Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Дидактические материалы "Теория вероятностей" (8-9 классы)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Дидактические материалы "Теория вероятностей" (8-9 классы)

библиотека
материалов



Дидактические материалы по теме:


Теория вероятностей

Составитель: Мелькис А.И

Оглавление


1. Краткие исторические сведения.

2. Затруднительные истории.

3. Взвешивание.

4. Деньги.

5. Переливание.

6. Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики.

1) Определение вероятности.

2) Теорема сложения вероятностей.

3) Условная вероятность.

4) Теорема умножения вероятностей.

5) противоположные события.

6) Формула Бернулли.

7. Комбинаторика.

1) Правило произведения.

2) Сочетания.

3) прикладные задачи.

4) Вероятность.

5) Контрольные задания.

6) Задачи.

8. Решение комбинаторных задач с помощью графов.

9. Решение комбинаторных задач способом умножения.

10 Литература.
















1. Краткие исторические сведения.

Теория вероятностей сформировалась в самостоятельную научную дисциплину в 17- веках. Интересна история ее возникновения. В средние века в Западной Европе были широко распространены азартные игры, в частности, игра в кости, представлявшие собой кубики, грани которых занумерованы числами от 1 до 6. Игра в кости состояла в том, что игроки поочередно бросали одну или несколько костей, а затем, в зависимости от числа выпавших очков, тот или иной из игроков получал определенную денежную ставку. Некоторые из выдающихся математиков 17 века (Паскаль, Гюйгенс, Яков Бернулли) заинтересовались вопросом о том, нельзя ли установить количественную оценку степени возможности выпадания той или иной комбинации очков при бросании костей. В результате их исследований сложилось понятие вероятности и были установлены простейшие ее свойства. Этим были заложены основы теории вероятностей. В скором времени положения этой теории нашли важные применения в страховом деле, в статистике народонаселения, в теории ошибок. В 18-19 веках быстрому развитию теории вероятностей способствовали работы крупнейших математиков этого времени: Муавра, Лапласа, гаусса, Пуассона, П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова.

Важный вклад в теорию вероятностей в современный период ее развития внесли советские математики: С.Н.Берштейн, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко и другие.

Роль теории вероятностей в науке возросла. Это объясняется, с одной стороны, все более широким ее проникновением в самые разнообразные области человеческой деятельности (даже в такие, казалось бы, далекие от математики науки, как медицина и диагностика), а с другой стороны – возникновением на базе теории вероятностей новых математических дисциплин как, например, теории информации, представляющей собой один из основных разделов кибернетики.


Предлагаемые задачи предназначены для учащихся 5-8 классов


Затруднительные истории

1. В мешочке лежит ровное число белых и черных шариков. Сколько шариков необходимо вынуть одновременно и не заглядывая в мешочек, чтобы быть уверенным, что два из вынутых шариков окажутся одинакового цвета – белые или черные?

В ящике лежат 70 шаров: 20 шаров красного цвета, 20 желтых, 20 синих, а остальные черные и белые. Какое наименьшее количество шаров должно быть вынуто из ящика, чтобы среди этих шаров оказались не менее 10 одного цвета?


2. В одной коробке лежат 5 пар черных и столько же коричневых носков; в другой коробке лежат 10 пар черных и столько же коричневых перчаток. Сколько носков (минимально) необходимо взять из коробки, чтобы из них можно было подобрать одну пару одного цвета? А сколько перчаток нужно вынуть, чтобы так же быть уверенным, что из них можно будет подобрать хотя бы одну одноцветную пару?


3. Вам дали 4 заводные игрушки 4 ключа, предложив завести игрушки каждую своим ключом. Подбирая наугад ключ к первой игрушке, можно сделать три неверных попытки и только на четвертый раз подобрать нужный ключ. То же может повториться и с тремя другими игрушками. Тогда всех неудачных попыток будет сделано 4*3=12. А за какое наименьшее число попыток можно подобрать все ключи и завести все игрушки?


4. Сколько должна весить каждая из четырех гирь, чтобы с помощью этих гирь можно

было взвесить груз от 1 до 40 кг включительно?

А сколько гирь и какого веса каждая потребуется для того, чтобы взвесить груз от 1 до 63 кг?


5. Имеется 9 пуговиц одного размера: 8 из них весят одинаково, а одна более легкая. За какое наименьшее число взвешиваний на весах с двумя чашками можно выявить эту легкую пуговицу?

Как всего за три взвешивания определить ту же пуговицу, но из 27 пуговиц, 26 из которых одного веса:


6. Сто копеечных монет разложены на десять кучек, по 10 монет в каждой кучке. Как известно, одна копеечная монета весит 1 г. От времени и частого употребления монеты могут стираться и немного терять в весе. И вот одна из десяти кучек состоит из 10 монет, каждая из которых весит по 0,9 г.

Как всего за одно лишь взвешивание на точных весах выявить эту кучку легких монет?


7. Имеются три бидона на 10, 7 и 3 литра, причем большой бидон с молоком, а средний и малый – пустые. Требуется с помощью этой посуды разлить молоко так, чтобы в большом и среднем бидонах оказалось по 5 л молока. Какое наименьшее число переливаний необходимо будет сделать и какое именно? (Бидоны нужно наливать доверху: например, в малый -3 литра (но нельзя, например, 105 л.) или, если в нем уже имеется, допустим, 23 л, то в него можно долить, а из другого отлить еще 1 л).


8. Имеется посуда емкостью в 10, 10, 5 и 4 литра; на малом сосуде посередине есть отметка на 2 л (его можно заполнять до половины). Оба больших сосуда наполнены квасом. С помощью свободной посуды разлейте квас так, чтобы в сосудах на 5 и 4 литра его оказалось по 3 л. Сперва, для облегчения решения, перелейте квас, пользуясь отметкой на малом сосуде, а затем попытайтесь разлить квас, не прибегая к отметке.


9. В хозяйственном магазине стояли бочки с керосином на 5 и 7 литров и имелась разливная кружка на 3 литра. Требуется разлить керосин трем покупателям в их посуду по 4 л каждому. За какое наименьшее число переливаний можно это сделать?


10. На складе имелось 6 бочонков сока, вмещающих 31, 20, 19, 18, 16 и 15 литров. В первый день в один ларек отправили 2 бочонка, а в другой ларек -3, причем в первый ларек было отправлено сока вдвое меньше, чем во второй (бочонки не раскупоривались). Из 6 бочонков на складе остался только 1. Какой именно, на сколько литров?


11. Имеется 21 бочонок: 7 полных кваса, 7 полуполных и 7 пустых. Нужно поделить бочонки между тремя ларями так, чтобы каждому продавцу досталось одинаковое число бочонков и кваса, причем переливать квас нельзя. Как это сделать?


12. Кто победил Змея Горыныча?

Змей Горыныч побежден! Такая молва дошла до Микулы Селяниновича. Он знал, это мог сделать кто-то из богатырей: либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре ему сообщили:

1) Змея Горыныча победил не Илья Муромец;

2) Змея Горыныча победил Алеша Попович.

Спустя некоторое время выяснилось, что одно из этих сообщений ложное, а другое истинное. Какое предложение истинное?


13. Какое место занял каждый из мальчиков?

Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причем никакие два мальчика не делили между собой одно и то же место. На вопрос, какие места заняли ребята, трое ответили:

1) Коля – не 1-ое , не 4-ое.

2) Боря-2-ое.

3) Вова не был последним.

Какое место занял каждый из мальчиков?


14. Какая фамилия.

В лагерь приехали три человека: Гриша, Петя, Коля, их фамилии: буров, Гриднев, Клименко. Определить, кто имеет какую фамилию, если:

1) Коля не Буров;

2) Отец Нади Серовой – родной брат матери Бурова;

3) Петя пошел в школу в 7 лет и учится в 6 классе;

4) Семен Мокроусов приходится Пете дедушкой;

5) Гриднев и Гриша старше Пети на 1 год.


15. Какую отметку получила каждая девочка?

Алла, Катя и Люда оценки получили оценки за работу по математике. Какую отметку получила каждая девочка, если «2» в классе нет, а у девочек отметки разные, причем у Аллы – не «3», у Люды – не «5»?

16. Сколько лет каждому?

В семье четверо детей, им 5, 8, 13, 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в д/с, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и светы делится на 3?


17. Четыре ученицы.

Четыре ученицы - Мария, Нина, Ольга и Полина – участвовали в лыжных соревнованиях и заняли 4 первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

1) Ольга заняла 1-е место, Нина – 2-е4

2) Ольга заняла 2-е место, Полина – 3-е;

3) Мария -2-е, Полина -4-е.

Отвечающие при этом признали, что одно из высказываний каждого ответа верно, а другое неверно. Какое место заняла каждая из учениц?








Ответы

1. Всего 3 шарика: если первые два вынутых шарика будут белым или черным, то третий шарик и даст нужную пару одинакового цвета.

Нужно вынуть не менее 38 шаров. Если взять 37, то может случиться, что среди них будет по 9 красных, синих и желтых и все черные и белые шары.

2. Носков достаточно вынуть всего 3 (см. предыдущую задачу и ее решение). С перчатками дело усложняется. Необходимо вынуть 21 перчатку, так как можно вынуть даже 20 перчаток, но из них может оказаться 10 черных и 10 коричневых, да все перчатки будут на одну руку (левую или правую).

3. К первой игрушке два ключа могут не подойти, но четвертый ключ подойдет, наверное; заводят игрушку и откладывают этот ключ в сторону. Ко второй игрушке два ключа могут не подойти, а третий подойдет; после завода и этот ключ откладывается в сторону. К третьей игрушке может не подойти один ключ. Оставшийся ключ подойдет к оставшейся игрушке. Следовательно, минимальное число неудавшихся попыток в подборе ключей может быть: 3+2+1=6.

4. 1, 3, 9 и 27 кг.

5. За два взвешивания. По три пуговицы кладут на чашки весов (первое взвешивание), и если весы в равновесии, то их (пуговицы) снимают, а на чашки весов кладут по пуговице из оставшихся трех (второе взвешивание); и если весы в равновесии, то оставшаяся пуговица и есть искомая.

Если при первом взвешивании весы не в равновесии, то убирают три пуговицы с перетянувшей чашки; с другой чашки снимают одну пуговицу. Затем берут одну из двух пуговиц, оставшихся на чашке весов, и кладут ее на другую, пустую чашку и производят второе взвешивание, из которого определяют легкую пуговицу.

При 27 пуговицах поступают так: при первом взвешивании на чашки весов и на стол кладут по 9 пуговиц в три столбика, по 3 пуговицы в столбике. Как поступать дальше, ясно из предыдущего объяснения.

6. Поступают следующим образом: на чашку весов из первой кучки кладут 1 монету, из второй кучки – 2 монеты, из третьей кучки -3 монеты и т.д., из десятой кучки -10 монет.

Всего на чашке весов окажется 55 монет. Теперь начинают взвешивание, т.е. на вторую чашку весов кладут гирьки и, когда весы уравновесятся, смотрят, сколько недостает до 55 г (сколько бы весили 55 копеечных монет, если бы все монеты весили ровно 1 г каждая). Если, например, до полного веса (55 г) при взвешивании недостает 0,1 г, то это указывает, что легкие монеты в первой кучке (так как из этой кучки взята одна монета); если недостает 0,2 г, то легкие монеты во второй кучке и т. д., если недостает 1 г, то легкие монеты были в десятой кучке. (0,1*10=1 г).



7.

Порядок переливаний

Количество молока (литров) в бидонах

10-литровый

7-литровый

3-литровый

Исходное положение

10

-

-

1

7

-

3

2

7

3

-

3

4

3

3

4

4

6

-

5

1

6

3

6

1

7

2

7

8

-

2

8

8

2

-

9

5

2

3

10

5

5

-


8.

Порядок переливаний

4-литровый сосуд

2,5-лтровый сосуд

1,5- литровый сосуд

Исходное положение

4

-

-

1

1,5

2,5

-

2

1,5

1

1,5

3

3

1

-

4

3

-

1

5

0,5

2,5

1

6

0,5

2

1,5

7

2

2

-


Порядок переливаний

Сосуды емкостью

10 л

10 л

5 л

4 л

Исходное положение





1

10

10

-

-

2

8

10

-

2

3

8

5

5

2

4

8

5

3

4

5

8

9

3

-

6

4

9

3

4

7

4

10

3

3

Не прибегая к отметке на 2 л

Исходное положение

10

10

-

-

1

5

10

5

-

2

5

10

1

4

3

9

10

1

-

4

9

6

1

4

5

9

7

-

4

6

9

7

4

-

7

9

3

5

3

8

9

8

-

3

9

4

8

5

3

10

5

10

3

3


9.

Порядок переливаний

Бочки емкостью

Покупатели

7 л

5 л

3 л

1-й

2-й

3-й

Исходное положение

7

5

-

-

-

-

1

7

2

3

-

-

-

2

7

2

-

3

-

-

3

7

-

-

3

2

-

4

2

5

-

3

2

-

5

-

5

-

3

4

-

6

-

2

3

3

4

-

7

-

-

3

3

4

2

8

-

3

-

3

4

2

9

1

5

-

-

4

2

10

1

2

3

-

4

2

11

-

2

3

1

4

2

12

-

-

3

1

4

4

13

-

-

-

4

4

4


10. В первый ларь были отправлены 18 и 15-литровые бочонки; во второй – 16, 19 и 31-литровые. В само деле 15+18=33 л, 16+19+31=66 л, т.е. во второй ларь было отправлено


сока вдвое больше, чем в первый. Остался 20-литровый бочонок. Это единственно возможный ответ.

11. Если бы от каждого полного бочонка можно было отлить половину в пустой, то получилось бы 14 полуполных бочонков. Прибавляя к ним еще 7 имеющихся уже полуполных бочонков, получили бы 21 полуполный бочонок. Значит, на долю каждого приходится по 7 полуполных бочонков вина. Исходя из этого, делим бочонки: 1-му ларю (продавцу) -2 полных бочонка, 3 полуполных и 2 пустых; 2-му ларю – 2 полных, 3 полуполных и 2 пустых и 3-му ларю – 3 полных, 1 полуполный и 3 пустых бочонка. Возможны и другие решения.

12. Кто победил Змея Горыныча?

1. М.С решил, что З.Г. убил И.М. Значит первое сообщение ложное и второе тоже ложное, а в условии сказано, что ложное только одно. Значит, это не И.М.

2. М.С. решил, что З.Г. убил не А.П. Значит, первое сообщение истинное и второе тоже истинное, а в условии сказано, что только одно истинное. Значит, З.Г. убил не А.П.

3. М.С. решает, что это сделал Д.Н. Значит, первое сообщение истинное, а второе ложное.

13. Какое место занял каждый из мальчиков?

Боря – 2-ое место

Коля – не 1-ое, не 4-ое и не 2-ое, т.е. 3-е.

Так как Вова не на последнем месте, то он занял 1-ое.

Юра – на 4-ом месте.

14. Какая фамилия.

Девичья фамилия Бурова – Серова (2), значит она не мать Пети, девичья фамилия которой Мокроусова (4). Если Буров не Петя и не Коля (1), то он Гриша. Петя не Гриднев (5), значит он Клименко и ему 12 лет (3), Грише Бурову и Коле Гридневу по 13 лет (5).

15. Какую отметку получила каждая девочка?

Алла -5, Катя – 4, люда -3

16. Сколько лет каждому?

Свете -5, Тане -13, Юре -8, Лене – 15.

17. Четыре ученицы.

Допустим, Ольга заняла 1-е место, тогда Нина – не 2 и не 1. Ольга – не 2, значит Полина -3; Полина – не 4, Мария -2, Нина -4. Допустим, Ольга – не 1, тогда Нина -2, далее получим противоречие с условием.



Предлагаемые задачи предназначены для учащихся 8-9 классов. Представлены логические и вычислительные задачи.


Взвешивание


1. Задача 1.

Имеется набор следующих гирь: 1 г, 2 г, 4 г, 8 г, 16 г.

А) Можно ли с их помощью уравновесить на чашечных весах деталь массой 23 г? На чашку с деталью гири класть не разрешается. Масса детали – целое число граммов.

Б) Подумайте, любую ли деталь до 31 г можно уравновесить с помощью заданного набора гирь.

Ответ. . а) 16+4+2+1=23.

Б) да, любую деталь, так как 16+8+4+2+1=31


Задача 2.

