ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕОБХОДИМЫХ РАСЧЁТОВ НА СУДНЕ

УДК 629.5.062:517.3

В.В. Никифоров, студент

И.Ж. Красовская, преподаватель кафедры «Высшая математика»

Севастопольский национальный технический университет,

ул. Университетская, 33, г. Севастополь,

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕОБХОДИМЫХ РАСЧЁТОВ НА СУДНЕ

В настоящее время роль математики в практической жизни человека широко не пропагандируется. Высшая математика зачастую изучается студентами как наука, которая практически не применяется в повседневной работе человека. В данной исследовательской работе попытаемся показать и привести примеры практических задач, которые могут встречаться в непосредственной работе одной из популярных профессий человека в нашем регионе. Это профессия судового механика. Во время рейса или в период ремонта судна ему приходится сталкиваться с некоторыми техническими задачами, в которых необходимо производить математические расчеты.

Рассмотрим один из разделов математики «Интегральное исчисление» - раздел, который многими считается бесполезным.

Каждый объект, расположенный на судне можно рассматривать относительно некоторой системы координат. Следовательно, такой объект можно описать функцией или их системой.

Рассмотрим возможность вычисления объемов.

Объём тела выражается интегралом:

,     (1)

где  – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox в точке с абсциссой ,  и  - левая и правая границы измерения . Функция  предполагается известной и непрерывно меняющейся при изменении  от  до .

Практическая задача:           Вычислить объём газа, заполняющий заданный участок отводной газорасширительной трубы (однополостный гиперболоид          ограниченный плоскостями z=0 и z=h (h>0))

Решение. Рассмотрим сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к Oz.  Тогда объём можно выразить при помощи упомянутой ранее формуле:

,

где  - площадь получаемого сечения, зависящая от точки с аппликатой , через которую проходит секущая плоскость. При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью , получается эллипс, который можно определить уравнениями

или

,

откуда следует, что полуоси эллипса , .

Так как площадь эллипса с полуосями  и  равна , тогда мы можем записать аналитическое выражение функции :

, .

Тогда в соответствии с основной формулой (1)

.

Судовым механикам приходится сталкиваться с расчётом длин различных дуг, например длины трубопровода, проходящего в труднодоступном месте. И тут тоже можно воспользоваться вычислением с помощью интегралов.

Пусть некоторая линия является графиком непрерывной функции  на интервале изменения  от  до . Производная  которой тоже непрерывна. Такие линии называются гладкими. Определение длины дуги такой линии аналогично определению длины окружности, вводимому в геометрии.

Запишем формулу для вычисления длины плоской дуги от точки А с абсциссой  до точки B с абсциссой :

.

Практическая задача:           Вычислить длину обводной трубки вдоль кормовой части судна на заданном участке, если трубка имеет форму дуги, которая задана уравнением  на участке от 0 до 9.

Решение. Вычислим производную функции и подставим ее в формулу для вычисления дуги кривой:

,

.

Пусть ; , тогда , :

.

Если требуется найти длину L пространственной гладкой кривой (например, винтовой, в задачах на нахождения длин пружин различных клапанов, трубок конденсаторов опреснителей и т.д.), которая задана параметрическими уравнениями , , , , следует воспользоваться формулой

.

Практическая задача:              Вычислить длину дуги пружины (винтовой линии), заданной уравнениями , ,  при

Решение. Вычислим производные

, , ,

.

Для длины дуги L, которая задана в полярных координатах с помощью уравнения , где функция  непрерывно дифференцируема на промежутке [a, b], начальная и конечная точки имеют полярные углы a и b соответственно. Тогда

.

Практическая задача:           Определить длину хомута для масляного холодильника, параметры корпуса которого можно описать функцией кардиоиды, заданной уравнением  при , .

Решение. Для решения данной задачи вычислим производную от функции и подставим в соответствующую формулу:

,

так как при  значение , то

.

В своей работе судовой механик сталкивается с необходимостью вычисления давления различных сред на определенные участки механизмов. Для примера рассмотрим один из вариантов вычисления.

Практическая задача:           Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18м и высотой 6м.

Решение.     Величина P давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины её погружения , т.е. от расстояния площадки до поверхности жидкости: , где  - удельный вес жидкости,  – площадь площадки.

Руководствуясь общей схемой применения определённого интеграла к вычислению величин, разделим шлюз на глубине  горизонтальной прямой. Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет некоторой функцией . Найдём дифференциал  этой функции, то есть приближённую величину (главную часть) её приращения  при изменении глубины  на малую величину .

Допустим, ввиду малости , что все точки заштрихованной полоски находятся на глубине , т.е. что она расположена на глубине  в горизонтальной плоскости. Тогда приближённая величина  давления воды на эту полоску будет равна весу столба воды, имеющего основанием эту полоску, и высотой – глубину : , поскольку в данном примере мы считаем воду пресной, то ее удельный вес воды равен . Следовательно .

Согласно условию задачи, глубина  изменяется на отрезке  Поэтому искомое давление  на всю площадь шлюза найдём, интегрируя  в пределах от 0 до 6:

.

Таким образом, рассмотренные примеры показывают, что при помощи интегралов можно произвести достаточно много расчётов. Ниже приведён пример ещё одной технической задачи с решением, которая максимально связана со специальностью судового механика.

Практическая задача:           Вычислить работу насоса, необходимую для выкачивания масла из балластной цистерны длиной H=6м и радиусом основания R=2м. Удельный вес масла .

Решение. Величина работы q, затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты x его подъёма: , где P – вес тела.

Допустим, что работа, затрачиваемая на выкачивание из цистерны слоя масла толщиной x, есть некоторая функция q(x) и найдём дифференциал этой функции.

При увеличении x на величину dx объём  слоя масла увеличится на величину , его вес P увеличится на величину , а затем и работа q увеличится на величину .

Вся искомая работа Q выразится интегралом от  в пределах от x=0 до x=2R:

,

где переменная  выражена через переменную  из прямоугольного треугольника ONM.

Для этого интеграла полагается .

Тогда ;  при ;  при :

.

При подстановке числовых значений получим, что .

Итак, приведенные выше примеры наглядно показывают, насколько важным является изучение темы «Интегральное исчисление» для современных судовых механиков. С помощью этого раздела можно решить достаточно много задач прикладного характера, которые бывают необходимы в работе судового механика. Так же с его помощью можно вычислить:

·         давление сжатого пара в котле

·         давление газов, образовавшихся во втулке судового дизельного двигателя;

·         суммарную площадь поверхности охлаждения сплюснутыми трубками масляного холодильника системы охлаждения двигателя;

·         длину дуги трубопровода;

·         объёмы всевозможных труб и их соединений;

·         давление забортной воды на корпус судна, шлюзы, и прочие давления жидкостей и газов в судовых системах.

Проанализировав задачи, можно сделать вывод о необходимости изучения темы «Интегральное исчисление» для дальнейшего прикладного применения, в том числе и на судне.