой.

   3. Привести рассуждение, содержащее некоторые пробелы, которые надо восполнить.

  4. Предложить  возможность получения разных ответов при решении одного и того же задания. Провести работу, чтобы убедиться в идентичности полученных результатов.

  5. Проводить работу с определением. Иногда имеет смысл давать его не сразу же в окончательном виде. Пример такой работы при формировании понятия криволинейной трапеции встречаем у Маловой И. Е., Гороховой С.К.и др.(6):

На этапе введения определения обращают внимание учащихся на то, что термины площадь и трапеция им уже известны. Учащимся предлагают вспомнить, что они знают о трапеции. После этого сообщают, что в алгебре рассматриваются трапеции, расположенные определённым образом относительно системы координат, это даёт возможность через связь с прошлым установить место новому в системе старых  знаний.   

Будет ли четырёхугольник, у которого одна сторона лежит на оси ОХ,  две другие – ей перпендикулярны, а четвёртая сторона – в верхней полуплоскости трапецией? Этот вопрос позволяет выделить признаки объекта данного класса. После этого ученики уже могут сами ответить на вопрос:

Какую фигуру можно назвать криволинейной трапецией?

Такая работа на данном этапе позволяет создать условия для активной деятельности, грамотная постановка вопросов и мотивация учащихся учащиеся позволяет избежать математических затруднений в учебной деятельности.

    На этапе усвоения  определения необходимо предложить учащимся определить по чертежу, является  ли фигура криволинейной трапецией. При составлении примеров исключаются существенные  и варьируются несущественные признаки. Аргументируя свой ответ, ученики осваивают признаки понятия, что предотвращает возникновение трудностей.

 Для предупреждения трудностей, связанных с изучением теоремы о площади криволинейной трапеции учитель Козырева Л.Г.(6) рекомендует работу с теоремой проводить по методике: 

   На подготовительном этапе предлагает актуализировать знания, провести мотивацию. Гуревич В.Ю.(11) предлагает актуализировать и конкретизировать следующие элементы знаний:

•  приращение аргумента, приращение функции;

•  определение производной;

•  определение функции непрерывной в точке;

•  определение первообразной функции;

•  основное свойство первообразной;

•  определение интеграла;

•  предварительный результат рассмотрения задачи о площади криволинейной трапеции, заданной функцией на отрезке.

   Мотивом может служить тот факт, что мы познакомились с понятием криволинейной трапеции, но как определить её площадь,  ещё не знаем.

На этапе введения  теоремы чётко выделять этапы доказательства. Для рассматриваемой теоремы их выделяет Козырева Л.Г.(6)

1.Ввели новую функцию S(x) на  [a;b].

2. Доказали, что S’(x)=f(x), используя определение производной и заменив криволинейную трапецию прямоугольником той же площади.

3. Записали S(x)через F(x)+C, используя основное свойство первообразной, и нашли  C из того, что S(a)=0.

4. Нашли S из того, что   S=S(b).

Очень важно, чтобы каждая задача рассматривалась в тот момент учебного времени, которому соответствует её дидактические функции. Это способствует закреплению изучаемого теоретического материала посредством практического его применения, обучению решать задачи                                                                                        

Выявление путей преодоления обозначенных трудностей очень важно, так как выявленные затруднения могут возникнуть у учащихся при изучении любой темы и не только на уроках математики. Я представлю рекомендации по  преодолению выявленных учебных  затруднений учащихся при изучении темы «Интеграл». Результат оформлю в таблицах :

 Таблица1.Трудности, испытываемые  учащимися при изучении темы «Интеграл» и пути их преодоления, выделенные в методической литературе.

Трудности, возникающие у учащихся при  изучении темы «Интеграл»

Пути преодоления этих трудностей.

1.Трудности при восприятии понятия первообразной. Учащиеся не понимают, зачем изучается тема. 2.Трудность с выбором промежутка, на котором определена первообразная. 3.Затрудняется в воспроизведении теоремы, в частности, теоремы о площади криволинейной трапеции. 4. Трудности связные с вычислением определённого Интеграла, если подынтегральная функция задана графиком.