На весах, которые находятся в равновесии, на одной чашке лежат 1 морковка и 2 одинаковые редиски, на другой – 2 такие же морковки и 1 такая же редиска. Что легче – морковка или редиска?

Ответ. Морковка и редиска весят одинаково.


Задача 3.

Как на чашечных весах уравновесить кусок олова массой 47 г с помощью следующего набора их пяти гирь: 1г, 3г, 9г, 27г, 81г? Разрешается класть гири на обе чашки весов.

Ответ. На одной чашке весов – кусок олова массой 47г, а также гири 1г, 9г, 27г, на другой чашке весов – гири – 3г, 81г.


Задача 4.

На одной чашке весов – 5 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой – 4 таких же яблока и 4 таких же груши. Весы находятся в равновесии. Что легче – яблоко или груша?

Ответ. Яблоко и груша весят одинаково.


Задача 5.

Геологи нашли 7 камней, массы которых 1кг, 2кг, 3кг, 4кг, 5кг, 6кг, 7кг. Эти камни разложили в четыре рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса камней была одинакова. Как это сделали?

Ответ. Камни можно разложить так: 1-ый рюкзак -7кг, 2-ой – 6кг и 1кг, 3-й – 5кг и 2кг, 4-й – 4кг и 3кг.


Задача 6.

3 одинаковых карася тяжелее, чем 4 одинаковых окуня. Что тяжелее – 4 карася или 5 окуней?

Ответ. 4 крася тяжелее 5 окуней.


Задача 7.

Четыре кошки и три котенка весят 15 кг, а три кошки и четыре котенка весят 13 кг. Сколько весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности? Предполагается, что взрослые кошки весят одинаково; котята так же весят одинаково.


Ответ. Сравнивая оба взвешивания, видно, что замены одной кошки одним котенком вес уменьшается на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырех кошек котятами: у нас будет тогда 4+3=7 котят, весить они будут вместе не 15 кг, а на 2*4=8 кг меньше. Значит, семь котят весят 15-8=7 кг. Котенок весит 1 кг, а кошка 3 кг.


Задача 8.

Имеются 9 одинаковых по виду шариков. 8 из них имеют одинаковую массу, а один – меньшую массу (внутри имеется небольшая полость-пустота). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти этот шарик?

Ответ. Шарики надо разложить на три кучки. Две из них положить на обе чашки весов. Если весы в равновесии, то более легкий шарик находится в третьей кучке. Если же одна из чашек пошла вверх, то более легкий шарик – на этой чашке. Затем такую же процедуру проделывают с тройкой, в которой находится более легкий шарик, и тем самым обнаруживают его.


Задача 9.

Из 9 монет одна – фальшивая, более легкая. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах определить ее.

Ответ. Первое взвешивание – по три монеты кладут на чашки весов. Таким образом, определяют, в какой тройке фальшивая монета. Еще одно взвешивание – определяется фальшивая монета.


Задача 10.

Из 81 монеты одна фальшивая. Как при помощи четырех взвешиваний на чашечных весах определить ее?

Ответ. Делим все монеты три кучки по 27 монет в каждой и первым взвешиванием определяем, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Кучку с фальшивой монетой снова делим на три кучки - по 9 монет в каждой и вторым взвешиванием определяем, в какой из этих трех кучек находится фальшивая монета. Кучку с фальшивой монетой опять делим на три кучки – по 3 монеты в каждой и третьим взвешиванием определяем, в какой из получившихся трех кучек находится фальшивая монета. Наконец, четвертым взвешиванием определяем, какая монета фальшивая.


Задача 11.

Имеются 10 мешков монет, из которых один содержит фальшивые монеты. Настоящая монета весит 10 г, а фальшивая – 9 г. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?

Ответ. Пронумеруем мешки числами от 1 до 10 и возьмем из каждого мешка столько монет, каков его номер. Если все монеты настоящие, то они должны весить (1+2+3+…+10)*10=550 г. Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер т (1<=n<=10), то взятые из мешка монеты весят на n граммов меньше, чем в случае, когда все монеты настоящие, Поэтому номер мешка с фальшивыми монетами равен разности между числом 550 и весом взвешенных монет.


Деньги


Задача 1.

У Тани и Алеши денег поровну. У Тани все монеты достоинством 20 копеек, а у Алеши все монеты – 15-копеечные. Сколько монет у Тани, если у Алеши 4 монеты?

Ответ. У Тани 3 монеты.


Задача 2.

Имеется набор монет достоинством 1, 2, 3 и 5 копеек, перечислите все наборы монет, которыми можно набрать 6 копеек. Порядок монет может бить любой.

Ответ. Существует 8 наборов монет:

  1. 1 коп *6=6 коп;

  2. 2 коп*3=6 коп;

  3. 3 коп*2=6 коп;

  4. 1 коп+2 коп+3 коп=6 коп;

  5. 1 коп+5 коп=6 коп;

  6. 1 коп*3 + 3 коп*1 =6 коп;

  7. 2 коп+1коп*4=6 коп;

  8. 2 коп*2+1коп*2=6 коп.


Задача 3.

Имеется набор «медных» монет достоинством 1, 2, 3 и 5 копеек и набор «серебряных» монет достоинством 10, 15, 20 и 50 копеек. Витя составил набор из пяти различных монет на сумму 80 копеек. Юле тоже удалось составить набор из пяти различных монет на такую же сумму, но в ее наборе оказалось больше «медных» монет. Что же это за наборы?

Ответ. Набор Вити – 2, 3, 10, 15, 50 коп; набор Юли – 2, 3, 5, 20, 50 копеек.


Задача 4.

У брата и сестры десять монет. У брата 3-копеечные монеты, у сестры – 2-копеечные. У них денег поровну. Сколько монет у сестры?

Ответ. У сестры шесть 2-копеечных монет.

Задача 5.

В кошельке шесть монет. Среди них по одной 1-копеечной, 3-копеечной, 5-копеечной и 15-копеечной монете, остальные монеты – 2-копеечные. Какую сумму, меньшую 28 копеек, нельзя набрать этими монетами?

Ответ. С помощью этих монет нельзя набрать 14 копеек.


Задача 6.

У Тани было несколько 5-копеечных монет. Она решила купить мороженое за 13 копеек, а продавец, мог дать сдачу лишь 3-копеечными монетами. Сколько 5-копеечных монет дала Таня продавцу и сколько 3-копеечных монет она получила от него?

Ответ. Таня дала 5-копеечных монет, а продавец отдал сдачу четырьмя 3-копеечными монетами: 5*5-3*4=13.





Задача 7.

У Даши пять монет: 1 копейка, 2 копейки, 3 копейки, 5 копеек, 10 копеек. Можно ли из этих монет составить все суммы денег от 3 копеек до 21 копейки?

Ответ. Можно.


Задача 8.

У брата шесть 2-копеечных монет, а у сестры - десять 3-копеечных монет. Сколько своих монет сестра должна отдать брату, чтобы денег у них было поровну

Ответ. Сестра должна отдать брату три 3-копеечные монеты.


Задача 9.

Известно, что 50 одинаковых книг стоят вместе больше17 рублей, но меньше 18 рублей . Сколько стоит одна книга?

Ответ. Книга стоит 35 копеек.


Задача 10.

1 резинка, 2 карандаша и 3 блокнота стоят 38 копеек. 3 резинки, 2карандаша и 1 блокнот стоят 22 копейки. Сколько стоит комплект из резинки, карандаша и блокнота?

Ответ. Комплект стоит 15 копеек.


Задача 11.

В коробке лежат 25 «медных» монет четырех видов: 1-копеечные, 2-копеечные, 3-копеечные, 5-копеечные. Найдутся ли среди них 7 одинаковых монет?

Ответ. Да, всегда найдутся.


Задача 12.

Брат и сестра получили в наследство 90 рублей. Если сестра отдаст брату из своей доли 10 рублей, то брат окажется вдвое богаче сестры. Сколько денег в наследство досталось брату и сколько – сестре?

Ответ. Брат получил в наследство 50 рублей, сестра – 40 рублей.


Задача 13.

Старший брат сказал младшему: «Дай мне 8 копеек, тогда у меня будет вдвое больше, чем у тебя». А младший возразил: «Дай лучше ты мне 8 копеек, тогда у нас будет денег поровну». Сколько денег у каждого из братьев?

