Конспект урока "Простейшие тригонометрические уравнения"

«Методика преподавания математики и подхода к организации

учебного процесса в условиях реализации ФГОС»

ОРЛОВА ЕЛЕНА ВИТАЛЬЕВНА

МИНИ-ПРОЕКТ НА ТЕМУ

«РАЗВЁРНУТЫЙ ПЛАН УРОКА В СООТВЕТСТВИИ ФГОС»

2021г.

Урок математики в 10 классе  

Тема урока: Простейшие тригонометрические уравнения (cos x = a, sin x =a )

 Тип урока: урок открытия новых знаний. 

 УУД

Личностные:
- сформированность потребности в самовыражении и самореализации,
- сформированность позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

Коммуникативные:
- умение передавать информацию интонацией,
- слушать,
- интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество с одноклассниками и педагогом,
- умение грамотно выражать свои мысли,

Познавательные:
- умение  строить речевое высказывание,

Регулятивные:
- предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.

Формы организации работы обучающихся на уроке: индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, системные обобщения, самопроверка.

    Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы «Значения тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические формулы», системно-обобщающая схема;

 на партах  обучающихся: памятка  по решению тригонометрических уравнений, листы - консультации, учебник «Алгебра и начала математического анализа». 10 класс.   Никольский С.М. и др. Базовый и углублённый уровни.

Ход урока

I. Организационный момент. Озвучивание целей урока и плана его проведения. Мотивация.

Цель: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.). (слайд 1,2)

II.  Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.

Цель:   организация осознания ими внутренней потребности к построению учебных действий и фиксирование каждым из них индивидуального затруднения в пробном действии.

Выберите и продолжите фразу: «Сегодня на уроке мы будем …»

1)      решать задания, применяя понятия арксинуса, арккосинуса ;

2)      упрощать тригонометрические выражения;

3)      решать простейшие тригонометрические уравнения;

1.      Опрос по теоретическому материалу:

      а) Сформулировать определение арксинуса числа.

      б) Сформулировать определение арккосинуса числа.

2.   Устная работа практической направленности.
           1) Вычислите:

         а) arcsin

        б) arccos 1

        в) arcsin(-)

        г) arccos(-)

        д) -arcsin

         3. Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
              а)  (нет);
             б)  (да);
             в)  (нет).

4. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2 которые соответствуют числам , , , , arcsin 0, arcsin ( слайд 3,4)

5. Проверить, верно ли равенство:

 

III. Объяснение новой темы.  

 Цель:  учащиеся формулируют конкретную цель своих будущих учебных действий, какие знания им нужно построить и чему научиться.

    Сегодня на уроке мы научимся решать с вами простейшие тригонометрические уравнения.

А.Эйнштейн  говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. (слайд 5)

1. Пусть дано простейшее уравнение cos t = a. (слайд 6)

Данное уравнение:

a) при -1< t < 1 имеет две серии корней

t₁ = arсcos a + 2k, k Z

t ₂ = - arсcos a + 2m, m Z.

Эти серии можно записать так

t = ± arсcos a + 2n, n Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений (слайд 7)

t = 2n, n Z ;

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = + 2n, n Z ;

г) при а = 0 имеет две серии корней (слайд 8)

t₁ = + 2k, k Z

t ₂ = - + 2m, m Z. Обе серии можно записать в одну серию

t = + n, n Z.

д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Задание 1. Решить уравнения: (слайд 9,10)

1) cos х = ;

2) cos х = - ;

3) cos 4x = 1

4x = 2n, n Z

.

4)

,

.

5)  (слайд 11)

,

,

.

6) Решите уравнение ; укажите корни, принадлежащие промежутку [-; -2].(слайд 12)

а)

б) сделаем выборку корней, принадлежащих промежутку [-2; -]. (слайд 13)

1) с помощью окружности

2) с помощью графика функции

Ответ: а) ; б) .

Задание 2. Найти корни уравнения: (слайд 14)

1) a) cos x =1 б) cos x = - 1 в) cos x = 0 г) cos x =1,2 д) cos x = 0,2

2) а) б) в) г)

ФИЗМИНУТКА (слайд 15)

Задание 1: нарисуйте движениями глаз на доске цифру8.

Задание 2: нарисуйте движениями глаз на доске знак бесконечности ∞.
Задание 3: Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Повторить 2-3 раза.

Быстро встали,
Тихо сели,
Головами повертели,
Сладко, сладко потянулись
И друг другу улыбнулись,
Рот закрыли на замок,
Продолжается урок.

 Логическая задача

В двух кошельках лежат две монеты( т. е. внутри первого кошелька – одна монета и внутри второго кошелька – одна монета), причем в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

Ответ: один кошелек лежит внутри другого

  Всегда ли уравнения решаются по формуле?

Ответ учащихся: существуют и частные случаи решения уравнений

2. Пусть дано простейшее уравнение sin t = a. (слайд 16)

Данное уравнение :

a) при -1< t < 1 имеет две серии корней

t₁ = arсsin a + 2n, n Z

t ₂ = - arсcsin a + 2n, n Z.

Эти серии можно записать так

t = ( -1)^k arсsin a + k, k Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений (слайд 17)

t = + 2n, n Z

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = - + 2n, n Z;

г) при а = 0 имеет две серии корней (слайд 18)

t₁ = 2k, k Z,

t₂ = + 2m, m Z.

Обе серии можно записать в одну серию

t = n, n Z ;

д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Задание 3. Решить уравнения: (слайд 19)

1) sin х = ;

,

;

,

;

,

.

Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1)^k + k, k Z .

2) sin х = -; (слайд 20)

,

;

,

;

,

.

Запишем ответ в виде одной серии x = ( -1)^k ( - + k, k Z или x = ( -1)^k+1 + k, k Z .

IV Самостоятельная  работа с самопроверкой по эталону

  Цель:  организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий  по теме; организовать самопроверку учащимися своих решений; создать ситуацию успеха для каждого ребенка

Найти корни уравнения : (слайд 21)

1) a) sin x =1 б) sin x = - 1 в) sin x = 0 г) sin x =1,2 д) sin x = 0,7

2) а) б) в) г)

Тест(взаимопроверка)

  Следующее задание - решить уравнения.  (слайд 22)

1 вариант	2  вариант
1.     Sin x =1∕2	1.     Cos x =  √3∕2
2.     Sin x = √3∕2	2.     Cos x = 1∕2
3.     Sin x = -√2	3.     Cos x = -√2

                                               Ответы: (слайд 23)

1 вариант	2 вариант
х = (-1)   π ∕6 + πк,  к Є  Z	х =     π∕6+ 2 π n; n Є Z
х = (-1)    π∕3+πк,  к Є Z	х =     π∕3+ 2 π n; n Є Z
Нет решений	Нет решений

V. Рефлексия. Итог урока

Цель:   самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода   решения тригонометрическихуравнений

Продолжите фразу: (слайд 24)

·         Сегодня на уроке я повторил …

·         Сегодня на уроке я узнал …

·         Сегодня на уроке я научился …

·         «Было интересно, потому что …»

·         «Я бы хотела похвалить себя за то, что …»

·         «Урок я бы оценила на …»

Вы молодцы! Формулы для решения тригонометрических уравнений записаны на карточке - информаторе.  

6. Домашнее задание: (слайд 25, 26)

п.11.1читать,  выполнить № 11.2, № 11.5(а-г), № 11.6(а,б) 

Литература.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник - Никольский С.М. и др. Базовый и углублённый уровни.М.: Просвещение, 2020 

карточка – информатор