Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Элективное занятие «Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем уравнений» 10 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективное занятие «Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем уравнений» 10 класс

библиотека
материалов

hello_html_mc9c0328.gifТема элективного занятия: Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем уравнений.

Цель: Расширение и углубление знаний в решения нестандартных задач.

Задачи:

  • уметь анализировать конкретные ситуации, замечать существенное, выявлять общее и делать выводы, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения;

  • самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.

  • Развивать логическое и математическое мышление, развивать письменную и речевую математическую культуру учащихся.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Метод работы: частично-поисковый, репродуктивный.

Дидактический материал: раздаточный материал для каждого обучающегося, анкеты.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Домашнее задание.

  4. Решение нестандартных задач.

  5. Итог урока.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Вступительное слово учителя. Обучающимся объявляется тема урока, цели и план урока.

2. Проверка домашнего задания.

Работа в парах. Взаимопроверка. На дом были заданы уравнения. В таблице ставят + и -.

Критерий оценок:

5 или 6 уравнений – «5»

4 уравнений – «4»

3 уравнений – «3»

Менее 3 уравнений - «2».

Решить уравнения:

  1. hello_html_771d7c67.gifОтвет: - hello_html_m91ea10f.gif , - hello_html_7889f9ef.gif ,

  2. hello_html_36596924.gifОтвет: hello_html_3ae73c3d.gif , hello_html_m794d5586.gif ,

  3. hello_html_m82bec61.gifОтвет: hello_html_57a548c0.gif ,

  4. hello_html_m6fd5fc4f.gifОтвет: - hello_html_m193b4b3d.gif

  5. hello_html_50f2a090.gifОтвет: hello_html_516ef315.gif

  6. hello_html_m5a1afc96.gifОтвет: hello_html_2b2f2254.gif ,

1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 задание

6 задание









3. Домашнее задание:

Задания 1и 2 уровней на «3»

Задания 2и 3 уровней на «4»

Задания 3и 4 уровней на «5»

ЗАДАНИЯ 1 УРОВНЯ

1 Какие из данных уравнений не имеют корней?

а) sinх = -0,02;

б) cosх = -1,01;

в) tgx = 0;

г) sinx = hello_html_mf220c74.gif;

д) sinx = 102/101;

е) tgx = π

ж) cosx = hello_html_m5d916aff.gif

2. Решите уравнения:

а) tgx = -1;
б) 2 cosx+1 = 0;
в) 2sin2x+sinx = 0;
г) ctg2x = 1;
д) 3cos2x-4sinx cosx+sin2x = 0;
е) cosx+cos3x=0;

ж) 2cos2x+5sinx – 4 = 0.

3 Решите неравенство:

а) sinx hello_html_m6e272fd.gif;

б) cosxhello_html_53fa876.gif;

в) 2cosx – 1hello_html_m127c9b7b.gif;

г) tgx < -1.

ЗАДАНИЯ 2 УРОВНЯ

1 Для каких из данных уравнений число π является корнем уравнения?

а) 2sinx = 0;

б) 3cosx = 0;

в) sinx = cosx;

г)hello_html_m79286c80.gif.

2 Решить уравнение:

а) sin (π – x) + cos (hello_html_4a7c6de3.gif+x) = 0;

б) sin 7x – sin 3x – cos 5x = 0;

в) 2sin3 – cos 2x – sin x = 0.

3 Изобразив схематически графики, определите, сколько корней имеет уравнение:

сos x = 2x

4 Найти корни уравнения:

а) sinx = hello_html_6eec8aff.gif на hello_html_m12155e51.gif

б) cos x = - hello_html_1fc87bde.gif на [0; π].

ЗАДАНИЯ 3 УРОВНЯ

1. Составьте тригонометрическое уравнение вида sinx = a, решения которого включает точки, отмеченные на единичной окружности.

hello_html_43f023ee.png

2 Решите уравнение:

а) 1- cos 6x = tg 3x;

б) sin x + 2 cos x =hello_html_41bb7549.gif.

3. Решите систему:

hello_html_m35da699a.gif

4 Решите неравенство:

а) hello_html_m270ecf61.gif>hello_html_1fc87bde.gif;

б) hello_html_238db7a.gif<.hello_html_73ca8c00.gif

ЗАДАНИЯ 4 УРОВНЯ.

Решите уравнение:

  1. hello_html_m101f8e29.gif

  2. hello_html_2719af95.gif

  3. hello_html_m2f632985.gif= hello_html_m12cf3dd1.gif

  4. hello_html_m5c4522bd.gif

  5. hello_html_2719af95.gif

  6. Решить уравнение hello_html_m6fe45891.gif в зависимости от параметра а.

  7. При каких значениях параметра а имеет корни уравнение

hello_html_m15bf0318.gif

  1. Решение нестандартных задач

Решить уравнения и системы уравнений:

  1. hello_html_m9853903.gif

  2. hello_html_5cb29b7.gif

  3. 12 hello_html_m267221ac.gif 3x+ hello_html_8fed7eb.gif ≥13

  4. hello_html_3c966f51.gif

  5. 16 hello_html_7a2a5240.gif -40 x +31 = (hello_html_63abda47.gif - hello_html_4e95bfa8.gif ) (hello_html_426ab061.gif). Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней (из ЕГЭ 2008).

  6. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение hello_html_461471c5.gif

  7. hello_html_377d4bf6.gif

  8. hello_html_m63e98c7f.gif

Понятие нестандартных задач и нестандартных методов решения. Классификация нестандартных методов решения: метод мажорант, метод монотонности, метод тригонометрической подстановки, применение производной, геометрический подход, применение области определения функций. Привести пример из заданий ЕГЭ по математике:

Детей рассадить парами (сильного и слабого) с целью взаимопомощи,

  1. Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций)

Понятие метода мажорант и основной идеи этого метода. Рассматривается метод, когда на общей части областей существования функций, находящихся в левой и правой части, каждая из них ограничена слева или справа одним и тем же числом.

Пусть мы имеем уравнение hello_html_m41560432.gifи существует число М, такое, что для любого x из области определения hello_html_m2d432eab.gif и hello_html_m4df1f983.gif hello_html_22aca48a.gif и hello_html_3bb1edc4.gif. Тогда уравнение hello_html_m41560432.gif, hello_html_m46ac53c8.gif Число M называется мажорантой.

Пример1. Решить уравнение:

hello_html_m9853903.gif

Оценим: hello_html_334cc160.gif hello_html_2741bf0e.gif

Правая часть: hello_html_7b105a51.gif hello_html_m62a00377.gif

hello_html_m537cece7.gifhello_html_72c1ec24.gif- решение системы, а значит, исходного уравнения.

Ответ: x= 2hello_html_780f2244.gif

Пример 2: hello_html_5cb29b7.gif

Решение: Преобразуем исходное уравнение (везде khello_html_559182c5.gifZ):

hello_html_1acdf0d7.gifПоскольку hello_html_md2f78b4.gif

Осталось решить уравнение: hello_html_m1a7da41f.gif

Ответ: hello_html_m69e85f9e.gif

Пример3: 12 cos 3x+ hello_html_8fed7eb.gif ≥13

Решение: Т.к. hello_html_613f44f3.gif, hello_html_54605f15.gif, то данное неравенство может быть верно, только если одновременно hello_html_m5ac29f04.gif hello_html_499c180c.gif

hello_html_m77360d1b.gifhello_html_499c180c.gifhello_html_6bcdd8c.gifhello_html_499c180c.gifhello_html_6cf65721.gifhello_html_m7acef82c.gif

Везде n, k hello_html_1725acdb.gif. Решение последней системы может быть получено на тригонометрическом круге. Действительно, первое неравенство задаёт точки hello_html_2f060c37.gif и hello_html_1f34ae77.gif , а второе неравенство - точки hello_html_6e29c3e4.gif, hello_html_1f34ae77.gif и hello_html_1205fa23.gif Общее решение: hello_html_1f34ae77.gif (или - hello_html_6e29c3e4.gif)

Ответ: x= - hello_html_6e29c3e4.gif+ hello_html_m5ed0cf3.gifZ

Пример 4hello_html_3c966f51.gif

Решение: Преобразуем неравенство: hello_html_m1786ce23.gif

hello_html_m56226b46.gif

Воспользуемся равенством hello_html_m7d222987.gif

hello_html_600a4171.gifhello_html_m2977e4a9.gifhello_html_499c180c.gifhello_html_600a4171.gifhello_html_m3134da24.gifhello_html_499c180c.gif

hello_html_m253ba8ed.gifhello_html_m248b336d.gifhello_html_m31efd0a6.gifПоскольку функция у=hello_html_2e63c602.gif - возрастает, то последнее неравенство равносильно hello_html_73ca8c00.gif hello_html_m71a8c1a9.gif откуда и получим ответ: hello_html_m8593147.gif hello_html_m43eb6dea.gif

Пример 5. 16 hello_html_7a2a5240.gif -40 x +31 = (hello_html_63abda47.gif - hello_html_4e95bfa8.gif ) (hello_html_426ab061.gif). Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней (из ЕГЭ 2008).

Решение: В левой части уравнения –квадратичная функция. Выделим полный квадрат:

y= hello_html_353aa64f.gif. Теперь понятно. Что множество её значений- отрезок hello_html_m1bf6973c.gif .

В правой части уравнения- функция y=6 - hello_html_53ca52e.gif. Множество её значений- отрезок hello_html_m99f9b76.gif . Значит, решением уравнения 16 hello_html_7a2a5240.gif -40 x +31 = (hello_html_63abda47.gif - hello_html_4e95bfa8.gif ) (hello_html_426ab061.gif) являются те, и только те значения переменной , при которых значения и левой и правой частей равны числу 6. Квадратичная функция y= 16 hello_html_7a2a5240.gif -40 x +31 принимает значение у=6 только при х= hello_html_33fa7738.gif . Найдём значение функции у=(hello_html_63abda47.gif - hello_html_4e95bfa8.gif ) (hello_html_426ab061.gif) при полученном значении х: у(hello_html_33fa7738.gif)= 6 -hello_html_5d48ff8a.gif = 6 -hello_html_162e3a69.gif

Ответ: х=hello_html_33fa7738.gif - единственный корень уравнения.

Геометрическое решение алгебраических задач (геометрические интерпретации).

Геометрические интерпретации (иллюстрации) удобны и доступны для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с их использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащегося. Геометрический образ откладывается в сознании и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. Это позволяет решать такие задачи, которые алгебраическими методами решать весьма затруднительно, если вообще возможно.



Пример 6 . Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение hello_html_461471c5.gif


Решение: На языке геометрии задание означает, что требуется найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность с центром в точке (1; 3) и радиусом hello_html_m5fd61f59.gif касается окружности с центром в точке (-2; -1) и радиусом 3, При внешнем касании это означает что hello_html_m5fd61f59.gif +3 =5; при внутреннем касании, что hello_html_m5fd61f59.gif -3= 5 ( число 5 – расстояние между центрами окружностей). Сделать рисунок к задаче.

Ответ: 4 и 64

Пример 7. Решить неравенство:

hello_html_465b1b27.gif

hello_html_m77ec7a81.gifhello_html_m4c15934f.gif

Пример 8. Решить уравнение: hello_html_m63e98c7f.gif

Рассмотрим функции: hello_html_6c0892cd.gif

hello_html_m15f8e964.gif

E(f) = [–1; 1]

E(g) = [1; +∞]E(f)hello_html_5542de6c.gif = { 1 }Отсюда: данное уравнение равносильно системе: hello_html_m4d2798c5.gif

hello_html_m276a7251.gif

Решим I уравнение системы: hello_html_m4d2798c5.gif

hello_html_55690d16.gif nhello_html_m79f24a27.gifZ

hello_html_6ba03870.gif, nhello_html_m79f24a27.gifZ

hello_html_m448a942e.gif, nhello_html_m79f24a27.gif Z

Решим II уравнение системы: hello_html_m276a7251.gif

hello_html_m8e9830a.gif

hello_html_3319a999.gif

hello_html_61c23083.gif

Отсюда: решением системы, а значит и данного уравнения является x = 2

Ответ: 2.

Ответ: hello_html_4c0a36d6.gif

Ответ: 4 и 64



  1. Итог урока.

Провести анкетирование .

Анкета Ф.И. _______________________________________



  1. Нуждаешься ли ты в индивидуальной консультации?

Да ______ Нет ______

2. Затрудняюсь:

А) при решении простейших тригонометрических уравнений: ____

Б) при решении простейших тригонометрических неравенств: ____
В) при решении систем тригонометрических неравенств: ________
Г) при решении однородных тригонометрических уравнений: ____
Д) при решении тригонометрических уравнений методом разложения на множители: _________

Е) при решении тригонометрических уравнений, приводимых к алгебраическим методам подстановки: _______

Ж) при решении тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного

угла: ________
З) при решении тригонометрических уравнений методом понижения степени : ____
И) при решении тригонометрических уравнений с параметрами: _________

К) при решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями: _________

Литература:

  1. П.В. Чулков Лекции по программе курса Уравнения и неравенства в школьном курсе математики, Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2009.

  2. Тимофеев Г.Н. Математика для поступающих в ВУЗы, г. Йошкар_Ола , 2002

  3. Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – С. 143

  4. Б.М. Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин, С.И. Шварцбурд Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для учащихся 10-11 классов средней школы М.: Просвещение, 1976. – С. 47.

  5. Денищева Л. О., Карюхина Н. В., Михеева Т. Ф. ‘’Учимся решать ур-я и нер-ва’’, 10-11 кл.; Интеллект-центр, М., 2002


  1. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. ‘’Алгебра и начала анализа’’, учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений, М., ‘’Просвещение’’, 2006г.

  2. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы, алгебра. Под редакцией М. И. Сканави, М., ОНИКС, 21 век, 2002г.

  3. Л. О. Денищева, Глазков Ю. А. и др. “ЕГЭ-2007”, Математика, М., изд-во Интеллект-центр, 2007



Краткое описание документа:



 «Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и систем уравнений» 

(на 1-2 часа в зависимости от подготовленности класса, поэтому 9 страниц, вместо 6).

Для решения уравнений и неравенств  на ЕГЭ  недостаточно  владеть школьным курсом математики, которые решаются с помощью стандартных приёмов. Необходимо уметь применять  и «нестандартные»  методы, реализовать  иной взгляд на задачу, существенно упрощать решение некоторых задач. Обширный набор упражнений и задач даёт возможность учителю составлять индивидуальные задания для учащихся  с учётом их возможностей. Предполагается, что упражнения могут быть  использованы для обобщения и повторения  материала на некоторой  стадии  изучения, на факультативных занятиях  и при подготовке к экзаменам.

Автор
Дата добавления 23.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров469
Номер материала 407040
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх