Выбранный для просмотра документ Конспект урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе.doc
Конспект урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе.
Тема: «Решение тригонометрических уравнений».
Цели:
1. Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения.
Углубить знания по теме.
2. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
Задачи:
Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений.
Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.
Методы:
- систематизирующий;
- контрольный;
- самостоятельной работы;
- стимулирования и мотивации учения;
- словесные;
- наглядные;
- практические.
Структура урока:
1. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся.
Инструктаж учащихся по организации работы на уроке (2 мин).
2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (13 мин).
3. Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений (1 мин).
4. Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий (10 мин).
5. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний (15 мин).
6. Подведение итогов урока (3 мин).
7. Постановка домашнего задания (1 мин).
Ход урока:
1. 
Постановка цели урока и
мотивация учебной деятельности учащихся.
Инструктаж учащихся по организации работы на уроке (2 мин).
Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку. Отмечается, что в 10 классе была изучена тема «Решение тригонометрических уравнений», где были сформированы умения решать простейшие тригонометрические уравнения, а также учащиеся ознакомились с основными приемами решения тригонометрических уравнений.
Ставится основная цель – повторить, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения. Углубить знания по теме. Отмечается, что тема урока носит повторительный, обобщающий и систематизирующий характер. «Ведь не зря же народная мудрость гласит, что повторение – мать учения».
Учащиеся ставят перед собой цель и отмечают, что это им необходимо для подготовки и успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Таким образом, ставятся задачи: повторить различные способы решения тригонометрических уравнений. Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.
Проводится инструктаж учащихся по организации работы на уроке. На предыдущем уроке учащимся было дано задание – повторить теоретический материал по теме «Тригонометрические уравнения» и решить тригонометрическое уравнение указанным способом, оформив решение на слайде компьютерной презентации. Творческая группа из 2-х человек доработала компьютерную презентацию. Повторяя теорию и рассказывая о различных способах решения тригонометрических уравнений, учащиеся будут использовать созданную ими презентацию.
2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (13 мин).
Ученик 1:
Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют их
бесчисленное множество. Например, уравнение cos x = 
корней не имеет, а уравнение tq x = имеет бесконечное множество корней: x = 
k + 
, где k –
любое целое число. Существование бесконечного множества корней
тригонометрического уравнения объясняется тем, что каждому значению
тригонометрической функции (из области изменения ее значений) соответствует
бесконечное множество углов, обычно объединяемых соответствующими формулами. На
практике возникает необходимость из множества корней тригонометрического
уравнения выделить корни, принадлежащие определенному промежутку. Особое
значение имеют те промежутки изменения аргумента, в которых уравнения sin x = m, cos x = m, tq x = m и ctq x = m имеют
единственное решение. Для каждого из этих уравнений можно указать сколько
угодно таких промежутков, но среди них выделяют один, называемый главным.
Корень уравнения из этого промежутка имеет специальное обозначение и его называют главным углом, соответствующим данному значению тригонометрической функции. Таким образом, приходим к следующей таблице:
|
Уравнение |
Промежутки монотонности соответствующей функции |
Обозначение главного корня |
|
|
Общий вид |
Главный промежуток (при k=0) |
||
|
sin x = m, |
|
|
arcsin m |
|
cos x = m, |
|
|
arccos m |
|
tq x = m |
|
|
arctq m |
|
ctq x = m |
|
|
arcctq m |
Ученик 2:
Функции y = sin x, y = cos x, y = tq x, y = ctq x называют основными тригонометрическими функциями.
Уравнение f(x) = a, где a – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.
Решением уравнения с неизвестным х называют число 
, при
подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.
Решить уравнение – значит найти все его решения или показать, что их нет.
Формулы общего вида корней уравнений приведены в таблице:
|
Уравнение |
Общая формула корней |
Промежуток главного угла |
|
|
|
|
|
cos x = m, где |
|
|
|
tq x = m, где |
|
|
|
ctq x = m, где |
|
|
В некоторых частных случаях полезны
следующие упрощенные формулы:
|
Уравнение |
Формула корней |
|
sinx ═0 или tq x = 0 |
х ═ πκ |
|
сos x = 0 или ctq x = 0 |
х═π/2(2κ+1) |
|
sin x = 1 |
x═π/2(4κ+1) |
|
sin x = -1 |
x═π/2(4κ-1) |
|
cos x = 1 |
x═2πκ |
|
cos x = -1 |
x═π(2κ +1) |
Учитель: Решите следующие уравнения устно:
1. sin x =1; (
2. cos x = 
; (
)
3. sin x = 
; (
4. cos x = 
; (
5. tq x = -1;
(
6. ctq x = ; (
7. tq x = 
. (
3. Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений (1 мин).
Ученик 3:
Повторим основные приемы решения тригонометрических уравнений, выделив следующую классификацию тригонометрических уравнений:
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
2. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений.
3. Однородные уравнения.
4. Введение вспомогательного угла.
5. Замена неизвестного t = sin x + cos x.
4. Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий
(10 мин).
Учащиеся представляют классу решение своего уравнения.
1. Ученик 4:
Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного – уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращается в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.
Решим уравнение 2cos²x + 3cosx + 1
= 0. Введем новое неизвестное cosx = t, тогда уравнение превращается в квадратное
уравнение с неизвестным t: 2t² +3t + 1 = 0. Уравнение имеет два корня t = -1 и 
. Следовательно, множество всех
решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений
cosx =
-1 и cosx = -
. Решая каждое из этих
простейших уравнений, находим, что множество решений уравнения состоит из трех
серий решений:
xm = π + 2πm, m
, xn = 
, n, xk = - 
, k .
2. Ученик 5:
Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам», которые сформулируем в шутливой форме:
Первый: «Увидел сумму – делай произведение». Это относится к формулам для преобразований сумм sinα ±sinβ, cosα ± cosβ, tqα ± tqβ в произведения.
Второй: «Увидел произведение – делай сумму». Это относится к формулам для преобразования произведений sinα ·sinβ, cosα·cosβ, sinα·cosβ в суммы.
Третий: «Увидел квадрат – понижай степень». Это относится к формулам
sin²
x = 
, cos²x = 
.
Решим уравнение sin5x cos3x = sin3x cos5x. Перенеся все члены уравнения в левую часть
sin5x cos3x – sin3x cos5x = 0 и, применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде sin2x = 0. Все решения удовлетворяют условию
2xm = π m, m 
. Следовательно, уравнение имеет одну серию решений:
xm
= 
, m.
3. Ученик 6:
Однородные уравнения.
аsin x +bcos x = 0 (1-ой степени),
asin² x + bsinx cosx + c cos² x = 0 (2-ой степени), где a, b, c – некоторые числа.
Два признака однородного уравнения:
а). справа нуль;
б). сумма показателей у всех членов одинакова.
Алгоритм решения:
а). убедиться, что значения х, при которых cos x = 0, не являются решениями данного уравнения;
б). перейти к равносильному уравнению, разделив обе части уравнения на cos²x (cos x) или sin²x (sinx).
в). решить полученное уравнение.
Решим уравнение sinx - 
cosx = 0. Разделим почленно обе части уравнения на
cosx. Такое деление возможно, так как sinx и cosx не
равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Получим tqx - = 0, tqx = 
, x = 
.
4. Ученик 7:
Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение
вида Asinx + Bcosx = C, где A, B, C – данные числа и AB ≠ 0.
Так как A² + В²>0, то, разделив обе части данного уравнения
на число 
, перепишем уравнение в виде
аsinx + bcosx = c, где а
= 
, в = 
, с =
.
Так как а²+в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что а = sinα и b = cosα.
Уравнение можно записать в виде cosx·cosα + sinx·sinα = c или в виде cos(x – α) = c.
Если подобрать такой угол β, что a = cosβ и b = sinβ, то уравнение можно записать в виде sin(x+β)=c.
Таким
образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.
Решим уравнение sinx -cosx = 1. Разделив обе части уравнения на
число перепишем его в виде 
. Так
как 
и 
, то
уравнение можно записать в виде sin(x - 
, все решения которого,
а значит, и данного уравнения, задаются формулами x - 
, откуда получаем
x = 
.
5. Ученик 8:
Замена неизвестного t = sinx +cosx.
Рассмотрим уравнения, в которые входят выражения sinx + cosx и sin2x. Их удобно решать при помощи замены неизвестного sinx + cosx = t, так как при этом
sin2x = 2sinxcosx =sin²x + 2sinxcosx + cos²x – 1 = (sinx + cosx)² - 1 = t² - 1.
Если в уравнение входят выражения sinx – cosx и sin2x, то делают замену неизвестного
sinx – cosx = t. При этом sin2x = 1 - t².
Решим уравнение 5sinx + 4sinx cosx – 5cosx = 5. Решим уравнение при помощи замены неизвестного sinx – cosx = t, sin2x = 1 – t2.
Тогда уравнение
превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t2 – 5t + 3 = 0. Так как корни этого уравнения t1 = 1,5, t2 = 1, то множество всех решений уравнения есть объединение множеств
всех решений двух уравнений: sinx – cosx = 1,5 и sinx – cosx = 1. Каждое из этих уравнений решаем
введением вспомогательного угла. При этом первое уравнение преобразуется к виду
sin
, а второе к виду sin
. Так как 
, то первое уравнение не имеет решений. Все решения второго уравнения
задаются формулами x - 
.
x = (-1)k 
.
5.Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний (15 мин).
Самостоятельная работа.
Решить уравнение, определив предварительно метод решения уравнения:
1. sin2x + cos2x = 0
2. 2 cos2x + 4 sinx cosx = - 1
3. Определите, при каких а уравнение sin2x – 3 sinx cosx + a cos2x = 0 не имеет решения.
Предполагаемые решения:
1. Решить уравнение sin2x + cos2x = 0
Решение:
Это однородное
уравнение первой степени, оно равносильно уравнению tq2x + 1 =
0, которое имеет решения xk = - 
.
Ответ: - 
.
2. Решите уравнение 2 cos2x + 4 sinx cosx = - 1
Решение:
Перепишем уравнение в виде sin2x + 4sinx cosx + 3cos2x = 0.
Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению
tq2x + 4tqx + 3 = 0,
все решения которого являются решениями или уравнения 1) tqx = -1,
или уравнения 2) tqx = - 3.
Уравнение 1) имеет
единственную серию решений xn = -
n, n ,
а уравнение 2)
имеет единственную серию решений xm = - arctq3 + πm, m
.
Ответ: -n, n ; - arctq3 + πm, m.
3. Определите, при каких а уравнение sin2x – 3sinx cosx +a cos2x = 0 не имеет решения.
Решение: Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению
tq2x – 3tqx + a = 0, которое не имеет решений, если D = 9 – 4a <0, т.е. при a>2,25.
Ответ: при a>2,25.
6.Подведение итогов урока (3 мин).
Итогом урока является проверка решения самостоятельной работы и оценка учащихся.
Выполнив задание, учащиеся делают сверку своего решения с образцом, спроецированным на экран.
Обсуждается, какие решения оказались более доступными, почему, оценивается работа каждого ученика, делается анализ урока (выполнена ли цель урока, положительные и отрицательные моменты в ходе урока).
7.Постановка домашнего задания (1 мин).
Учитель: «Урок хочется закончить словами английского математика и педагога 20-го века Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». Поэтому дома вам предлагается решить всего лишь одно уравнение sinx – cosx = 1 разными способами (кто больше найдет способов).
Приложение: компьютерная презентация.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Решение тригонометрических уравнений.ppt
Скачать материал "Конспект и презентация урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе. Тема: «Решение тригонометрических уравнений»."
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Решение тригонометрических уравнений
2 слайд
Цели:
Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения.
Углубить знания по теме.
Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
3 слайд
Задачи:
Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений.
Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.
4 слайд
Оборудование:
компьютер;
мультимедийный проектор;
экран.
5 слайд
Методы:
систематизирующий;
контрольный;
самостоятельной работы;
стимулирования и мотивации учения;
словесные;
наглядные;
практические.
6 слайд
Структура урока:
Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся. Инструктаж учащихся по организации работы на уроке (2 мин).
Воспроизведение и коррекция опорных знаний (13 мин).
Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений
(1 мин).
Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий (10 мин).
Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний (15 мин).
Подведение итогов урока (3 мин).
Постановка домашнего задания (1 мин).
7 слайд
Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют их бесчисленное множество. Например,
уравнение cos x = корней не имеет, а уравнение
tq x = имеет бесконечное множество корней:
x = k + , где k – любое целое число.
8 слайд
9 слайд
Функции y = sin x, y = cos x, y = tq x, y = ctq x называют основными тригонометрическими функциями.
Уравнение f(x) = a, где a – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.
Решением уравнения с неизвестным х называют число , при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.
Решить уравнение – значит найти все его решения или показать, что их нет.
10 слайд
Простейшие тригонометрические уравнения
11 слайд
Частные случаи
12 слайд
Решите уравнения:
13 слайд
Классификация тригонометрических уравнений:
Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений.
Однородные уравнения.
Введение вспомогательного угла.
Замена неизвестного t = sin x + cos x.
14 слайд
Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного
– уравнения, которые после введения нового неизвестного
t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращается в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.
* Решим уравнение 2cos²x + 3cosx + 1 = 0. Введем новое неизвестное cosx = t, тогда уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t² +3t + 1 = 0.
Уравнение имеет два корня
Следовательно, множество всех решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений
cosx = -1 и cosx = . Решая каждое из этих простейших
уравнений, находим, что множество решений уравнения состоит из трех серий решений:
15 слайд
Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений.
Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам», которые сформулируем в шутливой форме:
Первый: «Увидел сумму – делай произведение». Это относится к формулам для преобразований сумм sinα ±sinβ, cosα ± cosβ, tqα ± tqβ
в произведения.
Второй: «Увидел произведение – делай сумму». Это относится к формулам для преобразования произведений sinα ·sinβ, cosα·cosβ, sinα·cosβ в суммы.
Третий: «Увидел квадрат – понижай степень». Это относится к формулам
Решим уравнение sin5x cos3x = sin3x cos5x. Перенеся все члены уравнения в левую часть sin5x cos3x – sin3x cos5x = 0 и, применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде
sin2x = 0. Все решения удовлетворяют условию
Следовательно, уравнение имеет одну серию решений:
16 слайд
Однородные уравнения:
аsin x +bcos x = 0 (1-ой степени),
asin² x + bsinx cosx + c cos² x = 0 (2-ой степени),
где a, b, c – некоторые числа.
Два признака однородного уравнения:
а). справа нуль;
б). сумма показателей у всех членов одинакова.
Алгоритм решения:
а). убедиться, что значения х, при которых cos x = 0,
не являются решениями данного уравнения;
б). перейти к равносильному уравнению, разделив обе части уравнения на cos²x (cos x) или sin²x (sinx).
в). решить полученное уравнение.
* Решим уравнение Разделим почленно обе части уравнения на cosx. Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Получим
17 слайд
Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида Asinx + Bcosx = C,
где A, B, C – данные числа и AB ≠ 0. Так как A² + В²>0, то, разделив обе части данного уравнения на число
перепишем уравнение в виде
аsinx + bcosx = c, где
Так как а²+в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что
а = sinα и b = cosα.Уравнение можно записать в виде cosx·cosα + sinx·sinα = c или в виде cos(x – α) = c.
Если подобрать такой угол β, что a = cosβ и b = sinβ, то уравнение можно записать в виде
Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.
18 слайд
* Решим уравнение Разделив обе части уравнения на число
перепишем его в виде
Так как то уравнение можно записать в виде все
решения которого, а значит, и данного уравнения, задаются формулами
откуда получаем
19 слайд
Замена неизвестного t = sinx +cosx.
Рассмотрим уравнения, в которые входят выражения sinx + cosx и sin2x.
Их удобно решать при помощи замены неизвестного sinx + cosx = t, так как при этом
sin2x = 2sinxcosx =sin²x + 2sinxcosx + cos²x – 1 =
(sinx + cosx)² - 1 = t² - 1.
Если в уравнение входят выражения
sinx – cosx и sin2x, то делают замену неизвестного
sinx – cosx = t. При этом sin2x = 1 - t².
20 слайд
* Решим уравнение 5sinx + 4sinx cosx – 5cosx = 5.
Решим уравнение при помощи замены неизвестного
sinx – cosx = t, sin2x = 1 – .
Тогда уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: . Так как корни этого уравнения
то множество всех решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений:
sinx – cosx = 1,5 и sinx – cosx = 1. Каждое из этих уравнений решаем введением вспомогательного угла. При этом первое уравнение преобразуется к виду
а второе к виду
Так как то первое уравнение не имеет решений. Все решения второго уравнения задаются формулами
21 слайд
Самостоятельная работа.
1. Решить уравнение, определив предварительно метод решения уравнения:
2. Определите, при каких а уравнение
не имеет решения.
22 слайд
Проверь себя!
1. Решить уравнение
Решение:
Это однородное уравнение первой степени, оно равносильно уравнению
которое имеет решения
23 слайд
2. Решите уравнение
Решение: Перепишем уравнение в виде
Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению
все решения которого являются решениями или уравнения 1) tqx = -1, или уравнения 2) tqx = - 3.
Уравнение 1) имеет единственную серию решений
а уравнение 2) имеет единственную серию решений
24 слайд
3. Определите, при каких а уравнение
не имеет решения.
Решение: Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению
которое не имеет решений, если D = 9 – 4a <0,
т.е. при a>2,25.
25 слайд
Домашнее задание:
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее.
Так вырабатывается опыт». (Сойер)
Решить уравнение sinx - cosx = 1
разными способами.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема: «Решение тригонометрических уравнений».
Цели:
1. Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения.
Углубить знания по теме.
2. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
Задачи:
Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений.
Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.
6 664 131 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ромашко Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.