Исследовательский проект на тему"Магические числа"

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

 Свердловской области

«Верхнесалдинский авиаметаллургический техникум»

(ГАОУ СПО СО «ВСАМТ»)

Исследовательский проект на тему:

«Магические числа»

Руководитель: преподаватель физики

Ячменёва Н.В.

Выполнил: студент гр. ТМ-116

Зубенина Н

2014 г.

Оглавление.

1.       Введение………………………………………………………3-4

2.       Глава 1. Одномерность и двухмерность в природе………...4-7

                   Полосы и пятна…………………………………….....4-5

                   Изгибы и извивы……………………………………...5

                   Пчелиные соты и снежинки……………………….....5-6

                   Геометрия плиток и магия шестиугольника………...6-7

3.       Глава 2. Трёхмерность вокруг нас………………………….7-8

                  Шары в природе……………………………………..7

             Пузыри и купола…………………………………….7-8

4.       Глава 3. Числа Фибоначчи в мире растений………………8-9

5.       Глава 4. Круговорот чисел в природе………………………9-10

6.       Заключение……………………………………………………10

7.       Литература…………………………………………………….11

                                                          Введение.

                  Какие магические числа встречаются в природе? Ответ на этот вопрос мне пришлось искать довольно долго. Мои поиски были целенаправленными и продолжительными, ведь в природе мы наблюдаем переплетение математических моделей и не моделей. Исследовав окружающие меня в быту предметы, а так же примеры математических моделей в природе, я выделила из всего их многообразия проявление математических форм.

Мир на нашей небольшой планете удивительно богат различными формами, в основе большинства которых лежат математические закономерности. Они повсюду: радуга, капли, перья, раковины улиток, цветы, водоёмы планеты, шестиугольные ячейки пчелиных сот, широкие чёткие полосы зебры, волнистая рябь на песке, симметрия снежинки и многое, многое другое. Но есть не подчиняющиеся правилам явления: погода, водопады, комнатные мухи, кошки и т. д.

                 Математика как наука обладает необыкновенной красотой и интеллектуальным богатством. Но для многих людей она всего лишь скучный мир арифметических задачек и малопонятных формул. Я же хочу, полностью опуская задачки, показать красоту этой науки и в своей работе я постаралась систематизировать проявления чисел вокруг нас. Ссылки на природные формы и явления приводятся здесь, потому что именно при изучении природы почерпнуты наши математические познания. Одномерность, двумерность и трёхмерность окружающего нас мира, периодичность времён года, связь количества лепестков у цветов с числами Фибоначчи - вот далеко не полный перечень вопросов, которые я постаралась затронуть в своей работе. Все это определило актуальность проблемы показать проявления магических чисел в многообразии математических форм. Поэтому объектом исследования являются числа, а  предметом - изучение проявления математических форм в природе.

Цель работы: показать математические модели в природе, а также связь между геометрией, арифметикой и биологией.

Гипотеза все математические модели в природе можно объяснить с помощью законов геометрии. Данный материал будет способствовать привитию интереса к математике.

Задачи исследования:

1. изучить теоретический материал по данной теме.
2. провести опыты, связанные с магическими числами, и объяснить их.
3. найти примеры использования магических чисел в природе.
4. оформить проект по теме исследования.

Методы исследования:  изучение литературы,  сопоставление существенных признаков, анализ, сравнение, обобщение, эксперимент.

    Я в своей работе не изобрела новых для человечества знаний, но всего лишь постаралась увидеть вокруг себя применение знаний, полученных на уроках геометрии. (Приложение 1. Рис.1)

                                                    Глава 1.

Одномерность и двухмерность в природе.

                  Измерение пространства – это число существующих в нём  самостоятельных направлений. Пространство, в котором мы живём, трёхмерно, потому что в нём могут встретиться под прямым углом три линии. У плоскости только два измерения, а у линии только одно. Пространство, состоящее из отдельной точки, не имеет направлений и поэтому обладает нулевой мерностью.

                 Измерение пространства в математическом смысле, грубо говоря, сводится к тому, сколько тебе требуется чисел, чтобы точно определить местонахождение. Поверхность Земли двухмерна. Вы знаете, где находитесь, если вам известна широта и долгота. Если вы отрываетесь от поверхности Земли, тогда вам потребуется третье число, то есть высота, так что пространство трёхмерно. Большая часть евклидовой геометрии разворачивается на плоскости, которая двухмерна. Любая точка может быть найдена посредством двух чисел: где она лежит на оси восток-запад. Ещё проще сточкой, взятой в отдельности, у неё нулевая мерность. Точка с нулевой мерностью простовата, чтобы представлять интерес, но вот двумерные   пространства содержат в себе больше, чем мы могли бы ожидать.

Полосы и пятна.

            Одной из самых распространённых отметок на шкуре животных является полосатость. Порой полосы бывают такими правильными, что ассоциируются с математическими параллельными линиями. Это полосы перемежающихся цветов: чёрных и белых, красных и жёлтых. Разумеется, коль речь заходит о полосатых животных, первыми на ум приходят зебра и тигр. У зебры полосы броские, отчётливые, совсем не параллельные, явно далёкие от чего-либо математического. Каждый из трёх видов зебр – саванная, пустынная и горная – имеет свой, отличающийся от других, полосатый узор. У тигра полосы более неопределённые: на боках этой большой кошки они выглядят как мазок кисти, напоминая изысканное упражнение в каллиграфии.

 Также более или менее правильные линии присущи раскраске тропических рыб и морских ракушек. Императорский морской ангел заслужил своё название благодаря своему поистине императорскому облачению: ярко-золотому и пурпурному с горностаевой отделкой и множеством протянувшихся вдоль всего туловища узких белых и чёрных полос. Полосы на ракушках бывают двух видов: большинство следует вдоль спиралей ракушки, иные, бывают, расположены под прямым углом. У некоторых животных, таких, как енот, отчётливые параллельные кольца расположены вдоль хвоста.

                        Следующими после полос по геометрической сложности являются пятна. Пятна часто бывают на ракушках, у тропических рыб, на шкуре у леопарда. Отличительная окраска позволяет не путать с другими особей собственного вида. Она полезна при поисках пары и при маскировке от хищников. ( Приложение 1. Рис.2,3,4)

Извивы и изгибы.

                                У некоторых животных – змей, червей, угрей, миног – туловища настолько длинные, что математик не может устоять перед соблазном представить их в виде идеальной прямой линии. Но это невозможно, так как в процессе движения туловища этих животных претерпевают различные извивы и изгибы, обусловленные сокращениями мышц.

                         Извивы и изгибы встречаются и в неживой природе. Пользуясь даже такими простым материалом, как песчинки, природа создаёт изваяния из песка – простирающиеся по пустыне гигантские песчаные волны; как и на воде, на них образуется мелкая рябь, и огромные гребни. Большие дюны покрыты мелкими складками. Если направление ветров меняется, то дюны образуют многообразные изваяния из песка. (Приложение 1. Рис. 5,6)

Пчелиные соты и снежинки.

               Рисунок пчелиных сот выглядит строго математическим – ряд за рядом идеальных шестиугольников, стройно уложенных в плоскостном пространстве. Соты и снежинки имеют общее магическое число – шесть. Различаются они тем, что соты многократно используют одну и ту же модель, а каждая снежинка индивидуальна и неповторима в своём узоре. (Приложение 1. Рис. 7,8)

                 Шестиугольные модели не так вездесущи, как полосы, но всё же довольно распространены в мире природы. Их математическая основа более очевидна, чем у полос, потому что соты строятся из шестиугольников, а шестиугольники, можно  сказать, прямо сошли из учебников геометрии.

                  Как пчёлам и осам хватает смекалки строить подобные сооружения? Они насекомые общественные, так или иначе способные на большее, когда действуют сообща, нежели в одиночку. Видно, что-то такое им помогает, даёт начальный толчок. Осы и пчёлы не единственные существа, строящие соты. То же самое делают рыбы, охраняющие собственную территорию. Типичным примером служит вид крошечных рыбок в озере Гузон (США). Они имеют сильно развитый рефлекс защиты своей территории. Этих рыбок очень много, их территории тесно прилегают одна к другой, образуя сотовый рисунок. На первый взгляд всё это может показаться чуть ли не вершиной конструктивного мастерства, но ключом к этой загадке служат слова «тесно прилегают». Эксперимент по тесному прилеганию монеток друг к другу смотрите в экспериментальной части работы. (Приложение 2)

Геометрия плиток и магия шестиугольника.

          Плиточный пол – одно из великих достижений человеческой культуры. Правильными узорами укладывали каменные плиты египтяне, правильными узорами укладывали свои мозаики древние греки и римляне. Правильными  трёхсторонними,  четырёхсторонними и шестисторонними многоугольниками  являются равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Какими многоугольниками можно выложить плоскую поверхность, если применить лишь одну форму плиток? Существует лишь три способа покрыть плоскость правильными многоугольниками, используя квадраты, шестиугольники или равносторонние треугольники. Квадраты подгоняют друг к другу, образуя данную на рисунке модель. Треугольники  подгоняют в косую решётку. Шестиугольники образуют   сотовую модель. Известно, что нет никаких других правильных плиток, потому что общие  углы должны составлять в сумме 360 градусов. С правильными  многоугольниками достичь этого можно тремя путями: использовать  четыре квадрата, каждый с углами 90 градусов, три шестиугольника, каждый с углами 120 градусов, или шесть треугольников, каждый с углами 60 градусов. Почему нет других возможностей? Главное требование заключается в том, что угол многоугольника составляет целое число и является делителем числа 360. Это условие   выполняется только для равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.     

            Из-за того, что использование пятиугольника и многоугольников с семью и более сторонами в правильных плиточных моделях невозможно, главными числами в таких моделях являются 2, 3, 4 и 6. Особое значение представляет число 6. это треугольное число: 6=1+2+3. Оно также совершенное число: без остатка делится на 1,2 и 3,    Число 6 равно сумме    чисел  1, 2 и 3. Сегодня ничего из этой науки о магических числах не считается практически важным для математики, однако, число 6, действительно, имеет важное значение: это «целующее» число в двухмерном пространстве. То есть, если мы нарисуем на плоскости окружность и постараемся расположить несколько окружностей того же размера так, чтобы каждая касалась («целовала») первую, то вокруг первой можно разместить только шесть окружностей (смотрите эксперимент с монетами (Приложение 2)).

             В трёх измерениях, где окружности заменяются шарами,  «целующим» числом будет 12 (смотрите эксперимент с теннисными шарами (Приложение 2)).

              Из всего вышесказанного можно сделать вполне определённый вывод: самыми часто встречающимися числами в «плоском» двухмерном пространстве являются числа 1, 2, 3, 6.                                                       

Глава 2.

Трёхмерность вокруг нас.

                   До сих пор в моих исследованиях всё происходило на плоскости. Но в трёх измерениях куда больше места для изучения математических свойств природы. Я в своей работе остановлюсь на предметах, имеющих идеальную форму – форму шара.

Шары в природе.

                  Какой формы капля дождя? Художники имеют привычку рисовать её в виде слезы, то есть капли с одним закруглённым концом и с другим острым. Такая форма в карикатурном виде изображает падающую дождинку, так как в действительности  дождевые капли имеют форму шара. Шар – это форма с наименьшей площадью при заданном объёме. Капли воды принимают форму шара, посколку поверхностное натяжение ведёт к сокращению площади.

              Место, где шары могут в полной мере себя проявить – это космос. Все планеты, луны и звёзды  шарообразны.  

