Тема
урока: «Производная и ее применение»
Ибрагимова
Анифе Ришатовна
ГБПОУ
РК « Калиновский техникум механизации,
сельского
хозяйства и сферы обслуживания» ,
преподаватель
математики.
Джанкойский
район, с. Калиновка ул. 40 лет Победы 1
Кредо:
«Если
мы будем учить сегодня так, как мы учили вчера, мы украдем у наших студентов
завтра» (Джон Дьюи)
Основная задача:
Дать
глубокие прочные знания. Кроме передачи суммы знаний, надо развивать личность
студента на основе освоения способов деятельности.
Технология: развивающее обучение
Краткая характеристика
особенностей группы, в которой реализуется данный урок.
Студенты второго курса
Калиновского ПТАУ, обучающиеся по специальности «Электромонтер устройств (СЦБ)»
с достаточным уровнем мотивации к предмету. Они грамотно используют таблицу
производных основных функций и применяют производную в решении прикладных задач.
Студенты, наиболее успешные в области изучения точных наук, образуют группу
лидеров, помогающих однокурсникам. В общении друг с другом студенты
доброжелательны. Поэтому в проведении этого урока оправдана лекционно-консультативная деятельность студентов, имеющих
высокий уровень мастерства в решении прикладных задач.
Ресурсное обеспечение рабочей программы:
- Никольский С.М. Алгебра и начала
математического анализа, учебник для общеобразовательных организаций,11
класс,- М: Просвещение, 2014.
- Садовничий Ю.В. Математика.
Тематическая подготовка к ЕГЭ,-М.:
Илекса, 2011.
- Шевкин А.В. Текстовые задачи по
математике. 7-11 кл.- М.: Илекса,2012.
- Яковлева Г.Н. Алгебра и начала
анализа.М.1981
В
учебном плане данный урок находится после изучения
тем «Функции, их свойства и графики» и «Степенные, показательные, логарифмические
и тригонометрические функции» перед изучением тем «Первообразная» и
«Интеграл».
Оборудование, используемое на уроке: карточки с задачами к уроку, проектор, презентации с тестовыми
заданиями и решениями некоторых задач урока.
Тема «Производная
и ее применение»
Тип урока: урок комплексного применения знаний в решении прикладных задач.
Цели
урока:
Образовательные:
-сформировать
понятие о производной;
-изучить правила
нахождения производных;
-решать прикладные
задачи с помощью производной.
Развивающие:
-обеспечить повторение изученного
материала, наиболее общих и существенных понятий, теорем и алгоритмов;
-развить умения знаний в конкретной
ситуации;
-развить навыки реализации теоретических
знаний в практической деятельности;
-развить умения сравнивать, обобщать,
правильно сформулировать и излагать мысли;
-обеспечить проверку усвоения изученного
материала;
-развить математическую компетентность
студентов.
Воспитательные:
-создать условия для осознания
необходимости самостоятельных действий при решении проблем;
-обучать объективной оценке своих
возможностей и успехов;
-воспитывать навыки самоконтроля и
взаимоконтроля;
-способствовать развитие навыков устной
речи, умения грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;
-воспитывать культуру общения, умения
работать в паре, взаимопомощи;
-способствовать осознанию исторической
ценности изучаемого материала.
Интеллектуально-развивающие:
-создать
условия для проявлений творческого подхода к учебным задачам, выдвижению
гипотез, постановке проблем и поиску путей их решения;
-обучать методам
научного познания- анализу, сравнению, обобщению и систематизации учебного
материала.
Методы проведения:
- самостоятельная
работа учащихся;
- деловая деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень
мастерства в решении прикладных задач с помощью производной.
Форма проведения урока: деловая игра.
Ключевые
компетенции:
Информационно-познавательные:
умение работать с конспектом, умение слушать исследование, представляемое
однокурсником, выбирать в исследовании главное, делать выводы и обобщать.
Коммуникативные:
умение вести диалог, доказывать свою точку
зрения.
