МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЧР
Муниципальное казенное
образовательное учреждение
«Средняя
общеобразовательная школа № 2
Малокарачаевского
района с. Учкекен»
Методическая
разработка
«Введение
новых понятий
на уроках
математики»
Выполнила:
Учитель математики
Высшей
квалификационной
категории
Хасанова Аминат
Ахматовна
Руководитель районного МО МИФ /Борлакова Р.И./
Учкекен
2017-2018уч.год.
Введение новых понятий на
уроках математики
Пояснительная записка
Мы считаем, что развитие
творческого мышления у учащихся в процессе изучения ими математики является
одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями математики в современной
школе. Основным средством такого воспитания и развития математических
способностей учащихся являются задачи. Неслучайно известный современный
математик и методист Д. Пойа пишет: «Что значит владение математикой? Это есть
умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной
независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».
Для овладения и управления
современной техникой и технологией нужна серьезная подготовка, включающая в
качестве непременного компонента активные знания по математике. Наличие знаний
не означает, что они являются активными запасами учащихся, что ученики способны
применять их в разных ситуациях. Высокий уровень математической подготовки
достигается в процессе обучения, ориентированного на широкое использование
связей математики с современным миром.
В данной программе предложено
решение задач, которые охватывают разделы школьного курса алгебры, геометрии,
физики и позволяют учителю наглядно показать роль математики в решении
практических задач. Содержание курса представляет собой совокупность фрагментов
из различных разделов алгебры, геометрии, физики.
Основными задачами данного курса
являются:
- Реализация основного принципа педагогики -
единства теории и практики.
- Раскрытие связей математики с окружающим
миром.
- Приобретение школьниками знаний, на которые
они смогут опираться в жизни.
Цели создания курса:
- Получение учащимися в процессе решения задач
практических умений и навыков, которые помогут ему успешно освоить
программу старшей профильной школы.
- Предоставить возможность учащимся работать
на уровне повышенных требований, развивать его учебную мотивацию.
Решение задач, создание
экспериментов, организация проектной деятельности реализует проявление
инициативы учащихся при изучении курса, его высокой доли самостоятельности и
активности в процессе работы.
После изучения курса учащиеся будут иметь возможность оценить
привлекательность математики, ее интеллектуальную эстетику, широкое
разнообразие интересных математических задач. Развитие их интереса к математике
до познавательного уровня даст возможность в этом возрасте выбрать математику
как предмет для последующего углубленного изучения.
Содержание
Введение: Математические
понятия (определяемые и основные).
Род и вид. Определения и описания. Классификация.
§ 1. Этапы изучения математических
предложений.
§2. Введение математических предложений.
2.1. Три способа введения определений,
аксиом, теорем.
2.2. Введение понятий.
2.3. « Открытие» теорем.
2.4. Введение аксиом.
2.5. Введение правил.
§3. Обеспечение усвоения математических
предложений.
3.1. 0 формальном усвоении определений, аксиом, теорем.
3.2. Раздельный метод.
3.3. Компактный метод.
3.4.
Алгоритмический метод.
§4. Технология обучения правилам в
системе развивающего обучения.
4.1 .Мотивационно-ориентировочная
часть.
4.2.0перационно-исполнительская часть.
4.3 . Рефлексивно-оценочная часть.
Список литературы.
Введение:
Математические
понятия (определяемые и основные).
Род
и вид.
Определения
и описания.
Классификация.
Первым основным требованием, которое предъявляется к изложению любой
науки, является требование определенности (ясности, четкости) всех тех понятий,
с какими данная наука имеет дело: употребляя какой-либо специальный термин,
выражающий некоторое новое, ранее не рассмотренное понятие, необходимо
обеспечить правильное понимание этого термина, установить точный его смысл,
раскрыть, как говорят, содержание соответствующего понятия.
Содержание подавляющего большинства математических понятий
раскрывается через определения: впервые употребляя новый математический термин,
мы обязаны его, т.е. разъяснить его смысл, пользуясь при этом так называемыми
первичными терминами: «каждый», «все», «существует», «нет», «и», «или»,
«если..., то», «если и только если» («тогда и только тогда») и т. д., а также
теми математическими понятиями, смысл которых является ранее установленным.
Например, определяя составное число, которое имеет по крайней мере один собственный
делитель, мы устанавливаем понятие составного числа и собственного числа на
основе понятий натурального числа и собственного делителя, предполагаемых
известными.
Обычная форма определения - указание рода и видового признака, т.е.
указание более общего понятия,, частным случаем которого является определяемое,
и какого-нибудь признака, отличающего новое понятие от всех других,
объединяемых этим более общим. В приведенном примере с составным числом
определение указывает род - натуральное число, и видовой признак - наличность
по крайней мере одного собственного делителя. Словесная формулировка
определения не всегда содержит явное указание на род и видовой признак, но
анализ определения всегда позволяет их установить. Например, определяя ортогональную
проекцию точки на ось как основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на
ось. Мы можем легко видеть, что здесь род - точка, видовой признак - связь с
данной точкой, устанавливаемая указанным построением. Вовсе не касаясь важного
и интересного вопроса о том, как вырабатываются понятия на основе
представлений, рассмотрим те требования, какие предъявляются к определениям.
Во-первых, определения не должны содержать ссылок на новые, еще не определенные
понятия. Нельзя допускать, чтобы при объяснении смысла непонятного термина
употреблялись термины столь же еще более непонятные (obscurum per obscarius),
т. е. темное через темное. Это не исключает ссылок на основные понятия,
содержание которых раскрывается иными путями и о которых речь будет ниже.
Например, попытка определения угла как меры наклона одной прямой к
другой ничего не дает, так как понятие наклона требует. В свою очередь,
определения и раскрывается только с помощью понятия угла: получается порочный
круг в определении.
Во-вторых, определение должно быть соразмерным определяемому понятию, «адекватным»
ему, не должно быть ни чрезмерно широким, ни слишком узким. Например, грубой
ошибкой является определение иррационального числа как корня из рационального
числа, при условии, что этот корень точно не извлекается: существует
бесконечное множество иррациональных чисел, которые не допускают представления
в виде корней из рациональных чисел, как числа π, lg2 и т. д.. Это определение
недопустимо узко, оно не охватывает всех иррациональных чисел. Но неправильно и
определение иррационального числа как бесконечной десятичной дроби: оно слишком
широко, так как все периодические десятичные дроби бесконечны, но не выражают
рациональные числа. Из нескольких известных правильных определений иррационального
числа в средней школе применяется его определение как бесконечной
непериодической десятичной дроби.
В-третьих, определение не должно содержать указаний на такие
свойства определяемых понятий, какие вытекают из определений. Хотя подобные
указания могут и не нарушать адекватности определения, они излишни. Например,
определяя параллелограмм как плоский четырехугольник с двумя парами
соответственно равных и параллельных сторон, мы смешиваем здесь определение
параллелограмма с одной теоремой о нем: если четырехугольник имеет две пары
соответственно параллельных сторон, то эти стороны попарно равны. В чем легко
убедиться, проводя диагональ и сравнивая два полученных треугольника.
Следовательно, указание на равенство сторон можно исключить. Одно и то же
понятие часто допускает разные определения, так как любое характеристическое
для рассматриваемых объектов свойство, т. е. свойство, имеющееся у них всех и
только у них, может служить основой для определения. Пользование различными
определениями одного и того же понятия обязывает нас проверять их
равносильность (эквивалентность): надо доказать, что всякий объект,
удовлетворяющий первому определению, удовлетворяет и второму, и обратно.
§1 . ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ
Изучение математических предложений, т. е. определений аксиом,
теорем, можно подразделить на три этапа: введение, обеспечение усвоения и
закрепление. На этапе введения, на уроке создается такая ситуация, когда
учащиеся либо сами «открывают» новые теоремы, самостоятельно формулируют новые
для них определения, аксиомы, либо просто подготавливаются к их пониманию.
Обеспечение усвоения сводится к тому, чтобы учащиеся:
1) научились применять определения, аксиомы, теоремы,
2) быстро и безошибочно запомнили их,
3) понимали каждое слово в их формулировках.
Закрепление определений, аксиом, теорем осуществляется на
последующих уроках и сводится к повторению их формулировок и отработке навыков
применения к решению задачи.
В школьном курсе математики некоторые определения и теоремы
формулируются в виде правил, например:
Т е о р е м а . Произведение двух степеней с одинаковыми
основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме
показателей этих степеней.
П р а в и л о . Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями,
надо
основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.
Следует заметить, что учащиеся нередко путаются в терминологии, называя
определения и теоремы правилами. Эта типичная ошибка (привнесенная из начальной
школы в среднюю) наблюдается в тех классах, где учитель не следит за правильным
употреблением терминов. Изучение многих правил также можно подразделить на
указанные этапы: введение, усвоение и закрепление.
§ 2. ВВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ
2.1. Три способа введения определений,
аксиом, теорем.
В зависимости от характера изучаемого материала, наличия учебного
времени, уровня развития учащихся и других факторов учителя выбирают один из
следующих способов ознакомления учащихся с новым математическим предложением.
1 способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному
формулированию
определения, аксиомы, к открытию теоремы.
2 способ. Учащиеся готовятся к сознательному восприятию, к
пониманию нового математического предложения, формулировка которого им
сообщается затем в готовом виде.
З способ. Учитель сам формулирует новые определения,
аксиомы, теоремы , а затем сосредоточивает усилие учащихся на их усвоении и
закреплении.
При осуществлении первых двух способов используется эвристически
метод, в классе создается проблемная ситуация, которая способствует
самостоятельному открытию учащимися новых знаний. Это повышает и интерес к
занятиям, способствует развитию творческих способностей, но требует
определенной затраты учебного времени, а нередко распыляет внимание учащихся на
второстепенные детали отвлекает их от основной идеи новой темы
Введение новой теоремы, аксиомы и т. д. первым или вторым способами
проходит обычно более организованно и при большей самостоятельности и
активности учащихся в тех случаях, когда используется метод целесообразных
задач. Учитель заранее подготавливает и четко формулирует специальные
подготовительные задачи. Эти задачи учителю лучше составлять самому, учитывая
специфику работы в своих классах. Умение составлять и использовать такие подготовительные
задачи — важное профессиональное умение учителя. Именно на эту сторону
обращается внимание в приводимых ниже примерах.
2.2. Введение понятий.
В одних случаях можно составить такие упражнения, чтобы на их
основе учащиеся легко и быстро сформулировали определение нового понятия. В
других случаях этого добиваться не стоит, достаточно ограничиться подготовкой к
восприятию нового определения.
Примеры.
1) постройте произвольный треугольник. Соедините отрезком его вершину с
серединой противоположной стороны. Такой отрезок называется медианой.
Сформулируйте определение медианы.
2) проведите две различные параллельные прямые, затем две другие
различные параллельные прямые, пересекающие первые.
Вы получили четырехугольник, который называют параллелограммом.
Попытайтесь сформулировать определение параллелограмма.
Выполнив это упражнение, учащиеся обычно дают определение в таком
виде: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны
которого параллельны». Остается внести необходимые коррективы.
2.3. «Открытие» теоремы.
Введение теорем часто используются упражнения на построении
соответствующих фигур. Как в случае введения понятий, к самостоятельному
«открытию многих теорем в курсе алгебры можно подвести учащихся на основе
рассмотрения частных примеров.
Пример. При изучении числовых неравенств дается
упражнение:
«Известно следующее свойство равенств: (а = Ь) => (ас= Ьс). Проверьте
на примерах, обладают ли подобным свойством неравенства. Рассмотрите случаи,
когда с>0, с<0, с=0. Сформулируйте свой вывод.
Подготовительные задачи, на основе которых учащиеся самостоятельно
«открывают» и формулируют новые теоремы, вызывают у них большой интерес.
Пример. На одной стороне угла отложите несколько
конгруэнтных между собой отрезков. Через точки деления проведите параллельные
прямые, пересекающие вторую сторону угла. Измерением сравните длины полученных
отрезков. Сформулируйте свой вывод. Можно ли этот вывод считать достоверным?
Такие упражнения учитель читает по частям, выдерживая паузы, пока
учащиеся выполняют очередное указание. Для ускорения работы длины отрезков или
величины углов сравниваются иногда не измерением, а «на глаз». С этой же целью
в некоторых случаях предлагается рассматривать готовый чертеж (модель) или используется
чертеж предшествующего упражнения.
Пример. Проведите в окружности две неравные
хорды. Установите на глаз, какая из них ближе к центру. Сформулируйте свой
вывод. Можно ли его считать достоверным?
В тех случаях, когда учащиеся приходят к выводу на основании
намерений и рассмотрения частных случаев, на первых порах важным является
вопрос (в упражнениях): «Можно ли ваш вывод считать достоверным?». Учащиеся
нисколько не сомневаются в справедливости вывода, но, запомнив фразу учителя и
понимая, что именно ее он желает услышать, произносят: «Так как намерения
всегда неточны и наш вывод основан на рассмотрении частных случаев, то его
нельзя считать достоверным, надо доказать. Повторяя эту мысль на последующих
уроках, учащиеся постепенно забывают, что она ранее была подсказана учителем и
что они сомневались в ее справедливости. Они начинают полагать, что таково их
собственное мнение. Таким образом, у учащихся возникает убеждение в
необходимости доказывать вывод, полученный на основе неполной индукции.
Если исключить вопрос «Можно ли ваш вывод считать достоверным?», то
упражнения приносят не пользу, а вред. Учащиеся недоумевают, зачем надо
доказывать полученный на примерах и вполне очевидный вывод, и потому
невнимательно слушают последующее доказательство.
Здесь мы пользуемся приемом неоднократного повторения учащимися одной
и той же мысли, но обязательно с небольшими вариациями. Этот прием позволяет
формировать убеждения у школьников так, при выполнении предшествующих
упражнений учащиеся сами повторяют одну и ту же мысль. Таким образом, данная
мысль хорошо запоминается и усваивается
2.4. Введение аксиом.
Как и в случае определений и теорем, введение аксиом также сводится к
рассмотрению частных случаев, чертежей, моделей.
Пример. Перед аксиомой параллельности учащимся
предлагается упражнение: через точку А вне прямой МК проведи те луч АВ,
параллельный (МК).
Проведите затем еще один луч АС, параллельный (МК).С помощью линейки
проверьте, лежат ли лучи АВ и АС на одной прямой. Сколько прямых, параллельных
данной прямой, можно провести через данную точку?
Ответ на последний вопрос в классе не всегда бывает однозначен,
поскольку у некоторых учащихся лучи АС и АВ оказываются не расположенными на
одной прямой. Чтобы именно так и получилось и чтобы тем самым учащиеся убедились
в необходимости введения аксиомы, учитель рекомендует прямые проводить наклонно
по отношению к линиям в тетради. Далее формулируется аксиома.
2.5 Введение правил
Рассмотренные способы введения определений, аксиом, теорем относятся
также и к правилам. В школьных учебниках почти перед каждым правилом даются
задачи, подготавливающие учащихся к самостоятельному формулированию этих правил
или хотя бы к их пониманию. Отсюда некоторые учителя полагают, что
эвристический метод необходимо использовать при введении каждого правила.
Другие учителя считают, что иногда уместны исключения. В тех случаях, когда на
подготовительные упражнения приходится тратить много времени и учащиеся с
трудом воспринимают идею этих упражнений, целесообразно отказаться от
эвристического метода при введении правила и сообщить его в готовом виде (см.
п. 2.1). В результате удается сэкономить время, четко изложить новую тему,
добиться более прочных навыков применения нового правила.
Пример. Учащиеся могут самостоятельно решить задачу на вычисление площади
прямоугольника длиною в 1,5 дм и шириною 0,4 дм, выражая длины сторон в
сантиметрах и преобразуя результат в квадратные дециметры. На решение этой
задачи уходит мало времени; она помогает подвести учащихся к пониманию правила
умножения десятичных дробей. Следовательно, в подобных случаях целесообразно
пользоваться эвристическим методом.
Пример. Правило умножения обыкновенных дробей в учебнике Математика-5 также
вводится с помощью задач о вычислении площади прямоугольника. Но эти задачи
учащиеся уже не могут решить самостоятельно. Более того, они с трудом понимают
объяснение учителя, и в эвристической беседе участвует лишь часть класса.
Следовательно, в подобных случаях учителю уместно ограничиться кратким сообщением:
Мы изучаем с вами новые числа. Они обладают некоторыми новыми свойствами,
например по иному формулируется правило умножения, затем учитель сообщает
правило, и учащиеся приступают к упражнениям.
§3. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСВОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ.
3.1. О формальном усвоении
определений, аксиом, теорем.
Существует несколько методов, обусловливающих усвоение
математических предложений. Выбор того или иного из них в конкретном случае
обусловливается характером изучаемого материала, уровнем развития учащихся и
другими факторами. Некоторые учителя не знакомы со всеми этими методами и
применяют только какой-нибудь один из них. А это является одной из причин,
приводящих к формализму в знаниях учащихся. Формализм проявляется различным
образом.
Нередко учащиеся затрудняются применять определения, теоремы, в
непривычных ситуациях, хотя и помнят их формулировки.
Пример. Многие учащиеся считают, что функция y=cos(x-n/3) является четной, и
«обосновывают»: «Косинус - четная функция». Определение они помнят, но даже не
пытаются его применять.
Пример. Предлагается установить вид треугольника (по углам) со сторонами 6
см, 8 см, 10 см. Учащиеся отвечают, что этот треугольник прямоугольный. На
вопрос: «Почему?»- они незамедлительно утверждают: «По теореме Пифагора». Такая
ошибочная ссылка на прямую теорему вместо обратной наблюдается и на уроках
геометрии, и на уроках алгебры.
Пример. На одном из уроков учащиеся несколько раз
следующим образом ошибочно формулировали аксиому параллельности: «Через данную
точку можно провести прямую, параллельную данной прямой, и причем только одну.»
Ошибка осталась незамеченной. В конце урока выяснилось, что ни один из учащихся
класса не понимает сущности допущенной ошибки.
В приведенной формулировке имеются два утверждения:
1) возможность проведения параллельной прямой,
2) ее единственность.
Первое из них доказывается независимо от аксиомы параллельности
прямой. А в аксиоме постулируется только единственность: «Через данную точку
проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой». Как видим,
неоднократное повторение формулировки без всестороннего уяснения ее смысла не
способствует ее точному запоминанию и приводит только к потере учебного
времени.
Ошибки учащихся, как правило, не носят случайный
характер. Они закономерны при определенных условиях. Это значит, что если
ошибка, рассмотренная, допустим, в последнем примере, наблюдалась в одном
классе, то можно быть уверенным, что ее будут допускать и другие учащиеся.
Действительно, в каждом из нескольких десятков классов, где проводилась
соответствующая проверка, учащиеся не понимали сущности приведенной ошибки в
формулировке аксиомы параллельности.
Формализм в знаниях учащихся наблюдается чаще
всего в тех классах, где учитель не пользуется раз личными методами обеспечения
усвоения математических предложений, а ограничивается только одним из них.
В настоящее время в школах начинают использовать три метода
обеспечения усвоения математических предложений. Не редко они применяются в
комбинации один с другим. Выбор учителем того или иного из этих методов или их
комбинации зависит от конкретных условий в данном классе. Рассмотрим эти
методы.
3.2. Раздельный метод.
Формулировки многих теорем, определений аксиом учащимся понятны, и
они легко их запоминают после очень небольшого числа повторений. В таких
случаях целесообразно, чтобы они сначала запоминали их, а потом учились
применять к решению задач.
Метод, при котором процессы запоминания определений, теорем, аксиом и
формирования навыков их применения протекают у учащихся раздельно,
неодновременно, условимся называть раздельным.
Пример. Учитель сформулировал новое для учащихся определение. Далее, чтобы это
определение запомнилось, оно повторяется отдельными учащимися класса 1—3 раза и
затем отрабатывается на упражнениях. При этом одни учащиеся запоминают
определение до перехода к упражнениям, другие — не успевают запомнить его.
Последние выполняют упражнения иногда только по аналогии, не применяя
определение, учат его дома, уже после выполнения упражнений. Получается, что и
у тех, и у других учащихся процессы запоминания определения и формирования
навыков его применения протекают раз дельно. (Отсюда и название метода:
раздельный) Очевидно, раздельный метод приносит мало пользы тем учащимся,
которые не успели запомнить определение и при выполнении упражнений не
применяют его.
Учителя часто спрашивают у учащихся формулировки определений,
аксиом, теорем вне процесса решения задач. Цель такого опроса повторить с
классом формулировки и заодно проверить, помнит ли их учащиеся. Очевидно, что
при такой работе запоминание и повторение формулировок отрывается от процесса
формирования навыков решения задач. Следовательно, и в подобных случаях
фактически используется раздельный метод. Предлагается учитывать способности
умственной деятельности учащихся, психологические закономерности усвоения ими
знаний и т. д.
Исходя из этого положения и выделен раздельный метод. В нем главное не внешняя сторона
организации деятельности учителя и учащихся, а внутренний признак—
неодновременность протекания процессов запоминания определений, аксиом, теорем
и формирования навыков их применения. В следующем пункте рассматривается другой
метод, который по внутренним признакам характеризуется тем, что эти процессы
протекают одновременно. Именно этот факт и взят за основу разделения методов.
Раздельный метод широко используется в школе. Он наиболее прост в
организационном отношении и весьма удобен в тех случаях, когда, формулировки
определений, теорем и т. д. понятны учащимся и легко ими запоминаются.
Разумеется, легкость здесь понимается в относительном смысле, в зависимости от
уровня развития учащихся.
Пример. Из высказанных соображений следует, что раздельный метод удобно
применять при усвоении: определений хорды, трапеции, четной и нечетной функции
и т. д.; теоремы Пифагора, признаков параллельности прямых, теоремы Виета, свойств
числовых неравенств, правил умножения обыкновенных дробей,сложения дробей с
одинаковыми знаменателями и т.д.
При усвоении многих других определений, теорем и т. д. раздельный метод
оказывается малоэффективным. Иногда это происходит просто из-за неумелого
применения метода, иногда - из-за особенностей содержания изучаемого материала,
не достаточного уровня развития учащихся и других факторов.
Пример. На уроках многих учителей наблюдается следующий факт. Проведена большая
работа по введению понятия «параллелограмм». Цель достигнута — учащиеся как
будто понимают определение параллелограмма. В соответствии с раздельным методом
это определение несколько раз повторяется отдельными учащимися, после чего
приступают к решению задач. На каждом из последующих уроков учитель по 4—б раз
спрашивает это определение. В общей сложности за 5—7 уроков формулировка
повторяется .30—40 и более раз и несмотря на это оказывается, что многие
учащиеся не знают определения параллелограмма.
Чтобы объяснить этот и ему подобные факты, рассмотрим некоторые
вопросы психологии. В книге А. А. Смирнова формулируются две закономерности.
Первая — из личного опыта известна каждому человеку.
Закономерность 1. Понимание материала является
важнейшим
условием его запоминания.
Разумеется, на запоминание влияют и другие закономерности. Установлено,
что оно во многом зависит от сознательного намерения, определенной
направленности нашей деятельности. Существенную роль играют и неосознанные
источники направленности, в частности всякого рода установки.
Закономерность 2. Понимание
затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до
того, как материал понят в целом. В остальных случаях установка на запоминание,
наоборот, способствует лучшему пониманию материала.
Это объясняется тем, что установка на запоминание вызывает такие
формы умственной деятельности, которые в одних условиях облегчают, в других —
затрудняют понимание материала.
Отрицательное влияние, о котором идет речь в закономерности 2, чаще
всего проявляется при чтении формулировок; поскольку концентрированность,
сгущенность мыслей в них вызывает преждевременную, до ясного понимания в целом
установку на запоминание.
А.А.Смирнов проводил следующий эксперимент. Взрослым людям
предлагалось запомнить определения понятий из тех областей знания, с которыми они
не были знакомы. Определения испытуемые читали медленно, вдумываясь в
содержание. В процессе чтения им казалось все понятным, а при воспроизведении
они допускали такие искажения, что формулировка теряла всякий смысл.
Сознавая всю абсурдность своих формулировок, испытуемые особенно
внимательно читали материал повторно и все же опять допускали ошибки. Значит,
они недостаточно отчетливо, понимали определения, иначе могли бы передать их
своими словами, чего почти не наблюдалось.
Этот факт можно объяснить следующим образом. У испытуемых возникала
преждевременная установка на точность и полноту запоминания, которая
действовала до ясного осознания материала в целом, что по закономерности 2
затрудняло понимание.
Аналогичное явление можно наблюдать при изучении таких
трудноусваиваемых математических понятий, как предел последовательности, предел
функции и др. Попытки учащихся запомнить определения этих понятий до их полного
понимания, как правило, оказываются тщетными.
Вернемся теперь к последнему примеру. Учащиеся после многократного
повторения не смогли запомнить определение параллелограмма, потому что плохо
понимали его. В противном случае, они по закономерности
1 смогли бы сформулировать его своими словами, но без искажений смысла.
Ясного понимания можно добиться, если выделить больше времени на введение этого
понятия.
Остается один вариант — добить понимания нового понятия остальным
учащимся в ходе решения задач. Чтобы запомнить определение, учащиеся должны
понимать его (закономерность1).
В свою очередь, усвоения формулировки определения в целом и всеми
учащимися можно добиться при решении задач. А чтобы сознательно решать задачи,
учащиеся должны помнить определение.
Получается как бы замкнутый круг. Вырваться из него, применяя только
раздельный метод, трудно. В подобных ситуациях целесообразно пользоваться
другими методами.
3.3. Компактный метод.
Рассмотрим метод, который целесообразно использовать в тех случаях,
когда учащиеся затрудняются запоминать и применять определения, аксиомы,
теоремы.
Сущность метода состоит в том, что учащиеся читают по частям
математическое предложение и по ходу чтения одновременно выполняют упражнения.
Читая формулировку несколько раз, они попутно запоминают ее. Нет надобности выделять
специально время на запоминание, затрачивать на это усилия. По этой причине
условимся называть метод компактным.
Практически осуществить одновременное протекание процессов
запоминания математического предложения и формирования навыков его применения
удается лучше всего в тех случаях, когда работа подразделяется на три шага.
Первый шаг. Подготовка к применению математического
предложения. Определение разбивается на части по признакам, теорема — на
отдельные условия и заключения. Если теорема или определение формулируются в
виде правила, то последнее разбивается на отдельные указания.
Второй шаг. Образец действий, предлагаемый учителем. Он
показывает, как работать с подготовленным текстом: читает его по частям и
одновременно выполняет упражнения.
Третий шаг. Учащиеся читают по частям математическое
предложение или правило и одновременно выполняют упражнения. При этом они
руководствуются как подготовительным текстом, так и образцом, предложенным
учителем.
На третьем шаге сочетается коллективная и самостоятельная работа.
Последняя на первом и втором шагах подготавливается так, что каждый учащийся
класса имеет возможность выполнять упражнения при минимальной помощи учителя
или совсем без нее.
Компактный метод характеризуется тем, что процессы запоминания
определений, аксиом, теорем и формирования навыков их применения протекают
одновременно. При этом формулировки могут сохраняться в памяти лучше.
Закономерность 3. В условиях
активных способов работы, направленных на углубленное понимание материала, непроизвольное
запоминание оказывается более прочным, чем произвольное, опирающееся на
пассивные способы работы.
( Запоминание называется произвольным, если наши усилия, действия
направляются намеренно поставленной задачей — запомнить данный материал. Когда
такая задача не ставится и наша деятельность направлена на достижение совсем
другой цели, говорят о непроизвольном запоминании.)
При работе компактным методом активная мыслительная деятельность
учащихся направлена на углубленное понимание каждого слова формулировки.
Значит, математическое предложение запоминается непроизвольно и особенно
продуктивно
Обычно ученики быстро приучаются выделять в определении признаки
понятия, в теореме — условия и заключения и в дальнейшем самостоятельно
подготавливают определения и теоремы к применению.
Способ разбиения определения на отдельные признаки, правила — на
отдельные указания и т. д., изученный на конкретных примерах, обладает
переносом. Он усваивается учащимися как общий метод анализа математических предложений.
Закономерность 4. Запоминание
путем разнообразного повторения
сводящегося
к активной мыслительной деятельности, значительно более эффективной, чем
запоминание путем однообразного и многократного повторения изучаемого
материала.
Из приведенных примеров видно, что, работая компактным методом,
учащиеся при повторных чтениях формулировки определения, теоремы и т. д. каждый
раз решают новые задачи. Их мыслительная деятельность разнообразна, и активна.
Следовательно, по закономерности 4 такое повторение значительно
эффективнее, чем в том случае, когда они стараются запомнить формулировку путем
неоднократного и однообразного чтения ее вне процесса решения задач
3.4 Алгоритмический метод.
Этот метод используется для формирования навыков применения
математических предложений. Математическое предложение заменяется алгоритмом.
Читая поочередно указания алгоритма, учащийся решает задачу. Таким образом, у
него формируется навык применения определения, аксиомы или теоремы.
В некоторых случаях ограничиваются этим навыком, в других —
желательно, чтобы учащиеся запомнили еще и само математическое предложение.
Запоминание достигается, например, последующим заучиванием его. А иногда
по ходу выполнения упражнений учащиеся читают не только отдельные указания
алгоритма, но и само математическое предложение. Таким образом происходит
одновременное запоминание его. Очевидно, при этом пользуются фактически
комбинацией алгоритмического и компактного методов.
Под алгоритмом понимают совокупность указаний о том, какие операции
и в какой последовательности надо провести для решения любой задачи данного
типа. В обучении жесткую совокупность указаний приходится часто ослаблять,
включая указания, которые учащийся может выполнить только по догадке. Тогда термин
«алгоритм» употреблять некорректно, лучше заменять его словами «список
указаний». В педагогической литературе в таких случаях пользуются также
термином « алгоритмическое предписание».
Работа алгоритмическим методом, как и компактным, подразделяется на
три шага.
Первый шаг. Подготовка к работе списка указаний. Иногда
учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению. А если он дается в
готовом виде, то целесообразно разъяснить учащимся, на основе каких соображений
он составлен.
Второй шаг. Образец ответа учителя. Он последовательно читает
указ и одновременно решает задачу.
Третий шаг. Аналогичным образом работают учащиеся.
Они читают указания и решают задачу. При этом они руководствуются как образцом
ответа учителя, так списком указаний.
При использовании алгоритмического метода важное значение имеет
сочетание образца ответа учителя (второй шаг) со списком указаний.
Без списка указаний учащиеся не запоминают отдельные рекомендации из
объяснений учителя, не запоминают последовательность решения задачи и пр.
Поэтому, приступая к самостоятельному решению задач, они оказываются часто
совершенно беспомощными.
С другой стороны, если учащимся предлагается список указаний без
образца ответа учителя, то этот список приходится составлять чрезмерно
громоздким.
С кратким списком указаний учащиеся работают значительно охотнее. Он
является для них как схемой, своеобразным стимулом, помогающим восстанавливать
в памяти только что прослушанные рассуждения учителя.
Работа с кратким списком указаний позволяет учащимся придерживаться
той последовательности рассуждений при решении задач, какую показал учитель и
отвлекает внимание учащихся от хода решения задачи.
Из трех рассмотренных в данном параграфе методов при усвоение
определений, аксиом, теорем чаще всего используются раздельный и компактный,
значительно реже — алгоритмический. Последний целесообразен, например, при
изучении таких трудноусваиваемых понятий, как предел последовательности, предел
функции, необходимые и достаточные условия и пр. Но зато алгоритмический метод
шире применяется для формирования навыков решения задач определенного типа.
Компактный и алгоритмический методы как раз и позволяют учитывать
индивидуальные особенности учащихся, дифференцироваемость работы в классе.
Всем учащимся одновременно показывают, как применяются к решению
задач определения, теоремы, списки указаний и т. д. А пользуются ими одни
меньше времени, другие дольше, каждый по своим способностям. Уменьшается
списывание с доски, ибо учащиеся чувствуют себя уверенней, повышается,
следовательно, степень их самостоятельности в работе.
§4 Технология обучения правилам в
системе развивающего обучения.
За последние годы в связи с появлением школ нового типа ( гимназий,
лицеев и т. п. ) наметился рост учителей начальных классов, работающих по
программам развивающего обучения в системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.
Следовательно, уже сейчас, а тем более в ближайшие годы учителям математики все
чаще придется иметь дело с целыми классами, обучавшимися по этой системе.
Учитель среднего звена, принимающий таких детей в 5 классе, должен владеть
основными технологиями обучения в этой системе, чтобы достаточно полно
реализовать их учебно-познавательный потенциал, приобретенный в начальной
школе.
Курс математики 5-6 классов содержит много вычислительных правил.
Поэтому в первую очередь представляет интерес технология обучения
правилам в системе развивающего обучения. В основу этой технологии положена
теория учебной деятельности Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.
Технологию обучения правилам в системе развивающего обучения можно
представить схематично:
Мотивационно
– ориентировочная часть: актуализация
à мотивация à постановка учебной задачи à
планирование решения учебной задачи.
Операционно-исполнительская
часть:
преобразование условия задачи à моделирование правила à преобразование модели правила à отработка правила.
Рефлексивно-оценочная
часть: контроль
(самоконтроль) усвоения правила.
Охарактеризуем кратко каждый из выделенных этапов.
4.1 Мотивационно-ориентировочная
часть.
Этап актуализации. Цели: актуализация опорных знаний, необходимых
для введения и обоснования правила; выявления того, освоен ли учащимися
пооперационный состав действия на основе нового правила; создание «ситуации
успеха» для последующей деятельности.
Основным средством актуализации являются специальные упражнения, которые
учителю нетрудно составить самому. Итогом данного этапа является ответ ученика
на вопрос: «Готов ли я к изучению нового ?»
Этап мотивации. Цель: формирование у каждого учащегося личной
потребности в последующей деятельности, связанной с «открытием» нового правила.
Создав «ситуацию успеха» на первом этапе, учитель предлагает ребятам конкретную
учебно-практическую задачу, которая по внешним признакам знакома им. Однако ее
решение вызывает серьезные затруднения или приводит к нерациональным операциям.
Так, в сознании учащихся создается «ситуация интеллектуального конфликта»,
которая и формирует потребность в дальнейшей деятельности. Сначала каждый
ученик пытается решить задачу самостоятельно. После неудачных попыток он ищет
помощь у других. Таким образом, на уроке возникает сотрудничество учащихся.
Этап постановки учебной задачи. Цель: непосредственное подведение
учащегося к необходимости «открыть новое правило». Ученики анализируют
в группах затруднения, возникшие в связи с конкретной учебно-практической
задачей. Тем самым они пытаются отделить свои знания от незнаний. Этот этап
обычно заканчивается ответами школьников на вопрос: «Что же мы должны узнать,
чтобы решить последнюю задачу?»
Итак, учащиеся сами формулируют цели урока, которые фиксируются на
доске и в их тетрадях, например, в такой форме: «Открыть правило...»
После создания проблемной ситуации учитель спешит сообщить ученикам,
что данную задачу они решить не могут, так как не знают такого-то правила.
Этап планирования.Цель:составление программы дальнейшей деятельности.
Выясняем коллективно характеристические свойства данных и искомых
объектов, затем выделяем последовательность вопросов, поиске ответов на которые
приведет к решению сформулированной выше учебной задачи.
4.2 Операционно-исполнительская
часть.
Этап преобразования условий задачи. Цель: преобразование условия задачи таким
образом, чтобы можно было установить связи между характеристическими свойствами
данных и искомых объектов.
Этап моделирования правила. Цель: создание модели правила, ее анализа
и уточнение.
Учащиеся пытаются зафиксировать выявленные на предыдущем этапе
характеристические свойства данных и объектов в виде некоторой модели
(графической и символьной). На этом этапе урока можно прибегнуть к групповой
форме. Каждая группа обычно создает свою модель. Результаты фиксируется на
отельных листах, которые по окончании работы крепятся к доске. Затем учитель
организует межгрупповую дискуссию, в ходе которой выделяется лучшая модель
правила или корректируются предложенные. Таким образом, рождается
коллективная модель правила. В процессе обучения ребята становятся более
самостоятельными при создании моделей, новых правил и поэтому начинают
предлагать различные виды моделей, которые все менее нуждаются в уточнении.
Этап преобразования модели правила. Цель: получение словесной
формулировки правила.
После того как выявлена и уточнена модель правила, учащиеся пытаются
в группах сформулировать словами само правило. Теперь модель выступает в роли
внешней опоры для формулирования правила. В заключение целесообразно выделить
последовательность операций, из которых состоит выполнение действия на основе
правила, т. е. придать ему алгоритмическую форму. Более того, уместно выделенную
следовательность действий зафиксировать письменно в тетради по моделированию.
Этап обработки правила. Цели: осознание, осмысление правила; запоминание
правила.
На этом этапе модель правила выступает в роли ориентировочной
основой деятельности, в результате которой действие, построенное на новом
правиле. Ребятам предлагается выделить принципиально различные случаи на его
применение. Упражнения первого цикла класс решает фронтально, а учитель
осуществляет пооперационный контроль за выполнением действия. В следующий цикл
учитель включает задания рефлексивного характера, например упражнения « с
ловушками», в которых предлагается найти задачи с преднамеренно допущенными
ошибками при их решении. Постепенно можно привлекать ребят и к самостоятельному
составлению новых задач, представив себя в роли автора учебника. При этом у
школьников развиваются речь, воображение, эмоционально-эстетическое отношение к
заданиям.
4.3 Рефлексивно - оценочная часть.
Этапы контроля оценки. Цели: помочь учащимся овладеть способами и
критериями самоконтроля и самооценки; определить уровни усвоения правила;
выявить «точечные» затруднения в усвоении правила.
Учитель подбирает или составляет систему заданий, с помощью которой
можно диагностировать усвоение правила. Каждый ученик выполняет самостоятельно
предложенные задания, а затем подвергает пооперационному контролю выполнение
каждого из них, фиксируя свои выводы рядом с решением в виде последовательности
знаков:
+ (если уверен в правильности выполненной операции),
-( если не знает, как выполнить операцию),
+ и - ( если не уверен в правильности выполненной операции).
Проверяя данную работу, учитель не исправляет допущенные ошибки, но
фиксирует их в своей тетради. Кроме того, сопоставляет последовательности
знаков пооперационного контроля ученика с выполненными им задания.
Ученик отвечает на вопросы теста. Потом учащиеся уточняют свои ответы
в группах, а учитель организует совместное обсуждение результатов. В
заключение учитель раздает тетради с первой работой, ученик выполняет заново те
задания, в которых, как он считает, допустил ошибки. Только теперь учитель
ставит оценку, сравнивая результаты двух выполненных работ, чтобы убедиться в
возможности ребят корректировать свою деятельность.
Естественно, что реализовать на одном уроке все перечисленные этапы
учебной деятельности невозможно. На первом уроке происходит «открытие
правила». Этап отработки, достаточно длительный по времени, реализуется на
нескольких уроках. Заключительным этапом также посвящаются отдельные уроки.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.