Исследовательская работа учащегося по теме "Как вычислить площадь треугольника по трем сторонам"

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	2
Глава 1. Площадь фигур.
§1. Понятие площади, её основные свойства, формулы вычисления площади треугольника.	4
§2. Геометрия на квадратной решётке.	5
§3. Способы вычисления площади треугольника по трём сторонам.	6
Глава 2. Обобщение метода достраивания треугольника, заданного на квадратной решётке, до прямоугольника.
§ 4. Подбор сторон прямоугольника.	6
§ 5. Взаимное положение треугольника и достроенного прямоугольника.	7
Глава 3. Решение задач разными способами.
§ 6. Задача 1.	8
§ 7. Задача 2.	9
§ 8. Задача 3.	10
§ 9. Задача 4.	11
Заключение.	13
Источники информации	14
Приложение 1.	15
Приложение 2.	16
Приложение 3.	17
Приложение 4.	18
Приложение 5.	19

ВВЕДЕНИЕ

При  решении геометрических задач возникают ситуации, когда надо найти площадь треугольника. В зависимости от исходных данных они бывают разного типа. Например, треугольник изображён на квадратной решётке или даны три его стороны. В первом случае одним из способов решения задачи является метод достраивания треугольника до прямоугольника. Вычисление площади сводится к вычитанию из площади прямоугольника площадей достроенных частей. (Приложение 1, задача 1). Для решения второй задачи можно применить два способа: формула Герона и формула , где  можно вычислить по трём сторонам треугольника. (Приложение 1, задача 2). Если сравнивать объёмы вычислений в первой задаче
 со второй задачей  , то очевидно, что решение первой задачи проще. Между тем, это поиск площади для одного и того же треугольника, заданного на квадратной решётке и тремя сторонами. Было бы удобно воспользоваться методом решения первой задачи (на квадратной решётке) для решения второй задачи (не на квадратной решётке).

Цель: обобщить метод решения задачи на квадратной решётке путем достраивания треугольника до прямоугольника для вычисления площади треугольника, заданного тремя сторонами и исследовать возможности применения обобщённого способа.

Изученные в курсе геометрии 7 – 9 класса способы вычисления площади треугольника, заданного тремя сторонами, в случае с иррациональными значениями длин сторон приводят к громоздкому решению.

Гипотеза: так как каждый треугольник можно достроить до прямоугольника, то для любого треугольника с заданными тремя сторонами можно удобно вычислить его площадь, выполнив это построение.

Объект исследования: способы вычисления площади треугольника по трём сторонам.

Предмет исследования: метод достраивания треугольника до прямоугольника.

В соответствие со сформулированной целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

1. Дать теоретическое обоснование изученным в 7-9 классах способам вычисления площади треугольника на квадратной решётке по трём сторонам.

2. Показать, как по длинам сторон треугольника подобрать длины сторон прямоугольника.

3. Рассмотреть возможные случаи взаимного положения треугольника и достроенного прямоугольника.

4. Решить несколько задач разными способами.

5. Сравнить способы решения с точки зрения удобства вычислений.

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:

Ø  критический анализ;

Ø  обобщение;

Ø  классификация;

Ø  синтез;

Ø  анализ;

Ø  индукция;

Ø  дедукция.

В ходе работы изучались учебники [1], [3], пособие [2] и осуществлялся поиск в сети Интернет по запросам: «площадь треугольника», «площадь треугольника по 3 сторонам» и «достраивание треугольника до прямоугольника». По результатам запросов было просмотрено около 20-30 сайтов. Из учебников взята информация для Главы 1, в пособии [2] при решении одной из задач треугольник достраивается до прямоугольника. Но описанный в данной работе метод поиска длин сторон прямоугольника по заданным трём сторонам треугольника, а так же возможные случаи взаимного расположения треугольника и достраиваемого прямоугольника в исследованных источниках информации не встретились. Они являются результатом самостоятельной работы автора.

ГЛАВА 1. Площадь фигур.

В этой  главе содержится  необходимый для данной работы теоретический материал.

§1. Понятие площади, её основные свойства, формулы вычисления площади треугольника.

Площадь – это неотрицательное число S, поставленное в соответствие ограниченной плоской фигуре F [2]:

                                                                        

Свойства площади:

1^о. Площади равных фигур равны.