Ответ. У старшего брата 56 копеек, у младшего – 40 копеек.


Задача 14.

Крестьянин, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже собаки, а лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой в город 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, две коровы и лошадь. Сколько стоит каждое из купленных животных?

Ответ. Собака стоит 8 рублей, корова 32 рубля, лошадь -128 рублей.


Задача 15.

Одного человека спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас 1000 рублей. Вот и узнайте, сколько у меня денег!»

Ответ. 25 рублей.


Задача 16.

Две торговки принесли на базар яблоки и решили, сложив их вместе, торговать сообща. У каждой из них было по 30 яблок. Первая собиралась продавать за рубль пару яблок, вторая – за рубль 3 яблока. Первая рассчитывала выручить от продажи 15 рублей, вторая – 10 рублей, а все вместе 25 рублей. Сложив яблоки в одну корзину, они решили продавать 5 яблок за 2 рубля, рассуждая, что если одна продаст на рубль 2 яблока, а другая – на рубль 3 яблока, то это все равно, что продавать за два рубля 5 яблок. Распродав яблоки по 2 рубля за 5 яблок, торговки стали подсчитывать выручку. Они очень удивились, когда насчитали всего 24 рубля. Торговки стали проверять яблоки по 5 штук и насчитали 12 раз по5 (т.е. 5*12=60 яблок, как и было), сосчитали 12 раз по 2 рубля. «Куда же девался один рубль?» - думали они. Помогите торговкам найти недостающий рубль.

Ответ. Дело в том, что первоначальная цена одного яблока первой торговки была ½ рубля, а второй – 1/3 рубля, т.е. первоначальная цена двух яблок ½+1/3=5/6 рубля, а они продавали два яблока за 2/5*2 рубля=4/5 рубля меньше 5/6 рубля. Поэтому торговки и не дополучили рубль.


Задача 17.

Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причем сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 рубль, во второй день – 2 рубля, в третий день – 3 рубля и т.д. Словом, каждый день я буду прибавлять по 1 рублю, так что за один четырнадцатый (последний) день я заплачу тебе 14 рублей. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день -1 копейку, во второй – 2, в третий – 4 и т.д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Сколько барыша принесла эта сделка богачу?

Ответ. Бедняк заплатил богачу (1+14)*14/2=105 рублей. Богач бедняку заплатил 163 рубля 83 копейки. Таким образом, бедняк разорил богача на 58 рублей 83 копейки.


Задача 18.

Задача-предание, которая получила решение много веков назад в Древнем Риме. Приводим краткое ее содержание.

Полководец Теренций по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Когда император спросил полководца о награде, Теренций попросил у него миллион динариев. Император согласился с такой наградой, но предложил храброму полководцу другую награду: «За твои подвиги ты заслуживаешь большей награды. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов. В одном динарии 5 брассов. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руку, вернешься сюда и положишь ее мне в ноги. На другой день ты пойдешь в казначейство и возьмешь монету, равную 2 брасса, и положишь здесь рядом с первой. В третий день – 4 брасса, в четвертый -8 брассов, в пятый -16 брассов и так далее, все удваивая стоимость монеты. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь выносить их из моего казначейства. И все, что ты вынесешь, и будет тебе наградой. А я прикажу каждый день изготавливать нужные тебе монеты». Теренций остался очень доволен такой наградой.

В первый день он вынес 1 брасс. Это небольшая монета диаметром 21 мм и весом 5 г. Сначала Теренций очень бодро вытаскивал монеты из казначейства. Например, на 12-й день он вынес монету размером 27 см и весом 10 ¼ кг. На 15-й день ноша составляла уже 80 кг и достигала в диаметре 53 см, а огромная монета состояла из 16384 единичных монет (т.е. первоначальных). 18-й день для Теренция был последним. Он еле-еле выкатил монету весом 655 кг.

Каким оказался император – щедрым или скупым, наградив таким образом храброго полководца?

Ответ. Конечно, скупым.


Задача 19.

Разменяйте денежную купюру в 25 деньга (ударение на а) одиннадцатью денежными знаками достоинством 1, 3 и 5 деньга.

Ответ. 7 денежных знаков в 3 деньга и 4 денежных знака в 1 деньга.


Задача 20.

Разменяйте денежную купюру в 100 рублей денежными знаками достоинством 1, 3 и 5 рублей, чтобы были задействованы всего 28 разменных знаков.

Ответ. 1 рубль*9+3 рубля*2+5 рублей*7=9+6+85=100 рублей.


Задача 21.

Можно ли разменять денежную купюру достоинством 100 рублей денежными знаками достоинством 1, 3 и 5 рублей, чтобы общее число разменных знаков равнялось 25?

Ответ. Нет, нельзя, так как сумма любых 25 денежных знаков достоинством 1, 3 и 5 рублей будет числом нечетным.


Задача 22.

Разменяйте 41 рубль монетами достоинством 3 и рублей.

Ответ. 7 монет по 3 рубля и 4 монеты по 5 рублей.


Переливание


Задача 1.

Как с помощью двух бидонов емкостью 5 л и 8 л отлить из молочной цистерны 7 л молока?

Ответ. Два раза наполнить 5-литровый бидон и выливать в 8-литровый. Вылить из 8-литрового бидона молоко обратно в цистерну, в него налить оставшиеся 5 л молока, зачерпнув их из цистерны в 5-литровый бидон.


Задача 2.

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 л и 5 л отлить из молочной цистерны 13 л молока?

Ответ. Приведем один из способов: 4 раза наполняем 5-литровый бидон и выливаем из него молоко в 17-литровый бидон. После этих переливаний в 17-литровом бидоне окажется 17 литров молока, а в 5-литровом бидоне останется 3 л молока. Из 17-литрового бидона молоко выливаем сова в цистерну, туда наливаем 3 л молока из 5-литровогобидона и еще дважды наполняем 5-литровый бидон и выливаем из него молоко в 17-литровй бидон.


Задача 3.

Как с помощью 7-литрового ведра и 3-литровой банки налить в кастрюлю ровно 5 л воды?

Решение. Приведем решение этой задачи в виде таблицы, которая показывает, сколько молока будет в каждой емкости после очередного переливания.


Банка

(3 л)

Ведро

(7 л)

Кастрюля


Исходное состояние

0

0

0

После 1-го переливания

3

0

0

После 2-го переливания

0

3

0

После 3-го переливания

3

3

0

После 4-го переливания

0

6

0

После 5-го переливания

3

6

0

После 6-го переливания

2

7

0

После 7-го переливания

0

7

2

После 8-го переливания

3

7

2

После 9-го переливания

0

7

5


Задача 4.

Ехали два крестьянина на базар и нашли 3 бочонка: один 8-ведерный с квасом, другой – 5-ведерный пустой, третий – 3-ведерный, тоже пустой. Крестьяне подумали поделить квас поровну тут же, на месте, с помощью этих трех бочонков, не прибегая к иной посуде. Как они разделили квас?

Решение.



Номер переливания






0

1

2

3

4

5

6

7

Бочонок емкостью 8 ведер

8

3

3

6

6

1

1

4

Бочонок емкостью 5 ведер

0

5

2

2

0

5

4

4

Бочонок емкостью 3 ведра

0

0

3

0

2

2

3

0


Задача

Богатый виноторговец призвал трех своих сыновей и велел поделить им поровну между собой 7 полных бочонков с вином, 7 таких же бочонков, наполненных вином наполовину, и 7 таких же бочонков, но пустых.

Как сыновья могут поделить вино и бочонки, чтобы каждому досталось и одинаковое количество вина, и одинаковое число бочонков, если переливать вино из одного бочонка в другой нельзя?

Решение.



Полных бочонков

Бочонков, налитых наполовину

Пустых бочонков

Первый сын

2

3

2

Второй сын

2

3

2

Третий сын

3

1

3


Задача 6.

Хозяйка накопила два горшка подсолнечного масла: один – в 8 литров, другой – в 3 литра, а третий горшок – 5-литровый остался у нее пустым. Перед праздником соседка попросила одолжить ей 6 л подсолнечного масла. Как хозяйка это сделала, если меркой могли служить те же самые три горшка?

Решение.


Номер переливания


0

1

2

Горшок емкостью 8 литров

8

8

6

Горшок емкостью 3 литров

3

0

0

Горшок емкостью 5 литров

0

3

5



Задача 7.

Председатель колхоза нанял две бригады городских рабочих для уборки урожая и пообещал по окончании работы дать каждой бригаде по 5 мер муки. Когда работа была окончена, председатель велел отдать в распоряжение работавших рабочих 3 мешка: один мешок – с 10 мерами муки, а два других, вместимостью 7 мер и 3 меры – пустые. Других мешков или других емкостей у рабочих не было, однако они разделили муку так, что каждая бригада получила по 5 мер муки. Как рабочие произвели этот дележ?

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Мешок вместимостью 10 мер

10

7

7

4

4

1

1

8

8

5

5

Мешок вместимостью 7 мер

0

0

3

3

6

6

7

0

2

2

5

Мешок вместимостью 3 меры

0

3

0

3

0

3

2

2

0

3

0


Задача 8.

Используя два бидона, вмещающих 4 л и 5 л, наберите 3 л из водопроводного крана.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

Бидон емкостью 4 л

0

4

0

4

3

3

Бидон емкостью 5 л

0

0

4

4

5

0


Задача 9.

Используя банку емкостью 1,5 л и чайник емкостью 5 л, наберите 4 л воды.

Решение.



Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Банка емкостью 1,5 л

0

0

1,5

0

1,5

,

1,5

0

0,5

0,5

1,5

0

Чайник емкостью 5 л

0

5

3,5

3,5

2

2

0,5

0,5

0

5

4

4




Задача 10.

Используя ведро емкостью 9 л и бидон емкостью 4 л, наберите из пруда:

А) 7 л воды;

Б) 6 л воды.

Решение.

А)


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Бидон емкостью 4 л

0

4

0

4

0

4

3

3

0

4

0

Ведро емкостью 9 л

0

0

4

4

8

8

9

0

3

3

7


Б)


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Бидон емкостью 4 л

0

0

4

0

4

0

1

1

4

0

Ведро емкостью 9 л

0

9

5

5

1

1

0

0

6

6

Задача 11.

Используя бидоны емкостью 5 л и 7 л, наберите из бочки 6 л воды.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Бидон емкостью 5 л

0

0

5

0

2

2

5

0

4

4

5

0

Бидон емкостью 7 л

0

7

2

2

0

7

4

4

0

7

6

6


Задача 12.

Используя две банки емкостью 0,75 л и 2 л, наберите из водопроводного крана 1 л воды.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Банка емкостью 0,75 л

0

0,75

0

0,75

0

0,75

0

0,75

0,25

0,25

0

0,78

0

Банка емкостью 2 л

0

2

0

0

0,75

0,75

1,5

1,5

2

0

0,25

0,25

1

Задача 13.

Используя стакан емкостью 200мл и банку емкостью 750 мл, наберите из кувшина 100 мл воды.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

Стакан емкостью 200мл

0

0

200

0

200

0

200

0

150

Банка емкостью 750 мл

0

750

550

550

350

350

150

150

0



Номер переливания


9

10

11

12

13

14

15

16

17

Стакан емкостью 200мл

150

200

0

200

0

200

0

200

0

Банка емкостью 750 мл

750

700

700

500

500

300

300

100

100


Задача 14.

Используя ведро емкостью 9 л и бидон емкостью 5 л, наберите из речки 3 л воды.

Решение.


Номер переливания

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Бидон емкостью 5 л

0

0

5

0

4

4

5

0

5

0

Ведро емкостью 9 л

0

9

4

4

0

9

8

8

3

3


Задача 15.

Используя два ведра емкостью 9 л и 11 л, наберите из пруда 4 л воды.

Решение.


Номер переливания

0

1

2

3

4

5

6

7

Ведро емкостью 9 л

0

0

9

0

2

2

9

0

Ведро емкостью 11 л

0

11

2

2

0

11

4

4


Задача 16.

Используя сосуды емкостью 12 л, 9 л и 5 л, первый из которых наполнен жидкостью, а остальные – пусты, отлейте 8 л жидкости.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

Сосуд емкостью 5 л

0

0

5

0

4

4

0

Сосуд емкостью 9 л

0

9

4

4

0

8

8

Сосуд емкостью 12 л

12

3

3

8

8

0

4


Задача 17.

Из бочки, содержащей не более 10 л бензина, отлейте 6 л, используя бидон емкостью 5 л и ведро емкостью 9л.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

Бидон емкостью 5

0

5

0

5

1

1

0

5

0

Ведро емкостью 9л.

0

0

5

5

9

0

1

1

6


Задача 18.

Можно ли, используя бочки емкостью 8 ведер, 6 ведер и 3 ведра, отлить одно ведро жидкости из заполненной доверху первой бочки?

Ответ. Нельзя.



Задача 19.

Из бочки, содержащей не менее 13 ведер бензина, отлейте 8 ведер, используя бочонки в 5 ведер и 9 ведер.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

Бочонок емкостью 5 ведер

0

0

5

0

4

4

5

0

Бочонок емкостью 9 ведер

0

9

4

4

0

9

8

8


Задача 20.

Из бочки, содержащей 18 л бензина, отлейте 6 л, используя два ведра по 7 л и черпак емкостью 4 л.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

Черпак емкостью 4 л.

0

0

4

0

0

4

0

0

Первое ведро емкостью 7 л

0

7

3

3

3

3

3

0

Второе ведро емкостью 7 л

0

0

0

7

3

3

3

6


Задача 21.

Разделите поровну между двумя семьями 12 л хлебного кваса, находящиеся в 12-литровом ведре, воспользовавшись для этого пустым ведерком емкостью 8 л и 3-литровой банкой.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

Ведро емкостью 12 л

12

9

9

6

6

Ведро емкостью 8 л

0

0

3

3

6

Банка емкостью 3 л

0

3

0

3

0




Задача 22.

Разлейте пополам 8 л молока, 3 из которых находятся в 9-литровой банке, три – в 5-литровой банке, а еще 2 – в 3 литровой банке.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

Банка емкостью 3 л

2

2

3

0

Банка емкостью 5 л

3

5

4

4

Банка емкостью 9 л

3

1

1

4


Задача 23.

Разлейте пополам 12-литровую бочку воды, используя для этого два пустых бочонка – из 9 ведер и 5 ведер.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

Бочка емкостью 12 ведер

12

7

7

2

2

11

11

6

6

Бочонок емкостью 9 ведер

0

0

5

5

9

0

1

1

6

Бочонок емкостью 5 ведер

0

5

0

5

1

1

0

5

0


Задача 24.

Можно ли разделить пополам 8-ведерную бочку, наполненную водой, используя два пустых бочонка, одно из которых емкостью 6 ведер, а другой – 3 ведра?

Ответ. Нельзя.


Задача 25.

Разделите пополам бидон вместимостью 10 л, наполненный молоком, используя для этого два пустых бидона – на 7 л и 3 л.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Бидон емкостью 10 л

10

7

7

4

4

1

1

8

8

5

5

Бидон емкостью 7 л

0

0

3

3

6

6

7

0

2

2

5

Бидон емкостью 3 л

0

3

0

3

0

3

2

2

0

3

0


Задача 26.

Разлейте пополам 10 ведер кваса, 4 из которых находятся в 6-ведерном бочонок, а 6 – в 7-ведерном, используя при этом пустой бочонок вместимостью в 3 ведра.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

Бочонок емкостью 6 ведер

4

4

6

2

2

5

Бочонок емкостью 7 ведер

6

3

3

7

5

5

Бочонок емкостью 3 ведер

0

3

1

1

3

0


Задача 27.

Разделите пополам 8-литровое ведро молока, используя при этом пустые 5-литровый бидон и 3-литровую банку.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

Ведро емкостью 8 л

8

5

5

2

2

7

7

4

4

Бидон емкостью 5 л

0

0

3

3

5

0

1

1

4

Банка емкостью 3 л

0

3

0

3

1

1

0

3

0



Задача 28.

Можно ли разделить пополам 12-ведерную бочку воды, используя при этом пустые 9-ведерный и 7-ведерный бочонки?

Ответ. Нельзя.





Задача 29.

Разлейте пополам 16-ведерную бочку воды, используя при этом пустые 11-ведерный и 6-ведерный бочонки.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Бочка вместимостью

16 ведер

16

10

10

4

4

15

15

9

9

3

3

14

14

8

8

Бочонок вместимостью

11 ведер

0

0

6

6

11

0

1

1

7

7

11

0

2

2

8

Бочонок вместимостью

8 ведер

0

6

0

6

1

1

0

6

0

6

2

2

2

6

0


Задача 30.

