Арифметическая и геометрическая прогрессии» с использованием информационно-коммуникационных технологий

Конспект урока  «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

с использованием информационно-коммуникационных технологий

Учитель  - Кукьян С.Н.

Предмет: алгебра, урок обобщения и систематизации знаний (с элементами инсценировки).

Продолжительность: 1 урок.

Класс: 9 класс.

Технологии: компьютерная презентация тест.

Цели урока:

·         Обобщение и систематизация знаний   учащихся по данной теме; расширение кругозора учащихся, посредством ознакомления с историческим материалом; привитие интереса к предмету;

·         развитие творческого мышления учащихся, коммуникативных качеств, памяти, речи;

·         воспитание взаимопомощи, чувства ответственности.

Девиз урока:            «Прогрессия – движение вперед».

План и ход урока:

Организационная часть. Проверка готовности учащихся к уроку.

Объяснение темы, цели урока.

Класс разбит на 4 группы.

(Выходят два мудреца).

                        Закончился 20 век.

                        Куда стремится человек?

                        Изучены и космос и моря,

                        Строенье звезд и вся Земля.

                        Но математиков зовет

                        Известный лозунг:

                        «Прогрессио – движение вперед».

Актуализация целей и задач урока

Мудрец:         Под скрип пера о лист бумаги.

                        Заполните сии листы!

Раздаются заготовки листов для проверки знания теории.

№ п/п	Формулы	Прогрессия
		Арифметическая	Геометрическая
1	Определение
2	Формула n –го члена
3	Сумма n –первых членов прогрессии
4	Свойства

Ученики заполняют таблицу.

За верные ответы каждый учащийся в группе получает жетоны. На экране появляется таблица с ответами.

№	Формулы	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
1	Определение	Устно дать определение.
		a n+1  = an  + d	bn+1 = bn • q
2	Формула n–го члена	an  = a1  + d(n - 1)	bn = b1  • q (n – 1)
3	Сумма n–первых членов прогрессии	= (a1  + an) • n = 2a1 + d(n – 1)  • n	Sn = b1 • ( qn - 1) ,    q ¹1 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия | q |< 1,   S =
4	Свойства	an  =	bn =

Зная эти формулы можно решить много интересных задач.

Решим устно следующие задания:

1.           (a_n ):    a₁ = 4, a₂ = 6, d = ?

2.           (a_n ):    a₁ = 2, d = 4, a₁₀ = ?

3.           (a_n ):    a₁ = 2, a₅ = - 18, S₅ = ?

4.           (b_n ):    b₁ = 9, b₂ = 3, q = ?

5.           (b_n ):    b₁ = 1, q = - 2,  b₄ = ?

Закрепление изученного материала.

            Работа по группам.

1. Вам предлагается решить небольшой тест. Обведите верные варианты ответов в кружок. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово. Запишите буквы в таблицу.

            Найти пятые члены следующих арифметических прогрессий:

(a_n ):   - 6; - 3;…                     Ответ:  А. – 6; Б. 8; В. 18; Г. 6.

(a_n ):   a1 = 6, d = 5.               Ответ:  А. 26; Б. 11; В. 14; Г. 1.

a_n = 27 - 6n                             Ответ:  Е. 57;  Р. – 2;  У. – 3;  Ф. 3

(a_n ):   a1 = - 26,  d = 7.          Ответ:   П. 54; Р. – 2; С. 2; Т. 33

(an ):   4; 6; 8;…                     Ответ:   М. – 4; Л. – 12; П. 6; С. 12.

Какое слово у вас  получилось?

№ задания	1	2	3	4	5
Ответ (число)	6	26	- 3	2	12
Слово	Г	А	У	С	С

А знаете ли вы кто такой Гаусс?

            Карл Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик, астроном, геодезист. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький  Гаусс решил эту задачу за 1 минуту, сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …,          101 • 50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу?

( Надо было найти сумму ста первых членов арифметической прогрессии: 

1; 2; 3; …, 99; 100.      S100  =  (a1  + a100) • 100   =  (1 + 100) • 100/2   =   5050)

            Один ученик решает у доски, остальные записывают решение в тетрадях.

Сегодня  вам кажется, что знание арифметической и геометрической прогрессий вам в жизни не пригодится, но, к сожалению это не так. Вот послушайте, в какое нелепое положение попал даже правитель государства, не знающий геометрическую прогрессию.

