Конспект по алгебре на тему "Комбинаторика" (9 класс)

Комбинаторные задачи.

Цель урока: познакомить учащихся с разделом математики – комбинаторикой. Показать решение некоторых комбинаторных задач.

Ход урока: объяснение материала; закрепление материала, решение задач.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций.

Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».

Пример1.

На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение.

	Плюшка	Бутерброд	Пряник	Кекс
Кофе	Кофе Плюшка	Кофе Бутерброд	Кофе Пряник	Кофе Кекс
Сок	Сок Плюшка	Сок Бутерброд	Сок Пряник	Сок Кекс
Кефир	Кефир Плюшка	Кефир Бутерброд	Кефир Пряник	Кефир Кекс

Всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ:     12.

Однако составлять такие таблицы для каждой задачи, занимает время.

А чтобы решить такую задачу быстрее, можно воспользоваться правилом умножения.

Правило умножения. Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В , следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Пример 2.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Ответ: 24.

Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов».

Однако многие задачи можно решить быстрее и легче. Для этого надо  знать простейшие комбинации, которые можно составлять из элементов конечного множества.

И одна из первых таких комбинаций  - перестановки.

Пример 3.

Имеются три книги. Обозначим их буквами a ,b и c.Эти книги нужно расставить на полке по-разному:

а b с,  а с b,  b а с,  b с а, с а b, с b а.

Каждое из этих расположений и называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называют каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначают:   Рn = n! (эн факториал).                                 n! =.

Например:                   3! = ,    1! = 1.

Поэтому задачу с книгами можно решить так:

Р₃=.

Задача №1.

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Решение:                 

  Р₄ =

Ответ: 24.

Задача №2.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2, 4.6?

Решение:  из цифр 0,2.4.6 можно составить Р₄ перестановок. Из этого числа нужно исключить те перестановки, которые начинаются с 0.

Число таких перестановок Р₃. Значит искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0,2,4,6 равно:

          Р₄ – Р₃= 4!-3!=                    

Ответ: 18.

Задача №3.

Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники. Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р₆ способами.

И в каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₄ перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг равно произведению:    Р₆*Р₄=   

Ответ: 17280.

 Задача № 4.

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно расставить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение:            Р₆* Р₂=

Ответ: 1440.

Вторым видом комбинаций  являются размещения.

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора.

a

b

c

a

c

b

b

a

c

d

c

b

и т.д. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещениями из четырех элементов по три и обозначают А

abc	abd	acb	acd	adb	adc
bac	bad	bca	bcd	bda	bdc
cab	cad	cba	cbd	cda	cdb
dab	dac	dba	dbc	dca	dcb

Из составленной таблицы видно, что таких комбинаций 24.

Размещением из n элементов по k  (nk) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n  элементов и обозначается А.                 А                           Если размещения составляются из n элементов по n, то А

Задача 5.

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.

Решение:         А(способов).

Задача 6.

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места

а) 4 фотографии;

б) 6 фотографий.

Решение:  а) А

                  б) А

Задача 7.

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Решение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А

Задача 8.

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Решение: а) А

                 б) А  

Задача 9.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

Пример 5.

Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех гвоздик.

Решение:   Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

 bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет

cde.

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается С                                      С

В отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

               С

Задача 10.

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:       С

Задача 11.

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С   способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С способами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С способами.

Решение:    С =   

Задача 12.

В классе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:        С

Задача 13.

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

 Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение:     

 а) С   

 б)С

Задача 14.

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение:  С400400.