                  =                        Þ   S₁=S₂.

2^о. Если фигура F, имеющая площадь S, разделена на n непересекающихся частей F₁, F₂, F₃, … , F_n, площади которых равны S₁, S₂, …, S_n соответственно, то площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, её составляющих.

                                                           

                                                           

3^о. За единицу измерения площади принимается площадь квадрата со стороной, равной одной единицы длины.

Будем обозначать через  величины углов треугольника, а через  длины противолежащих им сторон. Имеем  – полупериметр треугольника, h – высота треугольника. В этих обозначениях справедливы, доказанные в [3], следующие формулы:

§2. Геометрия на квадратной решётке.

Лист клетчатой бумаги удобно располагать так, чтобы прямые, образующие клетки, были горизонтальными и вертикальными. (Рис. 1, Приложение 2). Будем называть эти прямые прямыми разметки. Они разбивают плоскость на равные квадраты. Сторону такого квадрата удобно принять за единицу. Вершины этих квадратов, т.е. точки, в которых пересекаются прямые разметки, называются узлами.

Найдём площадь треугольника с вершинами в узлах. Возможны 3 случая.

Случай 1: Две вершины треугольника лежат на одной прямой разметки. (Рис.2, Приложение 2). Длина стороны АВ определяется легко,  а высота СН, проведённая из вершины С к стороне АВ, лежит на прямой разметки, поэтому её длина тоже определяется легко. На чертеже AB=5, CH=10, поэтому

Случай 2: Ни одна из сторон треугольника не лежит на прямой разметки, но его можно заключить в прямоугольник со сторонами, лежащими на прямых разметки, так, чтобы вершины треугольника лежали на сторонах прямоугольника или в вершинах прямоугольника. (Рис.3, Приложение 2). На чертеже треугольник АВС заключён таким образом в прямоугольник MNKC. Для нахождения площади треугольника АВС нужно из площади прямоугольника MNKC вычесть  площади прямоугольных треугольников ANB, BKC и AМС.

 

Случай 3: Ни одна из сторон треугольника не лежит на прямой разметки. Но его можно заключить в прямоугольник со сторонами, лежащими на прямых разметки, так, чтобы одна из сторон треугольника совпадала с диагональю этого прямоугольника, а третья вершина лежала внутри прямоугольника. (Рис.4, Приложение 2). На чертеже треугольник АВС заключён таким образом в прямоугольник AMCN. Для нахождения площади треугольника АВС нужно из площади прямоугольного треугольника AMC вычесть площади треугольников ABM и BCM, у которых имеется по одной стороне, лежащей на прямой разметки.

  [4].

§3. Способы вычисления площади треугольника по трём сторонам.

Способ 1. Основан на формуле Герона для вычисления площади треугольника.

, где

 .

Способ 2. Схема решения:

Из теоремы косинусов   следует, что .

Из основного тригонометрического тождества  следует, что  . Далее вычисляем площадь по формуле: .

Способ 3. «…последний способ по красоте и изяществу сродни искусству…

…Решение понятно из рис. 1.1. » [2]. (Рис. 5, Приложение 2)

ГЛАВА 2. Обобщение метода достраивания треугольника,

заданного на квадратной решётке, до прямоугольника.

Очевидно, что любой треугольник можно достроить до прямоугольника. Но как вычислить длины его сторон и как расположены стороны треугольника относительно сторон прямоугольника, если чертёж выполнен не на квадратной решётке? Ответ на эти вопросы находится в этой главе.

§ 4. Подбор сторон прямоугольника.

Чтобы достроить треугольник до прямоугольника, нужно на его сторонах, как на гипотенузах, построить прямоугольные треугольники. Для стороны данного треугольника (гипотенузы прямоугольного треугольника) можно подобрать длины катетов, воспользовавшись теоремой Пифагора, то есть квадрат гипотенузы представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел (и нуля), или составленной автором данной работы таблицей. (Таблица 1. Приложение 3). Таким образом, для каждой стороны данного треугольника будет получена пара чисел, всего три пары чисел.  Далее из этих шести чисел путём суммирования некоторых полученных чисел составляем 4 попарно равных числа, которые и являются длинами сторон прямоугольника. Рассмотрим пример решения задачи.

Задача. Даны стороны треугольника:  Найдите длины сторон достраиваемого прямоугольника.

