Задания для подготовки к олимпиаде по математике по теме "Решение задач: делимость"

«Решение задач: делимость»

1.  К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

2.  Найдите цифры х и у пятизначного числа 42х4у, если известно, что это число делится на 72.

3.  Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу.

4.  При некоторых целых  число делится на 11. Докажите, что тогда и число будет делиться на 11.

5.   Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим двузначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько существует чисел с таким свойством?

6.      Придумайте число, делящееся нацело на 11, в записи которого использованы все десять цифр по одному разу.

7.      Докажите, что числа, запись которых состоит из трех одинаковых цифр, делятся и на 3, и на 37.

8.      В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок в корзине?

9.      Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько в доме этажей, если всего в нем 105 квартир?

10.  Найдите остаток от деления на 7 числа, десятичная запись которого состоит из 2013 единиц.

11.  Докажите, что если число вида 111…11 кратно 13, то оно кратно и 77.

12.  Если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то полученное число без остатка разделится на 11: например, кратны одиннадцати числа вида и т.д. Докажите это.

13.  Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и  в остатке.

14.  При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе деление без остатка. Найдите данное число.

15.  Когда трехзначное число, первые две цифры которого одинаковые, а третья равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найдите делимое, делитель и неполное частное.

16.  При делении на 2 число дает остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?

17.  Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, а на 7 делится нацело.

18.  Учеников трех классов повели на экскурсию. Когда хотели построить их парами, то оказалось, что один ученик при этом остается без пары. Когда хотели их построить тройками и четверками, то в каждом случае один ученик оставался без пары. Когда же всех построили по пять, то ни одного ученика вне строя не осталось. Сколько было учеников?

19.  Ученики двух шестых классов купили 737 учебников. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было шестиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

20.  Ученики одной из школ на каникулах поехали на экскурсии на одинаковых полностью заполненных автобусах. В Курск поехало 520 человек, а в Орёл 455. Сколько мест в автобусе? Сколько автобусов заказала школа?    

21.  Наименьшее общее кратное двух чисел равно 360, а частные от деления этих чисел на их наибольший общий делитель равны 3 и 5 соответственно. Найдите эти числа.

22.  Наибольший общий делитель двух чисел равен 7, а наименьшее общее кратное – 70. Найдите данные числа (все варианты).

23.  Два числа относятся как 5:8, а их наибольший общий делитель равен 21. Найдите данные числа.

24.  Наименьшее общее кратное двух чисел равно 3780, а сами эти числа относятся как 14:15. Найдите все варианты чисел с таким свойством.

25.  Докажите, что НОК(a,b)НОД(a,b)=ab.

26.  Известно, что НОК двух чисел в 16 раз больше их НОДа. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.