Предметные:
умение решать задачи с помощью производной; использовать правила нахождения
производных.
К
моменту проведения урока студенты должны уметь:
-составлять
алгоритм нахождения критических точек функции;
-находить
промежутки возрастания(убывания) функции по алгоритму;
План
урока:
1.Организация
начала занятия.
2.Вступление.
Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по
организации работы на уроке.
3.Проверка
домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.
4.Повторение и
анализ основных теоретических фактов, ознакомление с историческими событиями,
связанными с изучаемой темой.
5.Проверка знания
студентами основных теоретических фактов. Применение знаний в стандартных или
частично измененных ситуациях. Задания по карточкам.
6.Самостоятельная
работа № 1( Устный тест №1)
7.Самостоятельная
работа №2
8.Применение
знаний при решении более сложных задач.
9.Введение нового
материала. Самостоятельная работа № 3
10. Проверка
знаний студентов.
11. Самостоятельная
работа (тест № 4)
12. Подведения
итогов.
13.Самооценка.
Выставление оценок студентам.
Ход
урока
1) Организационный
момент.
2) Вступление.
Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по
организации работы на уроке.
Вступительное слово учителя. Запишите тему урока: Производная
и ее применение.
Я надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и
сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме,
понимаете геометрический и механический смысл производной, алгоритмы
исследования свойств функций с помощью производной. Я уверена, что вы
продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного
уровня сложности, а также навыки самоконтроля и самооценки.
Сегодня
я - представитель фирмы «Алгоритм». Наша фирма специализируется на разработке и
внедрении алгоритмов в различные сферы деятельности человека. На днях мы
получили заказ, для выполнения которого необходимо увеличить штат сотрудников.
Я предлагаю вам попробовать получить место в нашей фирме. При приеме на работу
мы учитываем наличие таких личностных качеств, как компетентность, мобильность,
умение находить необходимую информацию и преобразовывать ее, умение работать в
паре. Подробно эти качества раскрыты в резюме, которое находится у каждого на
столе, и которое вы будите заполнять по ходу встречи. (Приложение1)
А также вы можете
добавить к своему рейтингу 25 баллов за следующие виды работ( у каждого на
парте оценочный лист)
-устные и
письменные тесты разного уровня сложности,
-ответы на
теоретические вопросы,
-подготовку
докладов и исторических сообщений,
-решения задач у
доски,
-ответы и
выполнения практических заданий на рабочих местах,
-решения
дополнительных задач в свободные минуты.
3) Актуализация
опорных знаний.
Проверка
домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.
Ребята!
На дом вы получили следующие задания, надо отыскать задачи прикладного
характера, при решении которых используется производная. Один из студентов
решает домашнее задание с объяснением у доски.
Задача.
Сигнальная
ракета летит вертикально вверх так, что ее движение описывается законом s(t)=98t-4,9t2
(t-в
секундах, s-в метрах).
Найдите
скорость ракеты через 5 с движения.
Историческая
справка. Повторение теоретического материала.
Один
из студентов делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления
(4 б.) В это время двое студентов готовятся у доски к ответам по карточкам,
содержащим вопросы теоретического содержания:
К.
№1 Определение производной. Правила дифференцирования.
К.№2
Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной к
графику функции.
И
один студент демонстрирует таблицу производной по тестам на наглядном пособии.
Проверка
знания студентами основных теоретических фактов, умения применять их в
стандартных или частично измененных ситуациях.
Итак,
на предыдущем уроке мы говорили о скорости движения самолета, поезда, автобуса,
ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т .д. Говорили о скорости
выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о
быстроте роста населения в данном городе. Т.е о скорости мы говорили по
отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. И для этого
использовали понятие производной.
