Конспект урока по теме "Первообразная"

ГБПОУ «Сочинский торгово-технологический техникум» КК

Урок математики по теме "Первообразная".

2 курс 

Иванкова Надежда Петровна,  

преподаватель математики

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Ян Амос Коменский

Цели:

• Образовательные: Сформировать представление о понятии "первообразная", познакомить с формулами и правилами нахождения первообразных; научить находить первообразную для функции.

• Развивающие: развивать навыки мыслительной деятельности, алгоритмизировать и анализировать.

• Воспитательные: Побуждать учащихся к  само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, организованность и сосредоточенность.

 Оборудование и материалы:

·        Мультимедиа-аппаратура

·        Презентация

·        Раздаточный материал (на каждого студента)  Приложения

План урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Объяснение новой темы.

4. Физминутка    

5. Первичное закрепление

6. Зарядка для глаз   

7. Самостоятельная работа

8. Итог урока. Рефлексия.  

1. Организационный момент.

Приветствие, проверка присутствующих и готовность учащихся к уроку

2. Актуализация знаний.

 Опорные знания: Найти производную функций (Приложение 1) (слайд 2).

Сопоставляя ответы с буквами, вы узнаете тему нашего занятия:

Найти  f ʹ(x)

7+x

6x2

x6

6x

-x-6

2sin x

2

-cos x

2lnx

1

12x

6x5

6хln6

2cos x

-12x-7

3x5

sin x

2x2

П

Е

Р

В

О

О

Б

Р

А

З

Н

А

Я

2x2

6хln6

6x5

-12x-7

2cos x

3x5

sin x

12x

1

А

О

Я

В

Р

Р

О

А

Н

Е

П

З

Б

Постановка цели и задач занятия:

Сегодня мы узнаем: что такое первообразная, как её находить, как использовать таблицу и правила нахождения первообразной.

3. Объяснение новой темы. Создание проблемной ситуации.

Что значит первообразная?

Мы использовали таблицу производных (Приложение 1) (слайд 3),

Но можно ли сделать обратное действие?

Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями, например, (слайд 4)

Умножение – деление

Сложение – вычитание

Нахождение производной – нахождение первообразной и т.д.

Производная – «производит»  на свет новую функцию, первообразная - первичный образ.

Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е процесс отыскания функции по заданной производной - интегрированием.  (слайд 5)

Зная производную некоторой функции, мы можем найти саму функцию. Как это сделать?

Учащиеся выполняют задания: заполнить пропущенные места в скобках: – (устно)   (слайд 6)

                   (…)^/ = 2х                         (…)^/ = 0

                   (…)^/ = 4х³                       (…)^/ = 25

Как можно иначе сформулировать это задание (найти саму функцию, зная её производную; восстановить функцию по производной)?

 Восстанавливаемая функция называется первообразной.

Дайте определение первообразной функции.

Вводится определение первообразной. (слайд 7)

Определение:  Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если F^/(x) = f(x) на заданном промежутке.

Решим: (Приложение 2)       (слайд 8)   

(…)/ = 10	(…)/ = -15
(…)/ = 2х	(…)/ = -11х
(…)/ = 10х9	(…)/ = -3х2
(…)/ = cos x	(…)/ = -4 cos x
(…)/ = sin x	(…)/ = -5 sin x
(…)/ = сtg x	(…)/ = tg x

Обобщим результаты и заполним таблицу первообразных некоторых функций. (Заполняется по мере нахождения первообразных)  (слайд 8, 9)

Устная работа на закрепление (Приложение 3)

по таблице первообразных  (Приложение 4)       (слайд 9, 10)

f(x)= 9	F/(x) =	f(x)= -3,5	F/(x) =
f(x)= х8	F/(x) =	f(x)= 8x7	F/(x) =
f(x)= sin x	F/(x) =	f(x)=	F/(x) =

f(x)= 9	F/(x) = 9х	f(x)= -3,5	F/(x) = -3,5х
f(x)= х8	F/(x) =	f(x)= 8x7	F/(x) = x8
f(x)= sin x	F/(x) = -cos x	f(x)=	F/(x) = 2tg x

Найти производную функции

 

Какой можно сделать вывод?

На основе анализа делается вывод, выражающий основную задачу интегрирования   (слайд 11)

Любая функция вида F(x)=x³ +с, где с – произвольное число, является первообразной функции f(x).

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Верно и обратное утверждение.

В соответствии со сделанным выводом таблица первообразных будет иметь вид:   (Приложение 5)    (слайд 9)

4. Физминутка     (слайд 12)

Есть и другие правила нахождения первообразных. (слайд 13)

(Приложение 6)

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1.  F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2.   а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3. – первообразная для а f ( kx + b ).

5. Первичное закрепление

Примеры решение задач по теме

Решают примеры с объяснением преподавателя, записывают в тетради.

Пример.  (слайд 14)
Найти первообразную для функции y=4x³+cos(x)
Решение.
Первообразная суммы равна сумме первообразных F(x+y)=F(x)+F(y). тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
f(x)=4x³ => F(x)=x⁴
f(x)=cos(x) => F(x)=sin(x)
Тогда первообразной исходной функции будет: y= x⁴+sin(x) или любая функция вида y=x⁴ + sin(x) +C

Примеры.  (слайд 15)

Найти первообразные функций: 
а)  f(x)= 8sin(x)
б) y=3x² + 4x - 5

Решение.
а) f(x)= sin (x) => F(x)=cos (x) Коэффициент 8 выносим  за функцию. Тогда первообразная исходной функции примет вид:  F(x)= −8cos(x) + С

б) f(x)= 3x² => F(x)=x³,   f(x)=4x => F(x)=2x²

f(x)=5 => F(x)=5x

Тогда первообразная исходной функции примет вид: 

F(x)= x³ + 2x² - 5x + С

Пример.   (слайд 16)
Найти первообразные следующих функций:
а) y=cos(7x)

а) f(x)=cos(x) => F(x)=sin(x)

y = cos(7x) => F(x)= * sin(7x) => F(x)=
б)  y=(−2x+3)³

f(x)= x³ => F(x)=

f(x=(−2x+3)³  =>  F(x)= -  => F(x)= 

Пример.  (слайд 17) 

Найдите первообразную функции f(x)= 1 - 9х²  , график которой проходит через точку (2; -15)

Решение

Найдём все первообразные для функции f(x)= 1 - 9х² :

 F(x) = х - + С = х – 2х³ + С

Через точку (2; -15) проходит график первообразной 

2 – 3*2³ +С = -15

Решим уравнение относительно С,  получим: С=7,

т.е., через точку с координатами (2; -15) проходит график первообразной   F(x) = х – 2х³ +7

Пример.  (слайд 18) 

По заданному закону изменения скорости тела от времени v=−3sin(4t)  найти закон движения  если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
Решение.
Так как v=S′(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости.
S=−3∗(−cos(4t)) +C=cos(4t)+C.
В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что t=0.
S(0)=cos(4∗0) + C=.
cos (0) + C=.
∗1 + C =.
C=1.
Тогда закон движения описывается формулой: S=cos(4t)+1.

Геометрический смысл первообразной   (слайд 18)

6. Зарядка для глаз    (слайд 20)

7. Самостоятельная работа (самостоятельные работы контролирующего характера)  

Работа по карточкам. Индивидуальные разноуровневые задания (Приложение 7)     (слайд 21, 22, 23)

1)    Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

1) F(x) = x3 - 2x+1       f(x)=3x2 - 2 2) F(x)= x4 - 4x3                f(x)= x3 – 4x4 3) F(x)=10 – x             f(x)= -1 4) F(x)=                  f(x)=1/2   x€[0;+ ]    5) F(x) =10x10                    f(x)=10x11

f(x)=3x2 - 2    f(x)=4x3 – 12x2    f(x)= -1    f(x)=1/2   x€[0;+ ]    f(x)=100x9

2)    Найти первообразную для функции f(x):

    1)  f(x)= x³

    2)  f(x) = x² + 2

    3)  f(x)= 15x⁴

      4)  f(x) = 3 - 10x

3)    Найдите первообразную:

функция	Варианты ответа:
f(x) = 2x5- 8x3+1	х6 - 2х4 +х+C;    10х4 - 24х2+C;    - 2х4+x+C
f(x) = 2x - 9sin(x)	x2+9cos(x)+C;   2x2 - 9cos(x)+C;  2+ cos(9x)+C;
t(x)= (5+2x)3	;       ;
q(x) = ex – 9х2	ex – 18x+C;    ex-1 – 9x3+C;   ex – 3x3+C;
h(x)= 6x + -5	6+2х6+С;  3х2 + х6 – 5х+C;   6х2 +- 5х+C.
m(x)= 3 -	3x + ;  3x + 3ctgx+С ;   3x - 3tgx+С
g(x)= - 2cos(6x)	12cos(6x)+C,       +C,    +C
f(x) = sin(3x – 2)	соs(3x-2)+C;  -3соs(3x-2)+C,

4)    Найдите первообразную функции f(x)= 10х⁴ +7  - 9х² , график которой проходит через точку (1; 6)

5)    По заданному закону изменения скорости тела от времени v=6sin(2t). Найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 11.

Проверьте по эталону ответы

8. Итог урока. Рефлексия.   (слайд 24, 25)    (Приложение 8)

1) Какие уже имеющиеся у тебя знания понадобились в решении задачи по новой теме?  (нахождение производной)

2) С какой операцией, обратной дифференцированию, познакомились? (нахождение первообразной – интегрирование)

3) Сколько первообразных имеет каждая функция? (бесконечное множество)

4) Что было легче всего?

5) Что было сложнее всего?

6) Оцените свою деятельность на уроке с помощью

– все понятно,

– есть затруднения,

– много непонятного

7) Выберите смайлик, который соответствует вашему настроению.

1.Прочитать объяснительный текст глава 4 параграф 20, выучить наизусть определение первообразной;

 2.Решить № 20.1 -20.5 (в, г) - обязательное задание для всех;

№ 20.6 (б), 20.7 (б), 20.8 (б), 20.9 (б)- 2 примера по выбору.

Раздаточный материал

Приложение 1

Таблица производных

Приложение 1

Найти производную функций

 Сопоставляя ответы с буквами, вы узнаете тему нашего занятия:

Найти  f ʹ(x)

7+x

6x2

x6

6x

-x-6

2sin x

2

-cos x

2lnx

Ответ

Буква

2x2

6хln6

6x5

-12x-7

2cos x

3x5

sin x

12x

1

А

О

Я

В

Р

Р

О

А

Н

Е

П

З

Б

Приложение 2

(…)/ = 10	(…)/ = -15
(…)/ = 2х	(…)/ = -11х
(…)/ = 10х9	(…)/ = -3х2
(…)/ = cos x	(…)/ = -4 cos x
(…)/ = sin x	(…)/ = -5 sin x
(…)/ = сtg x	(…)/ = tg x

Приложение 3

Устная работа на закрепление по таблице первообразных

f(x)= 9	F/(x) =	f(x)= -3,5	F/(x) =
f(x)= х8	F/(x) =	f(x)= 8x7	F/(x) =
f(x)= sin x	F/(x) =	f(x)=	F/(x) =

Приложение 4

Таблица первообразных некоторых функций

Приложение 5

Общий вид первообразных некоторых функций

Приложение 6

Правила нахождения первообразных.

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1.  F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2.   а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3. – первообразная для а f ( kx + b ).

Приложение 7

Самостоятельная работа 

1)    Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

1) F(x) = x³ - 2x+1       f(x)=3x² - 2

2) F(x)= x⁴ - 4x³                f(x)= x³ – 4x⁴

3) F(x)=10 – x             f(x)= -1

4) F(x)=                  f(x)=1/2   x€[0;+ ]   

5) F(x) =10x¹⁰                    f(x)=10x¹¹

2)    Найти первообразную для функции f(x):

    1)  f(x)= x³

    2)  f(x) = x² + 2

    3)  f(x)= 15x⁴

      4)  f(x) = 3 - 10x

3)    Найдите первообразную:

функция	Варианты ответа:
f(x) = 2x5- 8x3+1	х6 - 2х4 +х+C;        10х4 - 24х2+C;               - 2х4+x+C
f(x) = 2x - 9sin(x)	x2+9cos(x)+C;         2x2 - 9cos(x)+C;             2+ cos(9x)+C;
t(x)= (5+2x)3	;                 ;
q(x) = ex – 9х2	ex – 18x+C;                ex-1 – 9x3+C;                  ex – 3x3+C;
h(x)= 6x + -5	6+2х6+С;               3х2 + х6 – 5х+C;            6х2 +- 5х+C.
m(x)= 3 -	3x + ;          3x + 3ctgx+С ;               3x - 3tgx+С
g(x)= - 2cos(6x)	12cos(6x)+C,                 +C,                   +C
f(x) = sin(3x – 2)	соs(3x-2)+C;         -3соs(3x-2)+C,

4)    Найдите первообразную функции f(x)= 10х⁴ +7  - 9х² , график которой проходит через точку (1; 6)

5)    По заданному закону изменения скорости тела от времени v=6sin(2t). Найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 11.

Приложение 8

Итог урока.

1) Какие уже имеющиеся у тебя знания понадобились в решении задачи по новой теме? 

2) С какой операцией, обратной дифференцированию, познакомились?

3) Сколько первообразных имеет каждая функция?

4) Что было легче всего?

5) Что было сложнее всего?

     6) Оцените свою деятельность на уроке с помощью 

– все понятно,

– есть затруднения,

– много непонятного

7) Выберите смайлик, который соответствует вашему настроению.

Краткое описание документа:

Конспект урока по теме "Первообразная". Тип урока: ознакомления с новым материалом.

Вид урока: комбинированный. Первый урок по данному разделу. К данному уроку можно использовать презентацию (Первообразная).

Конспект урока содержит все пункты данного типа урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Объяснение новой темы.

4. Физминутка

5. Первичное закрепление

6. Зарядка для глаз

7. Самостоятельная работа

8. Итог урока. Рефлексия.