Урок "Решение логических задач"

 Практический аспект логических задач

1.     Применение на практике

На практике подобные виды задач используются повсеместно. Подтверждением может служить проведение школьных олимпиад по математике. На этом мероприятии предоставляются различные логические задачи для их решения. Например, данные были представлены в прошлом году.

Пример 1: В одном из турниров отличников наук приняли участие n команд. Командам были предложены 6 задач. По итогам турнира выяснилось, каждая задача либо не решена, либо по ней команда подготовила частичное решение, либо задача решена полностью. Председатель жюри заметил, что для каждой пары команд количество задач, по которым у этих команд одинаковые продвижения, оказалось ровно 0, либо 2. Найдите наименьшее возможное количество n.

Решение: Согласно условию задачи всего существует три схода (либо задача решена полностью, либо по ней есть частичное решение, либо задача не решена полностью) для шести задач. Пусть: х - задача решена; у - по ней есть частичное решение; z - задача не решена полностью.

Рассмотрим различные исходы решения 6 задач

Команды	Задачи
	1	2	3	4	5	6
1	x	z	y	z	x	y
2	y	x	z	y	z	x
3	z	y	x	x	y	z
4	x	y	z	z	y	x
5	z	x	y	x	z	y
6	y	z	x	y	x	z
7	x	x	x	x	x	x
8	y	y	y	y	y	y
9	z	z	z	z	z	z

Вывод: согласно условию задачи и проведенному исследованию, наибольшее возможное значение n= 9.

Пример 2: Гарри и Рон нашли волшебную игру: на прямоугольной клетчатой доске в начале игры произвольным образом появляются леденцы так, что на каждой горизонтали и каждой вертикали число леденцов одно и то же и всегда больше единицы. Волшебники поочередно снимают с доски по одному леденцу, начинает Рон. Если образуется пустая горизонталь - выигрывает Рон, если пустая вертикаль - побеждает Гарри. Если в ходе игры одновременно образуется пустая горизонталь и вертикаль, игра заканчивается ничьей. Докажите, что при любой игре Рона, Гарри всегда может победить.

1. Рассмотрим квадрат 2 2.

о	о			о			о
о	о		о	о			о
			Ход Рона			Ход Гарри

Рон первым берёт леденец, затем Гарри берёт леденец в той же вертикали, в которой взял Рон. После одинакового числа ходов, вертикаль быстрее будет пустой, чем горизонталь. Таким образом, побеждает Гарри.

2.  На прямоугольной клетчатой доске согласно условию, что на каждой горизонтальной и каждой вертикали число леденцов одно и то же и всегда больше единицы, всегда будет получаться квадрат. Рассмотрим различные варианты расположения леденцов:

а)	о		о
		о		о
	о		о
		о		о

б)			о		о		о
		о		о		о
	о				о		о
		о		о		о
	о		о				о
		о		о		о
	о		о		о

Таким образом, приведенные примеры расположения леденцов доказывают, что неважно какой первый ход сделает Рон, т.е. неважно в каком месте он возьмет леденец, Гарри всегда должен взять леденец из той же вертикали, что и Рон. Только таким образом у Гарри получиться всегда на один леденец меньше по вертикали, чем у Рона по горизонтали, после одинакового числа ходов. Исходя из этого, Гарри всегда может победить.

Тип данной задачи – выработка выигрышной стратегии, к которому применяется метод малых задач и блок-схем.

Пример 3: На одном турнире произошла ситуация: все 9 команд, приехавших на этот турнир, играли так хорошо, что выделить из них победителя не вышло. Но находчивый организатор решил дать последнюю задачу и заказал 9 кубков, 8 из которых серебряные, а ещё 1 – платиновый. Внешне кубки совершенно неотличимы, но известно, что кубок из платины тяжелее кубка из серебра. За какое минимальное количество взвешиваний удастся найти кубок из платины?

Решение: 1 случай: Положим на весы №1 по четыре кубка на каждую чашку. Если одна группа кубков перевесила, то мы знаем 4 кубка, среди которых кубок из платины. Эти 4 кубка положим на весы по 2 на каждую чашу, в чаше, которая перевесила, находится кубок из платины. Третьим взвешивание из 2х кубков на точных весах находим кубок из платины.

2 случай: Положили на весы №1 по четыре кубка на каждую чашу, и весы оказались в равновесии. Тогда кубком из платины является оставшийся.

Данная задача на взвешивание решается с помощью метода рассуждений.

Пример4: В трёх коробках лежат ручки, ластики и фломастеры. На первой коробке написано «Ластики», на второй – «Ручки», на третьей – «Ластики или фломастеры», причем содержимое каждой коробки не соответствует надписи. В какой коробке что находится?

Решение: В третьей коробке находятся не ластики и не фломастеры, значит, ручки. В первой коробке – не ластики и не ручки (так как ручки в третьей коробке), значит, фломастеры. Значит, ластики находятся во второй коробке.

Пример5: Я придумал число, затем прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, вычел 6, разделил на число 7 и получил 2. Какое это число?

Решение: Решаем задачу с конца: 
1)2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7. 
2) (14+6): 4 = 5 – число до умножения на 4. 
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3. 
4) 15 – 5 = 10 – искомое число. 
Задачи на переливание - это задачи, в которых с помощью сосудов требуется отмерить некоторое количество какой-либо жидкости.

Пример6: Имея сосуд 5 л -отмерить 3 л. Какое наименьшее число переливаний потребуется, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и 5-литровой банки налить 3 литра воды?

Решение. Наполняем кастрюлю. Переливаем воду из кастрюли в банку. Наполняем кастрюлю. Полностью заполняем банку, и в кастрюле остается 3 литра.

Задачи на взвешивание — тип олимпиадных математических задач, в которых требуется установить какой-либо факт (выделить фальшивую монету из настоящих, отсортировать набор грузов по убыванию веса) посредством взвешивания на весах.

Пример7:

Из набора гирек с массами 1, 2, 3 …, 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на 2 кучки по 50 гирек в каждой, чтобы массы обеих кучек совпали?

Решение. Положим в 1 кучку две гирьки массами 101 г и 1 г, а во 2 — 100 г и 2 г; после чего в 1 две гирьки — 99 г и 3 г, а во 2 — 98 г и 4 г. Так будем действовать, пока не положим во вторую кучку гирьки в 84 г и 18 г. К тому моменту в каждой кучке будет лежать по 18 гирек. Теперь положим в 1 кучку две гирьки массами 83 г и 20 г, а во 2 — 82 г и 21 г. Так будем продолжать, пока во 2 кучку не придется положить последнюю пару гирек массами 52 и 51г.

Задачи «Кто есть кто?»

Пример8: в кругу сидят Смирнов, Петров, Марков и Карпов. Их имена: Андрей, Сергей, Василий и Алексей. Известно, что:

• Смирнов не Алексей и не Андрей;

• Сергей сидит между Марковым и Василием;

• Карпов не Сергей и не Алексей;

• Петров сидит между Карповым и Андреем.

Ответ: Андрей Марков, Сергей Смирнов, Василий Карпов, Алексей Петров.

Задачи на пересечение или объединение множеств: тип задач, где требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение по данному условию задачи. 

Пример9: Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Один дома», 11 человек – фильм «Титаник». Из них 6 смотрели и «Один дома», и «Титаник». Сколько человек смотрели только фильм «Титаник»?

Решение:6 человек, которые смотрели фильмы «Один дома» и «Титаник», помещаем в пересечение множеств. 15–6=9 – человек, которые смотрели только «Один дома». 11–6=5 – человек, которые смотрели только «Титаник». 
Ответ: 5 человек смотрели только «Титаник».

Математические ребусы – загадки разных уровней сложности, которые составлены с использованием каких-либо графических элементов.

Пример: Расставьте математические знаки:

Ответ: 9+8-(7+6)-5=0 или 9*8-7-65=0 и т.д.

Задачи о рыцарях и лжецах — разновидность математических задач, где фигурируют персонажи: лжец — человек, всегда говорящий ложь. Рыцарь - человек, говорящий всегда правду. 

Пример10: по кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме меня и моих соседей – лжецы". Сколько лжецов сидит за столом?

Все не могут быть лжецами – все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме его 2 соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они сказали ложь. Единственная оставшаяся возможность: один сосед — лжец, другой – рыцарь (то есть 2 рыцаря рядом, остальные — лжецы) удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 10 лжецов.

Задачи на выработку стратегии: В данном виде задач предоставляется особая игровая ситуация, в которой предлагается выбрать игрока и доказать возможность проведения определенных действий, которые обязательно приведут к победе.

Пример11: Двое по очереди ломают шоколадку 5x8. За ход можно разломать любой кусок по прямой линии между дольками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Долек всегда будет 5x8=40 штук, а шоколадка вначале была одна. Заметим, что на каждом ходу один кусок шоколадки всегда разламывается на 2, т.е. количество различных кусков шоколадки увеличивается на 1. В начале это кол-во было равно 1, а в конце, как мы заметили, 40. Значит, игра продолжалась ровно 39 ходов. Поэтому последний (39-й) ход был обязательно ходом первого (его ходы - первый, третий и все с нечетными номерами) - и первый выиграл.

Ответ: 10.

2. Исследование

Для подтверждения или опровержения поставленной в работе цели мною был проведен опрос среди учащихся 7, 8,  и 9 классов (17 человек). Опрос включал в себя 8 логических задач и вопросы с одним или несколькими вариантами ответов. На основании проведенного опроса были выявлены следующие результаты:

Вывод: частота решения логических задач играет важную роль в развитии мышления ученика. Также были проведены расчеты с точки зрения влияния логических задач на учебный процесс, как можно заметить: более 75%

опрошенных отмечают именно положительное влияние логических задач на учебный процесс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современном мире практически все профессии требуют владение основными математическими знаниями. Решать логические задачи крайне важно. Выполняя поставленные задачи в моей исследовательской работе, я убедилась, что логические задачи способствуют мыслительному развитию учащихся, оказывают положительное влияние на учебный процесс, помогают в решении олимпиадных заданий, и, как следствие, способствуют развитию сообразительности, самостоятельности, умения преодолевать трудности – качеств, имеющих большое значение в практической деятельности многих людей.

Именно поэтому логика важна для большинства людей. Используя обоснования своих мыслей и взглядов с точки зрения логики, можно убедить в собственной правоте других людей. Именно логикой формируется навык анализа своих и чужих суждений, который позволяет избегать ошибок в умозаключениях, отличать правду от лжи, отделить важное от незначительного.

Логика способствует упорядочиванию нашей жизни, отбрасывая все ненужные второстепенные вещи. Она позволяет экономить время, что очень значительно на сегодняшний день. Также, логика помогает с размахом смотреть на действительность, со всей серьезностью воспринимать окружающий мир и наслаждаться им. Подобные особенности мышления имеют большое значение во многих сферах человеческой деятельности.