Урок по теме "Системы счисления".

• 1 слайд

  Греческая система счисления
  Римская система
  счисления
  Цифры Майя
  

• 2 слайд

  За­да­ние 1 № 107 (ЕГЭ-2016). Сколько зна­ча­щих нулей в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­го числа 222? 
  За­да­ние 1 № 111. (ЕГЭ- 2016) Дано: а = 7016, b = 1568 Какое из чисел с, за­пи­сан­ных в дво­ич­ной си­сте­ме, от­ве­ча­ет усло­вию b < с < a?
  За­да­ние 1 № 7661. Ука­жи­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное вось­ме­рич­ное число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит 5 еди­ниц. В от­ве­те за­пи­ши­те толь­ко само вось­ме­рич­ное число, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния ука­зы­вать не нужно.
  
  
  Системы счисления. Решение заданий ЕГЭ
  

• 3 слайд

  Система счисления – это система, в которой приняты определенные правила записи чисел. Знаки. При, помощи которых записываются числа, называются ЦИФРАМИ, а их совокупность – АЛФАВИТОМ системы счисления.
  Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
  В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
  В позиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
  Виды систем счисления.
  

• 4 слайд

  Пример 1 : Римская система счисления
  1I
  5V
  10X
  50L
  100C
  500D
  1000M
  Данная система является непозиционной, так как каждый ее эквивалент не зависит от ее положения в записи числа. I=1, II=1+1=2, IV=5-1=4. Каждое число это сумма или разность остальных чисел.
  
  
  Примеры:
  Пример2: Арабская система счисления
  
  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 - записана 10 цифрами,
  но 10- это 1 десяток и 0 играет
  большую роль. 10>0, 10>1
  

• 5 слайд

  В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
  Аq=(аn-1*qn-1+ аn-2*qn-2+ аn-3*qn-3+… а0*q0+ а-1*q-1+ аn-m*qn-m).
  Где:
  А- число
  q – основание системы
  аi – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления
  n- количество целых разрядов
  m – количество дробных разрядов
  qi - «вес i-го разряда»
  Пример: 123,5=1*102+2*101+3*100+5*10-1
  
  Запись чисел в позиционной системе счисления
  

• 6 слайд

  В зависимости от основания - системы счисления могут быть:
  Двоичная - включают набор цифр 0 и 1; основание 2
  Восьмеричная - включают набор цифр 0,1,2,3,4,5,6,7; основание 8
  Десятичная - включают набор цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; основание 10
  Шестнадцатеричная - включают набор цифр и букв 0-9 и A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15; основание 16
  
  Виды позиционных систем по основанию.
  

• 7 слайд

  Для того чтобы перевести из десятичной системы счисления в любую другую, надо это число поделить на основание системы с остатком. Деление продолжаем до тех пор, пока в частное не будет меньше основания системы. Выписываем последнее частное и все остатки
  Пример: 12910---А8
  129:8=16(ост.1) 16>8
  16:8=2 (ост. 0) 2<8
  А8=201
  
  Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую
  

• 8 слайд

  Переведите число 51610 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.
  51610=А2
  516:2=258(ост.0) 258>2
  258:2=129 (ост.0) 129>2
  129:2=64 (ост.1) 64>2
  64:2=32(ост.0) 64>2
  32:2=16 (ост.0) 16>2
  16:2=8 (ост.0) 8>2
  8:2=4(ост.0) 4>2
  4:2=2(ост.0) 2=2
  2:2=1(ост.0) 1<2
  А2=1000000100
  
  
  Тренировка.
  

• 9 слайд

  Переведите число 51610 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.
  51610=А8
  516:8=64 (ост.4)
  64:8=8 (ост.0)
  8:8=1(ост.0)
  А8=1004
  
  Тренировка
  

• 10 слайд

  51610=А16
  516:16=32(ост.4)
  32:16=2(сот. 0)
  А16=204
  
  Тренировка
  

• 11 слайд

  21=2 23=8 24=16
  
  Найдем закономерности между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.
  
  Пусть число записано в двоичной системе счисления. 101010. Его надо перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
  Тогда эту запись поделим по 3 разряда. Так как 23=8.
  Начнем с конца 101 010. Получим 101 и 010. Чтобы эти числа записать в восьмеричной системе счисления можно воспользоваться таблицей.
  
  

• 12 слайд

  Закономерности между системами счисления.
  101 и 010 - это соответственно 5 и 2.
  Так как 10 - это 010
  (впереди незначащий ноль)
  1010102=528
  
  

• 13 слайд

  Используя таблицу для 16 – ричной системы счисления, переведите 1010102 в шестнадцатеричную систему счисления.
  
