ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ MATHCAD ҚҰРАЛДАРЫМЕН ШЕШУ

ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ MATHCAD ҚҰРАЛДАРЫМЕН ШЕШУ

Н.Т.Ниханбаева, А.Б. Тендикова

Қарағанды маңызды білім беретін «Болашақ» колледжі

Ақпараттық технологияларды қолданудың бірден-бір негізгі облысы математикалық және ғылыми-техникалық есептеу болып табылады. Бүгінгі күні мұндай есептеу жұмыстарын жүргізу өте өзекті мәселе. Бұл үшін барынша сәйкес келетін ең бір мықты және тиімді математикалық жүйе-Mathcad болып табылады.Mathcad-Matlab,Maple,Mathematica және тағы да басқа көптеген осындай жүйелер арасындағы айрықша орын алатын жүйе. Mathcad-әдеттегі математикалық тапсырмалардың  шешімін сипаттайтын бірден-бір жалғыз жүйе болып қалады.Mathcad өте тиімді бағытталған-математикалық интерфейс және керемет ғылыми графика құралы бар жүйе,сонымен қатар  сандық және аналитикалық есептеулерді орындауға мүмкіндік береді.

 Одной из основных областей применения информационных технологий являются математические и научно-технические расчеты. Сегодня актуально уметь производить такие расчеты..   Для этого наиболее подходящей  является одна из самых мощных и эффективных математических систем - Mathcad, которая занимает особое место среди множества таких систем (Matlab, Maple, Mathematica и др.).  Mathcad остается единственной системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков.  Mathcad позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

One of the main fields of using PС is mathematical and scientific-technical calculations, teaching the simple methods of calculations by using modern information technologies. The most suitable for it  is one of the most powerful and effective mathematical systems - Mathcad, which has a special place among lots of similar systems (Matlab, Maple, Mathematica and others). Mathcad remains the only system in which the description of mathematical tasks solution is given by means of usual  mathematical formulas and signs. Mathcad allows to perform both numeral and symbolic calculations. It has a very convenient mathematically-oriented interface and perfect means of scientific graphic arts.

Жай дифференциалдық теңдеулердi шешу  ғылыми-техникалық есептеулер тәжiрибесінде кең қолданылады. Сызықтық жай дифференциалдық теңдеулердің арнайы функциялар түрiнде шешiмі болғанымен, көп физикалық жүйелер сызықтық емес және аналитикалық шешімдері жоқ  сызықтық жай дифференциалдық теңдеулермен сипатталады. Бұл жағдайда жай  дифференциалдық теңдеулердi шешуде сандық әдістерді қолдануға тура келеді.

Жай дифференциалдық теңдеулердi шешу үшін, тәуелдi айнымалының мәнін және  туындылардың  кейбiр мәндердегі тәуелсiз айнымалысының мәнін бiлу керек [3]. Егер бұл қосымша шарттар бiр мәнде тәуелсiз айнымалы түрінде болса, онда мұндай есеп Коши есебі деп аталады. Егер шарттар  екi немесе көп тәуелсiз айнымалы түрінде болса, онда есеп шектік деп аталады.

Коши есебі.

Коши есебiн төмендегiше сипаттауға болады, Жай  дифференциалдық теңдеу берiлсiн:

                                                                                                                              [1]

Бастапқы шарты .  Көрcетiлген  теңдеуге  жеткiлiктi функцияны,яғни бастапқы шартты қанағаттандыратын  функцияны табу керек.

Коши есебiнiң сандық шешiмi . теңдеудің  нүктелеріндегі шешiмдерi жақын  мәндердiң кестесiн құрастырудан тұрады.  Жиiрек мұндағы айнымалы өсiмшесінiң қадамы , қадамының  шешiмінiң интервалдарының саны.

Коши есебінің шешiмiнiң сандық әдiстерiнiң  екi тобын қарап шығамыз: бiр қадамды және көп қадамды.

        Бір қадамды

Бiр қадамды әдiстер - бұл  қисығындағы келесi нүктенi табу үшiн алдыңғы  тек қана бір қадам туралы мәлiмет керек болатын әдiстер. Бiр қадамды әдiстер ішінде  ең оңайы Эйлер әдiсі:

                                                                                        [2]

Эйлер әдiсi  жоғары емес дәлдiкте болады(-тың ретi).

Жоғары жетістіктерге жету үшін (-тiң ретi), төртiншi ретті Рунг-Кутта әдiсін пайдаланады:

,   мұндағы                                                       (3)                                                                                     k

Көп қадамды әдістер

Көп қадамды әдiстерде қисығының  келесi нүктесiн табу үшiн,алдыңғы нүктелердiң бiрi туралы  мәлiметті білу керек.  мәні  жүйелі, бірізді  төрт нүктесінде табылсын. Сонымен  бірге бұрын есептелген теңдеудің оң жақ бөлігіндегі  мәні бар (1)   Онда  Адамс әдiсiнiң схемасын   мына түрде көрсетуге болады:

                          +,                       [4]

Мұндағы , нүктесіндегі шектi айырымдар мынадай түрде болады:

                                                                                            [5]

                                       

                                       

    Коши есебін Mathcad құралдарымен шешу.     

    Әр түрлі реттегі жай  дифференциалдық теңдеулердi шешу үшін, Mathcad-та кең спектрмен кірістірілген функциялар көрсетілген [1], соның бірі (rkfixed - Рунге-Кутта әдісі (rk) төртінші ретті бекітілген (fixed)  интегралдаулар қадамымен) 1-суретте көрсетілген. 

rkfixed(y, a, b,   n, D)

Р + 1 бағаналары  және n + 1 жолдары бар матрицаны қайтарады. (р - теңдеулердiң саны немесе теңдеудiң ретi, n - [a, b]интервалындағы қадамдар саны  ) - жүйелер шешiмдер кестесi: бiрiншi бағана - бұл х аргументінің   мәнi,ал  келесi бағаналар - шешiмнiң ординаталарының мәнi. y - n-ның бастапқы шартты өлшемдерiнiң векторы. D(x, y) - функция- n элементтен тұратын вектор, ол алғашқы белгісіз функциялардың туындысынан тұрады.

Есепті дәлірек шығаруға болады, егер қадамын азайтатын болса , мұнда  туынды жылдам өзгередi, және өзін жай көрсететін жерде қадамды үлкейту керек. Ол үшiн Rkadapt-тың функциясы ескерiлген (adaption - адаптация) [6]. Rkadapt функциясымен қайтарылған аргументпен матрица дәл солай болады rkfixed (1- суретте көрсетілген). Жай  дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу 3-суретте көрсетілген

 

1-сурет. 1-ші реттегі дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу

Шектік есептер

Шектік есеп төмендегiше құрастырылады: [a , b] кесiндiсінде  дифференциалдық теңдеудiң шешiмiн табу керек болсын [5] (мазмұны оңай болу үшін екінші ретті жай  дифференциалдық теңдеулерге мысалдар келтіреміз).

Мысалы:

, шектi шарт-арда                                                                     у(а) = А, у(b) = В.

[6]

Осы  жағдайда а нүктесіндегі бастапқы жетіспейтін шарттарды табу ушін, Mathcad  sbval  функциясын пайдалануды ұсынады.

Sbval(v, а, b , D, load , score)

а нүктесіндегі бастапқы жетіспейтін векторды қайтарады. V вектор бастапқы жуықтауларды  бередi, а, b - шешiмдердiң интервалының шектi нүктелерi, D(x, y) - функция - белгiсiз функциялардың бiрiншi туындылары бар вектор, load(а, v) - функция-вектор, а нүктесіндегі бастапқы шартты қанағаттандыратын мәнді қайтарады. score(b, y) - b нүктесінің  бастапқы шартында әрбір элементі  айырмашылықта, және iзделiп отырған шешiмi бұл нүктеде болатын функция-вектор.

Осыдан, жетіспейтін бастапқы шарттар алынғаннан кейін, жоғарыда айтылған кез-келген фукцияны қолданып (1-сурет), кәдімгі бастапқы шарттардағы есепті шешуге болады, яғни  - Коши есебін [4]. Шектік есептiң шешiмiнiң мысалы 2-суретте көрсетiлген. 

2-сурет. Шектік есептi шешу

       Сызықтық дифференциалдық теңдеулердiң нышандық шешiмi.

Mathcadқа сызықтық  аналитикалық шешiмдерді  алу үшiн келесi әрекеттерді орындау керек:

·        Егер сіз Mathcad 5.0 пакетімен жұмыс істесеңіз, нышандық процессордың жүктелулерi үшiн бастапқы Symbolic  Load Symbolic Processor командаларын орындауды ұмытпаңыз,ал егер сіз Mathcad 6.0. пакетімен жұмыс істеу білсеңіз, бұл пункті тастап кетіңіз[2];

·       дифференциалдау операторы мен пернелер комбинациясын қолдана отырып,бастапқы теңдеуді басып шығару [Ctrl ]= ;

·        Тәуелсiз айнымалыны белгілеп, Лапластың тура өрнектеуiн орындау Symbolic  Transforms  Laplaсе Transform (Лапластың өрнектеуі). Жай дифференциалдық теңдеулердің нәтижесі алмасу буферiнде орналастырылады. Оны F4 пернесiн басып шақырыңыз;

·       Лапластың өрнектеулерi нәтижелері бойынша алгебралық теңдеудi қолдан құрау, L = laplace(y(t), t, s), C1 = y(0) и C2 = diff(y(0), 0) белгісін қабылдап;

·       Symbolic  Solve for Variable (Айнымалы туралы шешу) командасын қолдана отырып, L  айнымалысына қатысты  жасалған алгебралық теңдеу шешуге болады.

Список литературы

          1.          Гурский Д., Турбина Е. Вычисления в Mathcad 12. —  СПб.: Питер, 2006. — С. 476-490.

          2.          Дьяконов В.П.  Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO.  —   М.:  СК Пресс,  1997. —  336 с.

          3.          Атанбаев С., Сұлтанғазин Ө. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. — Алматы: Білім, 2001. — С.36-67.

          4.          Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцева В.Б. Курс высшей математики. — 6-ое изд. — Москва: МГИУ, 2003. — 483с. 

          5.          Ханова А.А.  Численное решение уравнений и систем. —  Астрахань: Изд-во АГТУ,  2001. —  44 с.

          6.          Ханова А.А.  Символьные вычисления в среде MathCAD.  —  Астрахань: Изд-во АГТУ,  2001. —  34 с.

References

1.    Gurskyi D.,  Turbina E.  Calculations in Mathcad 12. — SP.:  Peter, 2006. —  P. 476-490.

2.     Dyakonov V. P. Manual on MathCAD PLUS 6.0 PRO. — М: SK Press, 1997. — 336 p.

3.     Atanbayev С, Sultangazin O. Short theory of calculation methods. — Almaty: Bilim, 2001. — P. 36-67.

4.     Zubkov V.G., LyahovskyV.A.,  Martynenko V.А., Minoszeva V.B. Course of the higher matematics. — 6th ed. —

  Moscow: MSIU, 2003. — 483p.

5.    Hanova A.A. Numerical solution of equations and systems. — Astrakhan: Publishing house ASTU, 2001. — 44 p.

6.    Hanova A.A. Symbolical calculation in the environment of MathCAD. — Astrakhan: Publishing house ASTU, 2001. — 34 p.