             Почему планеты имеют форму шара? При образовании они представляют собой гигантскую каплю из расплавленных горных пород и железа вперемешку с разными газами, паром и всякого рода хламом. Движение по орбите вокруг Солнца и собственные  силы гравитации вызывают поверхностное натяжение, поэтому планеты принимают форму дождинки – шара. При таком движении нашу планету Земля порождаемые вращением силы расширили на экваторе и сплющили у полюсов. Мы же обитаем на тонкой твёрдой земной коре. (Приложение 1. Рис. 10)

Пузыри и купола.

                 Небесные сферы внушительны, но самая убедительная математика черпает вдохновение в самых простых вещах. Что может быть проще мыльного пузыря? Впервые математика пузырей началась в 30-х годах 19-го века. С тех пор прошло около двух веков, но и сейчас дети разного возраста с большим увлечением пускают мыльные пузыри, ни сколько не удивляясь тому, что они имеют форму сферы.

          В процессе развития строительства и архитектуры возникла необходимость создать поверхность, содержащую максимальное пространство на минимальной площади. Однако форму шара пришлось исключить, поскольку поверхность нужно создать из ряда жёстких элементов. Для этого архитекторы нашли такое решение: создать форму, как можно больше приближающуюся к форме идеального шара. Основой всех таких форм служит икосаэдр,  наиболее приближающийся к шару.  

Эта же форма обычно используется и при изготовлении футбольных мячей. Она прочная, почти круглая, сделана из плоских кусков, которые слегка изгибаются при надувании мяча, ещё больше приближая его к идеальному шару. Всевозможные мячи – детские резиновые и пластмассовые, теннисные, волейбольные и футбольный в том числе – имеют почти идеальную форму шара. (Приложение 1. Рис. 11, 12)

Глава 3.

Числа Фибоначчи в мире растений.

             Леонардо Пизанский (Фибоначчи) родился в 1170 году в семье таможенного чиновника. В молодости он вместе с отцом работал на таможне, где познакомился с изобретённой арабами и индусами системой написания цифр. Предшествовавшей десятичной системе с её символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. поражённый всем тем, что он узнал, Фибоначчи написал  «Книгу абака», учебник арифметики. Эта книга, опубликованная в 1202 году, впервые познакомила Европу с индо-арабскими цифрами. В этой книге впервые прозвучала проблема, породившая большое число математического материала. Эта проблема касается кроликов. Если начать с пары кроликов, то через некоторое время эта пара даёт начало новой паре кроликов. В последующие периоды все половозрелые пары дают начало новым парам кроликов. Предполагается, что все кролики бессмертны. Как же растёт популяция кроликов? Фибоначчи обнаружил закономерность: с каждым последующим годом количество пар составляет 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее, где после первых двух каждое число равно сумме двух предыдущих.                                                            

           Леонардовы числа поголовья кроликов стали известны как числа Фибоначчи. Кролики, конечно, не размножаются по правилам Фибоначчи и не живут вечно. Тем не менее  усложнённые варианты числового ряда Фибоначчи до сих пор используются при изучении популяций животных.

            Однако числа Фибоначчи глубоко запали в душу математиков, став неиссякаемым источником восхищения и вдохновения. Например, растительный мир демонстрирует некоторые поразительные  числовые свойства. Числами Фибоначчи  пестрит нумерология растений. У традесканции по 3 лепестка,  флоксов и лютиков по 5 лепестков, у дельфиниумов часто бывает по 8, у ноготков 13, у астр 21, а у маргариток и подсолнечника часто бывает 34, 55 и 89 лепестков. У некоторых более крупных подсолнечников насчитывается по 144 лепестка.

     У цветков могут встречаться числа, не являющиеся числами Фибоначчи, но они

менее распространены, причём большинство этих исключений либо имеют вдвое больше лепестков, чем в числах Фибоначчи, либо их число относится к подобному же неправильному ряду чисел 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,  … с тем же порядком образования, но с другим отправным числом. О распространении чисел Фибоначчи среди лепестков цветов я буду говорить в экспериментальной части своей работы. На фотоснимках  вы видите традисканцию и флоксы, количество лепестков которых равно трём и пяти.

                 Из всего вышесказанного в этой главе можно сделать следующий вывод. Растения имеют скрытые закономерности, которые можно обнаружить в самых неожиданных местах, от цветков до шишек хвойных деревьев. Поскольку развитие растений отличается большой гибкостью,  то существуют исключения,  но всё же числа Фибоначчи имеют поразительно широкое распространение. Следовательно, рост растений подчиняется простым, но трудно уловимым математическим законам, действующим где-то на стыке биологии, геометрии и арифметики. (Приложение 1. Рис. 13,14)

Глава 4.

Круговорот чисел в природе.

              В данной главе речь пойдёт о времени. Фантасты считают время четвёртым измерением пространства. Моя работа далека от фантастики, но она была бы неполной, если бы в ней ничего не говорилось о магических числах времени.

              Древние вавилоняне более трёх тысяч лет назад использовали шестидесятеричную систему счисления, которая до сих пор используется при измерении времени. Минута переводится с латыни как маленькая часть, а секунда – вторая, то есть следующая маленькая часть: 1 минута равна 1/60 части часа, 1 секунда равна 1/60 части минуты.

        Слова «минута» и «секунда» появились с тех пор и при измерении углов в градусах. Вавилонские математики и астрономы делили окружность на 360 частей – градусов, то есть шесть раз по 60, каждый градус на 60 минут, а каждую минуту на 60 секунд. Дуга окружности, которой является радуга, так же измеряется в градусах.

              Почему круговорот чисел в природе? Это чаще всего встречается, когда мы говорим о времени. Один час состоит из 60 секунд, сутки состоят из 24 часов, неделя состоит из 7 суток, год состоит из 12 месяцев или из 365 дней, век состоит из 100 лет, и всё это периодически повторяется и зависит от движения Земли вокруг Солнца.

             О движении Земли вокруг Солнца следует сказать отдельно. От этого зависит смена времён года на нашей планете, которая так же является процессом периодическим. Весна, лето, осень, зима – времена года наступают примерно в те же даты любого года, будь это 1056 или 2009 год. Переместите время на целое число лет, и ничего неуместного не случится. Но переместите время на часть года, скажем, на шесть месяцев, и получите зиму, когда должно быть лето, или лето, когда должна быть зима. Таким образом, природа часто движется кругами, а времена года образуют цикл: от зимы к весне, затем к лету, затем к осени. (Приложение 1. Рис. 15,16).

Заключение.

            Все науки, которые мы изучаем в школе, возникли из практических потребностей человека, математика в том числе. О наличии математических моделей в природе, а так же о тонкой грани между геометрией, арифметикой и биологией я постаралась показать в своей работе. Так какие же числа мы чаще всего наблюдаем в природе? Прежде всего, в основном это числа натуральные.

1, 2, 3 – этим числам соответствует одномерность, двухмерность и трёхмерность пространства; 4, 6, 7, 12, 24, 60, 365 – с помощью этих чисел измеряем время; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …- числа Фибоначчи, применяемые в биологии. Это, конечно, далеко не полный перечень применения чисел в природе, но на данном этапе я ограничусь этим.

            Часто говорят, что математика скучна. Так говорят люди, далеко стоящие от математики. Математика суха и скучна для тех, кто дальше начатков её не ушёл. Выдающаяся русская женщина – математик Софья Васильевна Ковалевская писала: «Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии» и талантливый русский математик Н. Г. Чеботарёв говорил: «В математике красота играет громадную роль». Красоту математики, в частности геометрии, я постаралась показать в своей работе.

Литература:

1.      И.Стюарт «Какой формы снежинка?» - Издательство  «Мир книги», 2007 год

2.      И.М. Смирнова, В.А. Смирнов «Геометрия. Учебник 7-9 классы» - Издательство «Мнемозина», 2005 год

3.      Р.В. Грищенков «Нумерология»

4.      В.В. Калюжный «Нумерология. Числовая Астрономия »

5.      НАУКА энциклопедия, Москва «Росмен» 1999 год