Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме "Логарифмические уравнения и методы их решения"

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Логарифмические уравнения и методы их решения».

учитель Власенко Марина Валерьевна

Тип урока:  урок изучения нового материала.

Цели урока:

1. Обучающие:

• повторить свойства логарифмов;

• формировать навыки по вычислению логарифмов с помощью его свойств;

• формировать умения решать логарифмические уравнения с помощью определения логарифма, применения основного логарифмического тождества, метода потенцирования;

• расширить знания о логарифмической функции;

• изучить методы введения новой переменной, приведения к общему основанию, логарифмирования обеих частей уравнения, разложения на множители при решении логарифмических уравнений.

2. Развивающие:

• систематизировать знания по теме через различные виды деятельности;

• способствовать формированию умений: обобщать, сравнивать, анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать.

3. Воспитательные:

• способствовать воспитанию у учащихся культуры общения, взаимопонимания, взаимной ответственности друг к другу при работе в группах.

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, экран, готовые слайды презентации, раздаточный материал на карточках. (Презентация)

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие учителя. У каждого из вас есть карточка с рисунком: подсолнух, морская раковина, рога архара, вид галактики (приложение 1). Карточки можно разложить на столе и предложить учащимся выбрать карточку с понравившемся рисунком. Сядьте за столы, согласно рисунку. Что мы изучали на прошлом уроке? Какие методы решения уравнений вы знаете? Какой рисунок у вашей группы? Как вы думаете, что связывает эти картинки и понятие, которое мы изучаем?

2. Логарифмическая спираль “Удивительное рядом”.

Их связывает понятие логарифма, а точнее - логарифмическая спираль. Логарифмическая спираль — это замечательная кривая, имеющая очень много интересных свойств. Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис. 4) семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. Примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Желающие узнать об этом, могут подготовить материал. (слайды) А для изучения всех этих явлений необходимо уметь выполнять преобразования с логарифмами и решать логарифмические уравнения.

3. Актуализация ЗУНов.

Цель: повторить определение и свойства логарифма.

А) Логарифмическая разминка. Фронтальная работа класса. На слайдах появляются задания для решения и правильный ответ под руководством учителя.

1. 2. 3. 4. ; 5. 6. –

Ответ: 1. 5, 2. ¼, 3. 4/3, 4. 9, 5. 2, 6. -1.

Б) Исправь ошибку. У доски работают два ученика во время математической разминки. Затем все проверяют выполнение работы, еще раз повторяют формулы.

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5. .

Правильное решение

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5. .

4. Проверка ЗУНов. Учащиеся решают тест в 5 вариантах по пройденным вопросам темы (Приложение 2). Самопроверка осуществляется с помощью слайда презентации.

-На прошлом уроке вы научились решать логарифмические уравнения с помощью определения логарифма, основного логарифмического тождества и метода потенцирования, выполнили домашнее задание по этой теме. Решите тест с целью проверки качества усвоения материала и подготовки к ЕНТ. На работу отводится 5 минут. Каждый проверяет свою работу и оценивает согласно критериям на слайде. Сдайте листы с ответами. Поднимите руки, кто получил оценки «5», «4», «3». Оценки будут выставлены в журнал.

5. Постановка темы и целей урока.

Посмотрите на предложенные уравнения.

Могли бы вы их решить изученными способами? Тогда перед нами встает задача: продолжить изучать методы решения логарифмических уравнений, научиться решать эти уравнения. Какова тема нашего урока? Какова цель нашего урока? Сформулируйте ее.

Цель: изучить методы введения новой переменной, приведения к общему основанию, логарифмирования обеих частей уравнения, разложения на множители при решении логарифмических уравнений.

6. Изучение нового материала. Учащиеся работают в 4 группах, каждая группа получает материал по изучению нового метода решения логарифмического уравнения. (Приложение 3) Работа выполняется по плану: а) изучить предложенный метод решения уравнения и разобрать решенное уравнение; б) решите уравнение изученным способом, решение запишите на выданных листах крупным шрифтом; в) объясните всем учащимся, в каком случае применяется данный метод и как вы выполнили решение.

Изучаемые методы решения логарифмических уравнений:

а) метод введения новой переменной;

б) метод приведения к одному основанию;

в) метод логарифмирования обеих частей уравнения;

г) метод разложения на множители.

- У каждой группы на столах лежит план работы с заданиями по одному из изучаемых методов. Выполните все задачи. Дескрипторы, указанные в конце материала помогут вам оценить качество его усвоения.

Все группы выполнили свои задания, представитель каждой группы около доски объясняет остальным учащимся применение своего метода решения, отвечает на вопросы учащихся. Ответы учащихся сопровождаются слайдами презентации.

- У членов группы есть дополнения? Есть ли вопросы у участников других групп?

7. Первичное закрепление изученного материала. Составьте соответствие. Надо составить соответствие между уравнением и методом его решения. (Слайд)

-Вы рассмотрели еще 4 метода решения логарифмических уравнений. Проверьте, как вы усвоили материал. Для каждого предложенного уравнения выберите метод решения.

а) метод введения новой переменной;

б) метод приведения к одному основанию;

в) метод логарифмирования обеих частей уравнения;

г) метод разложения на множители.

8. Домашнее задание (приложение 4).

С методами вы определились, а сами решения уравнений выполните дома.

1)

2)

3) 4)

9. Резерв: «Логарифмическая комедия 2 > 3»

На слайде появляются числа 2 и 3.

- Сравните эти числа (на слайде появляется знак сравнения и получается неравенство 2 > 3). А я докажу вам, что 2 > 3. Шаг за шагом учитель рассказывает и показывает, какие математические действия он совершает, получая при этом из верного неравенства неверное, однажды совершив ошибку.

- В чем ошибка этого доказательства? Ребята должны объяснить ошибку:

. (Слайд)

10. Итог урока. Какие методы решения логарифмических уравнений вы узнали?

Так где, в каких сферах жизни применяются логарифмы? Возможные ответы: в природе, музыке, астрономии, экономике, биологии, физике.

-Спасибо за урок я вам говорю на языке логарифмов! Обратите внимание на слайд: шарики улетают по логарифмической спирали.

11. Рефлексия. Я хочу узнать, как вы усвоили новый материал. Поэтому уходя, прикрепите цветные стикеры - яблоки на дерево, согласно качеству усвоенного материала:

желтый – все понял,

зеленый – понял, но не все,

красный - ничего не понял.

Приложение 1

Эмблемы групп.

Приложение 2.

Вариант 1.

1.Решите уравнение:

1) 10; 2) 8; 3) 4; 4) 11

2. Решите уравнение:

1) 2; 2) -7; 3) 11; 4) 1

3. Решите уравнение:

1) 2; 2) 3; 3) 0; 4) 1

4. Решите уравнение:

1) 4; 2) 2; 3) 7; 4) 5

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Вариант 2.

1.Решите уравнение:

1) 7; 2) 3; 3) 11; 4) 4

2. Решите уравнение:

1) 4; 2) 0,5; 3) 1; 4) 2

3. Решите уравнение:

1) 4; 2) 1; 3) 0,8; 4) -1

4. Решите уравнение:

1); 2) 3; 3) 9; 4) 2

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Вариант 3.

1.Решите уравнение:

1) 1; 2) -1; 3) 19; 4) 0

2. Решите уравнение:

1) -6; 2) 1; 3) 0,75; 4) 1,8

3. Решите уравнение:

1) 0,4; 2) 17; 3) 2; 4) 8

4. Решите уравнение:

1)1; 2) 8; 3) 16; 4) 2

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Вариант 4.

1.Решите уравнение:

1) 5; 2) 4; 3) 17; 4) 13

2. Решите уравнение:

1) 1; 2) -2; 3) 3; 4) 2

3. Решите уравнение:

1) 0,3; 2) 1; 3) 4; 4) 2

4. Решите уравнение:

1)1; 2) 2; 3) -1; 4) 4

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Вариант 5.

1.Решите уравнение:

1) 1; 2) 7; 3) 25; 4) 27

2. Решите уравнение:

1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 8

3. Решите уравнение:

1) 0,3; 2) 1; 3) 4; 4) 2

4. Решите уравнение:

1)3; 2) 2; 3) 1; 4) 0,5

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Вариант 5.

1.Решите уравнение:

1) 1; 2) 7; 3) 25; 4) 27

2. Решите уравнение:

1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 8

3. Решите уравнение:

1) 0,3; 2) 1; 3) 4; 4) 2

4. Решите уравнение:

1)3; 2) 2; 3) 1; 4) 0,5

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Ответы

Критерии оценивания: 5 баллов – 5 правильно решенных задач;

4 балла - 4 правильно решенные задачи;

3 балла – 3 правильно решенные задачи;

2 балла – 0-2 задач.

Приложение 3.

Тема 1: Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной.

Цель: изучить метод введения новой переменной для решения логарифмического уравнения.

Ход работы:

1. Изучите предложенный метод решения уравнения и решенное уравнение;

2. Решите уравнение изученным способом, решение запишите на выданных листах крупным шрифтом;

3. Объясните всем учащимся, в каком случае применяется данный метод и как вы выполнили решение уравнения (представители группы выходят к доске)

1.Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной

Данный метод, как правило, применяется в том случае, когда в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл принять это выражение за новую переменную и решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом найти исходную величину. В ряде случаев удачная замена переменной облегчает преобразования и упрощает решение задачи.

В логарифмических уравнениях иногда приходится сначала выполнить ряд преобразований, а потом произвести замену переменной.

2.Рассмотрим метод введения новой переменной на конкретном примере.

Задание. Решите уравнение: =0.

Решение:

О.Д.З.:

= (свойство суммы логарифмов, применим метод потенцирования)

(свойство степени логарифма, раскрываем скобки)

(получили квадратное уравнение относительно )

Пусть

Ответ:

3.Решите уравнение: . Решение запишите на листах крупным шрифтом. Пояснения писать не надо.

О.Д.З.:

Перенесли слагаемые из левой части в правую:_________________________________

Пусть _____________=

Получили уравнение: _______________________.

Находим корни этого уравнения:

Возвращаемся к замене переменной:

.

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

3.Выберите представителей от группы, которые познакомят остальных учащихся с изученным методом, изложат ход решенного вами уравнения.

Дескриптор: - знает метод введения новой переменной при решении

логарифмических уравнений;

- определяет по типу уравнения метод решения;

- применяет свойства логарифма;

- решает уравнение данным методом.

Тема 2: Решение логарифмического уравнения методом приведения логарифмов к одному основанию.

Цель: изучить метод приведения логарифмов к одному основанию для решения логарифмического уравнения.

Ход работы:

1. Изучите предложенный метод решения уравнения и решенное уравнение;

2. Решите уравнение изученным способом, решение запишите на выданных листах крупным шрифтом;

3. Объясните всем учащимся, в каком случае применяется данный метод и как вы выполнили решение уравнения (представители группы выходят к доске)

1.Решение логарифмического уравнения методом приведения логарифмов к одному основанию.

Данный метод, как правило, применяется в том случае, когда в уравнении встречается несколько логарифмов с разными основаниями. Обычно условие уравнения подсказывает, к какому основанию логарифма следует перейти.

При этом используются формулы:

(

Как правило, метод приведения логарифмов к одному основанию «работает» с методом введения новой переменной.

2.Рассмотрим метод приведения логарифмов к одному основанию на конкретном примере.

Задание. Решите уравнение:

Решение:

О.Д.З.:

У логарифмов разные основания, но все они являются степенью числа 3. Поэтому приведем логарифмы к основанию 3.

(свойство степени основания логарифма)

(умножим коэффициенты и равные множители)

(умножим обе части уравнения на 24)

Ответ:

3.Решите уравнение: Решение запишите на листах крупным шрифтом. Пояснения писать не надо.

О.Д.З.:

У логарифмов разные основания, но все они являются степенью числа ___. Поэтому приведем логарифмы к основанию ____.

Получим уравнение: ______________________________________________________

Применим свойство степени основания логарифмов:___________________________

Приведем подобные слагаемые: ____________________________________________

Умножим (разделим) обе части уравнения на число: ___________________________

х = _____

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

3.Выберите представителей от группы, которые познакомят остальных учащихся с изученным методом, изложат ход решенного вами уравнения.

Дескриптор: - знает метод введения новой переменной при решении

логарифмических уравнений;

- определяет по типу уравнения метод решения;

- применяет свойства логарифма;

- решает уравнение данным методом.

Тема 3: Решение логарифмического уравнения методом логарифмирования обеих частей уравнения.

Цель: изучить метод логарифмирования обеих частей уравнения для решения логарифмического уравнения.

Ход работы:

1. Изучите предложенный метод решения уравнения и решенное уравнение;

2. Решите уравнение изученным способом, решение запишите на выданных листах крупным шрифтом;

3. Объясните всем учащимся, в каком случае применяется данный метод и как вы выполнили решение уравнения (представители группы выходят к доске)

1.Решение логарифмического уравнения методом логарифмирования обеих частей уравнения.

Данный метод применяется в том случае, когда уравнение содержит переменную и в основании, и в показателе степени. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма (т.е. взять логарифм и от левой, и от правой части уравнения).

Как правило, метод логарифмирования обеих частей уравнения «работает» с методом введения новой переменной.

2.Рассмотрим метод логарифмирования обеих частей уравнения на конкретном примере.

Задание. Решите уравнение:

Решение:

О.Д.З.:

Перенесем число 8 в правую часть уравнения:

Уравнение содержит переменную и в основании, и в показателе степени, при этом в показателе степени содержится логарифм по основанию 2. Обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию 2 этого логарифма.

(свойство степени логарифма)

(раскроем скобки и перенесем число 3 в правую часть уравнения)

Получили квадратное уравнение относительно Введем новую переменную.

Пусть ,

Ответ:

3.Решите уравнение: Решение запишите на листах крупным шрифтом. Пояснения писать не надо.

О.Д.З.:

Уравнение содержит переменную и в основании, и в показателе степени, при этом в показателе степени содержится логарифм по основанию 3. Обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию 3 этого логарифма.

Получим уравнение:

Применим свойство степени логарифма в правой части уравнения и свойство логарифма произведения в левой части логарифма: ___________________________

Перенесем слагаемые из правой части в левую часть уравнения: ________________________________________________________________________

Получили квадратное уравнение относительно _____. Введем новую переменную.

Пусть ,

Находим корни этого уравнения:

Возвращаемся к замене переменной:

.

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

3.Выберите представителей от группы, которые познакомят остальных учащихся с изученным методом, изложат ход решенного вами уравнения.

Дескриптор: - знает метод введения новой переменной при решении

логарифмических уравнений;

- определяет по типу уравнения метод решения;

- применяет свойства логарифма;

- решает уравнение данным методом.

Тема 4: Решение логарифмического уравнения методом разложения на множители.

Цель: изучить метод разложения на множители для решения логарифмического уравнения.

Ход работы:

1. Изучите предложенный метод решения уравнения и решенное уравнение;

2. Решите уравнение изученным способом, решение запишите на выданных листах крупным шрифтом;

3. Объясните всем учащимся, в каком случае применяется данный метод и как вы выполнили решение уравнения (представители группы выходят к доске)

1.Решение логарифмического уравнения методом разложения на множители.

Данный метод применяется в том случае, когда левую часть уравнения можно разложить на множители, а в правой части получить 0.

В этом случае следует пользоваться правилом:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей, входящих в данное произведение равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

2.Рассмотрим метод разложения на множители на конкретном примере.

Задание. Решите уравнение:

Решение:

О.Д.З.:

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую:

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые 1 с 3 и 2 с 4:

Выносим за скобку общую скобку:

Применим правило произведения:

Ответ:

3.Решите уравнение: Решение запишите на листах крупным шрифтом. Пояснения писать не надо.

О.Д.З.:

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую:

_____________________________________________________

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые 1 со 2 и 3 с 4:

_____________________________________________________

Выносим за скобку общую скобку: _______________________

Применим правило произведения:

.

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

3.Выберите представителей от группы, которые познакомят остальных учащихся с изученным методом, изложат ход решенного вами уравнения.

Дескриптор: - знает метод введения новой переменной при решении

логарифмических уравнений;

- определяет по типу уравнения метод решения;

- применяет свойства логарифма;

- решает уравнение данным методом.

Приложение 4

Технологическая карта учащегося

1.Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной.

Решите уравнение: .

О.Д.З.:

Перенесли слагаемые из левой части в правую:_________________________________

Пусть _____________=

Получили уравнение: _______________________.

Находим корни этого уравнения:

Возвращаемся к замене переменной:

.

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

2. Решение логарифмического уравнения методом приведения логарифмов к одному основанию.

Решите уравнение:

О.Д.З.:

У логарифмов разные основания, но все они являются степенью числа ___. Поэтому приведем логарифмы к основанию ____.

Получим уравнение: ______________________________________________________

Применим свойство степени основания логарифмов:___________________________

Приведем подобные слагаемые: ____________________________________________

Умножим (разделим) обе части уравнения на число: ___________________________

х = _____

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

3. Решение логарифмического уравнения методом логарифмирования обеих частей уравнения.

Решите уравнение:

О.Д.З.:

Уравнение содержит переменную и в основании, и в показателе степени, при этом в показателе степени содержится логарифм по основанию 3. Обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию 3 этого логарифма.

Получим уравнение:

Применим свойство степени логарифма в правой части уравнения и свойство логарифма произведения в левой части логарифма: ___________________________

Перенесем слагаемые из правой части в левую часть уравнения: ________________________________________________________________________

Получили квадратное уравнение относительно _____. Введем новую переменную.

Пусть ,

Находим корни этого уравнения:

Возвращаемся к замене переменной:

.

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

4. Решение логарифмического уравнения методом разложения на множители.

Решите уравнение:

О.Д.З.:

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую:

_____________________________________________________

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые 1 со 2 и 3 с 4:

_____________________________________________________

Выносим за скобку общую скобку: _______________________

Применим правило произведения:

.

Проверка на вхождение в О.Д.З.?

Ответ: .

Домашнее задание.

1)

2)

3) 4)

20