Решение:

Известно, что сторона треугольника равна  ед. Вычисляем квадрат этого числа. Получаем 13. Далее подбираем два числа, сумма квадратов которых равна 13. Это 2 и 3. Аналогично, получаем, что стороне длиной 5 ед. соответствуют числа 3 и 4, стороне длиной 6 ед. – числа 6 и 0. Всего 6 чисел. Из них составляем четыре попарно равных числа: 6, 6, 3, 3. Получили значения длин сторон прямоугольника: 3 ед. и 6 ед. Для наглядности заполняем таблицу:

Сторона треугольника	Квадрат стороны треугольника	Катеты прямоугольного треугольника	Стороны прямоугольника
	13	3 и 2	4+2 =  6 6+0 =  6   3   и  3
5	25	3 и 4
6	36	6 и 0

§ 5. Взаимное положение треугольника и достроенного прямоугольника.

Пусть стороны треугольника  раскладываются на числа , стороны прямоугольника равны  (если он существует), т.е.

Сторона треугольника	Катеты прямоугольного треугольника	Стороны прямоугольника
		u u v v
b
c

Зависимость  взаимного положения сторон треугольника относительно прямоугольника, если чертёж выполнен не на квадратной решётке:

1) две стороны треугольника полностью совпадают с двумя сторонами прямоугольника, если среди чисел  есть два числа, равных 0 и  (рис.3, Приложение4);

2) сторона треугольника полностью совпадает со стороной прямоугольника, если одно из чисел  и одна из сторон прямоугольника u или v равна сумме этого числа (=0) и второго числа из его пары (рис. 5, Приложение 4);

3) сторона треугольника частично совпадает со стороной прямоугольника, если одно из чисел  и одна из сторон прямоугольника u или v равна сумме этого числа (=0) и числа не из его пары (рис. 1, Приложение 4);

4) сторона треугольника полностью совпадает с диагональю прямоугольника, если u и v равны соответственно числам из одной  пары (рис. 1,2,3, Приложение 4);

5) стороны треугольника не совпадают со сторонами и диагональю прямоугольника, если среди чисел  и числа u и v составлены из чисел разных пар (рис. 4, Приложение 4).

ГЛАВА 3. Решение задач разными способами.

Все задачи, представленные в этой главе, решены тремя способами, описанными в §3 данной работы.

§ 6. Задача 1.

Найдите площадь треугольника со сторонами 15, 17 и 18 единиц.

Дано:  

Найти:

Решение:

 Способ 1.   

 

Способ 2.  ,

                            

Способ 3.      

Сторона треугольника	Квадрат стороны треугольника	Катеты прямоугольного треугольника	Стороны прямоугольника
15	225	9 и 12	Нет четырёх попарно равных натуральных числа
17	289	8 и 15
18	324	18 и 0

Достроить треугольник до прямоугольника с целыми значениями длин сторон невозможно.

Ответ:

Вывод: способ 1 проще и потому предпочтительней. 3 способ здесь неприменим

§ 7. Задача 2.

Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 5 и  единиц.

Дано:

Найти:

Решение:

Способ  1.

 

Способ 2.

  

 

   

Способ 3.

Сторона треугольника	Квадрат стороны треугольника	Катеты прямоугольного треугольника	Стороны прямоугольника
6	36	6 и 0	Нет четырёх попарно равных натуральных числа
5	25	3 и 4
	26	5 и 1

Достроить треугольник до прямоугольника с целыми значениями длин сторон невозможно.

Ответ:

Вывод: способ 2 предпочтительней, прямоугольник с целочисленными значениями сторон не получился.

§ 8. Задача 3.

Найдите площадь треугольника со сторонами , 5 и 6 единиц.

Дано:

Найти:

Решение:

Способ 1.

 .

Способ 2.

  

   

 

Способ 3.

Сторона треугольника	Квадрат стороны треугольника	Катеты прямоугольного треугольника	Стороны прямоугольника
	13	3 и 2	4+2 =  6 6+0 =  6   3   и  3
5	25	3 и 4
6	36	6 и 0

Достроить треугольник до прямоугольника возможно  (рис. 1, Приложение 5).

Ответ: 9 ед.².

Вывод: однозначно способ 3 предпочтительней.

