Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект и презентация урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе. Тема: «Решение тригонометрических уравнений».
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект и презентация урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе. Тема: «Решение тригонометрических уравнений».

Выбранный для просмотра документ Конспект урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе.doc

библиотека
материалов


Конспект урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений».


Цели:


  1. Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения.

Углубить знания по теме.

  1. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.

  2. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.


Задачи:


Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений.

Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.


Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.


Методы:


- систематизирующий;

- контрольный;

- самостоятельной работы;

- стимулирования и мотивации учения;

- словесные;

- наглядные;

- практические.


Структура урока:


  1. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся.

Инструктаж учащихся по организации работы на уроке (2 мин).

  1. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (13 мин).

  2. Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений (1 мин).

  3. Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий (10 мин).

  4. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний (15 мин).

  5. Подведение итогов урока (3 мин).

  6. Постановка домашнего задания (1 мин).







Ход урока:

  1. hello_html_m53d4ecad.gifПостановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся.

Инструктаж учащихся по организации работы на уроке (2 мин).


Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку. Отмечается, что в 10 классе была изучена тема «Решение тригонометрических уравнений», где были сформированы умения решать простейшие тригонометрические уравнения, а также учащиеся ознакомились с основными приемами решения тригонометрических уравнений.

Ставится основная цель – повторить, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения. Углубить знания по теме. Отмечается, что тема урока носит повторительный, обобщающий и систематизирующий характер. «Ведь не зря же народная мудрость гласит, что повторение – мать учения».

Учащиеся ставят перед собой цель и отмечают, что это им необходимо для подготовки и успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Таким образом, ставятся задачи: повторить различные способы решения тригонометрических уравнений. Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.

Проводится инструктаж учащихся по организации работы на уроке. На предыдущем уроке учащимся было дано задание – повторить теоретический материал по теме «Тригонометрические уравнения» и решить тригонометрическое уравнение указанным способом, оформив решение на слайде компьютерной презентации. Творческая группа из 2-х человек доработала компьютерную презентацию. Повторяя теорию и рассказывая о различных способах решения тригонометрических уравнений, учащиеся будут использовать созданную ими презентацию.



2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (13 мин).

Ученик 1:

Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют их бесчисленное множество. Например, уравнение cos x = hello_html_m980c3de.gif корней не имеет, а уравнение tq x = hello_html_m980c3de.gif имеет бесконечное множество корней: x = hello_html_1bfc1af9.gifk + hello_html_m667a0225.gif, где k – любое целое число. Существование бесконечного множества корней тригонометрического уравнения объясняется тем, что каждому значению тригонометрической функции (из области изменения ее значений) соответствует бесконечное множество углов, обычно объединяемых соответствующими формулами. На практике возникает необходимость из множества корней тригонометрического уравнения выделить корни, принадлежащие определенному промежутку. Особое значение имеют те промежутки изменения аргумента, в которых уравнения sin x = m, cos x = m, tq x = m и ctq x = m имеют единственное решение. Для каждого из этих уравнений можно указать сколько угодно таких промежутков, но среди них выделяют один, называемый главным.

Корень уравнения из этого промежутка имеет специальное обозначение и его называют главным углом, соответствующим данному значению тригонометрической функции. Таким образом, приходим к следующей таблице:



Уравнение

Промежутки монотонности соответствующей функции

Обозначение главного корня

Общий вид

Главный промежуток (при k=0)

sin x = m, hello_html_m3da296c0.gif

hello_html_m131791f3.gif

hello_html_e29a9b.gif

arcsin m

cos x = m, hello_html_m3da296c0.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_65898637.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1a4ad80c.gif

arccos m

tq x = m

hello_html_4979dac4.gif


hello_html_m1af56c64.gifhello_html_m53d4ecad.gif

arctq m

ctq x = m


hello_html_284db68.gif


hello_html_402eca98.gif

arcctq m



Уhello_html_m53d4ecad.gifченик 2:

Функции y = sin x, y = cos x, y = tq x, y = ctq x называют основными тригонометрическими функциями.

Уравнение f(x) = a, где a – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.

Решением уравнения с неизвестным х называют число hello_html_m62af4106.gifhello_html_m53d4ecad.gif, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его решения или показать, что их нет.


Формулы общего вида корней уравнений приведены в таблице:


Уравнение

Общая формула корней

Промежуток главного угла

hello_html_m53d4ecad.gifsin x = m, где hello_html_m3da296c0.gif

hello_html_33b489c7.gif=hello_html_m1a6b9c8f.gif

hello_html_mb727f67.gif

cos x = m, где hello_html_m3da296c0.gif

hello_html_627a81bd.gif


hello_html_m4727ad17.gif

tq x = m, где hello_html_54bf330b.gif

hello_html_3f59ec37.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m23fcbae2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

ctq x = m, где hello_html_54bf330b.gif

hello_html_1f9f6c66.gif

hello_html_m7f2e32d8.gif



hello_html_m53d4ecad.gifВ некоторых частных случаях полезны следующие упрощенные формулы:

Уравнение

Формула корней

sinx ═0 или tq x = 0

х ═ πκ

сos x = 0 или ctq x = 0

х═π/2(2κ+1)

sin x = 1

x═π/2(4κ+1)

sin x = -1

x═π/2(4κ-1)

cos x = 1

x═2πκ

cos x = -1

x═π(2κ +1)



Учитель: Решите следующие уравнения устно:

1. sin x =1; (hello_html_maabe83c.gif

2. cos x = hello_html_macd1a5c.gif; (hello_html_m1db31ed.gif)

3. sin x = hello_html_m3d4efe4.gif; (hello_html_m521f8c0c.gif

4. cos x = hello_html_m9b24522.gif; (hello_html_m25d88167.gif

5. tq x = -1; (hello_html_1cdefad2.gif

6. ctq x = hello_html_m980c3de.gif; (hello_html_240b3d98.gif

7. tq x = hello_html_m184a4aba.gif. (hello_html_55716793.gif

3. Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений (1 мин).

Ученик 3:

Повторим основные приемы решения тригонометрических уравнений, выделив следующую классификацию тригонометрических уравнений:

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

  2. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений.

  3. Однородные уравнения.

  4. Введение вспомогательного угла.

  5. Замена неизвестного t = sin x + cos x.


4. Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий

(10 мин).

Учащиеся представляют классу решение своего уравнения.



1. Ученик 4:

Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного – уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращается в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Решим уравнение 2cos²x + 3cosx + 1 = 0. Введем новое неизвестное cosx = t, тогда уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t² +3t + 1 = 0. Уравнение имеет два корня t = -1 и hello_html_23f07e58.gif. Следовательно, множество всех решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений

cosx = -1 и cosx = -hello_html_m3d4efe4.gif. Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что множество решений уравнения состоит из трех серий решений:

xm = π + 2πm, mhello_html_m12b0ef1f.gif, xn = hello_html_3fa18245.gif,nhello_html_m12b0ef1f.gif, xk = - hello_html_m331055b3.gif, k hello_html_m12b0ef1f.gif.






2. Ученик 5:

Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам», которые сформулируем в шутливой форме:

Первый: «Увидел сумму – делай произведение». Это относится к формулам для преобразований сумм sinα ±sinβ, cosα ± cosβ, tqα ± tqβ в произведения.

Второй: «Увидел произведение – делай сумму». Это относится к формулам для преобразования произведений sinα ·sinβ, cosα·cosβ, sinα·cosβ в суммы.

Третий: «Увидел квадрат – понижай степень». Это относится к формулам

sin² x = hello_html_2d0237ba.gif, cos²x = hello_html_m57210246.gif.


Решим уравнение sin5x cos3x = sin3x cos5x. Перенеся все члены уравнения в левую часть

sin5x cos3xsin3x cos5x = 0 и, применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде sin2x = 0. Все решения удовлетворяют условию

2xm = π m, m hello_html_m12b0ef1f.gif . Следовательно, уравнение имеет одну серию решений:

xm= hello_html_68c29e17.gif, mhello_html_m12b0ef1f.gif.


3. Ученик 6:


Однородные уравнения.

аsin x +bcos x = 0 (1-ой степени),

asin² x + bsinx cosx + c cos² x = 0 (2-ой степени), где a, b, c – некоторые числа.

Два признака однородного уравнения:

а). справа нуль;

б). сумма показателей у всех членов одинакова.

Алгоритм решения:

а). убедиться, что значения х, при которых cos x = 0, не являются решениями данного уравнения;

б). перейти к равносильному уравнению, разделив обе части уравнения на cos²x (cos x) или sin²x (sinx).

в). решить полученное уравнение.

Решим уравнение sinx - hello_html_m980c3de.gifcosx = 0. Разделим почленно обе части уравнения на cosx. Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Получим tqx - hello_html_m980c3de.gif = 0, tqx = hello_html_m980c3de.gif, x = hello_html_m2b99b20c.gifhello_html_m12b0ef1f.gif.



4. Ученик 7:


Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида Asinx + Bcosx = C, где A, B, C – данные числа и AB ≠ 0. Так как A² + В²>0, то, разделив обе части данного уравнения на число hello_html_m328e0e4e.gif, перепишем уравнение в виде

аsinx + bcosx = c, где а = hello_html_35244ad3.gif, в = hello_html_3facacfc.gif, с = hello_html_3974e505.gif.

Так как а²+в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что а = sinα и b = cosα.

Уравнение можно записать в виде cosx·cosα + sinx·sinα = c или в виде cos(x – α) = c.

Если подобрать такой угол β, что a = cosβ и b = sinβ, то уравнение можно записать в виде sin(x+β)=c.

Тhello_html_1a3719b5.gifаким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

Решим уравнение sinx -hello_html_m980c3de.gifcosx = 1. Разделив обе части уравнения на число перепишем его в виде hello_html_e41f11a.gif. Так как hello_html_m4988126b.gif и hello_html_722efd50.gif, то уравнение можно записать в виде sin(x - hello_html_469a1c43.gif, все решения которого, а значит, и данного уравнения, задаются формулами x - hello_html_m1fda98fe.gifhello_html_m12b0ef1f.gif, откуда получаем

x = hello_html_m20e562e5.gifhello_html_m12b0ef1f.gif.


5. Ученик 8:

Замена неизвестного t = sinx +cosx.

Рассмотрим уравнения, в которые входят выражения sinx + cosx и sin2x. Их удобно решать при помощи замены неизвестного sinx + cosx = t, так как при этом

sin2x = 2sinxcosx =sin²x + 2sinxcosx + cos²x – 1 = (sinx + cosx)² - 1 = t² - 1.

Если в уравнение входят выражения sinxcosx и sin2x, то делают замену неизвестного

sinxcosx = t. При этом sin2x = 1 - t².

Решим уравнение 5sinx + 4sinx cosx – 5cosx = 5. Решим уравнение при помощи замены неизвестного sinxcosx = t, sin2x = 1 – t2.

Тогда уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t2 – 5t + 3 = 0. Так как корни этого уравнения t1 = 1,5, t2 = 1, то множество всех решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений: sinxcosx = 1,5 и sinxcosx = 1. Каждое из этих уравнений решаем введением вспомогательного угла. При этом первое уравнение преобразуется к виду sinhello_html_m541548fe.gif, а второе к виду sinhello_html_m357ffb7e.gif. Так как hello_html_m36b34f05.gif, то первое уравнение не имеет решений. Все решения второго уравнения задаются формулами x - hello_html_71c11a3c.gifhello_html_m12b0ef1f.gif.

x = (-1)khello_html_m453d1b2f.gifhello_html_m12b0ef1f.gif.



5.Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний (15 мин).

Самостоятельная работа.

Решить уравнение, определив предварительно метод решения уравнения:

1. hello_html_m980c3de.gifsin2x + cos2x = 0

2. 2 cos2x + 4 sinx cosx = - 1

3. Определите, при каких а уравнение sin2x – 3 sinx cosx + a cos2x = 0 не имеет решения.






