«Люди, незнакомые с алгеброй,
не могут представить себе
тех удивительных вещей,
которых можно достигнуть
при помощи названной науки»
Г. Лейбниц
Цели урока:
1.Обучающая – показать использование теории многочленов в решении алгебраических задач;
2.Развивающая – развивать умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов;
3.Воспитывающая – воспитывать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке.
План урока:
1) Организационный момент
2) Устная работа
3) Решение типовых задач
4) Задача с параметрами
5) Задача из ЕГЭ
6) Уравнение
7) Домашнее задание
8) Итог урока
1. Организационный момент (постановка темы, цели урока)
Задачи, в которых встречается деление многочленов, играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Решение таких задач весьма полезно еще и потому, что они раньше встречались на вступительных экзаменах во многих престижных вузах, а сейчас это – задания из части С ЕГЭ.
2. Устная работа
Найдите ошибку!
Совет учиться на ошибках другого бесполезен,
научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.
Бернард Шоу
1.Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.
2.Коэффициент при старшем члене многочлена называют степенью многочлена.
3.Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.
4.Многочлен f(х) делится на многочлен s(х) не являющийся нулевым многочленом, если:
a) f(х) = s(х)•q(х) + r(х);
б) deg s(х) < deg r(х) или r(х)=0
5.Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х + α) равен Р(α), т.е. значению Р(х) при х = α.
6.Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на двучлен s(х) = х + α.
7.Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.
8. Многочлены называются тождественно равными, если равны соответствующие показатели степеней одночленов.
Устная работа
1. Найдите степень суммы многочленов: х3 + 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 - 1.
2. Найдите степень произведения многочленов: (х2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)3(х + 1)2
3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х - 1 на (х – 1)
4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х - 1?
5. Делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
6. Найдите свободный член многочлена (х2 - х + 1)2012 + (х2 - х + 1)2012
7. Найдите сумму коэффициентов многочлена (х - 1)2012 + (х + 1)2012.
3. Решение типовых задач
Какие вы знаете приемы деления многочленов?
деление углом
метод неопределенных коэффициентов
Схема Горнера
1) Разделите «уголком» многочлен 4х4-2х3-16х2+5х+9 на многочлен х2-2х-1
Ответ 
;
2) Применяя схему Горнера, найти частное и остаток от деления многочлена
6х4-5х3-53х2+45х-9 на многочлен х-2
Ответ: Q = 
, R = - 75;
3) Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления P(x) на Q(x).
P(x) = 5х4-х3-х-4
Q(x) = х2-4
4. Задача с параметрами
Найти все значения параметров а и b, при которых многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(х):
Р(х)=6х4-х3+ах2+bх+4, Q(х)=х2-4;
5. Задача из ЕГЭ
Лысенко . Подготовка к ЕГЭ 2011. Вариант 14.(стр. 109)
Найдите все целые значения m, при которых число 
является целым.
Ответ :-8, -4, -2, 2.
Выполнить самостоятельно
При каких натуральных значениях 
выражение 
является целым числом?
РЕШЕНИЕ. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:
Таким образом, исходное выражение равно 
, что является целым числом тогда и только тогда, когда 
нацело делится на 
. Поскольку целыми делителями числа являются числа 
и только они, получаем
ОТВЕТ: 
.
6. Решить уравнение: 
Р е ш е н и е . x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0 .
Ищем первый корень перебором чисел: 0, 1, 2, 3
и подстановкой в уравнение. В результате находим,
что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого
уравнения на двучлен x – 1, и получаем:
Теперь, решая квадратное уравнение: x 2 – 2x – 15 = 0,
находим оставшиеся два корня: x1 = – 3 и x2 = 5 .
Ответ: -3; 1; 5.
7. Домашнее задание:
8. Итоги урока
Дополнительное задание:
Назовите корни уравнения 
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема урока «Деление многочленов»
«Люди, незнакомые с алгеброй,
не могут представить себе
тех удивительных вещей,
которых можно достигнуть
при помощи названной науки»
Г. Лейбниц
Цели урока:
1.Обучающая – показать использование теории многочленов в решении алгебраических задач;
2.Развивающая – развивать умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов;
3.Воспитывающая – воспитывать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке.
План урока:
1) Организационный момент
2) Устная работа
3) Решение типовых задач
4) Задача с параметрами
5) Задача из ЕГЭ
6) Уравнение
7) Домашнее задание
8) Итог урока
1. Организационный момент(постановка темы, цели урока)
Задачи, в которых встречается деление многочленов, играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Решение таких задач весьма полезно еще и потому, что они раньше встречались на вступительных экзаменах во многих престижных вузах, а сейчас это – задания из части С ЕГЭ.
2. Устная работа
Найдите ошибку!
Совет учиться на ошибках другого бесполезен,
научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.
Бернард Шоу
1.Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.
2.Коэффициент при старшем члене многочлена называют степенью многочлена.
3.Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.
4.Многочлен f(х) делится на многочлен s(х) не являющийся нулевым многочленом, если:
a) f(х) = s(х)•q(х) + r(х);
б) deg s(х) < deg r(х) или r(х)=0
5.Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х + α) равен Р(α), т.е. значению Р(х) при х = α.
6.Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на двучлен s(х) = х + α.
7.Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.
8. Многочлены называются тождественно равными, если равны соответствующие показатели степеней одночленов.
Устная работа
1. Найдите степень суммы многочленов: х3 + 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 - 1.
2. Найдите степень произведения многочленов: (х2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)3(х + 1)2
3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х - 1 на (х – 1)
4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х - 1?
5. Делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
6. Найдите свободный член многочлена (х2 - х + 1)2012 + (х2 - х + 1)2012
7. Найдите сумму коэффициентов многочлена (х - 1)2012 + (х + 1)2012.
3. Решение типовых задач
Какие вы знаете приемы деления многочленов?
ü деление углом
ü метод неопределенных коэффициентов
ü Схема Горнера
1) Разделите «уголком» многочлен 4х4-2х3-16х2+5х+9 на многочлен х2-2х-1
Ответ ;
2) Применяя схему Горнера, найти частное и остаток от деления многочлена
6х4-5х3-53х2+45х-9 на многочлен х-2
Ответ: Q = , R = - 75;
3) Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления P(x) на Q(x).
P(x) = 5х4-х3-х-4
Q(x) = х2-4
4. Задача с параметрами
Найти все значения параметров а и b, при которых многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(х):
Р(х)=6х4-х3+ах2+bх+4, Q(х)=х2-4;
5. Задача из ЕГЭ
Лысенко . Подготовка к ЕГЭ 2011. Вариант 14.(стр. 109)
Найдите все целые значения m, при которых число является целым.
Ответ :-8, -4, -2, 2.
Выполнить самостоятельно
При каких натуральных значениях выражение является целым числом?
РЕШЕНИЕ. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:
Таким образом, исходное выражение равно , что является целым числом тогда и только тогда, когда нацело делится на . Поскольку целыми делителями числа являются числа и только они, получаем
ОТВЕТ: .
6. Решить уравнение:
Р е ш е н и е . x3– 3x2– 13x + 15 = 0 .
Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3
и подстановкой в уравнение. В результате находим,
что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого
уравнения на двучлен x – 1, и получаем:
Теперь, решая квадратное уравнение: x2– 2x – 15 = 0,
находим оставшиеся два корня: x1 = – 3 и x2 = 5 .
Ответ: -3; 1; 5.
7. Домашнее задание:
8. Итоги урока
6 664 101 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Карамова Илюся Ринатовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.