- 23.02.2015
- 900
- 0
Тема элективного занятия: Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем уравнений.
Цель: Расширение и углубление знаний в решения нестандартных задач.
Задачи:
· Развивать логическое и математическое мышление, развивать письменную и речевую математическую культуру учащихся.
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Метод работы: частично-поисковый, репродуктивный.
Дидактический материал: раздаточный материал для каждого обучающегося, анкеты.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Домашнее задание.
4. Решение нестандартных задач.
5. Итог урока.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Вступительное слово учителя. Обучающимся объявляется тема урока, цели и план урока.
2. Проверка домашнего задания.
Работа в парах. Взаимопроверка. На дом были заданы уравнения. В таблице ставят + и -.
Критерий оценок:
5 или 6 уравнений – «5»
4 уравнений – «4»
3 уравнений – «3»
Менее 3 уравнений - «2».
Решить уравнения:
1. 
Ответ:
- 
, - 
,
2. 
Ответ:
, 
,
3. 
Ответ:
,
4. 
Ответ:
- 
5. 
Ответ:
6. 
Ответ: 
,
|
1 задание |
2 задание |
3 задание |
4 задание |
5 задание |
6 задание |
|
|
|
|
|
|
|
3. Домашнее задание:
Задания 1и 2 уровней на «3»
Задания 2и 3 уровней на «4»
Задания 3и 4 уровней на «5»
ЗАДАНИЯ 1 УРОВНЯ
№ 1 Какие из данных уравнений не имеют корней?
а) sinх = -0,02;
б) cosх = -1,01;
в) tgx = 0;
г) sinx = 
;
д) sinx = 102/101;
е) tgx = π
ж) cosx = 
№ 2. Решите уравнения:
а) tgx = -1;
б) 2 cosx+1 = 0;
в) 2sin2x+sinx = 0;
г) ctg2x = 1;
д) 3cos2x-4sinx cosx+sin2x = 0;
е) cosx+cos3x=0;
ж) 2cos2x+5sinx – 4 = 0.
№ 3 Решите неравенство:
а) sinx 
;
б) cosx
; ;
в) 2cosx – 1
;
г) tgx < -1.
ЗАДАНИЯ 2 УРОВНЯ
№ 1 Для каких из данных уравнений число π является корнем уравнения?
а) 2sinx = 0;
б) 3cosx = 0;
в) sinx = cosx;
г)
.
№ 2 Решить уравнение:
а) sin (π – x) + cos (
+x) = 0;
б) sin 7x – sin 3x – cos 5x = 0;
в) 2sin3 – cos 2x – sin x = 0.
№ 3 Изобразив схематически графики, определите, сколько корней имеет уравнение:
сos x = 2x
№ 4 Найти корни уравнения:
а) sinx = 
на 
б) cos x = - 
на [0; π].
ЗАДАНИЯ 3 УРОВНЯ
№ 1. Составьте тригонометрическое уравнение вида sinx = a, решения которого включает точки, отмеченные на единичной окружности.
№ 2 Решите уравнение:
а) 1- cos 6x = tg 3x;
б) sin x + 2 cos x =
.
№ 3. Решите систему:
№ 4 Решите неравенство:
а) 
>;
б) 
<.
ЗАДАНИЯ 4 УРОВНЯ.
Решите уравнение:
1. 
2. 
= 
4. 
6. Решить
уравнение 
в зависимости от
параметра а.
7. При каких значениях параметра а имеет корни уравнение
4. Решение нестандартных задач
Решить уравнения и системы уравнений:
1. 
2. 
3. 12
3x+ 
≥13
4. 
5. 16
-40 x +31 = (
- 
) (
). Если уравнение
имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней
(из ЕГЭ 2008).
6. Найти
все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное
решение 
7. 
8. 
Понятие нестандартных задач и нестандартных методов решения. Классификация нестандартных методов решения: метод мажорант, метод монотонности, метод тригонометрической подстановки, применение производной, геометрический подход, применение области определения функций. Привести пример из заданий ЕГЭ по математике:
Детей рассадить парами (сильного и слабого) с целью взаимопомощи,
1. Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций)
Понятие метода мажорант и основной идеи этого метода. Рассматривается метод, когда на общей части областей существования функций, находящихся в левой и правой части, каждая из них ограничена слева или справа одним и тем же числом.
Пусть мы имеем уравнение 
и существует число М, такое, что для
любого x из области определения 
и 
и 
. Тогда уравнение , 
Число M называется мажорантой.
Пример1. Решить уравнение:
Оценим: 
Правая часть: 
- решение системы, а значит, исходного
уравнения.
Ответ: x= 2
Пример 2:
Решение: Преобразуем
исходное уравнение (везде k
Z):
Поскольку 
Осталось решить
уравнение: 
Ответ: 
Пример3: 12
cos 3x+ ≥13
Решение: Т.к. 
, 
, то данное неравенство
может быть верно, только если одновременно 
Везде n, k 
. Решение последней
системы может быть получено на тригонометрическом круге. Действительно, первое
неравенство задаёт точки 
и 
, а второе неравенство
- точки 
, и 
Общее решение: (или - 
)
Ответ: x= - + 
Z
Пример 4
Решение: Преобразуем неравенство: 
Воспользуемся равенством 
Поскольку функция
у=
- возрастает, то последнее
неравенство равносильно 
откуда и получим ответ:
Пример 5. 16
-40 x +31 = ( - ) (). Если уравнение
имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней
(из ЕГЭ 2008).
Решение: В левой части уравнения –квадратичная функция. Выделим полный квадрат:
y= 
. Теперь понятно. Что
множество её значений- отрезок 
.
В правой части уравнения- функция y=6 - 
. Множество её значений-
отрезок 
. Значит, решением
уравнения 16 -40 x +31 = ( - ) () являются те, и только
те значения переменной , при которых значения и левой и правой частей равны
числу 6. Квадратичная функция y=
16 -40 x +31 принимает
значение у=6 только при х= 
. Найдём значение
функции у=( - ) () при полученном
значении х: у()= 6 -
= 6 -
Ответ: х=
- единственный корень
уравнения.
Геометрическое решение алгебраических задач (геометрические интерпретации).
Геометрические интерпретации (иллюстрации) удобны и доступны для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с их использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащегося. Геометрический образ откладывается в сознании и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. Это позволяет решать такие задачи, которые алгебраическими методами решать весьма затруднительно, если вообще возможно.
Пример 6 .
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет
единственное решение
Решение: На языке
геометрии задание означает, что требуется найти все значения параметра а, при
каждом из которых окружность с центром в точке (1; 3) и радиусом 
касается окружности с
центром в точке (-2; -1) и радиусом 3, При внешнем касании это означает что +3 =5; при внутреннем
касании, что -3= 5 ( число 5 –
расстояние между центрами окружностей). Сделать рисунок к задаче.
Ответ: 4 и 64
Пример 7. Решить неравенство:
Пример 8. Решить
уравнение:
Рассмотрим
функции: 
E(f) = [–1; 1]
E(g)
= [1; +∞]E(f)
= { 1
}Отсюда: данное уравнение равносильно системе: 
Решим I уравнение
системы: 
n
Z
, nZ
, n
Z
Решим II уравнение
системы:
Отсюда: решением системы, а значит и данного уравнения является x = 2
Ответ: 2.
Ответ: 
Ответ: 4 и 64
5. Итог урока.
Провести анкетирование .
Анкета Ф.И. _______________________________________
Да ______ Нет ______
2. Затрудняюсь:
А) при решении простейших тригонометрических уравнений: ____
Б) при решении простейших
тригонометрических неравенств: ____
В) при решении систем тригонометрических неравенств: ________
Г) при решении однородных тригонометрических уравнений: ____
Д) при решении тригонометрических уравнений методом разложения на множители:
_________
Е) при решении тригонометрических уравнений, приводимых к алгебраическим методам подстановки: _______
Ж) при решении тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного
угла: ________
З) при решении тригонометрических уравнений методом понижения степени : ____
И) при решении тригонометрических уравнений с параметрами: _________
К) при решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями: _________
Литература:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
«Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем уравнений»
(на 1-2 часа в зависимости от подготовленности класса, поэтому 9 страниц, вместо 6).
Для решения уравнений и неравенств на ЕГЭ недостаточно владеть школьным курсом математики, которые решаются с помощью стандартных приёмов. Необходимо уметь применять и «нестандартные» методы, реализовать иной взгляд на задачу, существенно упрощать решение некоторых задач. Обширный набор упражнений и задач даёт возможность учителю составлять индивидуальные задания для учащихся с учётом их возможностей. Предполагается, что упражнения могут быть использованы для обобщения и повторения материала на некоторой стадии изучения, на факультативных занятиях и при подготовке к экзаменам.
6 664 898 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Бахтина Лидия Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
8 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.