Разделите на три равные части 24-ведерную бочку воды, используя при этом пустые бочонки емкостью 13 ведер, 11 ведер и 5 ведер.

Решение.


Номер переливания


0

1

2

3

4

5

6

7

Бочка емкостью 24 ведра

24

19

8

8

8

8

8

8

Бочонок емкостью 13 ведра

0

0

0

11

13

13

8

8

Бочонок емкостью 11 ведра

0

0

11

0

0

3

3

8

Бочонок емкостью 5 ведра

0

5

5

5

3

0

5

0




Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики

для учащихся 9-11 классов


Определение вероятности.

1. привести примеры двух событий:

а) несовместных и не единственно возможных;

б) совместных и единственно возможных;

в) единственно возможных, но не равновозможных;

г) равновозможных, но не единственно возможных;

д) равновозможных и совместных;

е) равновозможных и несовместных.

2. Из пяти карточек с буквам А, Б, В, Г, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность получения слова ДВА?

(1/60)


3. Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет хотя бы на одной из них выпадет герб.

(3/4)

4. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков не превзойдет 5.

(5/18)

5. Бросаются три игральные кости. Какова вероятность того, что на всех костях выпадет одно и то же число?

(1/36)

6. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится на 8.

(11/90)

7. Подсчитать вероятность того, что в наудачу выбранном телефонном номере, состоящем из 4 цифр, все цифры окажутся различными (телефонный номер может начинаться с цифры 0).

(0,504)

8. Из колоды в 36 карт наудачу вынули 3 карты. Какова вероятность того, что все вынутые карты оказались масти пик?

(1/85)

9. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наудачу вынули два шара. Что вероятнее: будут шары одинакового цвета или разного?

(Вероятнее, что шары будут разного цвета).

10. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех взятых билетов равно один окажется выигрышным?

(236/539)

11. Среди 20 деталей 4 нестандартных. Найти вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей окажется 4 стандартных и 2 нестандартных.

(91/323)

12. 10 человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

(2/9)

13. На две наудачу выбранные клетки шахматной доски поставлены две ладьи. Какова вероятность того, что ладьи не бьют друг друга? (7/9)


Теорема сложения вероятностей.

1. Два стрелка ведут стрельбу по мишени. Положим:

А1 – попадание в мишень первым стрелком;

А2 - попадание в мишень вторым стрелком.

Что представляет собой событие А12?

(Попадание в мишень хотя бы одним стрелком (или первый попадет, а второй не попадет, или первый не попадет, а второй попадет, или попадут оба стрелка)).

2. Что представляет собой событие А+А?

(Само событие А).

3. Взяты две облигации. Можно ли для нахождения вероятности выигрыша хотя бы на одну облигацию воспользоваться теоремой сложения?

(Нет, так как выигрыши на первую и вторую облигации оказываются совместными событиями).


Условная вероятность.

1. Из колоды в 36 карт наудачу вынули 4 карты. Рассмотрим события:

А – все карты оказались разных мастей;

В – хотя бы одна карта масти пик.

Будут ли события А и В зависимыми.

(Да).

2. Брошены две игральные кости. Рассмотрим события:

А – на каждой из костей выпало нечетное число;

В – сумма выпавших очков равна 2.

Найти вероятность Р(А), Р(А/В), Р(В), Р(В/А).

(1/4, 1, 1/36, 1/9).


Теорема умножения вероятностей.

1. Что представляет собой событие А12в условиях упражнения 1 из параграфа 4?

(Попадание в мишень обоими стрелками).

2. Что представляет собой событие А*А?

(Само событие А).

3. Два самолета сбросили по одной бомбе на некоторый объект, который будет разрушен только в том случае, если в него попадут обе бомбы. Вероятность попадания в объект первой бомбы равна 0,8, второй – 0,65. найти вероятность разрушения объекта.

(0,52).

4. Из колоды в 36 карт последовательно вынули 3 карты (не возвращая их в колоду). Найти вероятность того, что первая и третья карты были красной масти, а вторая – черной.

(9/70).

5. Считая рождение мальчика и рождение девочки равновозможными, найти вероятность того, что наудачу выбранной семье, имеющей трех детей, все дети окажутся одного пола.

(1/4).

6. В одной урне 3 белых и 5 черных шаров, в другой – 5 белых и 2 черных шара. Из каждой урны наудачу взяли по шару. Какова вероятность появления шаров равного цвета?

(31/56).

7. Два игрока поочередно по одному разу бросили монету. Найти вероятность того, что у первого игрока герб выпал раньше, чем у второго.

(5/8).

8. Из 15 деталей, среди которых 8 – первого сорта, 5 – второго сорта и 2 – третьего сорта, наудачу взяли две детали. Найти вероятность того, что обе детали одного сорта.

(13/35).

9. В урне 10 шаров. Вероятность вытаскивания из урны двух белых шаров равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?

(4).


Противоположные события.

1. Что представляет собой событие, противоположное достоверному событию?

(невозможное событие)

2. Указать события, противоположные следующим:

а) из трех облигаций хотя бы одна выиграет;

б) все шары, вынутые из урны, будут белыми.

( а) Не выиграет ни одна облигация. б) Хотя бы один шар не будет белым)

3. Взято 3 лотерейных билета. Положим:

А1 – выигрыш на первый билет;

А2 - выигрыш на второй билет;


А3 - выигрыш на третий билет.

Описать следующие события:

а) А*А2*А3,

в) hello_html_m1e1bb94f.png

( а) Выиграют только первый и второй билеты. Б) хотя бы один билет не выиграет.

в) Выиграет только один из билетов).

4. В условиях предыдущего упражнения записать следующие события:

а) Ни один из билетов не выиграет;

б) Выиграет только второй билет;

в) Хотя бы один из двух первых билетов выиграет, а третий билет не выиграет).

hello_html_m53c038b8.png

5. Решить пример 2 параграфа 4.

(17/25).

6. рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,8, для второго – 0,5, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.

(0,86).

7. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынули 2 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из этих шаров белый?

(0,7).

8. Игральная кость брошена 4 раза. Что вероятнее, выпадет хотя бы один раз число 6 или нет?

(Вероятнее, что выпадет).

9. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк для первого орудия – 0,5, для второго – 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

(0,973).

10. Студент, разыскивая книгу, решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фонде эта книга или нет. Что вероятнее, достанет студент книгу или нет.

9Вероятнее, что достанет).

11. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью, большей 0,99, можно было бы ожидать хотя бы одного выпадения герба.

(7 или более раз).


Формула Бернулли.

1. Из колоды в 36 карт 5 раз наудачу вынули одну карту, каждый раз возвращая ее в колоду. Найти вероятность того, что среди вынутых карт ровно 2 были масти пик.

(135/512).

2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника в шахматы: 3 партии из 4 или 5 из 8?

(Вероятнее выиграть 3 партии из 4).

3. Батарея дала 6 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при каждом выстреле равна 1/3. найти вероятность разрушения объекта, если для этого требуется не меньше двух попаданий.

Указание. При решении задачи целесообразно сначала найти вероятность противоположного события.

(0,65).


Комбинаторика

Задачи

Правило произведения

1. Номер автомашины состоит из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?

2. В лифте, останавливающемся на 7 этажах, едут 10 человек. Каждый из них независимо друг от друга может сойти на любом этаже. Сколько способов существует?

3. В алфавите 32 буквы, 10 из которых гласные. Сколько существует пятибуквенных слов, начинающихся с гласной буквы? («Слово» - это любая последовательность букв).

4. Сколько можно составить шестибуквенных «слов» из алфавита в 32 буквы таких, что никакие две одинаковые буквы не стояли бы рядом?


5. Алфавит состоит из трех букв. Каждое «слово» языка содержит любое число букв, но не более четырех. Сколько в этом языке существует фраз, содержащих ровно пять (непустых) слов?

6. В алфавите 22 согласные и 10 гласных букв. Сколько существует шестибуквенных «слов» с чередующимися гласными и согласными буквами? Сколько существует семизначных слов с теми же условиями?

7. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?

8. В 12-ричной системе счисления имеется 12 цифр. Сколько в этой системе имеется 7-значных чисел?

9. Сколькими способами можно разложить семь разных монет в три кармана?

10. Флаги многих государств представляют собой полотнища, состоящие из трех горизонтальных полос различного цвета. Сколько таких трехцветных флагов можно составить, имея в распоряжении материал шести цветов?

11. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?

12. На полке нужно поставить три пятитомных собрания сочинений так, чтобы все пять томов каждого из собраний сочинений стояли друг за другом, хотя и не обязательно в порядке следования номеров тома. Сколькими способами это можно сделать?

13. В двух колоннах по 15 человек стоят 15 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы все мальчики стояли в левой колонне (все девочки тогда окажутся в правой)?

14. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?

15. Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?

16. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

17. Сколькими способами можно расставить в ряд числа 1, 2, …, 100 так, чтобы числа 1, 2, 3 попали рядом и притом шли в порядке возрастания?

18. Сколько различных делителей имеет число 22*33*44*55?

19. Десять различных писем надо запечатать в конверты и наклеить на каждый конверт марок на 4 коп. Имеются марки трех сортов по 4 коп. и четырех сортов по 2 коп. (в неограниченном количестве). Сколькими способами можно наклеить марки на конверты?


Сочетания

1. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если всего есть 50 солдат 3 офицера?

2. на уроке спросили 5 учеников из 35 учеников класса. Каждый из опрошенных получил одну из четырех отметок: 2, 3, 4 или 5. Сколько разных записей могло появиться в журнале?

3. Сколькими способами на собрании, где присутствует 100 человек, можно выбрать 7 членов президиума, в число которых входить председатель или секретарь собрания или оба вместе?

4. В мешке лежат п различных пар ботинок. Сколькими способами можно выбрать из мешка 2к ботинок так, чтобы из них нельзя было составить ни одной пары?

5. Из мешка, содержащего m черных и n белых шаров, выкладывают подряд шары. Сколько разных последовательностей может получиться? (Шары одного цвета между собой неразличимы).

6. Замок в автоматической камере хранения открывается лишь после того, как набирается определенный набор четырех цифр. Пассажир забыл набранный номер, но помнил, что в нем все цифры были разные и шли они в порядке возрастания. Сколько комбинаций ему придется перебрать, чтобы открыть замок?

7. Сколько диагоналей можно провести в п-угольнике?

8. В классе 19 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно выбрать команду в 7 человек? Решите эту задачу двумя способами, в одном из них перебирая, сколько девочек может входить в команду (от 0 до 7).

9. мама каждый день выдает на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых яблока, 5 одинаковых груш, 2 одинаковых персика и 1 апельсин. Сколькими способами она может выдать эти фрукты в течение 11 дней?

10. Сколькими способами 20 одинаковых монет можно разложить в три кармана так, чтобы в каждом лежало не менее двух монет?

11. Из слова «рот» перестановками букв можно получить еще такие слова: «тор», «орт», «отр», «тро», «рто». Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить : 1) из слова «логарифм2; 2) из слова «реестр»?


Прикладные задачи

1. Сколько различных сопротивлений можно получить, используя резисторы и их соединения, из следующего набора: R1=10, R2=100, R3=1000 Ом.

2. Сколько различных сопротивлений можно получить последовательным и параллельным соединениями резисторов из следующего набора: R1=1Ом, R2=2 Ом, R3=4 Ом, R4=8 Ом, R5=16 Ом.

3. Сколько различных сопротивлений можно получить различными соединениями трех одинаковых резисторов?


Вероятность

1. Из букв слова «уравнение» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что: 1) эта буква будет гласной; 2) согласной; 3) эта буква будет «щ»?

2. В ящике имеется 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?

3. В ящике 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди 10 наугад вынутых деталей бракованных не окажется?

4. военный летчик получил задание уничтожить три рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета бомба. Вероятность попадания в первый склад 1,01, во второй – 0,008, в третий – 0,024. любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

5. В телевизоре 10 ламп. Для любой из ламп вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна p. Какова вероятность того, что: 1) в течение года хотя бы одна лампа выйдет из строя; 2) в течение года выйдет из строя ровно 1 лампа; 3) ) в течение года выйдут из строя 2 лампы?


Контрольное задание

Вариант 1

  1. В меню 4 закуски, 3 супа, 7 вторых и 2 десерта. Сколькими способами можно выбрать обед из четырех блюд?

  2. Сколько есть четырехзначных чисел с разными цифрами?

  3. В роте 3 офицера, 7 сержантов и 50 рядовых. Сколькими способами можно выбрать отряд из одного офицера, двух сержантов и пяти рядовых?

  4. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность ни разу не попасть в цель при трех выстрелах?

Вариант 2

  1. Выбрано 10 согласных и 5 гласных. Сколько можно составить слов из 8 букв, в которых гласные и согласные буквы чередуются?

  2. Сколькими способами можно выбрать 6 человек из 20 так, чтобы два данных человека не были выбраны вместе?

  3. Сколькими способами можно переставить буквы в слове АБАКАН так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке?

  4. вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при трех выстрелах будет не более одного промаха?

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов.

Вероятность события А обозначается символом Р(А) или, в краткой записи, просто

буквой Р. Р=m/n


1. Из пяти карточек с буквам А, Б, В, Г, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность получения слова ДВА?

(1/60)

2. Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет хотя бы на одной из них выпадет герб.

(3/4)

3. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков не превзойдет 5.

(5/18)

4. Бросаются три игральные кости. Какова вероятность того, что на всех костях выпадет одно и то же число?

(1/36)

5. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится на 8.

(11/90)

6. Подсчитать вероятность того, что в наудачу выбранном телефонном номере, состоящем из 4 цифр, все цифры окажутся различными (телефонный номер может начинаться с цифры 0).

(0,504)

7. Из колоды в 36 карт наудачу вынули 3 карты. Какова вероятность того, что все вынутые карты оказались масти пик?

(1/85)

8. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наудачу вынули два шара. Что вероятнее: будут шары одинакового цвета или разного?

(Вероятнее, что шары будут разного цвета).

9. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех взятых билетов равно один окажется выигрышным?

(236/539)

10. Среди 20 деталей 4 нестандартных. Найти вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей окажется 4 стандартных и 2 нестандартных.

(91/323)

11. 10 человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

(2/9)

12. На две наудачу выбранные клетки шахматной доски поставлены две ладьи. Какова вероятность того, что ладьи не бьют друг друга? (7/9)



Объединением событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В.

Объединение событий А и В обозначается символом А+В.


Вероятность объединения несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А) или Р(А*В)=Р(В)*Р(А/В).


1. Два самолета сбросили по одной бомбе на некоторый объект, который будет разрушен только в том случае, если в него попадут обе бомбы. Вероятность попадания в объект первой бомбы равна 0,8, второй – 0,65. найти вероятность разрушения объекта.

(0,52).

2. Из колоды в 36 карт последовательно вынули 3 карты (не возвращая их в колоду). Найти вероятность того, что первая и третья карты были красной масти, а вторая – черной.

(9/70).

3. Считая рождение мальчика и рождение девочки равновозможными, найти вероятность того, что наудачу выбранной семье, имеющей трех детей, все дети окажутся одного пола.

(1/4).

4. В одной урне 3 белых и 5 черных шаров, в другой – 5 белых и 2 черных шара. Из каждой урны наудачу взяли по шару. Какова вероятность появления шаров равного цвета?

(31/56).

5. Два игрока поочередно по одному разу бросили монету. Найти вероятность того, что у первого игрока герб выпал раньше, чем у второго.

(5/8).

6. Из 15 деталей, среди которых 8 – первого сорта, 5 – второго сорта и 2 – третьего сорта, наудачу взяли две детали. Найти вероятность того, что обе детали одного сорта.

(13/35).

7. В урне 10 шаров. Вероятность вытаскивания из урны двух белых шаров равна 2/15. Сколько в урне белых шаров?

(4).


Вероятность события, противоположного событию А, выражается формулой.:

hello_html_m2232912e.png


Два стрелка сделали по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания стрелками в цель равны 0,6 и 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель. Пусть

А – попадание в цель первым стрелком;

В - попадание в цель вторым стрелком.