Подчеркнуть тесную связь механики с производной: если задана координата точки как функция от времени (при движении точки по прямой), то скорость точки есть не что иное, как производная координаты по времени, а ускорение-производная скорости по времени. Однако для механики эта ситуация не типична. Обычно законы механики позволяют определить силу, действующую на тело, а следовательно и ускорение в момент времени. Таким образом, приходится  решать обратную задачу: по известному ускорению найти скорость и координату точки. При этом решается задача: по известной производной найти функцию. При решении подобных задач используется операция интегрирования-нахождения функции по её производной.                                                                              Следует обратить внимание учащихся на : 1)первообразная для функции f задана на промежутке, на котором определена функция f, причём первообразная F дифференцируема в каждой точке этого промежутка. 2)при решении упражнений на проверку выполняется ли равенство F’(x)=f(x),(в упражнениях на определение является ли F первообразной для функции f)как правило, указывается промежуток, на котором выполняется это равенство. 3)если F является первообразной для f на некотором промежутке I, то F является первообразной для f  и на любом промежутке, содержащимся в I . 4)если возникает необходимость рассмотреть первообразную функции на объединении нескольких промежутков, то надо иметь в виду, что на каждом из промежутков постоянная  С-своя. Например, первообразная для функции на множестве даётся формулой. где . Предложить воспроизвести теорему по этапам: 1.Ввели новую функцию S(x) на  [a;b]. 2. Доказали, что ,S’(x)=f(x), используя определение производной и заменив криволинейную трапецию прямоугольником той же площади. 3. Записали S(x)через F(x)+C, используя основное свойство первообразной, и нашли  C из того, что S(a)=0. 4. Нашли S,из того, что   S=S(b). По запросу учащегося, учитель может предоставить ему в письменном виде рекомендации для осуществления соответствующего этапа деятельности: а) Проанализируйте условие. Перечислите всё, что можно определить по предложенному рисунку. Что известно об искомом интеграле? Как связаны обнаруженные по рисунку данные и искомый интеграл? Что требуется в задании? б) Осуществите поиск решения. Как обычно находим значения определённого интеграла? (перечислите известные вам способы) Что необходимо знать? в) Составьте план выполнения задания. Затем, по запросу учащегося, учитель может предоставить ему в письменном виде рекомендации для карточку для самопроверки выполнения данных ему рекомендаций.

Таблица 2. Трудности, испытываемые  учащимися при изучении темы «Интеграл» и пути их преодоления, выявленные из практики обучения.

Трудности, возникающие у  учащихся при изучении темы «Интеграл».

Пути преодоления выявленных трудностей.

1. Нахождение первообразной  используя таблицу первообразных. Например, ученик не может решить пример:  найти первообразную функции   при 2. Путаются при обозначении первообразной, используют символ производной . 3. Сложно вычислять определённый интеграл.  Возникают вычислительные ошибки 4.Затрудняются  при построении графика подынтегральной функции. 5.Допускают ошибки в использовании аналогии. Находят первообразную от произведения функций, частного функций,  сложной функции по аналогии с нахождением производной произведения функций, частного функций, сложной функции. 6.Учащимся трудно находить объём тела вращения, если задана функция , а вращение происходит относительно оси ОУ. 7. Учащиеся затрудняются найти криволинейную трапецию, когда она задана различными кривыми линиями. 8. Учащимся трудно находить площадь криволинейной трапеции, когда она задана различными кривыми линиями.

Учителю при формировании умения находить первообразную с помощью таблицы первообразных подобрать пошаговые упражнения для отработки каждого этапа. Предложить следующий алгоритм по формированию умений нахождения первообразной, используя таблицу первообразных. 1.Классифицировать функцию. 2.С помощью преобразований привести заданную формулу к одному из видов, указанных в таблице. 3. Определить, сравнив полученное выражение с табличным, какие числовые  значения принимают параметры в составе табличной функции. Выписать результат. 4.Подставить найденные числовые значения в табличную формулу.  После введения определения первообразной и усвоения основного свойства первообразной, ввести понятие неопределённого интеграла, как совокупности всех первообразных функции. Позже удобно записать правила интегрирования : Проводить пошаговый процесс вычисления определённого интеграла. 1.Найти . 2.Вычислить отдельно . 3.Найти разность. 1.Можно предложить составить шпаргалку графиков элементарных функций для последующего использования. 2.В некоторых примерах график подынтегральной функции можно не строить, когда можно определить, что функция принимает только положительные значения. Например, Найдите площадь фигуры, ограниченной  линиями . 1.Предложить сделать проверку, которая убеждает, что произведенное действие неверно. 2.Предложить преобразовать выражение, которым задана функция, с помощью формул или используя метод введения новой переменной. Например, при работе с заданием, вычислите интеграл: Необходимо преобразовать выражение, которым задана подынтегральная функция Предварительно, актуализировать знания об обратных функциях. Предложить действия по схеме : Найти функцию, обратную заданной. Найти новые пределы интегрирования. Решить задачу с новым условием. Использовать цветные иллюстрации или предложить применить штриховку. Предложить после построения фигуры пользоваться составленной ранее таблицей.

  Таблица   3.Трудности, возникающие у учащихся в процессе изучения математики.                                                                                                        

Затруднения, испытываемые при учении.   1.Затруднения, связанные с тем, что    все учащиеся представляют собой неоднородную группу. Форма презентации учебного материала по-разному влияет на успешность усвоения знаний учащимися с различными вариантами соотношения вербальных и невербальных компонентов в структуре их умственной деятельности. 2.Не замечает ошибок в этом. 3. Ученик затрудняется за отведенное время овладеть необходимым объемом знаний, умений, навыков из-за наличия пробелов в навыках учебно-познавательной деятельности. 4. Ученик затрудняется в воспроизведении теоретических положений, воспринятых из рассказа учителя или из текста учебника. Ученик не может ответить на вопросы учителя, выделить главное, определить части изложения, оценить правильность рассказа товарища, правильность его ответов на вопросы.     5. Ученик  испытывает трудности в применении формулы, не может применить формулировку для решения задачи нового типа; самостоятельно проанализировать данные, составить план решения задачи; определить, в чем трудность задачи (увидеть проблему); не может сказать, какое новое знание получено в результате решения задачи.     6. Затруднения, связанные с тем, что ученик    не стремится получать новые знания теоретического характера: не ищет и с людьми, которые могли бы ему в этом помочь, не слушает научно-популярные передачи, не смотрит научно-популярные фильмы, телепередачи, не стремится совершенствовать умения, навыки. 7.Затруднения, связанные с тем, что ученик избегает трудностей творческой деятельности, пассивен при столкновении с ними, неохотно принимается за выполнение сложных упражнений, решение нетиповых задач и, если для этого имеется возможность, выбирает более легкую задачу.  8. Затруднения, связанные с тем, что ученик отвлекается в те моменты работы, когда требуется напряжение мысли, идет объяснение сложного материала.  9. Затруднения, связанные с тем, что ученик  не стремится к оценке своих достижений, равнодушен к своим успехам - неудачам, не может или не хочет дать оценку качества своей работы.

Пути их преодоления. Презентация  учебного материала должна вестись с учётом различных способов кодирования информации (соединять слово-образ-действие). Учить школьников осуществлять самодиагностику своей учебной деятельности. Обучать способам учебной деятельности. Необходимо организовать обучение учащихся соответствующим приёмам работы. Обучать их  самостоятельно находить адекватные способы деятельности. Обогатить опыт учащихся ориентировочными основами соответствующей деятельности. Мотивировать учащихся на перечисленные виды деятельности. С помощью дидактических средств определённого характера обеспечить успешность соответствующей деятельности. Проводить психологические тренинги. Демонстрировать, что любое выполненное дело обогащает личный опыт учащихся.

 ЛИТЕРАТУРА.

1 Алимов Ш.А., Колягин Ю.М.и др.Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11кл. общеобразоват. учреждений. М.20005.

2. Гуревич В.Ю., Сорокин Б.В., Абрамович А.И. Изучение  сложных тем школьного курса математики. Минск,1985.  

3.Денищева Л.О.,Дудницын Ю.П. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя. М.1988.

4.Журнал «Профильная школа»№3’2007(24).

 5. Журнал «Математика в школе»№6(2002).

6.Кваша О.В.Методика учебной диагностики при личносто ориентированном обучении учащихся математике: Автореферат диссертации кандидата педагогических наук.Орёл,2006.

7. Е.И.Лященко, К.В.Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. М. 1988.

8. Максименко Л.И. Особенности умственной деятельности младших подростков, испытывающих трудности в учении. с.3-17 .WWW nauka-chop.com.

9. Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А., Яцковская Г.А. Система профессиональной подготовки учителя старшей школы при изучении курса методики преподавания математики. Брянск,2002.

 10. Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А., Яцковская Г.А. Система профессиональной подготовки учителя основной школы при изучении курса теории и методики обучения математики. Брянск,2003.

 11. Мешкова С.М., Малова И.Е.Организация работы со слабоуспевающими учащимися на уроках математики. Сборник студенческих научных работ.Вып.6. Брянск:РИОБГУ,2007. с.39-42.

 12 .В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин и др. Методика преподавания математики в средней школе. М.1980.

      13. Рыжик В.И. 30000 уроков математики. М.2003.

      14.Ягова Е.Ю.Формирование самодиагностических умений студентов технических специальностей вузов в процессе обучения математике.с.3-17. WWW planetadisser. com/

    15.Дипломная работа  Будариной А. Ю. (руководитель: Малова Ирина Евгеньевна) по теме:«Учебные затруднения учащихся при изучении темы  «Интеграл» и пути их преодоления»