Исследовательская работа по информатике на тему Деление в восьмеричной, шестнадцатеричной СС

Признаки делимости

 в  восьмеричной и шестнадцатеричной

системе счисления

Научно - исследовательская работа

Выполнила: Исяндавлетова А. Ф.

ученица 9 а класса

МОБУ Баймакский лицей - интернат

Руководитель: Калмукашева Н.С.

Баймак 2017 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………..…3

Глава 1. Системы счисления………………………………………………………….…4

Глава 2. Признаки делимости в восьмеричной,

               шестнадцатеричной системе счисления………………………………….…..7

2.1. Признаки делимости в восьмеричной системе счисления……………………….7

2.2. Признаки делимости в шестнадцатеричной системе счисления…………………8

2.3. Практическое применение признаков делимости………………………………..10

Заключение………………………………………………………………………………11.

Литература……………………………………………………………………………….12

Введение

Ей было тысяча сто лет.
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила - 
Всё это правда, а не бред.
Когда пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять тёмно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…

Но станет всё совсем обычным,
Когда поймёте мой рассказ.

Вот с таким интересным стихотворением  мы познакомились на уроке при изучении темы «Системы счисления».

Эта тема является очень важной, так её можно назвать фундаментом информатики, без которого невозможно правильное её понимание. Можно изучить несколько программ и даже научиться программировать на каком-то одном языке, но это не вся информатика, не самая её главная и интересная часть.

Понимание теоретических основ информатики является необходимым условием для того, чтобы стать специалистом в этой науке. И потому изучение систем счислений, которые используются в компьютерах, нужно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в компьютере.

В результате мы узнали, что существуют другие системы счисления, в которых есть свой алфавит, своя таблица умножения, сложения и решали задачи, выполняя арифметические действия над числами в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе счисления. Но когда дело дошло до практики, многие столкнулись с проблемой счёта. И тогда я задала сама себе вопрос, а есть ли в этих системах счисления свои признаки делимости, как и в десятичной системе счисления. Ведь все знают, что признак делимости помогает быстро определить, кратно ли число предварительно выбранному числу.

Гипотеза: Мы предполагаем,  что в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления есть свои признаки делимости.

Цели: Изучить теорию о различных системах счисления, найти и доказать существование признаков делимости в различных системах счисления.

Объект исследования: Системы счисления.

Предмет исследования: Признаки делимости.

Задачи:

1.   Изучить теорию, отобрать информацию.

2. Научиться выполнять умножение и деление в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

3. Найти признаки делимости в восьмеричной,  шестнадцатеричной системе счисления.

Методы исследования:

1. Изучение и анализ источников информации по данной теме.

2. Проведение доказательств.

3. Обобщение.

Глава 1. Система счисления

Нами был изучен и системно обработан информационный материал по данной теме.

За основу мы брали следующие источники: Интернет ресурсы,  специальную литературу. Это нам позволило сделать следующие выводы:

1)   существуют позиционные и непозиционные системы счисления;

2)   в школьном курсе изучаются такие как двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления, и правила перевода из одной системы в другую

Виды позиционных систем счисления.

Название		Основание	Алфавит
Двоичная СС		2	0, 1
Восьмеричная СС		8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7
Шестнадцатеричная СС	16		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Алгоритмы перевода из одной системы счисления в другую.

Так как мы знаем признаки деления в 10-ой системе счисления, поэтому и воспользуемся правилом перевода чисел в десятичную систему счисления.

Рис. 1 Правило перевода в десятичную систему счисления

                        Рис. 2 Правило перевода из десятичной системы счисления

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию системы счисления.

Восьмеричная система счисления

×	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	34	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	52	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	52	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

Шестнадцатеричная система счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Глава 2. Признаки делимости

2. 1  Признаки делимости в восьмеричной системе счисления.

Признак делимости на 2

Пусть дано двузначное число аb₈. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

 аb₈ =8а+b 

 8а делится на 2,так как 8:2=4

      Если b делится на 2, то число ab₈ будет делиться на 2.

Пусть дано трёхзначное число abc₈. . Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abc₈ = 8²a+8b+c=64a+8b+c

          64а делится на 2, так как 64:2=32

            8b делится на 2, так как 8:2=4

Если с  числа abc₈ будет делиться на 2, то и число abc₈ будет делиться на 2.

Пусть дано abcd₈. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abcd₈=8³a+8²b+8c+d=512a+64b+8c+d.

        512a делится на 2, так как 512:2=256;

     64b делится на 2, так как 64:2=32;

     8с делится на 2, так как 8:2=4.

Если последняя цифра d числа abcd₈ будет делиться на 2, то и число abcd₈ будет делиться на 2.

Вывод: если последняя цифра числа делится на 2, то число делится  на 2.

Пример:   564 : 2 = 172,     754 : 2 = 366

Признак делимости на 3

Пусть дано двухзначное число ab₈. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

ab₈=8а+b=6а+(2а+в)

       6а делится на 3,т.к. 6:3=2.

Если сумма (2а+в) будет делиться на 3, то и число ab_8­ будет делиться на 3.

Пусть дано трёхзначное число аbc_8.Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbc₈=  8²а+8b+с=64а+ 8b+с=63а+6в+(а+2в+с).

63а делится на 3, т.к. 63:3=21

6bделится на 3, т.к. 6:3=2

Если сумма (а+2в+с) будет делиться на 3, то и число abc₈ будет делиться на 3.

Пусть дано четырёхзначное число abc₈. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbcd₈=8а³+8b²+8с+d=510а+63в+6с+(2а+в+2с+d).

510а делится на 3,т.к. 510:3=170

63b делится на 3, т.к. 63:3=21

6с делится на 3,т.к. 6:3=2

  Если сумма (2а+в+2с+d) будет делиться на 3, то и число аbcd₈ будет делиться на 3.

 Вывод: если сумма цифр, занимающих нечётные места и сумма удвоенных цифр, занимающих чётные места, делятся на 3, то и само число делится на 3.

Например, 3234 : 3 = 1064

Признак делимости на 4

Пусть дано двузначное число ab₈. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

ab₈=8a+b

     8a делится на 4, т.к. 8:4=2

Если b делится на 4, то  ab₈ будет делиться на 4.

Пусть дано трёхзначное число abc₈. . Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abc₈ = 8²a+8b+c=64a+8b+c.

         64a делится на 4, так как 64:4=16.

          8b делится на 4,так как 8:4=2.

Если  с делится на 4, то число abc₈ будет делиться на 4.

Пусть дано abcd₈. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abcd₈=8³a+8²b+8c+d=512a+64b+8c+d.

        512a делится на 4, так как 512:4=128;

     64b делится на 4, так как 64:4=16;

     8с делится на 4, так как 8:4=2.

Если  d делится на 4, то число abcd₈ будет делиться на 4.

Вывод: если последняя цифра числа делится на 4, то число делится  на 4.

Например, 374 : 4 =77,    5124 : 4 = 1225

Признак делимости на 7

Пусть дано двухзначное число аd₈. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аb₈=8а+b=7а+(b+a)

7а делится на 7, т.к. 7:7=1

Если сумма цифр (b+а) числа ab₈ делится на 7, то число делится на 7.

Пусть дано трёхзначное число аbc_8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbc₈=8²+8b+с=64а+8b+с=b3а+7b+(а+b+с)

63а делится на 7, т.к. 63:7=9

7b делится на 7,т.к. 7:7=1

Если сумма цифр (а+b+c) числа abc₈ делится на 7, то число делится на 7.

Пусть дано четырёхзначное число abcd_8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbcd₈=8³а+8²b+8с+d=512а+64b+8с+d=511а+63b+7с+(а+b+d+c)

511а делится на 7, т.к. 511:7=73

63b делится на 7, т.к. 63:7=9

7с делится на 7, т.к. 7:7=1

Если сумма цифр (а+b+c+d) числа abcd₈ делится на 7, то число делится на 7.

Вывод: если сумма цифр числа делится на 7, то число делится на 7.

Например, 464 : 7 = 54, 7275 : 7 = 1033

2. 2    Признаки делимости в шестнадцатеричной системе счисления.

Признак делимости на 2.

Пусть дано abc₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abc₁₆=16²a+16b+c =256a+16b+c.

        256a делится на 2, так как 256:2=128;

     16b делится на 2, так как 16:2=8;

Если последняя цифра c числа abc₁₆ будет делиться на 2, то и число abc₁₆ будет делиться на 2. Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 2, если последняя цифра является четной (кроме четных десятичных цифр четными здесь также являются цифры А, С и Е).

Например, 358 : 2 = 1AC, 52 : 2 = 29, 74356 : 2 = 3A1AB

Признак делимости на 3.

Пусть дано abc₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

abc₁₆=16²a+16b+c =256a+16b+c= 255a+15b+(a+b+c)

        255a делится на 3, так как 255:3=85;

     15b делится на 3, так как 15:3=5;

Если сумма цифр a,b и c числа abc₁₆ будут делиться на 3, то и число abc₁₆ будет делиться на 3.

Пусть дано abcd₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

abcd₁₆=16³a+16²b+16c+d =4096a+256b+16c+d= 4095a+255b+15c+(a+b+c+d)

    4095a делится на 3, так как 4095:3=1365;

    255a делится на 3, так как 255:3=85;

     15b делится на 3, так как 15:3=5;

Если сумма цифр a,b,c и d числа abcd₁₆ будут делиться на 3, то и число abcd₁₆ будет делиться на 3.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 3, если сумма цифр делится на 3.

Например, 375 : 3  = 127, 63 : 3  =21, 8346 : 3 = 2BC2

Признак делимости на 4.

Пусть дано abc₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abc₁₆=16²a+16b+c =256a+16b+c

          256a делится на 4, так как 256:4=64;

     15b делится на 4, так как 16:4=4;

Если последняя цифра c числа abc₁₆ будут делиться на 4, то и число abc₁₆ будет делиться на 4.

Пусть дано abcd₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abcd₁₆=16³a+16²b+16c+d =4096a+256b+16c+d

    4096a делится на 4, так как 4096:4=1024;

    256a делится на 4, так как 256:4=64;

     16b делится на 4, так как 16:4=4;

Если последняя цифра c числа abc₁₆ будут делиться на 4, то и число abc₁₆ будет делиться на 4.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делится на 4, если последняя цифра делится на 4.

Например, 354 : 4 = D5

Признак делимости на 5.

Пусть дано abc₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

abc₁₆=16²a+16b+c =256a+16b+c= 255a+15b+(a+b+c)

        255a делится на 5, так как 255:5=51;

     15b делится на 5, так как 15:5=3;

Если сумма цифр a,b и c числа abc₁₆ будут делиться на 5, то и число abc₁₆ будет делиться на 5.

Пусть дано abcd₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

abcd₁₆=16³a+16²b+16c+d =4096a+256b+16c+d= 4095a+255b+15c+(a+b+c+d)

    4095a делится на 5, так как 4095:5=819;

    255a делится на 5, так как 255:5=51;

     15b делится на 5, так как 15:5=3;

Если сумма цифр a,b,c и d числа abcd₁₆ будут делиться на 5, то и число abcd₁₆ будет делиться на 5.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 5, если сумма цифр делится на 5.

Например, 815 : 5 = 19D

Признак делимости на 8

Пусть дано abc₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 8.

abc₁₆=16²a+16b+c =256a+16b+c

          256a делится на 8, так как 256:8=32;

     16b делится на 8, так как 16:8=2;

Если последняя цифра c числа abc₁₆ будут делиться на 8, то и число abc₁₆ будет делиться на 8.

Пусть дано abcd₁₆. Выясним, когда оно будет делиться на 8.

abc₁₆=16³a+16²b+16c+d =4096a+256b+16c+d

    4096a делится на 8, так как 4096:8=512;

    256a делится на 8, так как 256:8=32;

     16b делится на 8, так как 16:8=2;

Если последняя цифра c числа abc₁₆ будут делиться на 8, то и число abc₁₆ будет делиться на 8.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 8, если последняя цифра делится на 8. Но если последняя цифра числа будет 0, то число тоже будет делиться на 8, потому что 8+8=10.

Например, 6570 : 8 =CAE, FC8 : 8 = 1F9

2.3  Применение признаков делимости на практике

Задачи, связанные с делимостью, представляют собой великолепный материал для воспитания математической культуры учащихся. С их помощью можно показать, что и в информатике можно решать арифметические задачи, повышая интерес к предмету.

Задача № 1. Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

1.   число в 8-ой (16 – ой) СС, которое делиться на 6;

2.   четное число;

3.   число, кратное 5;

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число в 8-ой СС, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 4.

1.   Напишите наибольшее из таких чисел.

2.   Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 777777774; 100000004

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное  шестнадцатеричное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 3, 5. Приведите примеры таких чисел

Ответ: например D31E

Задача № 4

Оля задумала простое восьмеричное трехзначное число, кратное 3, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: 347.

Заключение

В результате выполнения данной работы  мы нашли и вывели признаки делимости для восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления. Данное исследование, я думаю, будет полезно, как для учеников, так и для учителей. Ученики могут расширить свой кругозор в области информатики, а учителя при изучении темы «Системы счисления», составлять задачи для развития логического мышления учащихся и повышения интереса к предмету.

 В перспективе мы намерены продолжить нашу работу, и рассмотреть признаки делимости на другие числа в восьмеричной и  в шестнадцатеричной системе счисления.

Литература

1.         Гашков, С. Б. Системы счисления и их применения [Текст]/ С.Б. Гашков .- Москва.- «Математическое просвещение», 1999.- 54с.

2.         Гейн А. Г., «Информатика» [Текст ] / А.Г.Гейн, А. И. Сенокосов.- Москва.: Просвещение.- 2002.-116с.

3.         Депман, И. Я. За страницами учебника математики [Текст]/ И. Я . Депман, Н. Я. Виленкин .- Москва.: «Просвещение», 1989.- 215с.

4.         Кутугин Е. С. Арифметические и логические основы построения компьютера[Текст]/  Е.С. Кутугин – Томск: Школьный ун-т,  2007.-315с.

5.         Никольская  И.Л. Факультативный курс по математике 7-9[Текст]/ /И. Л. Никольская.- Москва.: Просвещение.- 1991 .- 211с.

Интернет ресурсы

  Система счисления [Электронный ресурс] /  Режим доступа: http://gurulev.telebit.ru/sistschislenia.htm.- Загл. с экрана

 Задачи: системы счисления  [Электронный ресурс] /  Режим доступа: http://www.tspu.tula.ru/ivt/old_site/umr/timoi/solovieva/Zadaneya/zadachi_ss.htm.- Загл. с экрана

Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления [Электронный ресурс] / Режим доступа: www.bymath.net/studyguide/ari/ari5.html.- Загл. с экрана

Системы счисления, применяемые в ЭВМ счисления [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.kolomna-school7-ict.narod.ru/st20101.htm.- Загл. с экрана