Найти вероятность противоположных событий, т.е. вероятности непопадания стрелками в цель:

hello_html_m3bd65c06.png

Вероятность непопадания в цель обоими стрелками находится по теореме умножения

hello_html_6b73941b.png

Попадание в цель хотя бы одним стрелком является событием, противоположным непопаданию в цель обоими стрелками, поэтому

hello_html_668ed66e.png


1. рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,8, для второго – 0,5, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.

(0,86).

2. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынули 2 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из этих шаров белый?

(0,7).

3. Игральная кость брошена 4 раза. Что вероятнее, выпадет хотя бы один раз число 6 или нет?

(Вероятнее, что выпадет).

4. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк для первого орудия – 0,5, для второго – 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

(0,973).

5. Студент, разыскивая книгу, решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фонде эта книга или нет. Что вероятнее, достанет студент книгу или нет.

(Вероятнее, что достанет).

6.Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью, большей 0,99, можно было бы ожидать хотя бы одного выпадения герба.

(7 или более раз).


Формула Бернулли

Рm,nnmРm(1-Р)n-m


1. Из колоды в 36 карт 5 раз наудачу вынули одну карту, каждый раз возвращая ее в колоду. Найти вероятность того, что среди вынутых карт ровно 2 были масти пик.

(135/512).

2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника в шахматы: 3 партии из 4 или 5 из 8?

(Вероятнее выиграть 3 партии из 4).

3. Батарея дала 6 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при каждом выстреле равна 1/3. найти вероятность разрушения объекта, если для этого требуется не меньше двух попаданий.

Указание. При решении задачи целесообразно сначала найти вероятность противоположного события.

(0,65).


Решение комбинаторных задач с помощью графов и способа умножения

В развитии детей большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Комбинаторные задачи привлекательны тем, что легко могут быть оформлены в виде головоломок. Они вызывают у учащихся большой интерес. А так как способы их решения резко отличаются от обычных школьных, знакомство с ними способствует развитию математического мышления школьников.

Решение задач с помощью графов

1. У Лены 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами он может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Ответ: 6 вариантов.

hello_html_m43c65ba6.png

2. Ужасные грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того, чтобы открыть замок входной двери, им нужно подобрать двузначный код. Причем известно, что дверь запирает Буратино, который знает пока еще только 4 цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько вариантов придется перебрать Кнопке и Скрепке, чтобы проникнуть в дом?

hello_html_m753e5b80.png


3. Проникнуть в дом – полдела. Кнопке и Скрепке нужно еще открыть сейф. Но сейф запирает папа Карло, а он знает все цифры. Сколько двузначных кодов нужно перебрать грабителям, чтобы открыть сейф?

hello_html_661adb63.png


4.У ковбоя Джека две лошади: каурой и гнедой масти, два седла: красное и зеленое, две пары шпор: длинные и короткие, два револьвера: один марки «Кольт», другой – «Смит-и-Вессон». Сколькими способами Джек может экипироваться для конной прогулки по прериям?

hello_html_774b88d7.png

5. Космический корабль «Циклоп» опустился на неизвестную планету Х звезды и У созвездия Центавр. Планета оказалась обитаема и разделена океанами на три материка. Каждый материк выдвинул трех представителей для того, чтобы лететь с кораблем на Землю. Представителей первого материка зовут Манн, Зан, Сан, второго – Пын, Фын, Шин, третьего – Хыр, Кыр, Дыр. Но на «Циклопе» не хватит анабиозных ванн для девяти человек. Он может взять только трех. Сколько способов у инопланетян составить делегацию на Землю?

hello_html_4c0e6b64.png


Можно решить эти задачи способом умножения.

Решение задач способом умножения

1. У Кролика две табуретки: красная и зеленая. К нему в гости пришли Вини-Пух и Пятачок. Сколькими способами он может рассадить гостей?

Решение: на красную табуретку может сесть или Пятачок или Пух. В любом случае на оставшуюся табуретку сядет второй гость, т.е. всего два способа.

2.В следующий раз к Кролику пришли три гостя: Вини-Пух, Пятачок и ослик Ив. Сколькими способами он может рассадить гостей на синей, красной и желтой табуретках?

Решение: на красную табуретку может сесть или Пух, или Пятачок, или Ив. Всего имеются три возможности. На синюю табуретку сядет один из двух оставшихся гостей. Ну а на желтую табуретку сядет тот гость, который не успел занять ни красную, ни синюю. Получается 3*2*1=6 способов.

3.Сколькими способами Кролик может рассадить пять гостей на пяти разноцветных табуретках?

Решение: 5*4*3*2*1=120 способов.

Произведение 1*2*3*4*5 обозначается 5! (факториал).


4. На борту космического корабля «Циклоп» три пилота и два инженера. Сколькими способами можно составить экипаж разведывательного катера из одного пилота и одного инженера?

Ответ: 6 способами.

5. В некотором городе у всех велосипедистов были трехзначные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 8, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну а что для велосипедиста «восьмерка» колеса – знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?

Решение: для выбора цифры сотен номера имеется восемь возможностей, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Сколько же возможностей для выбора цифры десятков и единиц. Всего номеров будет: 8*8*8=512. Так что на всех обладателей велосипедов их не хватит.

6. Хвати ли номеров, если велосипедисты смягчат свои требования и согласятся на

цифру 0?

Ответ: хватит, номеров будет 9*9*9=729.


7. В пятом классе изучаются восемь предметов. В среду пять уроков, и все различны. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

Ответ: 8*7*6*5*4=6720 способов.

8.Сколько всего автомобильных номеров можно составить из четырех цифр и трех букв?

Ответ: 10*10*10*10*32*32*32=327680000 номеров.

9. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0,1, 3, 4, 5?

Ответ: 1*2*3*4*2=48 чисел.

10. Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели, сиденья которой изображали льва, тигра, слона, оленя, медведя и жирафа. Ребята заспорили, кому на какого зверя садиться, и решили перепробовать все способы. Сколько раз им пришлось для этого прокатиться на карусели?

Ответ: 6!=1*2*3*4*5*6=720 раз.

11. В городе проводится первенство по футболу между шестью командами. Сколько состоится матчей?

Решение: В матче «Мотор» - «Искра» неважно, какая команда будет первая, а какая вторая. А при методе подсчета 6*7=42 этот матч подсчитан дважды – и как встреча «Мотора» с «Искрой», и как игра «Искры» с «Мотором». Поэтому ответ вдвое больше, чем следует. В первенстве состоялся : 42/2=21 матч.

12. А сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36, играя в «Спортлото»?

Решение: ответ 36*35*34*33*32=4523904 будет неверным, так как все равно, вычеркиваем мы сначала номер 13, а потом 3 или наоборот, т.е. вычеркивание номеров в порядке 13, 3, 6, 17, 10 дает тот же результат, что и вычеркивание в порядке 6, 17, 3, 10, 13. А так как 5 номеров можно переставлять друг с другом 5*4*3*2*1=120 способами, то верный ответ будет таким: 4523904/120=376992.

























Литература

1. В.Нестеров. «Знай и умей», Ленинград. «Детское издательство», 1961,

2. Е.И. Игнатьев. «В царстве смекалки», М. «Наука», 1979.

3. Журнал «Информатика в школе» № 2 2002 «Задачи по информатике»

4. Ю.Г.Горст «Начала теории вероятностей», Красноярск, 1968.

5. М.И.Башмаков. Математика, Москва «Высшая школа» 1994.

6. Н.Я.Виленкин. Комбинаторика. М., 1965.

7. Н.Я.Виленкин. Популярная комбинаторика. М., 1975.

8. Н.Я.Виленкин, И.Я.Депман. За страницами учебника математики. М., 1989.

9. . Оре Ойстин. Графы и их применения. М., 1965.






Краткое описание документа:

Дидактические материалы содержат:

1. Краткие исторические сведения о теории вероятностей.

Решение задач:

2. Затруднительные истории.

3. Взвешивание.

4. Деньги.

5. Задачи на переливания.

6. Определение вероятности.

7. Теорема сложения вероятностей.

8. Противоположные события.

9. Формула Бернулли.

10. Правило произведения.

11. Сочетания.

12.Прикладные задачи.

13. Контрольные задания.

14. Решение комбинаторных задая при помощи графов.

15. Решение комбинаторных задач  спсобом умножения.

Все задачи даны с подобными решениями.

Автор
Дата добавления 12.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров867
Номер материала 287487
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх