Классическое определение вероятности

• 1 слайд

  Классическое определение вероятности
  Теория вероятностей и математическая статистика
  

• 2 слайд

  Всё в природе подлежит измерению, всё может быть сосчитано
  
  Н.И. Лобачевский
  

• 3 слайд

  Николай Иванович Лобачевский
  Русский математик
  
  Один из создателей неевклидовой геометрии
  
  Ректор Казанского университета
  1792 – 1856
  

• 4 слайд

  Детерминизм
  осуществление определённых условий однозначно определяет результат
  

• 5 слайд

  Блез Паскаль
  Французский математик, механик, физик, литератор и философ
  
  Один из создателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии
  
  1623 – 1662
  

• 6 слайд

  Пьер Ферма
  Французский математик
  
  Один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел
  
  1601 – 1665
  

• 7 слайд

  Христиан Гюйгенс ван Зёйлихем
  Нидерландский математик, механик, физик, астроном и изобретатель
  
  Один из создателей теоретической механики и теории вероятностей
  
  1629 – 1695
  

• 8 слайд

  Испытание
  Эксперимент, результат которого заранее (до проведения) предугадать нельзя
  Испытание = опыт =
  = стохастический эксперимент
  

• 9 слайд

  Случайное событие
  Явление, которое может произойти или не произойти в результате проведения испытания
  
  Пример
  Бросание игральной кости
  

• 10 слайд

  Случайное событие
  Обозначаются большими латинскими буквами, снабжёнными иногда индексами или штрихами
  
  Пример
  Событие А = «При бросании игральной кости выпало число 3»
  

• 11 слайд

  Элементарные события
  Взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий
  Каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А
  
  

• 12 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  Элементарные события – появление любого числа от 1 до 6
  
  Всего 6 элементарных событий
  

• 13 слайд

  Элементарные события
  
  Обозначаются греческой буквой
   (омега)
  возможно, с индексами
  
  
  Элементарное событие =
  = элементарный исход
  

• 14 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  1 = «При бросании игральной кости выпало число 1»
  4 = «При бросании игральной кости выпало число 4»
  

• 15 слайд

  Пространство элементарных событий
  
  Совокупность всех элементарных событий данного опыта
  
   (омега)
  

• 16 слайд

  Пространство элементарных событий
  
  Совокупность всех элементарных событий данного опыта
  
   (омега)
  

• 17 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  Пространство элементарных событий состоит из шести событий
  
   = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  

• 18 слайд

  Благоприятные события
  Элементарные события, наступление которых необходимо влечёт наступление события А
  
  Для каждого события А – свои благоприятные события!
  

• 19 слайд

  Благоприятные события
  А – множество элементарных событий, благоприятных событию А
  
  А  
  Отождествляем событие А и множество А
  
  

• 20 слайд

  Достоверное событие
  Наступает в результате любого элементарного события
  
  
  
  Достоверное событие = 
  

• 21 слайд

  Невозможное событие
  Не наступает ни при каком элементарном событии
  
  
  Невозможное событие = 
  

• 22 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  А = «Выпало число, меньшее 7»
  А = 
  
  В = «Выпало отрицательное число»
  В = 
  

• 23 слайд

  Сумма событий
  А + В  событие, которое происходит  происходит хотя бы одно из событий А или В
  
  А + В = А  В
  Сумма событий =
  = объединение событий
  
  

• 24 слайд

  Свойства
  А + А = А
  
  А +  = А
  
  А +  = 
  
  
  
  
  

• 25 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  А = «Выпало чётное число»
  А1 = «Выпало число 2»
  А2 = «Выпало число 4»
  А3 = «Выпало число 6»
  А = А1 + А2 + А3
  
  

• 26 слайд

  Произведение событий
  А×В  событие, которое происходит  происходят оба события А и В
  
  А×В = А  В
  Произведение событий =
  = пересечение событий
  
  
  

• 27 слайд

  Свойства
  А × А = А
  
  А ×  = 
  
  А ×  = А
  
  
  
  
  

• 28 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  В = «Выпало число 5»
  В1 = «Выпало нечётное число»
  В2 = «Выпало число, большее 3»
  В = В1×В2
  
  

• 29 слайд

  Несовместные события
  Одновременное появление в опыте невозможно
  
  А×В =
  
  Иначе – совместные события
  
  
  

• 30 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  А = «Выпало чётное число»
  В = «Выпало нечётное число»
  
  А и В несовместны
  

• 31 слайд

  Противоположное событие
  Происходит  не происходит событие А
  
  А
  
  
  

• 32 слайд

  Свойства
   А× А = 
  
  А +  А = 
  
   ( А) = А
  
  
  
  
  
  

• 33 слайд

  Пример
  Испытание – бросание игральной кости
  
  А = «Выпало чётное число»
  В = «Выпало нечётное число»
  
  А и В противоположные
  

• 34 слайд

  Разность событий
  А \ В  событие, которое происходит  происходит событие А и не происходит событие В
  
   А =  \ А
  А \ В = А ×В
  
  

• 35 слайд

  Свойства операций
  А+В = В + А
  А×В = В × А
  А (В + С) = АВ + АС
  А (ВС) = (АВ)С
  
  
  
  
  
  

• 36 слайд

  Пример
  Производится два выстрела по цели. Событие А = «При первом выстреле было попадание в цель»
  Событие В = «При втором выстреле было попадание в цель»
  Событие С = «В результате двух выстрелов цель поражена»
  
  Выразить С через А и В
  

• 37 слайд

  Пример – решение 1
  Производится два выстрела по цели. Событие А = «При первом выстреле было попадание в цель»
  Событие В = «При втором выстреле было попадание в цель»
  Событие С = «В результате двух выстрелов цель поражена»
  
  Выразить С через А и В
  

• 38 слайд

  Пример – решение 1
  1) первый выстрел – попадание, второй – промах
  А×(В)
  2) первый выстрел – промах, второй – попадание
  А×В
  3) оба выстрела – попадания
  А×В
  

• 39 слайд

  Пример – решение 1
  
  Интересующее событие наступает в результате наступления хотя бы одного из вариантов
  
  С = А×(В) + (А)×В + А×В
  

• 40 слайд

  Пример – решение 2
  Событие  С = «Поражения цели не было»
   С = (А) ×(В)
  
  С = ( С) =  ((А) ×(В))
  или
  С = \ ((А) ×(В))
  

• 41 слайд

  Относительная частота
  события А в серии из n одинаковых экспериментов
  
  (А) = m(A) / n
  
  где m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло
  

• 42 слайд

  Свойства
  0   (А)  1
  
   () = 1
  
  АВ =    (А+В) =  (А) +  (В)
  

• 43 слайд

  Относительная частота
  Меняется от серии к серии
  
  Во многих случаях при увеличении числа опытов (А) приближается к некоторому числу
  
  Это экспериментально установлено
  

• 44 слайд

  Статистическое определение
  Если при увеличении числа опытов (А) стремится к некоторому фиксированному числу р(А), то
  
  событие А стохастически устойчиво,
  p(А) – вероятность события А
  
  численная характеристика
  

• 45 слайд

  Относительная частота
  события А в серии из n одинаковых экспериментов
  
  (А) = m(A) / n,
  
  где m(A) – чисто экспериментов, в которых событие А произошло
  

• 46 слайд

  Относительная частота
  события А в серии из n одинаковых экспериментов
  
  (А) = m(A) / n,
  
  где m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло
  Всего
  Благоприятные
  

• 47 слайд

  Классическое определение
  Пространство элементарных событий некоторого опыта 
  
  || = n
  
  Все элементарные события равновозможны
  
  
  

• 48 слайд

  Классическое определение
  Все элементарные события равновозможны  вероятность их появления одинакова
  
  p(i) = pi = p = 1/n
  
  p() =  pi = 1
  
  
  
  
  
  
  

• 49 слайд

  Классическое определение
  Пусть событию А благоприятствуют m элементарных событий
  
  p(А) =  piА = m× 1/n = m/n
  
  p(А) = m/n
  
  Отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов
  
  
  

• 50 слайд

  Пример
  В урне лежит 7 жёлтых и 11 оранжевых шаров. Чему равна вероятность вытащить жёлтый шар?
  Событие А = «Вытащили жёлтый шар»
  Всего исходов n = 7 + 11 = 18
  Благоприятных исходов m = 7
  p(А) = m/n = 7/18
  

• 51 слайд

  Пример
  В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар.
  Какова вероятность того, что номер вытянутого шара не превышает десяти?
  

• 52 слайд

  Пример
  Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одного размера.
  Полученные кубики перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу выбранный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани?
  

• 53 слайд

  Пример
  В погребе в конце февраля стоит 8 банок с компотом и 7 с соленьями.
  Наугад достают 6 банок.
  Какова вероятность того, что одна банка будет с компотом, а остальные с соленьями?
  

• 54 слайд

  Комбинаторика