Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок на тему " Производная и ее применение"

Урок на тему " Производная и ее применение"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:











Тема урока: «Производная и ее применение»

Ибрагимова Анифе Ришатовна

ГБПОУ РК « Калиновский техникум механизации,

сельского хозяйства и сферы обслуживания» ,

преподаватель математики.

Джанкойский район, с. Калиновка ул. 40 лет Победы 1





























Кредо:

«Если мы будем учить сегодня так, как мы учили вчера, мы украдем у наших студентов завтра» (Джон Дьюи)

Основная задача:

Дать глубокие прочные знания. Кроме передачи суммы знаний, надо развивать личность студента на основе освоения способов деятельности.

Технология: развивающее обучение


Краткая характеристика особенностей группы, в которой реализуется данный урок.

Студенты второго курса Калиновского ПТАУ, обучающиеся по специальности «Электромонтер устройств (СЦБ)» с достаточным уровнем мотивации к предмету. Они грамотно используют таблицу производных основных функций и применяют производную в решении прикладных задач. Студенты, наиболее успешные в области изучения точных наук, образуют группу лидеров, помогающих однокурсникам. В общении друг с другом студенты доброжелательны. Поэтому в проведении этого урока оправдана лекционно-консультативная деятельность студентов, имеющих высокий уровень мастерства в решении прикладных задач.

Ресурсное обеспечение рабочей программы:

  1. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа, учебник для общеобразовательных организаций,11 класс,- М: Просвещение, 2014.

  2. Садовничий Ю.В. Математика. Тематическая подготовка к ЕГЭ,-М.:

Илекса, 2011.

  1. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 7-11 кл.- М.: Илекса,2012.

  2. Яковлева Г.Н. Алгебра и начала анализа.М.1981

В учебном плане данный урок находится после изучения тем «Функции, их свойства и графики» и «Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции» перед изучением тем «Первообразная» и «Интеграл».


Оборудование, используемое на уроке: карточки с задачами к уроку, проектор, презентации с тестовыми заданиями и решениями некоторых задач урока.


Тема «Производная и ее применение»


Тип урока: урок комплексного применения знаний в решении прикладных задач.

Цели урока: 

Образовательные:

-сформировать понятие о производной;

-изучить правила нахождения производных;

-решать прикладные задачи с помощью производной.

Развивающие:

-обеспечить повторение изученного материала, наиболее общих и существенных понятий, теорем и алгоритмов;

-развить умения знаний в конкретной ситуации;

-развить навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;

-развить умения сравнивать, обобщать, правильно сформулировать и излагать мысли;

-обеспечить проверку усвоения изученного материала;

-развить математическую компетентность студентов.

Воспитательные:

-создать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;

-обучать объективной оценке своих возможностей и успехов;

-воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

-способствовать развитие навыков устной речи, умения грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;

-воспитывать культуру общения, умения работать в паре, взаимопомощи;

-способствовать осознанию исторической ценности изучаемого материала.

Интеллектуально-развивающие:

-создать условия для проявлений творческого подхода к учебным задачам, выдвижению гипотез, постановке проблем и поиску путей их решения;

-обучать методам научного познания- анализу, сравнению, обобщению и систематизации учебного материала.

Методы  проведения: 

- самостоятельная работа учащихся;

- деловая деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении прикладных задач с помощью производной.

Форма проведения урока: деловая игра.

Ключевые компетенции:

Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать исследование, представляемое однокурсником, выбирать в исследовании главное, делать выводы и обобщать.

Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.

Предметные: умение решать задачи с помощью производной; использовать правила нахождения производных.

К моменту проведения урока студенты должны уметь:

-составлять алгоритм нахождения критических точек функции;

-находить промежутки возрастания(убывания) функции по алгоритму;

План урока:

1.Организация начала занятия.

2.Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.

3.Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

4.Повторение и анализ основных теоретических фактов, ознакомление с историческими событиями, связанными с изучаемой темой.

5.Проверка знания студентами основных теоретических фактов. Применение знаний в стандартных или частично измененных ситуациях. Задания по карточкам.

6.Самостоятельная работа № 1( Устный тест №1)

7.Самостоятельная работа №2

8.Применение знаний при решении более сложных задач.

9.Введение нового материала. Самостоятельная работа № 3

10. Проверка знаний студентов.

11. Самостоятельная работа (тест № 4)

12. Подведения итогов.

13.Самооценка. Выставление оценок студентам.



Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.


Вступительное слово учителя. Запишите тему урока: Производная и ее применение.

Я надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический и механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функций с помощью производной. Я уверена, что вы продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а также навыки самоконтроля и самооценки.

Сегодня я - представитель фирмы «Алгоритм». Наша фирма специализируется на разработке и внедрении алгоритмов в различные сферы деятельности человека. На днях мы получили заказ, для выполнения которого необходимо увеличить штат сотрудников. Я предлагаю вам попробовать получить место в нашей фирме. При приеме на работу мы учитываем наличие таких личностных качеств, как компетентность, мобильность, умение находить необходимую информацию и преобразовывать ее, умение работать в паре. Подробно эти качества раскрыты в резюме, которое находится у каждого на столе, и которое вы будите заполнять по ходу встречи. (Приложение1)

А также вы можете добавить к своему рейтингу 25 баллов за следующие виды работ( у каждого на парте оценочный лист)

-устные и письменные тесты разного уровня сложности,

-ответы на теоретические вопросы,

-подготовку докладов и исторических сообщений,

-решения задач у доски,

-ответы и выполнения практических заданий на рабочих местах,

-решения дополнительных задач в свободные минуты.

  1. Актуализация опорных знаний.

Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

Ребята! На дом вы получили следующие задания, надо отыскать задачи прикладного характера, при решении которых используется производная. Один из студентов решает домашнее задание с объяснением у доски.

Задача.

Сигнальная ракета летит вертикально вверх так, что ее движение описывается законом s(t)=98t-4,9t2 (t-в секундах, s-в метрах).

Найдите скорость ракеты через 5 с движения.

Историческая справка. Повторение теоретического материала.

Один из студентов делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления (4 б.) В это время двое студентов готовятся у доски к ответам по карточкам, содержащим вопросы теоретического содержания:

К. №1 Определение производной. Правила дифференцирования.

К.№2 Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

И один студент демонстрирует таблицу производной по тестам на наглядном пособии.

Проверка знания студентами основных теоретических фактов, умения применять их в стандартных или частично измененных ситуациях.

Итак, на предыдущем уроке мы говорили о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т .д. Говорили о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. Т.е о скорости мы говорили по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. И для этого использовали понятие производной.

Изучили физические производные величины:

v (t)=x′(t)-скорость

a (t)=v′(t)-ускорение

I (t)=q′(t)-сила тока

C (t)=Q′(t)-теплоемкость

d (l)=m′(l)-линейная плотность

k (t)=l′(t)-коэффициент линейного расширения

hello_html_m8580018.gif(t)=hello_html_ma4c2a48.gif(t) -угловая скорость

N (t)=A′(t)-мощность

hello_html_m6a956005.gif-угловое ускорение


Задание № 1.(Самостоятельная работа №1). Устный тест. Для студентов демонстрируют слайд по четыре варианта ответов к ним. На каждый вопрос студенты по команде преподавателя поднимают сигнальные карточки с номерами ответов, которые по их мнению. Являются правильными. ( 5 б.) За неправильный ответ (-0,5б.) Преподаватель записывает их в оценочный лист.

Задание №2.(Самостоятельная работа №2).Письменный тест из восьми заданий в каждом из четырех разделов. Студенту надо выписать столбиком соответствующие друг другу элементы таблицы. После проверки теста, заносят их в свои оценочные листы. Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится анализ.

Поставьте знак «+» или «-» в строчках резюме, относящихся к тесту.


  1. Объяснение нового материала.

Сегодня на уроке мы будем рассматривать задачи прикладного характера, связанные с вашей будущей профессией.

Задача о мгновенной величине тока. Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q=q(t) количества электричества ( в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Тогда q(t1 )-q(t0) есть количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t1 момента t1 . Средней силой тока за указанный промежуток времени называется число Icp=hello_html_5c77bd61.gif

В случае постоянного тока средняя сила тока I будет одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Если в цепи переменный ток, то I, будет различной для различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Поэтому для характеристики цепи переменного тока входят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени:

Мгновенной силой тока I (t) в момент времени t называется предел (если он существует), к которому стремится средняя сила за ′промежуток времени от t до t0 ,

I cp = hello_html_61bdda13.gif


Начинаем проверку ваших личных качеств. Вам предлагается выполнить самостоятельную работу.

Задание № 3

Самостоятельная работа № 3 на 6мин. (Приложение № 3)


1 Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с моментаt=0, задается формулой q=3t2+t+2. Найдите силу тока в момент времени t=3c.

(ответ: 19 А )

2.Изменение силы тока в зависимости от времени выражено уравнение I=2t2-5t.

(I- в амперах, t- в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.(ответ:35 А/с)

3.Найти силу тока I , если количество изменяется по закону Q(t)=2t2+1

электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за 10 с.

(ответ: 40 А)

4.В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающее через проводник, задается формулой:

q=4t+2. (ответ: 0)

Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится анализ.

Поставьте знак «+» или «-» в строчках резюме.



  1. Закрепление. Проверка усвоения знаний и навыков их применения студентами.

В закреплении давайте решим экономическую задачу и задачу из учебника № 5.98

Пусть х- расстояние ВР, 0hello_html_1b1718a0.gif,тогда КВ=hello_html_4abf721e.gif2+92 ; РL=15-х. Формула нахождения времениt=hello_html_6d4ec6d5.gif , t1=hello_html_7ec7debb.gif, t2=hello_html_m333ff187.gif ;

t(x)=hello_html_7ec7debb.gif+hello_html_m333ff187.gif ; Найдем наименьшее значение функции на отрезке

[0; 15].

t′(x)=hello_html_m1e082e8f.gif -hello_html_m2fccea71.gif ; hello_html_m1e082e8f.gif -hello_html_m2fccea71.gif=0 ; х=12;

Ответ: На расстоянии 12 км от пункта В.

Экономическая задача:

Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: П(q)=R(q)-C(q)=q2-4q+8

Решение:

П′(q)=R′(q)-C′(q)=2q-4; 2q-4=0; q=2.

При qhello_html_fe04348.gif2hello_html_4418321e.gifП′(q)hello_html_m25b5f2a7.gif прибыль убывает;

При qhello_html_m46b0f214.gif2hello_html_4418321e.gifП′(q)hello_html_m298f5bb9.gif прибыль возрастает;

При qhello_html_75b72153.gif2hello_html_4418321e.gif прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы?

Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 4-х единиц продукции (p(q=4)=p(q=0)=8), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений или оборудования.

Если же фирма способна производить больше 4-х единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

В закреплении делаю вывод.

Применение производной для решения задач требует от студентов нетрадиционного мышления. Знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной темы


Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

  1. Найти производную функции f′(x).

  2. Найти стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку [a; b]

  3. Вычислить значение функции y=f(x) в точках, отображенных шагом 2, и в точках а и b.

  4. Сравнить все полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшее.

  5. Записать ответ:hello_html_76469b6b.gif

Теперь рассмотрим намного сложнее задачи. Работа по карточкам.


Самостоятельная работа № 4

1.Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещенность была наибольшей ( ОА= а) (ответ: х =hello_html_m3670257f.gif )

2.Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность. (h=hello_html_68c56322.gif )

6.Итог урока. Самооценка. Выставление оценок преподавателем.

Пока группа экспертов проверяет работы студентов по подготовленным шаблонам, студенты подводят итоги, отвечая на вопросы преподавателя:

*назовите имена ученых, внесших вклад в создание и развитие дифференциального исчисления,

*с какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения новой темы?

*какой новый алгоритм стал вам известен?

*задачи, какого рода, решаются с помощью производной?

Преподаватель предлагает студентам вспомнить, какие цели ставились в начале урока, и обсудить, все ли удалось выполнить.

В это время эксперты завершают работу по проверке самостоятельной работы №4.Полученные результаты фиксируются в оценочных листах., а также в резюме.

Тем, кто готов к работе в фирме, преподаватель может вручить удостоверение, а остальным советует не расстраиваться, продолжить развитие своих личностных качеств. Выставление оценок.

В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись- радовать глаз,

Поэзия- пробуждать чувства,

Философия- удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело- совершенствовать материальную сторону жизни людей,

А математика способна достичь всех этих целей»

(американский математик Морис Клайн.)


  1. Домашнее задание.

Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа, учебник для общеобразовательных организаций,11 класс,- М: Просвещение, 2014, № 5.96

По желанию, выполните исследовательскую работу на тему: «Применение производной»

Было ли вам трудно? Что понравилось?

Было ли интересно работать? Какие есть вопросы?






ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА.


Тема:

Производная и ее применение.

Тип урока:

урок комплексного применения знаний в решении прикладных задач.

Цель деятельности педагога:

создать условия для осуществления рефлексивного действия, т.е. оценивать свою готовность, обнаруживать незнание, находить причины затруднений и т.п..

Планируемые результаты:

-предметные- умение решать задачи с помощью производной, использовать правила нахождения производных;

-метапредметные- формирование и развитие универсальных способностей студентов;

личностные- обеспечивание ценностной ориентации студентов.

Межпредметные связи:

связь с физикой и электротехникой.

Форма обучения:

групповая.

Образовательные ресурсы:

-сформировать понятие о производной;

-знать правила нахождения производных;

-решать прикладные задачи с помощью производной.

Основные понятия:

Скорость, ускорение, производная, касательная.

Оборудование:

Карточки с заданиями к уроку, проектор, презентации с тестовыми заданиями и решениями некоторых задач урока.


















Этапы урока в соответствии с технологической картой.


Время

Этап урока

Цель:

Требования:

Рекомендации:

1-2

мин.

Мотивация

(самоопре-

деление)

мотивация к учебной деятельности, включения в учебную деятельность на личностно значимом уровне.