 (Мудрец рассказывает задачу – легенду)

  Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя Шахматной игры, своего подданного Сету и предложил самому выбрать награду за создание интересной и мудрой игры. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски - 1 зерно, за вторую - 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д.  Образованный царь приказал выдать такую «скромную» награду. Однако, оказалось, что царь не в состоянии выполнить желание Сеты, так как нужно было выдать количество зерен, равное сумме геометрической прогрессии: 1; 2; 22; 23; …; 263.

S₆₄  =  2⁶⁴ - 1 = 18 446 744 073 709 551 615, т.е. 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона

073 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615.

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с пощади в 2000 раз большей поверхности Земли.

А сегодня и Вам предстоит решить не такие сложные, но, тем не менее, важные задания. Задания разной сложности, и если вы считаете, что не достаточно мудры, выбирайте задания по своим силам. А самые мудрейшие – сложные.

Вам предлагается каждой группе свои задания.

Ваша задача выполнить их. Объединив ответы с помощью  ключа, узнаете слово. (За каждое верное решение мудрецы выдают жетоны).

Найдите разность арифметической прогрессии:   19; 15; …

            (a_n ):   a1 = 7, d = 4. Найдите a₂₀.    

Найдите  сумму двадцати первых членов этой прогрессии.

            (a_n ):   a₃ = 11, a₅ = 19. Найдите a₄.

            (b_n):    b₁ = - 16, q =  1. Найдите S₅.

№ задан № групп.	1	2	3	4	5
	- 4	83	900	15	- 31
1 гр.	У	С	П	Е	Х
2 гр.	У	Д	А	Ч	А
3 гр.	Б	Л	А	Г	О
4 гр.	Д	О	Б	Р	О

19; 15; … d = 15 – 19 = - 4.

(a_n ):   a₁ = 7, d = 4. a₂₀ = a₁ + 19d = 7 + 19 • 4 = 83

a₁ = 7, a₂₀ = 83; S₂₀ = ((a₁ + a₂₀)/2) • 20 = (7 + 83) • 10 = 900

a₃ = 11, a₅ = 19. a₄ = (a₅ + a₃)/2 = (19 + 11)/2 = 15

b₁ = - 16,   q = 1. S₅ = (b₁• (q₅ – 1)) / (q – 1) = (- 16 • ((1/2)5 – 1)) / (1/2) – 1 = 16 • 2 • (- 31/32) = - 31.

900	4	- 4	15	- 31	83	10
П	А	У	Е	Х	С	Р

1.

900	- 4	83	- 15	15	5	- 31
А	У	Д	К	Ч	О	А

2.

15	83	- 83	- 4	900	4	- 31
Г	Л	И	Б	А	Д	О

3.

83	900	31	- 4	- 31	15	4
О	Б	А	Д	О	Р	П

4.

Мудрец:        

Изрядно потрудившись, собрали вы слова. И поиск их был нами оценен.(После прочитать слова, которые сложили ребята).

Итог урока:      Все вы сегодня поработали хорошо, вспомнили необходимые формулы и научились применять их при решении различных задач. (Подвести итог соревнования).

Пусть с вами будет всегда добро и благо

и пусть во всех делах сопутствует удача и успех!

Домашнее задание (Озвучить в начале урока):  повторить п.16-20, № 451 (а, в), № 467 (а)

Мудрец:         Урок сегодня завершен

                         Но каждый должен знать:

                         Познание, упорство, труд

                         К прогрессу в жизни приведут!

Дополнительные задания.

Сумма 12 и 20 членов арифметической прогрессии равна 30. Найдите a₁₆.

Дано:                          Решение:

  (a_n ):                          a₁₆ = a₁ + 15d

a₁₂ + a₂₀ = 30              a₁₂ + a₂₀ = a₁ + 11d + a₁ + 19d = 2a₁ + 30d= 2 • (a1 + 15d)

                                               2 • (a1 + 15d) = 30

Найти: a₁₆.                             a₁ + 15d = 15

                                               a₁₆ = 15.

                                               Ответ: a₁₆ = 15.

Между числами – 2 и – 128 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Решение:

- 2; b₂; b₃; - 128; …

b₁ = - 2;   b₄ = - 128;  b₄ = b1 •  q3;   q₃ = b₄ / b₁ = - 128/(- 2) = 64.

q₃ = 64, q = 4.             b₂  = b1 •  q = - 2 • 4 = - 8,  b₃  = b₂ •  q = - 8 • 4 = - 32.

Ответ: - 2; - 8; - 32; - 128;…