  Тренировка
  Запись 101010 поделим на 4 разряда, начиная с конца. А впереди допишем нули.
  Получим: 0010 1010
  В итоге 1010102= 2А16
  
  

• 14 слайд

  Задание 1 № 107 (ЕГЭ-2016). Сколько значащих нулей в дво­ич­ной за­пи­си десятичного числа 222? 
  Решение:
  Переведем из 10-ой системы счисления в двоичную, разделив число 222 на 2.
  222:2=111(ост.0)
  111:2=55(ост.1)
  55:2=27(ост.1)
  27:2=13(ост.1)
  13:2=6(ост.1)
  6:2=3(ост.0)
  3:2=1(ост.1)
  В итоге 22210=110111102. Значит 6 единиц.
  
  Задания из банка ЕГЭ-2016
  

• 15 слайд

  За­да­ние 1 № 111. (ЕГЭ- 2016) Дано: а = 7016, b = 1568 Какое из чисел с, за­пи­сан­ных в дво­ич­ной си­сте­ме, от­ве­ча­ет усло­вию b < с < a?
  Решение:
  Запишем 7016 в двоичной записи используя таблицу:
  
  
  
  7 и 0 -это 111 и 0, но каждое из чисел должно содержать 4 разряда. Поэтому добавим незначащие нули. 111=0111, 0=0000. В итоге получим: 7016=011100002
  Запишем 1568 в двоичной записи используя таблицу:
  
  
  1 5 6- это 1 101 110. Но каждое из чисел должно содержать по 3 разряда. Добавим не значащие нули. 1=001, 101=101, 110=101. В итоге получим: 1558=00110111012. Сравним числа:
  11100002 >11011012. Прибавим 1 к 11011012, получим:1101110. Так как 1+1=210=102. Значит число: 11011102
  
  
  
  Задания из банка ЕГЭ-2016
  

• 16 слайд

  За­да­ние 1 № 7661. Ука­жи­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное вось­ме­рич­ное число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит 5 еди­ниц. В от­ве­те за­пи­ши­те толь­ко само вось­ме­рич­ное число, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния ука­зы­вать не нужно.
  Запишем 5 единиц. 111112. Поделим число на разряды по 3 единицы, начиная с конца и дописав незначащий ноль.
  
  
  Получим 011  1112=011 1112 = 378.
  
  Задания из банка ЕГЭ-2016
  

• 17 слайд

  За­да­ние 1 № 7749.Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­го числа 245?
  За­да­ние 1 № 8092. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си вось­ме­рич­но­го числа 17318?
  За­да­ние 1 № 6441. Дво­ич­ное число 110110 со­от­вет­ству­ет шест­на­дца­те­рич­но­му числу
  Проверка знаний
   Проверим решение:
  245:2=122(ост.1)
  122:2=61 (ост.0)
  61:2=30(ост.1)
  30:2=15(ост.0)
  15:2=7(ост.1)
  7:2=3(ост.1)
  3:2=1(ост.1)
  24510=111101012
  Ответ:6 единиц.
  Проверим решение:
  17318. разобьём на разряды по три цифры
  и добавим незначащие нули.
  18 =0012, 78=1112, 38=0112, 18= 0012.
  Получим:001111011001.
  Ответ:7 единиц
  Проверим решение задания №6441 :
  101102 разобьем на разряды по 4 единицы
  начина я, с конца и дописав незначащие
  нули.
  Поучим: 00012=116, 01102=616. В итоге: 1616
  

• 18 слайд

  Уметь переводить числа из десятичной системы счисления.
  Знать закономерность между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.
  Выполнить задания:
  За­да­ние 1 № 9352. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си шестнадцатеричного числа 12F016?
  За­да­ние 1 № 6559. Какое вось­ме­рич­но­е число со­от­вет­ству­ет дво­ич­ному числу 110101?
   
  
  Домашнее задание
  

• 19 слайд

  До скорых встреч.
  
  
  Спасибо за внимание.
  

Конспект урока на тему: «Системы счисления. Решение заданий ЕГЭ»

с. Рождествено, 2016 г

Автор: Илюхина Екатерина Викторовна. Учитель информатики МОУ «Рождественская СОШ» Первая квалификационная категория.

Тема урока «Системы счисления. Решение заданий ЕГЭ»

Цели урока:

Обучающие

·                     познакомить учащихся с понятием  «Система счисления», познакомить со способами решения заданий, связанных с разными системами счисления. Научить переводить числа из десятичной системы  в любую другую, а также сравнивать числа, записанных в различных системах счисления.

Воспитывающие

·                     прививать  интерес  к предмету;

·                     формировать  стремление  к самообразованию;

·                     воспитывать чувство коллективизма, взаимопомощи, ответственности.

Развивающие

·                     развивать  у учащихся  умение анализировать, обосновывать;

·                     развивать у учащихся  основы информационной культуры.

Задачи:

·                     Изучить тему «Системы счисления».

·                     Обеспечить проверку знаний по новой теме.

·                     Показать различные способы сравнения чисел, записанных  в разных системах счисления.

·                     Способствовать развитию анализа и синтеза в мышлении.

·                     Развивать  образное представление о числе и форме его записи.

Знания и умения:

·                     Знать понятия система счисления, основание системы счисления, виды систем счисления.

·                     Знать правила перевода из одной системы счисления в любую другую.

·                     Уметь переводить числа из разных систем счисления в заданную.

·                     Уметь пользоваться таблицей перевода чисел.

·                     Знать особенности перевода чисел из различных систем счисления.

·                     Уметь записывать числа в различных системах счисления.

·                     Уметь сравнивать числа.

Оборудование.

·                     Персональные компьютеры.

·                     Проектор

·                     Презентация

·                     Цветные маркеры.

·                     Презентация по теме.

·                     Пакеты заданий.

I. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята. Проверьте, все ли у вас на столе. Тетрадь, дневник, ручка, карандаш.

Посмотрите внимательно на доску. Как Вы думаете о чем речь пойдет на нашем занятии?

(Включаем презентацию. Слайд 1).  Правильно, речь пойдет о системах счисления. Сегодня мы познакомимся с понятием «Система счисления», научимся решать задачи, связанные с переводом чисел из одной системы счисления в другую.

 ( Слайд  2). Как мы видим есть отдельный блок заданий в ЕГЭ, посвященный  системам счисления. Для того, чтобы научиться выполнять задания такого характера, надо знать правила  перевода чисел и записи чисел в различных системах счисления.

(Слайд 3). Система счисления – это система, в которой приняты определенные правила записи чисел.  Знаки. При,  помощи которых  записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления.

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

В позиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры  зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

(Слайд 4)Пример: римская система счисления

1	I
5	V
10	X
50	L
100	C
500	D
1000	M

 Данная система является непозиционной, так как  каждый ее эквивалент не зависит от ее положения в записи числа. I=1, II=1+1=2, IV=5-1=4. Каждое число это сумма или разность остальных чисел.

Пример: арабская  система счисления

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9  - записана 10 цифрами, но 10- это 1 десяток и 0 играет большую роль. 10>0, 10>1

234 – это 2 сотни, 3 десятка, 4 единицы. Если цифры поменять местами , то число изменится.

(Слайд  5)В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

А_q=(а_n-1*q^n-1+ а_n-2*q^n-2+ а_n-3*q^n-3+… а₀*q⁰+ а_-1*q^-1+ а_n-m*q^n-m).

Где:

А- число

q – основание системы

 а_i – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления

n- количество целых разрядов

m – количество дробных разрядов

q_i - «вес i-го разряда»

Пример:

123,5=1*10²+2*10¹+3*10⁰+5*10^-1

(Слайд 6 ) В зависимости от основания - системы счисления могут быть:

Двоичная - включают набор цифр 0 и 1. Основание 2

Восьмеричная - включают набор цифр 0,1,2,3,4,5,6,7.  Основание 8

Десятичная - включают набор цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.  Основание 10

Шестнадцатеричная - включают набор цифр и букв 0-9 и A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15.  Основание 16

(Слайд 7) Правила перевода  чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

Для того чтобы перевести из десятичной системы счисления в любую другую, надо  это число поделить на основание системы с остатком.  Деление продолжаем до тех пор, пока в частное не будет меньше основания системы. Выписываем последнее частное и все остатки.

Пример: 129₁₀---А₈

129:8=16(ост.1)  16>8

16:8=2 (ост. 0)

А=201

(Слайд 8). Тренировка.

Переведите число 516₁₀ в двоичную,  восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

516₁₀=А₂

516:2=258(ост.0)  258>2

258:2=129 (ост.0)   129>2

129:2=64 (ост.1)   64>2

64:2=32(ост.0)   64>2

32:2=16 (ост.0)   16>2

16:2=8 (ост.0)  8>2

8:2=4(ост.0)   4>2

4:2=2(ост.0)   2=2

2:2=1(ост.0)  1<2

А₂=10001010100

(Слайд 9) 516₁₀=А₈

516:8=64 (ост.4)

64:8=8 (ост.0)

8:8=1(ост.0)

А₈=1004

(Слайд 10). 516₁₀=А₁₆

516:16=32(ост.4)

32:16=2(сот. 0)

А₁₆=204

(Слайд 11)Найдем закономерности между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

2¹=2

2³=8

2⁴=16

Пусть число записано в двоичной системе счисления. 101010. Его надо перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Тогда эту запись поделим по 3 разряда. Так как 2³=8.

 Начнем с конца   101  010. Получим 101 и 010. Чтобы эти числа записать в восьмеричной системе счисления можно воспользоваться таблицей.

А8	0	1	2	3	4	5	6	7
А2	0	1	10	11	100	101	110	111

(Слайд 12) 101 и 010  - это соответственно 5 и 2.

Так как 10 -  это 010 (впереди незначащий ноль)

101010₂=52₈

(Слайд 13) Используя таблицу для 16 – ричной системы счисления, переведите 101010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

А2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
А16	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Запись 101010 поделим на 4 разряда, начиная с конца. А впереди допишем нули.

Получим: 0010    1010. В итоге 101010₂= 2А₁₆

Решим задания из банка ЕГЭ -2016.

(Слайд 14)

Задание 1 № 107 (ЕГЭ-2016). Сколько значащих нулей в дво­ич­ной за­пи­си десятичного числа 222? 

Решение:

Переведем из 10-ой системы счисления в двоичную, разделив число 222 на 2.

222:2=111(ост.0)

111:2=55(ост.1)

55:2=27(ост.1)

27:2=13(ост.1)

13:2=6(ост.1)

6:2=3(ост.0)

3:2=1(ост.1)

В итоге  222₁₀=11011110_2. Значит  6 единиц.

(Слайд 15)

За­да­ние 1 № 111. (ЕГЭ- 2016) Дано: а = 70₁₆, b = 156₈ Какое из чисел с, за­пи­сан­ных в дво­ич­ной си­сте­ме, от­ве­ча­ет усло­вию b < с < a?

Решение:

Запишем 70₁₆ в двоичной записи используя таблицу:

А2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
А16	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

7  и   0  -это  111 и 0, но  каждое из чисел должно содержать 4 разряда. Поэтому добавим незначащие нули. 111=0111, 0=0000. В итоге получим: 70₁₆=01110000₂

Запишем 156₈ в двоичной записи используя таблицу:

А8	0	1	2	3	4	5	6	7
А2	0	1	10	11	100	101	110	111

1  5  6- это 1  101   110. Но каждое из чисел должно содержать по 3 разряда. Добавим не значащие нули. 1=001, 101=101, 110=101. В итоге получим: 155₈=0011011101₂. Сравним числа:

1110000₂ >1101101₂. Прибавим 1 к 1101101₂, получим:1101110. Так как 1+1=2₁₀=10₂. Значит число: 1101110₂

(Слайд 16)

За­да­ние 1 № 7661. Ука­жи­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное вось­ме­рич­ное число, дво­ич­ная за­пись ко­то­ро­го со­дер­жит 5 еди­ниц. В от­ве­те за­пи­ши­те толь­ко само вось­ме­рич­ное число, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния ука­зы­вать не нужно.

Запишем  5 единиц. 11111₂.  Поделим число на разряды по 3 единицы, начиная с конца и дописав незначащий ноль. Получим  011  111₂=011  111₂ = 37₈.

Проверка знаний:

За­да­ние 1 № 7749.Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си де­ся­тич­но­го числа 245?

За­да­ние 1 № 8092. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си вось­ме­рич­но­го числа 1731₈?

За­да­ние 1 № 6441. Какому шест­на­дца­те­рич­но­му числу соответствует дво­ич­ное число 110110?

 Проверим решение задания №7749 :

245:2=122(ост.1)

122:2=61 (ост.0)

61:2=30(ост.1)

30:2=15(ост.0)

15:2=7(ост.1)

7:2=3(ост.1)

3:2=1(ост.1)

245₁₀=11110101₂

Ответ:6 единиц.

Проверим решение задания №8092 :

1731₈. разобьём на разряды по три цифры и добавим незначащие нули. 1₈ =001₂,   7₈=111₂,  3₈=011₂,  1₈=  001₂. Получим:001111011001.

Ответ:7

Проверим решение задания №6441 :

10110₂ разобьем на разряды по 4 единицы начина я,  с конца и дописав незначащие нули.

Поучим: 0001₂=1₁₆, 0110₂=6₁₆. В итоге: 16₁₆

Подведение итогов.

Подведем итог нашего занятия, как вы думаете мы выполнили поставленные перед уроком цели? А какие они были?

Чем мы сегодня занимались? (проверили, проконтролировали себя).

Сегодня за урок получили оценки следующие учащиеся.

Домашнее задание посмотрите на экран и запишите.

Уметь переводить числа из десятичной системы счисления.

Знать закономерность между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Выполнить задания:

За­да­ние 1 № 9352. Сколь­ко еди­ниц в дво­ич­ной за­пи­си шестнадцатеричного числа 12F0₁₆?

За­да­ние 1 № 6559. Какое вось­ме­рич­но­е число со­от­вет­ству­ет дво­ич­ному числу 110101?

ЛИТЕРАТУРА:

1.                 http://www.tadviser.ru/index.php/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F:%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

2.                 Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник по информатике и ИКТ  9 класс (часть1.)

3.                 http://inf.reshuege.ru/