1)создаются условия для возникновения у студента внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»);

2)актуализируются требования к нему со стороны учебной деятельности («надо»);

3)устанавливаются тематические рамки («могу»).

доброе пожелание, моральная поддержка, девиз, и т.д;

беседа, сообщение, самопроверка домашнего задания по готовому образцу и т.д.

5-6 мин.

Актуализация знаний и факторов затруднений.

выявление места и причины затруднения, готовность и осознание потребности к построению нового способа действия.

1)актуализация изученных способов действий, достаточных для построения нового знания, и их обобщение;

2)актуализацию соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов;

3)мотивация студентов к проблемному учебному действию («надо»-«могу»-«хочу»), и его самостоятельное осуществление;

4)фиксация студентов индивидуальных затруднений в выполнении ими пробного учебного действия или его обоснования.

коллективные формы работы: коммуникативное взаимодействие в группах;

задания для самостоятельного выполнения;

вербальная фиксация различных вариантов решения и отсутствие изученного их обоснования.

2-3 мин.

Постановка учебной задачи.

Постановка цели действия.

сопоставление студентами действий с используемым способом (где?);

выявление и вербальное фиксирование причины затруднения (почему?);

на этой основе студенты ставят цель деятельности, предлагают вариант формулировки темы урока, который уточняется преподавателем.

коммуникативное взаимодействие, подводящий диалог;

включение эмоционального компонента: «Яркое пятно», похвала и т.п.

10-11 мин.

Открытия нового знания.

Построение проекта выхода из затруднения (цель, способ, план, средство) т.е. построение обучающимися нового способа действий и формирование способностей к его выполнению.

студенты выбирают метод решения учебной задачи- свойство, понятия, алгоритм, модель и т.д. – и на его основе строят достижения цели, выдвигают, обосновывают и проверяют гипотезы , определяются предметные действия с моделями, схемами и пр.;

новый способ действий фиксируется- вербально и знаковое;

студенты преодолевают возникшие затруднения с помощью нового способа действия. Этим процессом руководит преподаватель: на первых порах с помощью подводящего диалога, затем побуждающего, а затем и с помощью исследовательских методов.

коммуникативное взаимодействие, подводящий диалог; использование двигательной активности, материальных и материализованных моделей.

4-5 мин.

Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа с самопроверкой и самооценкой, закрепление нового способа действий;

рефлексия достижения цели.

студенты самостоятельно выполняют задание на новый способ действий; самостоятельная проверка по алгоритму; создание ситуации успеха, допустившие ошибки выявляют их причину и исправляют ошибки. В завершение организуется исполнительная рефлексия за реализации построенного проекта учебных действий и самостоятельных процедур.

обучение процедуре грамотного самоконтроля,

-письменная работа, небольшого объема, узкой типовой направленности;

-индивидуальная деятельность.

2-3 мин.

Рефлексия учебной деятельности на уроке

(итог урока)

Рефлексия учебной деятельности на уроке. Самооценка результатов деятельности.

организация рефлексии и самооценки студентами своей деятельности на уроке;

фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели;

планирование дальнейшей деятельности определения заданий для самоподготовки

(домашнее задание с элементами выбора творчества).

беседа, самостоятельная работа;

-обсуждение вопросов: Что нового вы узнали? Каким способом выполняли задание? Где используется этот способ? Каковы результаты? Что нужно сделать еще?




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Тему открытого урока я выбрала не случайно, т.к применение производной позволяет решать задачи повышенной трудности и для этого требуется нетрадиционные мышления,  которое можно применять в вычислительной технике, экономике и т.д. Это доказывает актуальность данной темы.

 

Урок спланирован в контексте систематического и обстоятельного изучения математического анализа.

Данный урок является комбинированный. Он направлен на решение следующих задач:

 а) повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и навыков студентов;

б) изучение нового материала;

в) контроль и коррекцию знаний студентов по изучаемой теме.

На уроке рассматриваются методы, формирующие математическую компетентность учащихся: словесные, наглядные, практические, методы самостоятельной работы, контроля, самоконтроля и взаимоконтроля, метод стимулирования и мотивации.

Материалы урока рассчитаны для студентов  второго курса техникума.

В разработке применяется система рейтинговой оценки знаний и умений студентов.

На уроке проводим тест за считанные минуты, с использованием ярких графиков и четкого текста, причем студенты имеют возможность сразу же узнать, каков правильный ответ, обсудить ошибки, подсчитать набранные баллы. Это делает систему оценок открытой, понятной для всех студентов.

Материалы урока содержат задания самого разного содержания и уровня сложности- от самых простых до творческих. Для тех, кто опережает класс, предусмотрены дополнительные задачи повышенной трудности.

 

 

Автор
Дата добавления 28.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров389
Номер материала 547743
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх