Конспект уроков ао теме "Представление числовой информации в ПК"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

г.Междуреченск Кемеровской области

Старцева Елена Михайловна,

учитель информатики МОУ «СОШ №2»

Адрес: 652 870, Кемеровская обл.

г.Междуреченск, пр.Коммунистический,26-97

тел. [phone]

Адрес школы: 652 870, Кемеровская обл.

г.Междуреченск, пр.Коммунистический, 9

тел.  [phone]

Междуреченск

Оглавление

Пояснительная записка. 3

Уроки 1-2. Тема урока: Системы счислений. Позиционные  и непозиционные системы счисления. 4

Из истории возникновения систем счисления. 4

Алфавит, основание, базис. 6

Уроки 3-4. Тема урока: Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления. 8

Уроки 5-6. Тема урока: Связь между родственными системами счисления. 12

Уроки 7-8. Тема урока: Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления. 14

Уроки 9-10. Тема урока: Представление чисел в компьютере. 17

Представление целых чисел. 17

Представление вещественных чисел. 20

Список используемой литературы.. 25

Приложения. 26

Пояснительная записка

Курс «Информатика. Информационные технологии» является базовым курсом предметной области «Информатика». Вопросы по данной теме включены в состав ЕГЭ.

Тема «Представление числовой информации в компьютере» входит в состав курса «Информатика. Информационные технологии». Данная тема изучается в 10 классе. Общее количество часов на тему – 11.

Данные разработки уроков сопровождаются презентациями, что повышает наглядность и степень усвоения материала.

Тема: Представление числовой информации в компьютере	11 ч.
Системы счислений. Позиционные  и непозиционные системы счисления	2
Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления	2
Связь между родственными системами счисления	2
Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления	2
Представление чисел в компьютере	2
Контрольная работа «Представление числовой информации в компьютере»	1

Уроки 1-2. Тема урока: Системы счислений. Позиционные  и непозиционные системы счисления

Цель урока: Раскрыть понятие системы счисления. Познакомить учеников со способами представления чисел в позиционных системах счисления. Дать представление о базисе и алфавите систем счисления.

Учащиеся должны знать / понимать:

·      о существовании позиционных и непозиционных систем счисления;

·       о существовании основания в позиционных системах счисления.

Учащиеся должны уметь:

·       представить число в развёрнутом виде в позиционной системе счисления;

·       перевести число из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием и обратно.

Из истории возникновения систем счисления

Самый первый способ записи чисел – палочками: количество предметов, например мешков, изображалось нанесением черточек или засечек (10-11 тысяч лет до н.э.). Ученые называют этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления.

В древнеегипетской системе счисления (2500 лет до н.э.) использовались специальные знаки для обозначения чисел 1, 10, 100, 1000 и т.д. Каждая «цифра» повторялась не более 9 раз.

Например: Число 345 древние египтяне записывали так:

 

Вавилонская система счисления (2000 лет до н.э.) считается первой позиционной системой, но не десятиричной, а шестядисятиричной.

 

Например: Число  равно 2*60+3*10+2=152

Римская система счисления похожа на египетскую и мы сегодня широко ее используем.

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы: славянская, ионийская (греченская), финикийская и др.

Например, числа от 1 до 10 записывались так:

Так, например, числа 1000, 2000, 3000... записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак:

Число 10000 обозначалось той же буквойдчто и 1, толь­ко без титла, ее обводили кружком:

Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней: мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд, окружность на 360 частей (градусов)

Пример использования исчисления на Руси:

Арабские цифры пришли из Индии, где впервые использовалась десятичная система счисления. Возникновение этой системы счисления стало возможным после величайшего открытия – цифры «0» для обозначения отсутствующей величины (Ouden – ничто, греческое слово). Цифры постепенно видоизменялись, пока не приняли современное начертание.

Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

Алфавит, основание, базис

Система счисления – это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Непозиционная система счисления — это система счисления, в которой количественный эквивалент каждого символа не зависит от его положения (места, позиции) в записи числа.

Позиционная система счисления — это система счисления, в которой значение символа (вес цифры) зависит от его позиции в записи числа.

Основание (базис) – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления (q). Понятие базиса — ключевое понятие для позиционных систем счисления. Базис позиционной системы счисления — это последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент символа (вес разряда) в зависимости от его места в записи (коде) числа. Базис произвольной позиционной системы счисления обозначается:

Алфавит системы счисления – это совокупность символов для записи чисел. Количество символов  в алфавите всегда равно основанию системы счисления.

Любое число мы записываем с помощью этих цифр, причем цифра в числе имеет свой так называемый «вес» т.е значимость цифры зависит от того в каком разряде она находится.

В общем виде любое число можно представить так:

X = a_nPⁿ + a_n-1P^n-1 + a_n-2P^n-2 + a_n-3P^n-3 +… + a₁P¹ + a₀P⁰ + a_-1P^-1+ a_-2P^-2+… + a _-kP ^-k

 

Например:  число  13509₁₀

^{10000       1000        100       10       1- разряды}

     1       3     5     0    9   = 1*10⁴ + 3*10³ + 5*10² 0*10¹+ 9*10⁰ – развернутая форма.

Весовые значения разрядов в различных системах счисления

Основание системы счисления	P3	P2	P1	P0	P-1	P-2	P-3
P = 2	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8
P = 5	125	25	5	1	1/5	1/25	1/125
P = 8	512	64	8	1	1/8	1/64	1/512
P = 10	1000	100	10	1	1/10	1/100	1/1000
P = 12	1728	144	12	1	1/12	1/144	1/1728
P = 16	4096	256	16	1	1/16	1/256	1/4096

Давайте  аналогичным образом действовать в других системах счисления. Но обратите внимание, что теперь мы будем раскладывать числа с другими основаниями. При подсчете мы получим эквивалент этих значений, но в десятичной системе счисления:

число 2574₈

2574₈ = 2*8³ + 5*8² + 7*8¹ + 4*8⁰ = 2*512 + 5*64 + 7*8 + 4*1 =

1024 + 320 + 56 + 4 = 1404₁₀

число 4031₅

4031₅ = 4*5³ + 0*5² + 3*5¹ + 1*5⁰ =500 + 0 + 15 + 1 = 516₁₀

число 210₃

210₃ = 2*3² + 1*3¹ + 0*3⁰ = 18 + 3 + 0 = 21₁₀

число 1001101₂

1001101₂ = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64+8+4+1 = 77₁₀

Дробные части чисел переводятся аналогично, но базис числа идет с отрицательной степенью.

число 542,365₈

542,365₈ = 5*8² + 4*8¹ + 2*8⁰ + 3*8^-1 + 6*8^-2 + 5*8^-3 =

  5*64 + 4*8 + 2*1 + 3*1/8 +  6*1/64 + 5*1/512 =

  320  +  32   + 2     +  0,375+ 0,09375+ 0,0098    = 354,47855₁₀

Задания для самостоятельного решения

1.            Перевести  в десятичную систему счисления следующие значения:

341,1₈

125,2₁₆

1011001,11₂

341,1₅

125,2₇

1011001,11₁₂

А05,В₁₆

2.            В каком отношении находятся числа 12₈и 12₁₀, состоящие из одинаковых цифр, но с разными основаниями?

3.            Число 1201 может принадлежать перечисленным позици­онным системам счисления, кроме

1.  Двоичной.

2.  Восьмеричной.

3.  Десятичной.

4.  Шестнадцатеричной.

4. Как изменится двоичное число 111000,011₂, если перенести запятую, отделяющую целую часть от дробной, на один разряд вправо (новое число: 1110000,11₂)?

 5. Как изменится число, записанное в восьмеричной системе счисления, при переносе запятой, отделяющей целую часть от дробной, на две позиции влево?

Уроки 3-4. Тема урока: Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления

Цель уроков: познакомить учащихся с алгоритмом перевода целых чисел и периодических дробей в произвольную систему счисления из десятичной системы счисления.

Учащиеся должны знать / понимать:

·   алфавит системы счисления;

·   что определяет основание в позиционной системе счисления.

Учащиеся должны уметь:

·   переводить числа из десятичной системы счисления в другие системы счисления.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием

Алгоритм перевода целой части  числа:

1.            Исходное число разделить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число нацело

2.            Записать остаток (целый)

3.            Частное опять разделить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число нацело

4.            Записать остаток (целый)

5.            Деление продолжить до того момента, когда в частном будет 0

6.            Записать полученные остатки снизу – вверх.

Например: 739₁₀  перевести в восьмеричную:

 

739	8			8 0		739 : 8 = 92 (ост.3)      3   92 : 8 = 11 (ост.4)      4   11 : 8 = 1   (ост.3)      3     1 : 8 = 0   (ост.1)      1
19	92	8
3	12	11	8
	4	3	1
			1

Ответ: 739₁₀ = 1343₈

1421₁₀ перевести в восьмеричную:

 

1421	8					1421 : 8 = 177 (ост.5)     5   177 : 8 = 22   (ост.1)     1     22 : 8 = 2     (ост.6)     6       2 : 8 = 0     (ост.2)     2
62	177	8
61	17	22	8
5	1	6	2	8
			2	0

    Ответ: 1 421₁₀ = 2 615₈

3287₁₀  перевести в семеричную:     

3287	7						3287 : 7 = 469  (ост.4)        4   469 : 7 = 67    (ост.0)        0     67 : 7 = 9      (ост.4)        4       9 : 7 = 1      (ост.2)        2       1 : 7 = 0      (ост.1)        1
4	469	7
	0	67	7
		4	9	7
			2	1	7
				1	0

Ответ: 3287₁₀ = 12404₇

172₁₀ перевести в двоичную:    

172	2									172 : 2 = 86      (ост.0)        0   86 : 2 = 43      (ост.0)        0   43 : 2 = 21      (ост.1)        1   21 : 2 = 10      (ост.1)        1   10 : 2 = 5        (ост.0)        0     5 : 2 = 2        (ост.1)        1     2 : 2 = 1        (ост.0)        0     1 : 2 = 0        (ост.1)        1
12	86	2
0	0	43	2
		1	21	2
			1	10	2
				0	5	2
					1	2	2
						0	1	2
							1	0

Ответ: 172₁₀ = 10101100₂

100₁₀  перевести в двоичную:     

 

100	2								100 : 2 = 50      (ост.0)        0   50 : 2 = 25      (ост.0)        0   25 : 2 = 12      (ост.1)        1   12 : 2 = 6        (ост 0)        0     6 : 2 = 3        (ост.0)        0     3 : 2 = 1        (ост.1)        1     1 : 2 = 0        (ост.1)        1 11001002
0	50	2
	0	25	2
		1	12	2
			0	6	2
				0	3	2
					1	1	2
						1	0

Ответ: 100₁₀ = 1100100₂

48430₁₀  перевести в шестнадцатиричную:     

 

48430	16								48430 : 16 = 3026      (ост.14) E          3026 : 16 = 189      (ост.2)      2     189 : 16 = 11      (ост.13)       D       11 : 16 = 0        (ост 11)        B
48416	3026	16
	3024	189	16
		176	11	16
			11	0

Ответ: 48430₁₀ = BD2E₁₆

Алгоритм перевода дробной части числа:

1.     Дробную часть исходного числа  умножить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число

2.     Выделить целую часть результата

3.     Дробную часть произведения  умножить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число

4.     Выделить целую часть результата

5.     Действия продолжить до получения требуемой точности результата

6.     Записать полученные целые части произведений  сверху – вниз.

Например:

0,245₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления с точностью до 4 знаков

0,245*8 = 1,96 (целая часть 1)

0,96 * 8 = 7,68 (целая часть 7)

0,68 * 8 = 5,44 (целая часть 5)

0,44 * 8 = 3,52 (целая часть 3)

Ответ: 0,245₁₀ = 0,1753₈

0,277₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до 4 знаков

0,277 * 16 = 4,432(целая часть  4)

0,432 * 16 = 6,912 (целая часть 6)

0,912 * 16 = 14,592 (целая часть  - E(14)

0.592 * 16 = 9.472 (целая часть  9)

Ответ: 0,277₁₀ = 0,46E9₁₆

Задания для самостоятельного решения

1.   Запишите числа:

5610	в пятеричной системе счисления
6410	в двоичной
11910	в восьмеричной
245610	в шестнадцатеричной
47,210	в троичной
321,310	в восьмеричной
200,810	в семеричной
163,7510	в двенадцатеричной
200,64710	в троичной

2.   Три из перечисленных далее чисел находятся в отношении равенства. Найдите их.

A.  1000100110₂

Б. 1230₈

B.  1046₈  

Г. 192₁₆     

Д. 226₁₆

3. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 194,5?

1) 5                        2) 6                        3) 3                        4) 4

4. Дано: а=D7₁₆,   b=331₈. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе, отвечает условию a<c<b?

1) 11011001           2) 11011100           3) 11010111           4) 11011000

5. Сравнить :   42₇    и    35₈.

6. Замените сказочные цифры в записи чисел в троичной системе счисления на обычные:         ££Ã₍₃₎  <  £ÃÀ₍₃₎

Уроки 5-6. Тема урока: Связь между родственными системами счисления

Цель уроков: познакомить учащихся с родственными двоичной системами счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной) и алгоритмом перевода чисел из одной из них в другую.

Учащиеся должны знать / понимать:

·       родственные системы счисления;

·       как связаны основания в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления.

Учащиеся должны уметь:

·       переводить числа в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

Связь между родственными системами счисления

Перевод чисел между системами счисления, основания которых соотносятся как степени (например 2(2¹)"8(2³)"16(2⁴)), может производиться по более простым алгоритмам. Такие системы называются родственными системами счисления.

значение числа в 10 системе счисления	значение числа в 2 системе счисления	значение числа в 8 системе счисления	значение числа в 16 системе счисления
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

При переводе в родственных системах счисления надо обращать внимание на соотношение степеней основания: при переводе в восьмеричную систему двоичное число разбивается на триады, т.к. основания соотносятся как 2¹ и 2³, влево и вправо от десятичной запятой, а при переводе в шестнадцатеричную систему — на тетрады (2¹ и 2⁴).

Например: 

11100101110111,1101₂ перевести в восьмеричную систему счисления

Двоичные триады	011	100	101	110	111	,	110	100
Восьмеричные цифры	3	4	5	6	7	,	6	4

Ответ: 11100101110111,1101₂ = 34567,64₈

11100101110111,1101₂ перевести в шестнадцатеричную  систему счисления

Двоичные триады	0011	1001	0111	0111	,	1101
шестнадцатеричные  цифры	3	9	7	7	,	D

Ответ: 11100101110111,1101₂ =3977,D₁₆

         Переводить числа из восьмеричной системы в шестнадцатеричную сразу нельзя, т.к. основания 8 и 16 не соотносятся как степени друг друга. Перевод возможен только через двоичную систему счисления.

Задания для самостоятельного решения

1. Числа  представьте в восьмеричной системе счисления:

10111001₂

1000111001,11₂

11011,101₂

30DA,F₁₆

7А102₁₆

2. Числа записать в шестнадцатеричной системе счисления:

1110111010₂

10101010,101₂

4021,32₈

754,22₈

1020,32₈

3. Числа 1001001₂ и 111₈ принадлежат родственным (двоичной и восьмеричной) системам счисления. В каком отношении они находятся?

1.  Первое меньше второго.

2.  Первое больше второго.

3.  Их невозможно сравнить, потому что у них разные осно­вания.

4.  Они равны.

Уроки 7-8. Тема урока: Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Цель уроков: познакомить учащихся с правилами выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления.

Учащиеся должны знать / понимать:

·       правила выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления.

Учащиеся должны уметь:

·       производить вычисления в разных системах счисления.

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам, что и в десятичной системе, с которыми мы хорошо знакомы.

Сложение

При сложении самого большого однозначного числа и «1» происходит переход в следующий разряд.

Система счисления	Максимальное однозначное число
Десятичная система счисления	9	9 + 1 = 10
Двоичная система счисления	1	1 + 1 = 10
Троичная система счисления	2	2 + 1 = 10
Пятеричная система счисления	4	4 + 1 = 10
Восьмеричная система счисления	7	7 + 1 = 10
Двенадцатиричная система счисления	В	В + 1 = 10
Шестнадцатеричная система счисления	F	F + 1 = 10

Сложение многоразрядных чисел происходит с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Например:

1.     4523₈+2367₈

		1	1	1	перенос в вышестоящий разряд
		4	5	2	3
	+	2	3	6	7
		7	1	1	2

Ответ: 4523₈+2367₈ = 7112₈

2.     1011100₂+1110111₂

1	1	1	1	1	0	0	перенос в вышестоящий разряд
	1	0	1	1	1	0	0
+	1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1	1

Ответ: 1011100₂+1110111₂ = 11010011₂

3.     В9А756₁₆ + 6ВС8₁₆

		1	1	1			перенос в вышестоящий разряд
	В	9	А	7	5	6
+			6	В	С	8
	В	А	1	3	1	Е

Ответ: В9А756₁₆ + 6ВС8₁₆ = ВА131Е₁₆

4.     2467,36₈ + 3475,74₈

	1	1	1	1		1	перенос в вышестоящий разряд
	2	4	6	7	,	3	6
+	3	4	7	5	,	7	4
	6	1	6	5	,	1	2

Ответ: 2467,36₈ + 3475,74₈ =6165,12₈

Вычитание

При вычитании необходимо учитывать, что при заеме из вышестоящих разрядов, занимаемая 1 равна основанию системы счисления.

Например:  Вычтем числа 15 и 6 в различных системах счисления.

1. Десятичная с.с. 15₁₀ - 6₁₀ = 9₁₀

2. Двоичная с.с. 1111₂ - 110₂ = 10101₂

3. Восьмиричная с.с.  17₈ - 6₈ = 11₈

4. Шестнадцатеричная: F₁₆- 6₁₆ = 9₁₆

  Ответ: 15-6 = 9₁₀ = 1001₂ = 11₈ = 9₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
1001₂ = 2³ + 2⁰ = 8+1=9
11₈ = 1*8¹ + 1*8⁰ = 8 + 1 = 9
9₁₆ = 9*16⁰ = 9.

1.     4527₈  - 2367₈

				8	занимаем из вышестоящего разряда
		4	5	2	7
	-	2	3	6	7
		2	4	4	0

Ответ: 4527₈+2367₈ = 2440₈

2.     1011100₂ - 11110110₂

	2	2		0	2	2	занимаем из вышестоящего разряда
1	1	0	1	1	1	0	0
-	1	1	1	0	1	1	0
	1	1	0	0	1	1	0

Ответ: 1011100₂[phone]₂ = 1100110₂

3.     В9А756₁₆ - 6ВС8₁₆

				16	16	16	занимаем из вышестоящего разряда
	В	9	А	7	5	6
-			6	В	С	8
	В	9	3	В	8	Е

Ответ: В9А756₁₆ - 6ВС8₁₆ = В93В8Е₁₆

4.     2467,36₈ - 475,74₈

		8	8			8	занимаем из вышестоящего разряда
	2	4	6	7	,	3	6
-		4	7	5	,	7	4
	1	7	7	1	,	4	2

Ответ: 2467,36₈ - 3475,74₈ =1771,42₈

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислите сумму  и разность чисел х и у, если х = 271₈ , у = 11110100₂. Результат представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

2.Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = А1₁₆, у = 1101₂ . Результат представьте в десятичной системе счисления.

3.Вычислите сумму чисел х и у, если х = 56₈, у = 110100₁₂,. Результат представьте в двоичной системе счисления.

4. Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = 5А₁₆, у = 1010111₂,. Результат представьте в восьмеричной системе счисления.

5. Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = 127₈, у = 10010111₂. Результат представьте в десятичной системе счисления.

6. Вычислите A81₁₆+377₁₆, ответ приведите в той же системе.

Уроки 9-10. Тема урока: Представление чисел в компьютере

Цель уроков: познакомить учащихся с представлением целых и вещественных чисел в памяти ЭВМ.

Учащиеся должны знать / понимать:

·       представление целых положительных и отрицательных чисел в памяти ЭВМ;

·       правила получения прямого, обратного и дополнительного кода как положительного, так и отрицательного целого числа;

·       представление дробных вещественных чисел;

·       назначение мантиссы и порядка при размещении вещественных чисел в памяти компьютера;

·       от чего зависит точность и диапазон представления вещественного числа.

·       сложение, вычитание целых чисел в компьютере;

Учащиеся должны уметь:

·       записать прямой, обратный и дополнительный коды как положительного, так и отрицательного целого числа;

·       определять десятичные эквиваленты чисел, записанных в прямом, обратном и дополнительном кодах.

·      выполнять нормализацию вещественных чисел

Представление целых чисел

Целые числа являются простейшими числовыми дан­ными, с которыми оперируют ЭВМ. Для целых чисел су­ществуют два представления: беззнаковое (только для не­отрицательных целых чисел) и со знаком. Очевидно, что отрицательные числа можно представлять только в знако­вом виде. Целые числа в компьютере хранятся в формате с фиксированной запятой.

Для беззнакового представления все разряды ячейки от­водятся под представление самого числа. Для представления со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно:

2ⁿ - 1

1 байт: 11111111₂ = 255₁₀

2 байта: 1111111111111111₂ = 65535₁₀

 Прямой код числа

Представление числа в привычной форме «знак»-«ве­личина», при которой старший разряд ячейки отво­дится под знак, а остальные разряды ячейки - под запись числа в двоичной системе, называется прямым кодом двоичного числа.

Например, прямой код двоичных чисел 1001₂ и -1001₂ для 8-разрядной ячейки равен 00001001 и 10001001 соответ­ственно.

Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с по­мощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отри­цательного числа отличается от прямого кода соответствую­щего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода, для их представления исполь­зуют так называемый дополнительный код.

Дополнительный код числа

Дополнительный код положительного числа равен прямому коду этого числа.

Дополнительный код отрицательного числа т равен

2^к - |т|, где к — количество разрядов в ячейке.

Заметим, что в компьютерной k-разрядной арифметике 2^k=0, так как двоичная запись этого числа состоит из одной единицы и к нулей, а в ячейку из к разрядов может умес­титься только к цифр, в данном случае они все нули. Таким образом, дополнительный код отрицательного числа — это дополнение |т| до 2^k(или до нуля в k-разрядной арифметике: 2^к-|т| + |т|=0).

Как уже было сказано, при представлении неотрица­тельных чисел в беззнаковом формате все разряды ячейки отводятся под само число. Например, запись числа 243 = 11110011₂ в одном байте при беззнаковом представ­лении будет выглядеть следующим образом:

1

1

1

1

0

0    |    1

1

При представлении целых чисел со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, и под собственно число остается на один разряд меньше. Поэтому, если при­веденное выше состояние ячейки рассматривать как запись целого числа со знаком, то для компьютера в этой ячейке записано число -13 (так как 243 + 13 = 256 = 2⁸).

Но если это же отрицательное число записать в ячейку из 16-ти разрядов, то содержимое ячейки будет следующим:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

знаковый разряд.

Из приведенных примеров видно, что вид представления отрицательного числа зависит от разрядности ячейки, в ко­торую записывается число.

Дополнительный код используется для упрощения вы­полнения арифметических операций. Если бы вычислитель­ная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметичес­ких операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы прове­рять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из из большего по абсолютной величине числа вычитается мень­шее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представ­лять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и чисел разного знака, сводится к их пораз­рядному сложению.

Для компьютерного представления целых чисел обычно используется один, два или четыре байта, т.е. ячейка па­мяти будет состоять из восьми, шестнадцати или 32 разря­дов соответственно.

 Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа

Для получения дополнительного k-разрядного кода от­рицательного числа необходимо

1) модуль числа представить прямым кодом в к двоичных разрядах;

2)     значения всех бит инвертировать: все нули заме­нить на единицы, а единицы на нули (таким образом получается к-разрядный обратный код исходного числа);

3)     к полученному обратному коду, трактуемому как к-разрядное неотрицательное двоичное число, при­бавить единицу.

Пример. Получим восьмиразрядный дополнительный код числа -52:

00110100 — число |-52| = 52 в прямом коде

11001011 — число -52 в обратном коде

11001100 — число -52 в дополнительном коде

При различных значениях к вид отри­цательного числа в дополнительном коде также будет раз­личным.

 

Представление вещественных чисел

При представлении чисел с фиксированной запятой все разряды ячейки, кроме знакового разряда, если он есть, слу­жат для изображения разрядов числа. Причем каждому раз­ряду ячейки соответствует всегда один и тот же разряд числа. Именно поэтому такое представление получило название с фиксированной запятой, так как фиксируется место запя­той перед определенным разрядом (для целых чисел запятая находится после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки). Такая система упрощает выполнение арифметичес­ких действий, но сильно ограничивает диапазон чисел, кото­рые можно записать в ячейку при таком представлении.

Для представления вещественных чисел в современных компьютерах принят способ представления с плавающей запятой. Этот способ представления опирается на норма­лизованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.

Как и для целых чисел, при представлении действитель­ных чисел в компьютере используется чаще всего двоичная система счисления, следовательно, предварительно десятич­ное число должно быть переведено в двоичную систему. Одна­ко мы сталкиваемся и с нормализованными десятичными числами, например, при работе с калькуляторами.

Нормализованная запись числа

Нормализованная запись отличного от нуля действи-Л»I тельного числа — это запись вида а = ± m * Р^q, где q — целое число (положительное, отрицательное, или ноль), а m — правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, т.е. 1/Р<= m <1. При этом m называется мантиссой числа, q — порядком числа.

Пример. Приведем примеры нормализации числа;

1)     3,1415926 = 0,31415926 * 10¹;

2)  1000 = 0,1 * 10⁴;

3) 0,123456789 = 0,123456789 * 10⁰ (запятую передвигать не нужно);

4) 0,0000107₈ = 0,107₈ * 8^-4 (порядок записан в десятичной системе);

5) 1000,0001₂ = 0,10000001₂ * 2⁴ (порядок записан в десятичной системе).

Заметим, что число нуль не может быть записано в нормализованной форме так, как она была определена. Поэ­тому относительно нормализованной записи нуля приходит­ся прибегать к особым соглашениям.

Условимся, что запись нуля является нормализован­ной, если и мантисса и порядок равны нулю, т.е. 0 = 0,0 х 10°.

Представление чисел с плавающей запятой

При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, ос­тальные разряды — для записи мантиссы. По одному раз­ряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы.

Например, можно представить себе такое распределение разрядов ячейки памяти:

знак и порядок  (8 бит)	знак и мантисса (24 бита)
0 1 1 1 1 1 1 1	0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

На точность вычислений оказывает влияние длина ман­тиссы, а количество разрядов, отводимых под порядок, вли­яет на допустимый диапазон представимых чисел. Очевид­но, чем большая точность нам требуется, тем более «длинную» ячейку придется использовать.

 

Задания для самостоятельного решения

1.   Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой.

2.   Запишите число 2001,2001 тремя различными способами в форме с плавающей запятой.

3.   Запишите следующие числа в форме с плавающей запятой и нормализованной мантиссой:

а)217,934;        в) 10,0101; б)75321;     г)200450.

4.   Запишите следующие числа в естественной форме:

а)0,380456 х 10²;       в).1100000 *10^-5;

б)0,200000 х 10^-5;      г) .7892101 х 10⁵.

5.   Сравните следующие числа:

а)318,4785 х 10⁹ и 3,184785 х 10¹¹;
б)218,4785 х 10^-3 и 1847,85 х 10^-4;
в)0,1101 х 2¹⁰ и 101x2 ^-11;
г)11011 х 2^-100 и 1,1101 х 10^-1

6.   Представьте вещественное число А в нормализованной форме с плавающей   точкой   в   двоичной   системе   счисления:  

А=0,005089;

А=1234,0456.

7.   Для представления вещественного числа используется 2-байтовая ячейка памяти. В 1-м байте содержится знак числа и порядок, во втором байте - мантисса. Определить минимальное и максимальное по абсолютной  величине   числа,  точно   представимые   в  таком   компьютере.

Урок 11. Контрольная работа по теме «Представление числовой информации в компьютере»

 

1)    Система счисления – это:

a)     Совокупность правил записи чисел с помощью символов некоторого алфавита;

b)    Бесконечная последовательность цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

c)     Совокупность цифр I, V, X, L, C, D, M;

d)    Множество натуральных чисел и знаков арифметических действий.

2)    В позиционной системе счисления значение каждого знака в числе зависит:

a)     От значения числа;

b)    От значений соседних знаков;

c)     От позиции, которую занимает знак в записи числа;

d)    Значение каждого знака в числе не зависит от значения знака в старшем разряде;

e)     От значения суммы соседних знаков.

3)    Переведите в десятичную систему счисления следующие числа:

a)     FA₁₆

b)    10010₂

c)     3012₅

d)    107₈

4)    Переведите числа из десятичной системы счисления в указанную:

a)	8210	в шестнадцатеричную
b)	11410	в двоичную
c)	20910	в пятеричную
d)	458610	в шестнадцатеричную
e)	41710	в троичную

5)    Число 11010111₂ соответствует числу в восьмеричной системе счисления:

a)     496₈

b)    125₈

c)     76₈

d)    327₈

e)     99₈

6)    Укажите самое большое число:

a)     156₁₃

b)    156₁₆

c)     156₁₀

d)    156₁₂

e)     156₈

7)    Какое число уменьшится в 8 раз при перенесении запятой влево на три знака:

a)     3002,05₈

b)    2000015₆

c)     2,224012₄

d)    1000000₁₀

e)      1010011₂

8)    Сколько байт потребуется для хранения чисел:

a)     65879

b)    65,879

c)     6587,9

d)    -645879

9)    Укажите самое маленькое число:

a)     135₈

b)    100111101₂

c)     АВС₁₆

d)    122112₃

10)           Выполните арифметические действия в указанной системе счисления:

a)     134₅+211₅=

b)    АС08₁₆ – 647А₁₆ =

c)     11001₂ – 10110₂ =

d)    120₃ + 220₃ =

11)            Выполнить арифметические операции:

а) Выполнить арифметические операции в 2-й СС:

1) 1110₂ + 1001₂             2) 1110₂ – 1001₂         3) 1110₂ * 1001₂          4) 1110₂ / 11₂

б) Выполнить арифметические операции в 8-й СС:

1) 67₈ + 23₈ = 112₈       2) 67₈ – 23₈ = 44₈          3) 67₈ * 23₈ = 2025₈       4) 74₈ / 24₈ = 3₈

в) Выполнить арифметические операции в 16-й СС:

1) AF₁₆ + 97₁₆            2) AF₁₆ – 97₁₆   3) AF₁₆ * 97₁₆ = 6739₁₆      4) 5A₁₆ / 1E₁₆ = 3₁₆

12)           Сложить числа 5Е₁₆ и 12₈. Сумму представить в десятичной системе счисления.

13)           Расположите следующие числа в порядке возрастания:

а) 74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆;

б) 6E₁₆, 142₈, 1101001₂, 100₁₀;

в) 777₈, 101111111₂, 2FF₁₆, 500₁₀;

г) 100₁₀, 1100000₂, 60₁₆, 141₈.

14) Вычислите значения выражений:

а) 256₈ + 10110,1₂ + 60₈ + 12₁₀ - 1F₁₆;

б) 1AD₁₆ - 100101100₂ + 1010₂ + 217₈.

в)134₅+211₅=

г)АС08₁₆ – 647А₁₆ =

д) 11001₂ – 10110₂ =

е)120₃ + 220₃ =

ж) FA₁₆   + 10010₂

15) Число 11010111₂ соответствует числу в восьмеричной системе счисления:

a)     3012₅ +7₈

b)    496₈

c)     125₈

d)    76₈

e)     327₈

f)      99₈

16) Укажите самое большое число:

a.      156₁₃

b.     156₁₆

c.      156₁₀

d.     156₁₂

e.      156₈

17)  Укажите самое маленькое число:

a.      135₈

b.     100111101₂

c.      АВС₁₆

d.     122112₃

18)             Для представления вещественного числа отводится 8 байт. Порядок занимает 11 бит. Сколько значащих цифр будет содержать двоичная мантисса?

19)           Записать внутреннее представление числа А в форме с плавающей точкой в 4-байтовой ячейке:

А=250,1875;

А=-123,125.

20)           Записать внутреннее представление числа А в форме с плавающей точкой в 4-байтовой ячейке:

А=250,1875;  А= -123,125.