Предполагаемые решения:

1. Решить уравнение hello_html_m980c3de.gifsin2x + cos2x = 0

Решение:

Это однородное уравнение первой степени, оно равносильно уравнению hello_html_m980c3de.giftq2x + 1 = 0, которое имеет решения xk = - hello_html_m47ed4644.gifhello_html_m12b0ef1f.gif.

Ответ: - hello_html_m47ed4644.gifhello_html_m12b0ef1f.gif.


2. Решите уравнение 2 cos2x + 4 sinx cosx = - 1

Решение:

Перепишем уравнение в виде sin2x + 4sinx cosx + 3cos2x = 0.

Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению

tq2x + 4tqx + 3 = 0,

все решения которого являются решениями или уравнения 1) tqx = -1,

или уравнения 2) tqx = - 3.

Уравнение 1) имеет единственную серию решений xn = -hello_html_59010fa2.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif,

а уравнение 2) имеет единственную серию решений xm = - arctq3 + πm, mhello_html_m12b0ef1f.gif.

Ответ: -hello_html_59010fa2.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif; - arctq3 + πm, mhello_html_m12b0ef1f.gif.

3. Определите, при каких а уравнение sin2x – 3sinx cosx +a cos2x = 0 не имеет решения.

Решение: Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению

tq2x – 3tqx + a = 0, которое не имеет решений, если D = 9 – 4a <0, т.е. при a>2,25.

Ответ: при a>2,25.


6.Подведение итогов урока (3 мин).

Итогом урока является проверка решения самостоятельной работы и оценка учащихся.

Выполнив задание, учащиеся делают сверку своего решения с образцом, спроецированным на экран.

Обсуждается, какие решения оказались более доступными, почему, оценивается работа каждого ученика, делается анализ урока (выполнена ли цель урока, положительные и отрицательные моменты в ходе урока).


7.Постановка домашнего задания (1 мин).

Учитель: «Урок хочется закончить словами английского математика и педагога 20-го века Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». Поэтому дома вам предлагается решить всего лишь одно уравнение sinxcosx = 1 разными способами (кто больше найдет способов).


Приложение: компьютерная презентация.





Выбранный для просмотра документ Решение тригонометрических уравнений.ppt

библиотека
материалов
Решение тригонометрических уравнений
Цели: Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригономет...
Задачи: Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений. Выя...
Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор; экран.
Методы: систематизирующий; контрольный; самостоятельной работы; стимулировани...
Структура урока: Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащи...
Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, назы...
Функции y = sin x, y = cos x, y = tq x, y = ctq x называют основными тригоном...
Простейшие тригонометрические уравнения
Частные случаи
Решите уравнения:
Классификация тригонометрических уравнений: Уравнения, сводящиеся к простейши...
Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного – уравнения, которые...
Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Тригоном...
Однородные уравнения: аsin x +bcos x = 0 (1-ой степени), asin² x + bsinx cos...
Введение вспомогательного угла Рассмотрим уравнение вида Asinx + Bcosx = C, г...
* Решим уравнение Разделив обе части уравнения на число перепишем его в виде...
Замена неизвестного t = sinx +cosx. Рассмотрим уравнения, в которые входят вы...
* Решим уравнение 5sinx + 4sinx cosx – 5cosx = 5. Решим уравнение при помощи...
Самостоятельная работа. 1. Решить уравнение, определив предварительно метод р...
Проверь себя! 1. Решить уравнение Решение: Это однородное уравнение первой ст...
2. Решите уравнение Решение: Перепишем уравнение в виде Это однородное уравне...
3. Определите, при каких а уравнение не имеет решения. Решение: Это однородн...
Домашнее задание: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и...
25 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение тригонометрических уравнений
Описание слайда:

Решение тригонометрических уравнений

№ слайда 2 Цели: Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригономет
Описание слайда:

Цели: Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения. Углубить знания по теме. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

№ слайда 3 Задачи: Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений. Выя
Описание слайда:

Задачи: Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений. Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.

№ слайда 4 Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор; экран.
Описание слайда:

Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор; экран.

№ слайда 5 Методы: систематизирующий; контрольный; самостоятельной работы; стимулировани
Описание слайда:

Методы: систематизирующий; контрольный; самостоятельной работы; стимулирования и мотивации учения; словесные; наглядные; практические.

№ слайда 6 Структура урока: Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащи
Описание слайда:

Структура урока: Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся. Инструктаж учащихся по организации работы на уроке (2 мин). Воспроизведение и коррекция опорных знаний (13 мин). Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений (1 мин). Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий (10 мин). Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний (15 мин). Подведение итогов урока (3 мин). Постановка домашнего задания (1 мин).

№ слайда 7 Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, назы
Описание слайда:

Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. Тригонометрические уравнения либо не имеют корней, либо имеют их бесчисленное множество. Например, уравнение cos x = корней не имеет, а уравнение tq x = имеет бесконечное множество корней: x = k + , где k – любое целое число.

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9 Функции y = sin x, y = cos x, y = tq x, y = ctq x называют основными тригоном
Описание слайда:

Функции y = sin x, y = cos x, y = tq x, y = ctq x называют основными тригонометрическими функциями. Уравнение f(x) = a, где a – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. Решением уравнения с неизвестным х называют число , при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его решения или показать, что их нет.

№ слайда 10 Простейшие тригонометрические уравнения
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения

№ слайда 11 Частные случаи
Описание слайда:

Частные случаи

№ слайда 12 Решите уравнения:
Описание слайда:

Решите уравнения:

№ слайда 13 Классификация тригонометрических уравнений: Уравнения, сводящиеся к простейши
Описание слайда:

Классификация тригонометрических уравнений: Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Однородные уравнения. Введение вспомогательного угла. Замена неизвестного t = sin x + cos x.

№ слайда 14 Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного – уравнения, которые
Описание слайда:

Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного – уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращается в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t. * Решим уравнение 2cos²x + 3cosx + 1 = 0. Введем новое неизвестное cosx = t, тогда уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t² +3t + 1 = 0. Уравнение имеет два корня Следовательно, множество всех решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений cosx = -1 и cosx = . Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что множество решений уравнения состоит из трех серий решений:

№ слайда 15 Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Тригоном
Описание слайда:

Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам», которые сформулируем в шутливой форме: Первый: «Увидел сумму – делай произведение». Это относится к формулам для преобразований сумм sinα ±sinβ, cosα ± cosβ, tqα ± tqβ в произведения. Второй: «Увидел произведение – делай сумму». Это относится к формулам для преобразования произведений sinα ·sinβ, cosα·cosβ, sinα·cosβ в суммы. Третий: «Увидел квадрат – понижай степень». Это относится к формулам Решим уравнение sin5x cos3x = sin3x cos5x. Перенеся все члены уравнения в левую часть sin5x cos3x – sin3x cos5x = 0 и, применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде sin2x = 0. Все решения удовлетворяют условию Следовательно, уравнение имеет одну серию решений:

№ слайда 16 Однородные уравнения: аsin x +bcos x = 0 (1-ой степени), asin² x + bsinx cos
Описание слайда:

Однородные уравнения: аsin x +bcos x = 0 (1-ой степени), asin² x + bsinx cosx + c cos² x = 0 (2-ой степени), где a, b, c – некоторые числа. Два признака однородного уравнения: а). справа нуль; б). сумма показателей у всех членов одинакова. Алгоритм решения: а). убедиться, что значения х, при которых cos x = 0, не являются решениями данного уравнения; б). перейти к равносильному уравнению, разделив обе части уравнения на cos²x (cos x) или sin²x (sinx). в). решить полученное уравнение. * Решим уравнение Разделим почленно обе части уравнения на cosx. Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Получим

№ слайда 17 Введение вспомогательного угла Рассмотрим уравнение вида Asinx + Bcosx = C, г
Описание слайда:

Введение вспомогательного угла Рассмотрим уравнение вида Asinx + Bcosx = C, где A, B, C – данные числа и AB ≠ 0. Так как A² + В²>0, то, разделив обе части данного уравнения на число перепишем уравнение в виде аsinx + bcosx = c, где Так как а²+в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что а = sinα и b = cosα.Уравнение можно записать в виде cosx·cosα + sinx·sinα = c или в виде cos(x – α) = c. Если подобрать такой угол β, что a = cosβ и b = sinβ, то уравнение можно записать в виде Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

№ слайда 18 * Решим уравнение Разделив обе части уравнения на число перепишем его в виде
Описание слайда:

* Решим уравнение Разделив обе части уравнения на число перепишем его в виде Так как то уравнение можно записать в виде все решения которого, а значит, и данного уравнения, задаются формулами откуда получаем

№ слайда 19 Замена неизвестного t = sinx +cosx. Рассмотрим уравнения, в которые входят вы
Описание слайда:

Замена неизвестного t = sinx +cosx. Рассмотрим уравнения, в которые входят выражения sinx + cosx и sin2x. Их удобно решать при помощи замены неизвестного sinx + cosx = t, так как при этом sin2x = 2sinxcosx =sin²x + 2sinxcosx + cos²x – 1 = (sinx + cosx)² - 1 = t² - 1. Если в уравнение входят выражения sinx – cosx и sin2x, то делают замену неизвестного sinx – cosx = t. При этом sin2x = 1 - t².

№ слайда 20 * Решим уравнение 5sinx + 4sinx cosx – 5cosx = 5. Решим уравнение при помощи
Описание слайда:

* Решим уравнение 5sinx + 4sinx cosx – 5cosx = 5. Решим уравнение при помощи замены неизвестного sinx – cosx = t, sin2x = 1 – . Тогда уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: . Так как корни этого уравнения то множество всех решений уравнения есть объединение множеств всех решений двух уравнений: sinx – cosx = 1,5 и sinx – cosx = 1. Каждое из этих уравнений решаем введением вспомогательного угла. При этом первое уравнение преобразуется к виду а второе к виду Так как то первое уравнение не имеет решений. Все решения второго уравнения задаются формулами

№ слайда 21 Самостоятельная работа. 1. Решить уравнение, определив предварительно метод р
Описание слайда:

Самостоятельная работа. 1. Решить уравнение, определив предварительно метод решения уравнения: 2. Определите, при каких а уравнение не имеет решения.

№ слайда 22 Проверь себя! 1. Решить уравнение Решение: Это однородное уравнение первой ст
Описание слайда:

Проверь себя! 1. Решить уравнение Решение: Это однородное уравнение первой степени, оно равносильно уравнению которое имеет решения

№ слайда 23 2. Решите уравнение Решение: Перепишем уравнение в виде Это однородное уравне
Описание слайда:

2. Решите уравнение Решение: Перепишем уравнение в виде Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению все решения которого являются решениями или уравнения 1) tqx = -1, или уравнения 2) tqx = - 3. Уравнение 1) имеет единственную серию решений а уравнение 2) имеет единственную серию решений

№ слайда 24 3. Определите, при каких а уравнение не имеет решения. Решение: Это однородн
Описание слайда:

3. Определите, при каких а уравнение не имеет решения. Решение: Это однородное уравнение второй степени, оно равносильно уравнению которое не имеет решений, если D = 9 – 4a <0, т.е. при a>2,25.

№ слайда 25 Домашнее задание: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и
Описание слайда:

Домашнее задание: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». (Сойер) Решить уравнение sinx - cosx = 1 разными способами.

Краткое описание документа:

Тема: «Решение тригонометрических уравнений».

 

Цели:

 

1.     Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения.

     Углубить знания по теме.

2.     Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.

3.     Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

 

Задачи:

 

Повторить различные способы решения тригонометрических уравнений.

 

Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений и на его основе принять определенные решения по совершенствованию учебного процесса.

Автор
Дата добавления 17.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров772
Номер материала 119114
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх