Формулы. Определение и запись.

7 класс.

ГЛАВА 1. Выражения. Тождества. Уравнения.

§ 4. Статистические характеристики.

9. Среднее арифметическое. Размах и мода.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в этом ряду чаще других.

10. Медиана как статистическая характеристика.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

1. Найдите среднее арифметическое чисел: 1; 7; 7; 9; 10; 14 и определите, какое из чисел данного ряда расположено ближе всего к среднему арифметическому этих чисел.

2. Найдите среднее арифметическое чисел: 1; 5; 9; 9; 9; 1 и определите, какое из чисел данного ряда расположено ближе всего к среднему арифметическому этих чисел.

3. В офисе работают старший менеджер, четыре менеджера и один младший менеджер. Оклад старшего менеджера 50000 рублей в месяц, менеджера – 40000 рублей в месяц, младшего – 20000 рублей в месяц. Найдите средний месячный заработок работника офиса.

4. В мастерской работают директор, три мастера и два ученика. Оклад директора 40000 рублей в месяц, мастера – 30000 рублей в месяц, ученика – 15000 рублей в месяц. Найдите средний месячный заработок работника мастерской.

5. В мастерской работали четыре мастера. Мастер Петров за 7 часов изготовил 140 деталей, мастер Дементьев за 6 часов изготовил 126 деталей, мастер Кротов за 5 часов изготовил 105 деталей, а мастер Приходько за 4 часа – 76 деталей.

1. Найдите производительность (количество деталей в час) у каждого мастера;

2. Среднюю производительность по мастерской в этот день.

6. Вася четыре дня ездил на велосипеде. В первый день он ездил 3 часа со скоростью 12 км/ч, во второй день он ездил 4 часа со скоростью 14 км/ч, в третий день 8 часов со скоростью 6 км/ч, а в последний день ездил 6 часов со скоростью 8 км/ч.

1. Найдите расстояние, которое проехал Вася в каждый из этих дней.

2. Какое в среднем расстояние Вася проезжал за день?

7. Перед последним в четверти уроком геометрии Петя выписал свои оценки за четверть по этому предмету: 5; 3; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 3. На последнем уроке Петя рассчитывал, если его спросят, получить не менее 4. Вычислите среднее арифметическое, моду и медиану в каждом из следующих случаев:

1. 1. Петя получил 5;

   2. Петя получил 4;

   3. Петю так и не спросили.

Сделайте предположение о Петиной оценке по геометрии в этой четверти.

8. Перед последним в четверти уроком географии Вова выписал свои оценки за четверть по этому предмету: 2; 5; 4; 5; 5; 3; 4; 2; 3. На последнем уроке Вова рассчитывал, если его спросят, получить не более 3. Вычислите среднее арифметическое, моду и медиану в каждом из следующих случаев:

1. 1. Вова получил 3;

   2. Вова получил 2;

   3. Вову так и не спросили.

Сделайте предположение о Вовиной оценке по географии в этой четверти.

9. Выпишите по порядку два раза первое, четыре раза седьмое, один раз одиннадцатое и два раза сорок седьмое двузначные числа. Найдите:

1. среднее арифметическое;

2. моду;

3. размах;

4. медиану.

10. Выпишите по порядку два раза второе, четыре раза девятое, один раз тринадцатое и два раза пятидесятое двузначные числа. Найдите:

5. среднее арифметическое;

6. моду;

7. размах;

8. медиану.

11. Известно, что среднее арифметическое данного набора чисел равно 28, мода равна 20, медиана 26, а размах 10. Найдите среднее арифметическое, моду, медиану и размах набора чисел меньших на 25% каждого из данных соответственно.

12. Известно, что среднее арифметическое данного набора чисел равно 48, мода равна 20, медиана 28, а размах 12. Найдите среднее арифметическое, моду, медиану и размах набора чисел меньших на 25% каждого из данных соответственно.

13. Контрольную работу писало 23 человека. После проверки оказалось, что трое получили двойку, семь человек тройку, десять – четвёрку, а остальные – пятёрку. Все 23 оценки выписали по порядку возрастания так: 2; 2; 2; 3; …; 5; 5. Найдите:

1. среднее арифметическое;

2. моду;

3. размах;

4. медиану.

14. Контрольную работу писало 25 человек. После проверки оказалось, что двое получили двойку, девять человек тройку, одиннадцать – четвёрку, а остальные – пятёрку. Все 25 оценок выписали по порядку возрастания так: 2; 2; 3; 3; …; 5; 5. Найдите:

5. среднее арифметическое;

6. моду;

7. размах;

8. медиану.

15. Найдите размах ряда чисел, являющихся значениями выражения , если переменные x и y принимают любые значения из набора 1, 2, 3.

16. Найдите размах ряда чисел, являющихся значениями выражения , если переменные x и y принимают любые значения из набора 1, 2, 3.

