Урок "Вычисление площадей с помощью интеграла"

Тема: Вычисление площадей с помощью интегралов

Цели  урока:

1.      Повторить, обобщить и систематизировать понятия первообразной и интеграла, формулы вычисления площади криволинейной трапеции.

2.      Совершенствовать  вычислительные навыки,  развитие логического мышления, навыков использования интерактивно оборудования,

3.      Воспитание математической культуры обучающихся, повышение интереса к изучаемому материалу, чувства ответственности за свои решения, взаимоуважения при работе в парах, группах.

Тип урока: обобщающий урок

Структура урока:

1.      Орг.момент – 3 мин

2.      Актуализация знаний – 5 мин

3.      Устная работа – 5 мин

4.      Практическая работа – 7 мин

5.      Работа в парах -5 мин

6.      Физминутка (+историческая справка) – 2 мин

7.      Практическая работа – 10 мин

8.      (Тест -3 мин)

9.      Рефлексия – 3 мин

10.  Сообщение домашнего задания – 2 мин

Ход урока:

1.      Орг. момент

Добрый день, ребята! У нас сегодня необычный урок, т.к на уроке присутствуют гости. Мы с вами постараемся провести его интересно и познавательно.

Мы с вами не первый урок изучаем тему Первообразная и интеграл. Русский математик Алексей Николаевич Крылов сказал «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле». Я думаю, эти слова как нельзя лучше подойдут к нашему уроку.

Посмотрите на экран. Сможете ли вы вычислить данный интеграл. Есть ли у вас идеи. (формула Ньютона-Лейбница)

Чтобы его вычислить, необходимо найти первообразную функции. Дайте определение первообразной.

Учащийся у доски находит производную функций.

Вспомним таблицу первообразных. Остальные отвечают устно.

Действие нахождения первообразной называется интегрированием.

Задание (устно) Найти пару функция и график ее первообразной.

Вернемся к вычислению интеграла.  Сможем с помощью таблицы найти первообразную функции? Нет.

В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?  Интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции.     Итак, найти значение интеграла можно вычислив площадь фигуры.  А можно ли решить обратную задачу: вычислить площадь фигуры используя интеграл.

Запишем тему урока:

Решим нашу задачу у=, у>=0

У²=1-x²    У²+x²  =1 – уравнение окружности с центром в начале координат, радиус равен 1

S= п/2

Является ли данная фигура криволинейной трапецией.  Нет. Как найти ее площадь.

Площадь данной фигуры равна интегралу разности функций, где f(x)> g(x)

Площадь данной фигуры равна сумме площадей двух криволинейных трапеций.

На столах у вас лежат опорные листы с фигурами и формулами нахождения их площадей, вы можете на уроке к ним обращаться.

Практическая работа   №1014(2)

Перед работой в парах.  «Работа в парах» раздаются карточки. Задача состоит в том, чтобы каждый, работающий в паре, был занят своим делом, а именно вычислением площади одной из криволинейных трапеций, из которых состоит заштрихованная фигура, и общими усилиями смогли бы вычислить площадь всей фигуры.

КАРТОЧКА ДЛЯ ПАРЫ №1

Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры

(Например, первый ученик вычисляет площадь фигуры, ограниченной линиями у=4-х², у=0 и х=0; второй ученик вычисляет площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 – х, у = 0 и х = 0. Каждый из них сообщают результаты учителю для заполнения схемы. Затем находят сложением своих результатов площадь всей фигуры и результат сообщают учителю или ассистенту)

КАРТОЧКА ДЛЯ ПАРЫ № 2

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

 КАРТОЧКА ДЛЯ ПАРЫ № 3

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Историческая справка

Символ ydx был введен немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S, используемую для обозначения суммы писал слегка удлиненной. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer-целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница - Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим.

Физминутка: Учитель предлагает детям закрыть глаза и представить перед собой большой белый экран. Необходимо мысленно раскрасить этот экран поочерёдно любым цветом: например, сначала жёлтым, потом оранжевым, зелёным, синим, но закончить раскрашивание нужно самым любимым цветом.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

     f(x), f(x) и F(x),проходящей через точку (2;4), если f(x)=2x

                     1)

                          

                         

                   

                           

                        

                    2);  

                     ;   

 

Тест

Рефлексия ( «Группа «Интеграл»»)

Творческое задание Придумать фигуру, используя известные формулы графиков функций, изобразить  её и найти площадь полученной  фигуры.

Сообщение домашнего задания:

Базовый уровень:

№1018(2)

Сайт решу ЕГЭ № 16705258