Урок по теме "Теорема Виета"

Теорема Виета

8 класс

По учебнику А. Г. Мордковича

Учитель математики

Е. Д. Богданова

МБОУ лицей №6

г. Данков

Тема: ТЕОРЕМА ВИЕТА.

ЦЕЛЬ УРОКА: 1. Открыть совместно с учащимися теорему Виета, доказать ее, научить применять  ее при решении приведенных квадратных уравнений.

2.Обучение умению   слышать, видеть, давать обоснования математическим фактам.

3.Развивать у учащихся интерес к истории математики.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, таблички для диктанта, карточки-задания.

Ход  урока.

I. Организационный момент.

Учитель проверяет готовность  учащихся к уроку.

II. Актуализация опорных знаний.

1)Цифровой диктант.

1.Квадратное уравнение- уравнение вида  ax²+bx+c=0, где a,b,c-любые действительные числа, причем  a0.

2.  4x²=0, x=.

3.Квадратное уравнение не имеет корней, если  a0.

4.Решить квадратное уравнение – это значит найти его корни или установить, что  корней нет.

5.Приведенным квадратным уравнением называется квадратное уравнение, если старший коэффициент отличен от единицы.

6.Корнем уравнения называется всякое значение переменной  x, при котором квадратный трехчлен ax²+bx+c обращается в нуль.

7.Неполное квадратное уравнение- уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов  b, c равен нулю.

8.Квадратное уравнение имеет два корня, если D0/

9.Дискриминант D=b²-ac.

10.Полное квадратное уравнение имеет один корень, если D=0.

Задания проецируются с помощью мультимедийного  видеопроектора, учащиеся заполняют таблички: если согласны с утверждением, то ставят единицу(1),если нет- нуль(0).В результате получится число. Все,  кто получил правильное число, получают балл за работу (для проверки число на экране 1001011101).

Фамилия, имя						Класс
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Примечание: поставить балл за правильное число.

2)Назовите коэффициенты и решите уравнения:

х²-7х+10=0;

х²-4х-21=0;

х²+11х-42=0.

Учащиеся решают уравнения, но долго. Учитель называет сразу корни каждого из уравнений, вызвав интерес у учеников. Задаются вопросы: Как ВЫ это делаете? Таким образом, создана проблема, которую постараемся на уроке разрешить.

III. Изучение нового материала.

1) Работа в группах.

Класс разбит на три группы, Учащиеся работают самостоятельно, а по одному ученику от группы -  у доски.

Задания:

Решите уравнение:

1 группа:   х²+5х-14=0;

2 группа    х²-2х+1=0;

3 группа     х²-0,3х-3,4=0.

Учащиеся сверили ответы с решениями на доске и все заполнили следующую таблицу.

Уравнение	Корни	х1+х2	х1х2
х2+5х-14=0;	х1=-7, х2=2	5	-14
х2-2х+1=0;	х1=-1,х2=+1	2	1
х2-0,3х-3,4=0.	х1=-1,7,х2=2	0,3	-3,4

Учащиеся делают вывод по таблице: сумма  корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, а произведение- свободному члену.

2) Немного истории (сообщение ученика)

Пусть вспомнится известный всем Виет, открывший формулу для уравненья.

Франсуа Виет (1540-1603)-знаменитый французский математик, по профессии был адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришел к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.

Виет никогда не прекращал адвокатской деятельности. Много лет был советником короля, постоянно был занят государственной службой. Несмотря на это, всю жизнь настойчиво и упорно занимался математикой и сумел добиться выдающихся результатов.

Виет впервые ввел буквенные обозначения, что существенно развило теорию уравнений. Свои выводы Виет сформулировал в виде теоремы и доказал ее. Он занимался не только алгеброй, но и геометрией и тригонометрией. Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой Виета».Применение этой теоремы позволит вам сэкономить время при решении уравнений, что немаловажно при сдаче экзамена в форме ЕГЭ. Да и в старшей школе имеются уравнения, которые быстро решаются по теореме Виета.

3)Доказательство теоремы Виета.

а) В учебнике А.Г.Мордковича учащиеся находят формулировку теоремы, уясняют, что дано и что надо доказать.

б) Доказательство разбивают на 4части и учащиеся по очереди выходят к доске и доказывают теорему, а остальные пишут в тетрадях доказательство.

в) первый ученик.

Дано: ax²+bx+c=0,

x₁ и x₂-корни.

Доказать:  ,

г) второй ученик

Доказательство.

D=b²-4ac 0,  , 

д) третий ученик

,

Первое соотношение доказано: .

е) четвертый ученик

Второе соотношение доказано: .

Теорема доказана.

4) Вопросы.

1. Как из полного квадратного уравнения получить приведенное?

2. Как запишется теорема Виета для приведенного квадратного уравнения?

После ответов учащихся на экране появляется слайд:

ax2+bx+c=0

x2+px+q=0 x1x2=q

Задание1. Угадываем корни а)  х²-14х+24=0,.  значит корни имеют одинаковые знаки, х₁+х₂=14, значит оба корня положительны. Подбором находим х₁=2, х₂=12.

б) х²+2х-8=0, , значит, корни имеют разные знаки, х₁+х₂=-2, значит, больший модуль имеет знак минус. Подбором находим  х₁=-4. х₂=2.

IV .Закрепление материала

1.Решите приведенные квадратные уравнения, используя теорему Виета - коллективно

а) х²-2х-24=0

 х₁+х₂=2, ,

х₁=-4, х₂=6.

б) х²-11х+24=0

х₁+х₂=11,  ,

х₁=3, х₂=8.

2.Работа по учебнику:  №29.7(а, б) и №29.8(а, б) -самостоятельно.

(Проверка решений  с помощью слайдов.)

№29.7 а)            б)

                           х₁+х₂= -3,                    х₁+х₂= 10

                  ,               

                  х₁ = -4, х₂ = 1.              х₁ = -1, х₂ = 11.

№29.8. а)         б)

                         х₁+х₂= -9                                    х₁+х₂= 15

                                     

                х₁ = -5, х₂ = -4.                х₁ = 3, х₂ = 12.

3.Работа  у доски с учащимися, слабо усвоившими тему:

1. х²-10х+16=0,

x₁=2, х₂=8.

2. х²-9х=20=0,

x₁=4, х₂=5.

3. х²+9х+18=0,

x₁=-6, х₂=-3.

4. х²-х-12=0,

x₁=-3, х₂=4.

5. х²-5х+6=0,

x₁=2, х₂=3.

4.Игра в «Домино».

Решите устно уравнения:

х = 2,х = 7

х = -18 ,  х = -2

х = 3, х = 2

х = -4, х = 2

х = 2, х = 6

х = -5, х = -2

х = -2,х=7

V. Рефлексия.

-Что понравилось на уроке?

-Что нового узнали на уроке?

-К какому этапу урока хотелось бы вам вернуться? В чем трудность?

VI. Подведение итогов.

Проверьте решение уравнения

x²-12х+35=0,

x₁+х₂=-12,

,

x₁=-5,х₂=-7.

Учащиеся находят ошибку: x₁+х₂=12 по теореме Виета, поэтому

x₁=5,х₂=7/

VII. Задание на дом:

п.29(теоремы1. и 5 с доказательством -для сильных учащихся)

№29.7 (в,г),№29.8(в,г) – задания для слабых учащихся.

№29.26 (в,г), №29.27, №29.31 – для сильных учащихся.

Всем учащимся в конце урока дарится опорный конспект «Квадратные уравнения».

Опорный    конспект :

КВАДРАТНЫЕ  УРАВНЕНИЯ.

О₁:   ax+b x +c=0 (a0) полное

О₂:     a-коэффициент, b-коэффициент,  c-свободное член

ВИДЫ:  полное   ax+b x +c=0             1x+p x+q=0

                              неприведенное          приведенное

               неполные  ax +b x=0

                                   ax+c=0

РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ

 

1 )с=0                              2) b=0              3) c  и b          4) если b=2k

 ax +b x=0                     ax+c=0           ax+b x+c=0            x_1,2=

x(ax+b)=0                      x= -               D=b²-4ac

x₁=0  или    ax+b=                                     дискриминант

                    x₂= -      x=            x_1,2=

СУЩЕСТВОВАНИЕ  КОРНЕЙ

1.D0-два действительных разных

2.D=0- два действительных равных

3.D0-корней нет

ТЕОРЕМА  ВИЕТА

x+px+q=0

x₁  и x₂                                x₁+x₂=-p    или   -

корни                   x₁ x₂=q      или 

РАЗЛОЖЕНИЕ     ТРЕХЧЛЕНА

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)