17. Вася посчитал, сколько раз встречается в скороговорке «Саша шла по шоссе и сосала сушку» каждая из записанных там букв. Найденные таким образом числа Вася упорядочил по возрастанию, причём равные писал несколько раз. Найдите:

1. среднее арифметическое;

2. моду;

3. размах;

4. медиану.

18. Оля посчитала, сколько раз встречается в скороговорке «На дворе трава, на траве дрова» каждая из записанных там букв. Найденные таким образом числа Оля упорядочила по возрастанию, причём равные писала несколько раз. Найдите:

5. среднее арифметическое;

6. моду;

7. размах;

8. медиану.

19. Рассматриваются все значения, которые может принять выражение при значениях переменных из множества 1; 3; 4; 5. Значения заносятся в таблицу:

x

y

1

3

4

5

1

3

4

5

Полученные в таблице 16 значений выписываются в порядке возрастания. Найдите:

1. среднее арифметическое;

2. моду;

3. размах;

4. медиану.

20. Рассматриваются все значения, которые может принять выражение при значениях переменных из множества 2; 3; 4; 5. Значения заносятся в таблицу:

a

b

2

3

4

5

2

3

4

5

Полученные в таблице 16 значений выписываются в порядке возрастания. Найдите:

5. среднее арифметическое;

6. моду;

7. размах;

8. медиану.

21. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

22. В течение четверти Ира получила следующие отметки по математике: три «двойки», две «тройки», десять «четвёрок» и пять «пятёрок». Найдите сумму среднего арифметического и медианы её оценок.

23. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 149, 136, 163, 152, 145. Найдите разность среднего арифметического этого набора чисел и его медианы?

24. Записан возраст (в годах) семи сотрудников: 25, 37, 42, 24, 33, 50, 27. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

25. Курс доллара в течение недели: 30,48; 30,33; 30,45; 30,28; 30,37; 30,29; 30,34. Найдите медиану этого ряда.

26. Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоёме и получает

27. следующий ряд значений: 12,8; 13,1; 12,7; 13,2; 12,7; 13,3; 12,6; 12,9; 12,7; 13; 12,7. Найдите медиану этого ряда.

28. Стоимость мясных блюд в кафе представляет ряд: 198; 214; 222; 224; 229; 173; 189. Найдите разницу между средним арифметическим и медианой этого ряда.

29. Учащимися класса за контрольную работу по алгебре были получены оценки: 3; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 3; 3; 4; 3; 3; 5; 4. Найдите разницу между средним арифметическим и медианой этого ряда.

30. Температура воздуха в Москве в течение недели представляла ряд 23, 25, 27, 24, 21, 28, 27 градусов ниже нуля. Найдите сумму медианы и размаха этого ряда чисел.

31. На соревнованиях по стрельбе учащимися 9 класса были показаны результаты, представляющие ряд 82, 49, 61, 77, 58, 42 очков. Найдите среднее арифметическое этого ряда чисел.

32. Продажа фруктов в магазине за неделю представляет ряд 345, 229, 456, 358, 538, 649, 708 кг в день. Найдите разницу между медианой и средним арифметическим этого ряда чисел.

33. Повышение цен на некоторые продукты представляет собой ряд 3,4; 6,5; 2,8; 3,7; 5,1; 4,1; 5,9 процентов. Найдите разницу между медианой и размахом этого ряда чисел.

34. В транспортном агентстве в течение 6 дней фиксировалось количество заказов на доставку груза. Получили следующий ряд данных: 40, 41, 39, 36, 41, 31. На сколько отличается мода этого набора чисел от его среднего арифметического?

35. Игрок в боулинг сделал 5 бросков и выбил 8, 9, 7, 10, 6 кеглей. Найдите среднее арифметическое этого ряда чисел.

36. Средняя температура в январе –18 градусов, в феврале –15 градусов, в марте –7 градусов, в апреле +12 градусов. Найдите среднее арифметическое этого ряда чисел.

11. Формулы.

Формула - это математическое буквенное равенство, которое задаёт правило зависимости одной величины от другой или нескольких других.

Например, о периметрах геометрических фигур говорилось ещё в начальной школе. Периметр – это сумма всех сторон фигуры. В квадрате 4 одинаковые стороны, значит, чтобы найти его периметр, нужно 4 умножить на одну сторону. Это правило верно для любого квадрата, какой бы ни была его сторона. Чтобы это правило записать для всех квадратов, обозначим сторону буквой а. Тогда формула выглядит следующим образом: .

Аналогично, периметр прямоугольника со сторонами а и b задаётся формулой: , а периметр треугольника со сторонами а, b и с вычисляется по формуле: .

Зная формулу какой-либо зависимости, можно вывести формулу для любого его компонента.

Например, из формулы периметра прямоугольника выразить сторону а.

Решение. Записываем формулу периметра и пользуемся всеми известными правилами решения уравнений:

Делим обе части равенства на 2:

Вычитаем из обеих частей равенства :

или в более привычном виде:

Мы выразили сторону а через периметр Р и вторую сторону b. Таким же образом можно выразить сторону b. Сделайте это самостоятельно.

Ещё один пример, который часто используется при решении задач на движение.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. Расстояние обозначается буквой S, скорость – буквой v, время – буквой t. Тогда формула расстояния имеет вид:

Если разделить обе части этого равенства на время t, то получим формулу для скорости v:

Попробуйте теперь самостоятельно вывести формулу для нахождения времени t из основной формулы.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен V см³, стороны его основания равны 5 см и 3 см, а высота – а см. Задайте формулой:

1. зависимость V от а;

2. зависимость а от V.

2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен V см³, стороны его основания равны а см и b см, а высота – 4 см. Задайте формулой:

1. зависимость V от а и b;

2. зависимость а от V и b;

3. зависимость b от V и a.

3. Машина проезжает 700 км со скоростью v км/ч за t ч. Задайте формулой:

1. зависимость v от t;

2. зависимость t от v.

4. Скорость поезда 280 км/ч. За t часов он проезжает S км. Задайте формулой:

1. зависимость S от t;

2. зависимость t от S.

5. Собственная скорость лодки 10 км/ч, скорость течения реки v км/ч. За t часов лодка проплывает против течения реки S км. Задайте формулой:

1. зависимость S от t и v;

2. зависимость t от S и v;

3. зависимость v от S и t.

6. Собственная скорость лодки v км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. За t часов лодка проплывает по течению реки S км. Задайте формулой:

1. зависимость S от t и v;

2. зависимость t от S и v;

3. зависимость v от S и t.

7. Дан квадрат со стороной а см. От него отрезали прямоугольник со сторонами b см и 3 см. Задайте формулой площадь S оставшейся фигуры.

8. Дан прямоугольник со сторонами 6 см и а см. От него отрезали квадрат со стороной с см. Задайте формулой площадь S оставшейся фигуры.

9. Для перевозки детей в оздоровительный лагерь прислали 5 автобусов по а мест в каждом, 3 автобуса по b мест в каждом и микроавтобус, в котором могут разместиться 13 человек. Написать формулу для нахождения того количества (N) детей, которое можно перевезти во всех этих автобусах.

10. Группа туристов должна спуститься вниз по реке. Для этого им было предоставлено т лодок вместимостью 4 человека в каждой, п лодок вместимостью 3 человека в каждой и k плотов вместимостью 15 человек в каждом. Написать формулу для нахождения того количества туристов (М), которое можно перевезти всеми этими плавсредствами.

11. Группа велосипедистов выехала из города А в город D, при этом первые т часов они ехали со скоростью 12 км/ч, следующие п часов – со скоростью 10 км/ч и последний час их скорость составила 8 км/ч. Составить формулу для нахождения S – расстояния между городами A и D.

12. Туристы первые с часов двигались пешком со скоростью 4 км/ч, затем сели в попутную машину и полчаса ехали со скоростью 60 км/ч. Последние d часов их скорость была 3 км/ч. Составить формулу для нахождения расстояния S, пройденного туристами.

13. Записать формулы, выражающие зависимость между a и b, если:

1. число а на 17 меньше числа b (два варианта);

2. число а на 5 больше числа b (два варианта);

3. число а в 17 раз больше числа b (два варианта);

4. число а в 5 раз меньше числа b (два варианта);

5. удвоенное число а равно одной третьей числа b;

6. половина числа а равна утроенному числу b;

7. сумма чисел а и b равна удвоенной разности этих чисел;

8. произведение чисел а и b равна их удвоенной сумме.

14. Из формулы выразить:

1. а через S и h;

2. h через S и a.

15. Из формулы выразить:

1. через S и ;

2. через S и .

16. Из формулы выразить:

1. а через S, b и h;

2. b через S, a и h;

3. h через S, b и a.

17. Из формулы выразить:

1. а через S, b и r;

2. b через S, a и r;

3. r через S, a и b.

18. Расстояние от дачи до станции равно 5 км. Первые 15 минут дачник шёл на станцию со скоростью а км/ч, затем увеличил скорость на 25% и с этой скоростью шёл 20 минут. Оставшийся час дачник шёл со скоростью 3 км/ч и пришёл на станцию. Составьте формулу для нахождения расстояния от дачи до станции. Выразите из этой формулы первоначальную скорость дачника.

19. На машину погрузили 1,5 т груза. Сначала погрузили 80 коробок массой х кг каждая, затем 100 коробок, масса каждой из которых на 70% больше, и, наконец, погрузили ящик массой 500 кг. Составьте формулу на нахождения общего веса груза. Выразите из этой формулы массу самой лёгкой коробки.

20. Сторона b прямоугольника на 7 меньше стороны а. Составить формулы для нахождения периметра (Р) и площади (S) этого прямоугольника.

10

Краткое описание документа:

Материал предназначен для учеников 7 класса, которые впервые знакомятся с понятием формул и содержит правила записи формул и выражения из них необходимых компонентов. Для закрепления материала представлены 20 заданий, включающих в себя составление формул по заданным условиям, выражения из заданных формул нужной величины.