Изучили
физические производные величины:
v
(t)=x′(t)-скорость
a
(t)=v′(t)-ускорение
I
(t)=q′(t)-сила
тока
C
(t)=Q′(t)-теплоемкость
d
(l)=m′(l)-линейная
плотность
k
(t)=l′(t)-коэффициент
линейного расширения
(t)=(t)
-угловая скорость
N
(t)=A′(t)-мощность
-угловое ускорение
Задание
№ 1.(Самостоятельная работа №1). Устный тест.
Для студентов демонстрируют слайд по четыре варианта ответов к ним. На каждый
вопрос студенты по команде преподавателя поднимают сигнальные карточки с
номерами ответов, которые по их мнению. Являются правильными. ( 5 б.) За
неправильный ответ (-0,5б.) Преподаватель записывает их в оценочный лист.
Задание
№2.(Самостоятельная работа №2).Письменный тест из восьми
заданий в каждом из четырех разделов. Студенту надо выписать столбиком
соответствующие друг другу элементы таблицы. После проверки теста, заносят их в
свои оценочные листы. Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя».
Выявляются ошибки, проводится анализ.
Поставьте
знак «+» или «-» в строчках резюме, относящихся к тесту.
4) Объяснение
нового материала.
Сегодня
на уроке мы будем рассматривать задачи прикладного характера, связанные с вашей
будущей профессией.
Задача
о мгновенной величине тока. Представим себе
электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q=q(t)
количества электричества ( в кулонах), протекающее через поперечное сечение
проводника за время t. Тогда q(t1
)-q(t0)
есть количество электричества, протекающее через указанное сечение за
промежуток времени от момента t1
момента t1
. Средней силой тока за указанный промежуток
времени называется число Icp=
В
случае постоянного тока средняя сила тока I
будет одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков
времени. Если в цепи переменный ток, то I,
будет различной для различных, но одинаковых по длительности промежутков
времени. Поэтому для характеристики цепи переменного тока входят понятие
мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени:
Мгновенной
силой тока I (t)
в момент времени t называется предел
(если он существует), к которому стремится средняя сила за ′промежуток времени
от t
до t0
,
I cp =
Начинаем
проверку ваших личных качеств. Вам предлагается выполнить самостоятельную
работу.
Задание
№ 3
Самостоятельная
работа № 3 на 6мин. (Приложение № 3)
1 Количество
электричества, протекающее через проводник, начиная с моментаt=0,
задается формулой q=3t2+t+2.
Найдите силу тока в момент времени t=3c.
(ответ: 19 А )
2.Изменение силы
тока в зависимости от времени выражено уравнение I=2t2-5t.
(I-
в амперах, t- в секундах). Найти
скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.(ответ:35 А/с)
3.Найти силу тока I
, если количество изменяется по закону Q(t)=2t2+1
электричества,
проходящее через поперечное сечение проводника за 10 с.
(ответ: 40 А)
4.В какие моменты
времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающее через
проводник, задается формулой:
q=4t+2.
(ответ: 0)
Для
проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится
анализ.
Поставьте
знак «+» или «-» в строчках резюме.
5) Закрепление.
Проверка усвоения знаний и навыков их применения студентами.
В
закреплении давайте решим экономическую задачу и задачу из учебника № 5.98
Пусть
х- расстояние ВР, 0,тогда КВ=2+92
; РL=15-х.
Формула нахождения времениt= , t1=, t2= ;
t(x)=+ ; Найдем наименьшее
значение функции на отрезке
[0;
15].
t′(x)= - ; -=0 ; х=12;
Ответ:
На расстоянии 12 км от пункта В.
Экономическая
задача:
Выбрать
оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть
смоделирована зависимостью: П(q)=R(q)-C(q)=q2-4q+8
Решение:
П′(q)=R′(q)-C′(q)=2q-4;
2q-4=0;
q=2.
При
q2П′(q) прибыль убывает;
При
q2П′(q) прибыль возрастает;
При
q2 прибыль принимает
минимальное значение.
Каким
же будет оптимальный объем выпуска для фирмы?
Если
фирма не может производить за рассматриваемый период больше 4-х единиц
продукции (p(q=4)=p(q=0)=8),
то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от
сдачи в аренду помещений или оборудования.
Если
же фирма способна производить больше 4-х единиц, то оптимальным для фирмы будет
выпуск на пределе своих производственных мощностей.
В закреплении
делаю вывод.
Применение
производной для решения задач требует от студентов нетрадиционного мышления.
Знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию
нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других
сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика,
химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной темы
Алгоритм
нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
1) Найти
производную функции f′(x).
2) Найти
стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку [a;
b]
3) Вычислить
значение функции y=f(x)
в точках, отображенных шагом 2, и в точках а и b.
4) Сравнить
все полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшее.
5) Записать
ответ:
Теперь рассмотрим намного
сложнее задачи. Работа по карточкам.
Самостоятельная работа №
4
1.Пусть
электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ.
На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в
точке А этой плоскости освещенность была наибольшей ( ОА= а) (ответ: х = )
2.Над центром
круглого стола радиуса r висит лампа. На
какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить
наибольшую освещенность. (h= )
6.Итог
урока. Самооценка. Выставление оценок преподавателем.
Пока группа экспертов
проверяет работы студентов по подготовленным шаблонам, студенты подводят итоги,
отвечая на вопросы преподавателя:
*назовите
имена ученых, внесших вклад в создание и развитие дифференциального исчисления,
*с
какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения новой темы?
*какой
новый алгоритм стал вам известен?
*задачи,
какого рода, решаются с помощью производной?
Преподаватель
предлагает студентам вспомнить, какие цели ставились в начале урока, и
обсудить, все ли удалось выполнить.
В
это время эксперты завершают работу по проверке самостоятельной работы №4.Полученные
результаты фиксируются в оценочных листах., а также в резюме.
Тем,
кто готов к работе в фирме, преподаватель может вручить удостоверение, а
остальным советует не расстраиваться, продолжить развитие своих личностных
качеств. Выставление оценок.
В
заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:
«Музыка
может возвышать или умиротворять душу,
Живопись-
радовать глаз,
Поэзия-
пробуждать чувства,
Философия-
удовлетворять потребности разума,
Инженерное
дело- совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А
математика способна достичь всех этих целей»
(американский
математик Морис Клайн.)
7. Домашнее
задание.
Никольский С.М. Алгебра и
начала математического анализа, учебник для общеобразовательных организаций,11
класс,- М: Просвещение, 2014, № 5.96
По желанию, выполните
исследовательскую работу на тему: «Применение производной»
Было
ли вам трудно? Что понравилось?
Было
ли интересно работать? Какие есть вопросы?
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ
КАРТА УРОКА.
Тема:
|
Производная
и ее применение.
|
Тип
урока:
|
урок
комплексного применения знаний в решении прикладных задач.
|
Цель
деятельности педагога:
|
создать
условия для осуществления рефлексивного действия, т.е. оценивать свою
готовность, обнаруживать незнание, находить причины затруднений и т.п..
|
Планируемые
результаты:
|
-предметные-
умение решать задачи с помощью производной, использовать правила нахождения производных;
-метапредметные-
формирование и развитие универсальных способностей студентов;
личностные-
обеспечивание ценностной ориентации студентов.
|
Межпредметные
связи:
|
связь
с физикой и электротехникой.
|
Форма
обучения:
|
групповая.
|
Образовательные
ресурсы:
|
-сформировать
понятие о производной;
-знать
правила нахождения производных;
-решать
прикладные задачи с помощью производной.
|
Основные
понятия:
|
Скорость,
ускорение, производная, касательная.
|
Оборудование:
|
Карточки
с заданиями к уроку, проектор, презентации с тестовыми заданиями и решениями
некоторых задач урока.
|
Этапы
урока в соответствии с технологической картой.
Время
|
Этап
урока
|
Цель:
|
Требования:
|
Рекомендации:
|
1-2
мин.
|
Мотивация
(самоопре-
деление)
|
мотивация
к учебной деятельности, включения в учебную деятельность на личностно
значимом уровне.
|
1)создаются
условия для возникновения у студента внутренней потребности включения в
учебную деятельность («хочу»);
2)актуализируются
требования к нему со стороны учебной деятельности («надо»);
3)устанавливаются
тематические рамки («могу»).
|
доброе
пожелание, моральная поддержка, девиз, и т.д;
беседа,
сообщение, самопроверка домашнего задания по готовому образцу и т.д.
|
5-6
мин.
|
Актуализация
знаний и факторов затруднений.
|
выявление
места и причины затруднения, готовность и осознание потребности к построению
нового способа действия.
|
1)актуализация
изученных способов действий, достаточных для построения нового знания, и их
обобщение;
2)актуализацию
соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов;
3)мотивация
студентов к проблемному учебному действию («надо»-«могу»-«хочу»), и его
самостоятельное осуществление;
4)фиксация
студентов индивидуальных затруднений в выполнении ими пробного учебного
действия или его обоснования.
|
коллективные
формы работы: коммуникативное взаимодействие в группах;
задания
для самостоятельного выполнения;
вербальная
фиксация различных вариантов решения и отсутствие изученного их обоснования.
|
2-3
мин.
|
Постановка
учебной задачи.
|
Постановка
цели действия.
|
сопоставление
студентами действий с используемым способом (где?);
выявление
и вербальное фиксирование причины затруднения (почему?);
на
этой основе студенты ставят цель деятельности, предлагают вариант формулировки
темы урока, который уточняется преподавателем.
|
коммуникативное
взаимодействие, подводящий диалог;
включение
эмоционального компонента: «Яркое пятно», похвала и т.п.
|
10-11
мин.
|
Открытия
нового знания.
|
Построение
проекта выхода из затруднения (цель, способ, план, средство) т.е. построение
обучающимися нового способа действий и формирование способностей к его
выполнению.
|
студенты
выбирают метод решения учебной задачи- свойство, понятия, алгоритм, модель и
т.д. – и на его основе строят достижения цели, выдвигают, обосновывают и
проверяют гипотезы , определяются предметные действия с моделями, схемами и
пр.;
новый
способ действий фиксируется- вербально и знаковое;
студенты
преодолевают возникшие затруднения с помощью нового способа действия. Этим процессом
руководит преподаватель: на первых порах с помощью подводящего диалога,
затем побуждающего, а затем и с помощью исследовательских методов.
|
коммуникативное
взаимодействие, подводящий диалог; использование двигательной активности,
материальных и материализованных моделей.
|
4-5
мин.
|
Самостоятельная
работа.
|
Самостоятельная
работа с самопроверкой и самооценкой, закрепление нового способа действий;
рефлексия
достижения цели.
|
студенты
самостоятельно выполняют задание на новый способ действий; самостоятельная
проверка по алгоритму; создание ситуации успеха, допустившие ошибки выявляют
их причину и исправляют ошибки. В завершение организуется исполнительная
рефлексия за реализации построенного проекта учебных действий и
самостоятельных процедур.
|
обучение
процедуре грамотного самоконтроля,
-письменная
работа, небольшого объема, узкой типовой направленности;
-индивидуальная
деятельность.
|
2-3
мин.
|
Рефлексия
учебной деятельности на уроке
(итог
урока)
|
Рефлексия
учебной деятельности на уроке. Самооценка результатов деятельности.
|
организация
рефлексии и самооценки студентами своей деятельности на уроке;
фиксация
соответствия результатов деятельности и поставленной цели;
планирование
дальнейшей деятельности определения заданий для самоподготовки
(домашнее
задание с элементами выбора творчества).
|
беседа,
самостоятельная работа;
-обсуждение
вопросов: Что нового вы узнали? Каким способом выполняли задание? Где
используется этот способ? Каковы результаты? Что нужно сделать еще?
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.