Конспект урока по теме "тригонометрическая форма комплексного числа"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ ГБПОУ «ЧЕЛЯБИНСКИЙ МЕХАНИКО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка занятия по теме:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Дисциплина ЕН.01 Математика

для

ППССЗ

15.02.15 Технология металлообрабатывающего производства

Разработал: преподаватель первой категории

Кузнецова Ольга Ярославовна

Челябинск 2019

Пояснительная записка.

Тема «Комплексные числа» в курсе современной математики, а так же в ряде разделов физики и техники имеет большое значение, так как с ней связано дальнейшее понятия числа. Комплексные числа – это числа более общей природы, появились в 16 веке при решении уравнений 3 степени, когда стало ясно, что реальные решения рассматриваемых уравнений существуют, но не всегда могут быть найдены, если ограничиваются только действиями над действительными числами.

Комплексные числа имеют различные интерпретации (алгебраическую, тригонометрическую, показательную и геометрическую).

В условиях профессионального образования, комплексные числа находят широкое применение при изучении ряда общетехнических и специальных дисциплин.

Данная тема находится в разделе «Тригонометрическая форма комплексного числа», продолжительность изучения – 1 час, для специальности 15.02.15 Технология металлообрабатывающего производства

План урока.

Тема: Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Цели учебного занятия.

1. Обучающая. Ознакомление студентов с тригонометрической и показательной формами комплексного числа. Изучение перехода от алгебраической формы комплексного числа, к тригонометрической форме и обратно. Знакомство с показательной формой комплексного числа. Расширение и обобщение знаний о числе.

2. Развивающая. Прививать навык применения теоретических знаний при решении задач. Развивать умение анализировать ситуацию, находить пути решения проблемы. Способствовать развитию коммуникативных способностей, навыков взаимодействия; способствовать развитию активности, инициативности.

3. Воспитательная. Способствовать формированию познавательного интереса к обучению, научного мировоззрения. Способствовать формированию навыков самостоятельной работы, вырабатывать чувство ответственности.

Тип урока: комбинированный

Вид урока: формирование умений и навыков.

Используемые методы обучения:

-        словесный: объяснения, диалог

-        наглядный: презентация

-        практический: работа с раздаточным материалом

-        исследовательский: формулировка понятий, обобщений, выводов

-        рефлексивный: текущая рефлексия, итоговая рефлексия

Приемы: опрос, демонстрация презентаций, рефлексия

Принципы:

-        коммуникативной направленности

-        индивидуального и дифференцированного подхода

-        деятельностного подхода в обучении

-        прочности усвоения знаний, умений

-        наглядности и доступности

Учебно-материальное оснащение:

-технические средства: мультимедийный проектор, компьютер, экран, учебная доска;

-чертежные принадлежности

Прогнозируемый результат:

Формирование элементов общих компетенций:

• ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

• ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

• ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Ход урока

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность студентов

Слайд №

Время

1. Организационный момент

Приветствие, план занятия

Организация внимания

1,2

2 мин

2. Актуализация знаний

Индивидуальная и фронтальная проверка знаний

Ответы на вопросы

3,4

8 мин

3. Изучение нового материала

Объяснение материала. Вывод формул.

Запись в тетрадях формул, запись алгоритма

5,6

12 мин

4. Закрепление изученного материала

Разбор, решение задач у доски, коллективная работа

Решение задач

8 мин

5. Обобщение и систематизация материала.

Индивидуальная проверка знаний, контроль.

Выполнение самостоятельной работы

10 мин

6. Задание домашнего задания

Формулировка домашнего задания

Запись домашнего задания

7

1 мин

7. Рефлексия

Фронтальный опрос

Мыслительная деятельность

8,9

4 мин

1. Организационный момент.

Здравствуйте. Сегодня на уроке мы вспомним материал прошлого занятия, повторим, рассмотрим другие формы записи комплексных чисел, закрепим знания путем решения задач, подведем итоги.

2. Актуализация знаний.

Я попрошу вас ответить на вопросы, которые находятся на столах (карточка 1).

1. Как записывается комплексное число в алгебраической форме?

2. Как выполняется сложение комплексных чисел?

3. Как выполняется вычитание комплексных чисел?

4. Как выполняется умножение комплексных чисел?

5. Как выполняется деление комплексных чисел?

6. Как обозначается и вычисляется модуль комплексного числа?

7. По каким формулам можно найти аргумент комплексного числа?

Давайте вместе ответим на вопросы

1. Какие числа называются комплексными?

2. Какие комплексные числа называются равными?

3. Какие комплексные числа называются сопряженными?

4. Что называется модулем комплексного числа?

5. Что называется аргументом комплексного числа? Как он обозначается?

Итак, мы вспомнили основные определения и формулы комплексного числа записанного в алгебраической форме, а сейчас переходим к новой теме.

3. Изучение нового материала.

На прошлом уроке мы говорили, что комплексные числа имеют 3 формы, одну мы уже изучили - алгебраическую. Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и в других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической форме. И сегодня на уроке мы познакомимся с еще двумя формами комплексных чисел, тригонометрической формой и показательной.

Запишем в тетрадях тему урока: « Тригонометрическая форма записи комплексного числа».

Дано комплексное число z = a + bi (1) - в алгебраической форме.

Наша задача представить это число в тригонометрической форме.

Для этого из формул , , выразим a и b

, (2).

Если в формулу (1) вместо а и b, подставим равенства (2), то получим

(3).

Таким образом, любое комплексное число можно записать по формуле (3),

где r - модуль, а – аргумент этого числа.

Верно и обратное утверждение:

если комплексное число представлено в виде (3),

где , то ,

Формула (3) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Итак, алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической:

1. Находим модуль комплексного числа по формуле.

2. Для нахождения определяем геометрически, в какой четверти находится радиус - вектор z.

3. Составляем уравнения , .

4. Находим угол .

5. Записываем комплексное число в тригонометрической форме.

Рассмотрим, еще одну форму записи комплексны чисел – показательную. Если комплексному числу , модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение , то получим соотношение

= (5), оно называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число z можно записать в виде Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Итак, мы рассмотрели алгоритм перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, а так же рассмотрели показательную форму записи комплексного числа.

4. Закрепление изученного материала.

Рассмотрим примеры:

Пример 1.

Записать число z = в тригонометрической и в показательной форме.

Решение.

1. 1) Так как a=-2, b= _, то .

Видно, что комплексному числу z соответствует радиус-вектор z, лежащий в III четверти

Рис. 2

2) Составим соотношения

,

,

Этим соотношениям соответствует в III четверти угол или .

3) Так как , или то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид

или .

2. Так как a=-2, b=, , или .

– показательная форма данного числа.

Пример 2.

Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число .

Решение.

1. Запишем данное число в виде . Значит, , откуда

.

2) Составим соотношения

,

,

Радиус-вектор, соответствующий геометрическому числу , лежит на мнимой оси.

То есть угол или .

Рис.3

3) Так как , или _,то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид

или .

Пример 3.

Записать число в показательной форме.

Решение.

Так как , то .

Геометрически определяем, что комплексному числу z соответствует радиус вектор Z, лежащая в IV четверти. (Рис.4)

Рис. 4.

Составим соотношения

=

.

Отсюда следует, что

.

Значит, , тогда

– показательная форма данного числа.

Пример 4.

Представить в алгебраической форме число .

Решение.

Подставив значения, в данное равенство, получим

.

Итак, алгебраическая форма данного числа имеет вид .

5. Обобщение и систематизация изученного материала.

Сейчас предлагаю разделиться на группы, и самостоятельно решить несколько примеров.

Вариант 1.

1. Записать число в тригонометрической и показательной форме.

2. Z=1+i

3. Представить в алгебраической форме число

Z=2()

Вариант 2.

1. Записать число в тригонометрической и показательной форме.

2. Z=3+4i

3. Представить в алгебраической форме число

Z=2()

Вариант 3.

1. Записать число в тригонометрической и показательной форме.

2. Z=2-3i

3. Представить в алгебраической форме число

Z=3()

После того как закончится время на выполнение работы, к доске выйдут представители команд и продемонстрируют, прокомментируют свое решение.

Итак, мы применили алгоритм перевода из алгебраической формы комплексного числа, в тригонометрическую и обратно, перевели в показательную форму комплексные числа.

6. Домашнее задание

1. Перевести в тригонометрическую и показательную форму комплексные числа: z= -i; z=6-6i; z=-4; z=3i.

7. Рефлексия.

Давайте еще раз повторим все, что мы сегодня изучали:

1. Какие числа называются комплексными?

2. Что называется модулем комплексного числа?

3. Что называется аргументом комплексного числа?

4. Перечислите формы записи комплексного числа?

5. На каких дисциплинах вы уже встречались с различными формами записи комплексных чисел?

Урок окончен.

Спасибо за внимание!