§9. Задача 4.

Найдите площадь треугольника со сторонами ,  единиц.

Дано:  

Найти:

Решение:

Способ 1.

Способ 2.

 

 

.  

Способ 3.

Сторона треугольника	Квадрат стороны треугольника	Катеты прямоугольного треугольника	Стороны прямоугольника
	29	5 и 2	8+2=10 5+3=8 8 10
	73	3 и 8
	164	8 и 10

Достроить треугольник до прямоугольника возможно  (рис. 2, Приложение 5).

Ответ: 17 ед.².

Вывод: однозначно способ 3 предпочтительней.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ни в одном исследованном источнике информации нет инструкции (чёткого описания), как достроить треугольник до прямоугольника вне квадратной решётки. В данной работе показано, как это сделать. А именно: как подобрать длины сторон прямоугольника и как расположить стороны треугольника относительно элементов прямоугольника. Этим была достигнута первая часть цели работы. Вторая - в ходе решения задач разными способами.

 Результаты исследования показали, что метод  достраивания треугольника до прямоугольника – предпочтительный способ вычисления площади треугольника, заданного тремя сторонами. Однако, не для каждого треугольника возможен подбор целых значений сторон прямоугольника. Поэтому гипотеза подтвердилась частично.

Но её можно скорректировать:

Если для треугольника возможно подобрать целые значения длин сторон достраиваемого прямоугольника, то удобно вычислить его площадь, выполнив это построение.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

1. Козлова С.А. Математика, 6 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений : в 2-х частях. Ч.2/ С.А. Козлова, А.Г. Рубин. – 2-е изд. – М.: Баласс, 2013. – 208 с., ил. (Образовательная система «Школа 2100»).

2. Смирнова Е.С. Планиметрия: виды задач и методы их решений: Элективный курс для учащихся 9 – 11 классов. – М.: МЦНМО, 2016. – 416 с.

3. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7—9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. – М. : Дрофа, 2012. – 462 с., ил..

4. Презентация: http://900igr.net/prezentacija/tekhnologija/9.1.-geometrija-na-kletchatoj-bumage-156251.html

• 1 слайд

  Как вычислить
  площадь треугольника по трём сторонам?
  

• 2 слайд

  способ (по формуле Герона):
  
  
  способ:
  Найти площадь закрашенной фигуры.
  Дано: Найти: .
  Задача 1.
  Задача 2.
  Актуальность
  

• 3 слайд

  Цель:
  обобщить метод достраивания треугольника до прямоугольника для вычисления площади треугольника по трём сторонам и исследовать возможности его применения.
  Гипотеза:
  Так как каждый треугольник можно достроить до прямоугольника, то для любого треугольника с заданными тремя сторонами можно удобно вычислить площадь, выполнив это построение.
  иррациональные длины
  громоздкое решение
  

• 4 слайд

  Объект исследования:
  способы вычисления площади треугольника по трём сторонам
  Предмет исследования:
  способ вычисления площади треугольника по трем сторонам методом достраивания его до прямоугольника
  

• 5 слайд

  Дать теоретическое обоснование изученным в 7-9 классах способами вычисления площади треугольника на квадратной решётке по трём сторонам.
  Показать, как по длинам сторон треугольника подобрать длины сторон прямоугольника.
  Решить несколько задач разными способами.
  Сравнить методы с точки зрения удобства вычислений.
  Рассмотреть возможные случаи достраивания треугольника до прямоугольника.
  Задачи:
  

• 6 слайд

  Методы исследования
  обобщение
  критический анализ
  дедукция и индукция
  анализ и синтез
  

• 7 слайд

  Обзор теории:
  «…последний способ по красоте и изяществу сродни искусству…
  …Решение понятно из рис.» (Смирнова Е.С.)
  формула Герона
  I
  по схеме:
  II
  достраиваем до прямоугольника
  3
  III
  Способы решения
  

• 8 слайд

  Подбор длин сторон прямоугольника
  c2 = a2 + b2
  a
  c2
  

• 9 слайд

  Треугольник и прямоугольник
  

• 10 слайд

  Решение задач разными способами
  Задача 1.
  Дано:
  Вывод: проще I способ.
  Задача 2.
  Дано:
  Вывод: проще II способ.
  Задача 3.
  Дано:
  Вывод: проще III способ.
  Задача 4.
  Дано:
  Вывод: проще III способ.
  
  

• 11 слайд

  Цель:
  обобщить метод достраивания треугольника до прямоугольника для вычисления площади треугольника по трём сторонам и исследовать возможности его применения.
  Гипотеза:
  Так как каждый треугольник можно достроить до прямоугольника, то для любого треугольника с заданными тремя сторонами можно удобно вычислить площадь, выполнив это построение.
  Коррекция гипотезы:
  Если для треугольника возможно подобрать целые значения длин сторон достраиваемого прямоугольника, то удобно вычислить его площадь, выполнив это построение.
  

• 12 слайд

  Козлова С.А. Математика, 6 кл.
  1
  Смирнова Е.С. Планиметрия виды задач и методы их решений
  2
  Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7—9 кл
  3
  3
  Источники информации
  

• 13 слайд

  СПАСИБО
  за внимание!
  

Задача 1.

По данным рисунка найдите площадь закрашенной фигуры, если площадь одной клетки равна 1 ед.².

                                                               Решение:

                                              

                                                                 Ответ: 17 ед.²

 

Дано:   Найти: Решение: Способ 1. (Формула Герона) Способ 2. Ответ: 17 ед.2

Задача 2.

	Рис. 1

 

	Рис. 2                                             Рис. 3                                            Рис. 4

 

2 5

                                                                                                       

					7		Рис. 5
		9

 

			Рис. 6

 

Таблица сумм квадратов двух чисел от 0 до 20.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400
1	1	2	5	10	17	26	37	50	65	82	101	122	145	170	197	226	257	290	325	362	401
2	4	5	8	13	20	29	40	53	68	85	104	125	148	173	200	229	260	293	328	365	404
3	9	10	13	18	25	34	45	58	73	90	109	130	153	178	205	234	265	298	333	370	409
4	16	17	20	25	32	41	52	65	80	97	116	137	160	185	212	241	272	305	340	377	416
5	25	26	29	34	41	50	61	74	89	106	125	146	169	194	221	250	281	314	349	386	425
6	36	37	40	45	52	61	72	85	100	117	136	157	180	205	232	261	292	325	360	397	436
7	49	50	53	58	65	74	85	98	113	130	149	170	193	218	245	274	305	338	373	410	449
8	64	65	68	73	80	89	100	113	128	145	164	185	208	233	260	289	320	353	388	425	464
9	81	82	85	90	97	106	117	130	145	162	181	202	225	250	277	306	337	370	405	442	481
10	100	101	104	109	116	125	136	149	164	181	200	221	244	269	296	325	356	389	424	461	500
11	121	122	125	130	137	146	157	170	185	202	221	242	265	290	317	346	377	410	445	482	521
12	144	145	148	153	160	169	180	193	208	225	244	265	288	313	340	369	400	433	468	505	544
13	169	170	173	178	185	194	205	218	233	250	269	290	313	338	365	394	425	458	493	530	569
14	196	197	200	205	212	221	232	245	260	277	296	317	340	365	392	421	452	485	520	557	596
15	225	226	229	234	241	250	261	274	289	306	325	346	369	394	421	450	481	514	549	586	625
16	256	257	260	265	272	281	292	305	320	337	356	377	400	425	452	481	512	545	580	617	656
17	289	290	293	298	305	314	325	338	353	370	389	410	433	458	485	514	545	578	613	650	689
18	324	325	328	333	340	349	360	373	388	405	424	445	468	493	520	549	580	613	648	685	724
19	361	362	365	370	377	386	397	410	425	442	461	482	505	530	557	586	617	650	685	722	761
20	400	401	404	409	416	425	436	449	464	481	500	521	544	569	596	625	656	689	724	761	800

			Рис. 1                                                                                         Рис. 2

 

Рис. 5

Рис 3                                                                                         Рис. 4

                           

Рис. 1

		Рис. 2

 

Краткое описание документа:

Исследовательская работа по геометрии выполнена учащимся 10 класса.

В работе описан способ вычисления площади треугольника, который не изучается в школьной программе: треугольник достраивается до прямоугольника, с помощью теоремы Пифагора вычисляются стороны вспомогательных треугольников, площадь исходного треугольника получается вычитанием из площади прямоугольника площадей вспомогательных треугольников.