Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме:"Введение в комбинаторику"

Конспект урока по теме:"Введение в комбинаторику"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

План урока «Введение в комбинаторику»

Цели урока:

Образовательная:

создать условия для формирования понятия о науке «Комбинаторика»,

о истории ее возникновения.

Деятельностная:

обучающиеся получат возможность научится решать несложные комбинаторные задачи.

Задачи урока:

Образовательная:

дать понятие способов решения комбинаторных задач (дерево испытаний, перебор), определить правило умножения и правило сложения.

Воспитательная:

воспитание трудолюбия;

создание условий для творческой самореализации личности.

Развивающая:

развитие познавательного интереса, логического мышления и внимания.


Оборудование:

  • Мультимедийное оборудование.

  • Демонстрационные файлы.

  • Раздаточный материал.

Материалы и предметы, связанные с комбинаторикой. (слайд 1, 2, 3)







Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Постановочно – практическое задания, содержащее проблемную

ситуацию.

3. Историческая справка.

4. Практическое задание.

5. Рассмотрение примеров комбинаторных задач и их решение.

6. Инсценировка.

7. Домашнее задание.

8. Подведение итогов урока.


I.


Сегодня мы начинаем изучать новый курс математики – «Комбинаторика».



Учитель: Как вы думаете, что может изучать комбинаторика?

Ученики: Комбинациями (добиться наводящими вопросами этого ответа).

Учитель: Верно. Чтобы лучше понять, о чем речь, к доске прошу выйти Михаила, Сергея, Виктора. А Вас подумать сколькими способами можно их построить в шеренгу?

Все дети вовлекаются в этот игровой момент.

Учитель: Как видите решение не однозначно, мы можем различными способами переставлять одноклассников. К решению этой задачи мы с Вами ещё вернемся. В математике существует немало задач, в которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, – комбинаторикой.

(слайд 4)


Об истории возникновения науки «Комбинаторика» расскажут ученики класса.

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.


Например:

  • начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками;

  • агроному – разместить посевы зерновых культур на нескольких полях;

  • завучу школы – составить расписание уроков.



Учитель: Об истории возникновения науки «Комбинаторика» расскажут ученики класса. (слайд 5 – 7)

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально она применялась для расчета шансов на выигрыш в различных азартных играх: рулетке, игре в кости, а также в карточных играх. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Ясно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Теоретические исследования вопросов комбинаторики предпринимали итальянские математики Тарталья и Кардано, французы Паскаль и Ферма, причем в работах последних были уже заложены основы теории вероятностей – ещё одного большого раздела математики, введением в которую является комбинаторика, она имеет большое значение для теории вероятностей, теории управляющих систем, статистики и других разделов науки и техники.


Постепенно комбинаторные методы стали тем аппаратом, с помощью которого удалось получить замечательные результаты в теории вероятностей. Здесь можно отметить работы Я.Бернулли, который комбинаторными методами доказал первую содержательную теорему теории вероятностей – так называемый закон больших чисел. Серьезный вклад в разработку теории вероятностей сделали русские и советские математики П.Л. Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров и другие. И хотя ее аппарат чрезвычайно расширился и усложнился по сравнению с аппаратом теории вероятностей XIX века, комбинаторные методы сохраняют свое значение и сегодня.

Исторический анонс.

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что, по крайней мере, один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил этот вопрос. Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт, жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой математической дисциплины – теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629 – 1695), который написал трактат «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654 – 1705), Муавр (1667 – 1754), Лаплас (1749 – 1827), Гаусс (1777 – 1855) и Пуассон (1781 – 1840). В наше время вероятностью пользуются почти во всех отраслях знаний: в статистике, биологии, экономике и т. д.

За десятилетия комбинаторика перешла период бурного развития. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации.


II.


Учитель: А теперь прочитайте условия задач и выберите те из них, которые являются комбинаторными. (слайд 8)


Задача № 1. Сколькими способами можно построить 3 – х человек в шеренгу.


Задача № 2. На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки переставили на вторую 12 книг, на обеих полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке?


Задача № 3. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?


Задача № 4. За 8 часов по течению лодка проходит расстояние, в 2 раза больше, чем за 5 часов против течения. Какова скорость течения, если собственная скорость лодки 13,5 км/ч?


Задача № 5. Сколько различных трёхцветных флагов можно сшить из желтого, красного и синего материала, если все полосы на них расположены горизонтально?


Учитель: А теперь добавим к ним ещё задачи и примемся за их решение.

Итак, знакомая нам первая задача. (слайд 9)

Задача № 1. Сколькими способами можно построить 3 – х человек в шеренгу?

(Сергей, Михаил и Виктор). (слайд 11,12)

На первое место может стать любой из трёх учащихся.

На второе место любой из двух учащихся.

Тогда на третье место может занять один учащийся.

Сколько получилось различных вариантов?


Представим решение задачи в виде следующей схемы (такая схема называется деревом испытаний) – это удобный способ решения таких задач, при котором трудно пропустить какую – нибудь возмож­ность. Решая задачу, мы просто переставляли имена трёх человек, т.е. составляли всевозможные перестановки из трёх элементов, отличающиеся друг от друга порядком расположения в них элементов.


Получилось: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 (способов).


Задача № 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание? (слайд 13)

Номер очереди

Номер машины

Способы

Первая

1 машина

5

Вторая

2 машина

4

Третья

3 машина

3

Четвертая

4 машина

2

Пятая

5 машина

1

Рассуждения аналогичные первой задаче мы оформим в виде таблицы.









Получится: 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 (способов).

Задача № 3. Сколько различных трёхцветных флагов можно сшить из желтого, красного и синего материала, если все полосы на них расположены горизонтально? (слайд 14)

(для решения этой задачи учащиеся получают раздаточный материал в виде полосок цветной бумаги и составляют всевозможные комбинации, получая различные способы решения, и после решения двух предыдущих задач ответ находят быстро)

Получилось: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 (способов).

Задача № 4. В магазине «Всё для чая» продают 5 чашек и 3 блюдца. Сколькими способами можно купить один предмет? (слайд 15)

Давайте подумаем, если чашек пять, а блюдец три то сколькими способами можно купить один предмет.


Чашку – 5 способами.

Блюдце − 3 способами.


Получилось: 5 + 3 = 8(способов)


Задача № 5. Имеется 4 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно съесть по одному фрукту? (слайд 16 )

Аналогично предыдущей задаче проведём рассуждения и получим: 4 + 2 = 6 (способов).


Учитель: Скажите, пожалуйста, почему задачи разделены на два столбика?

Каким действием решались задачи из первого столбика?

Каким действием решались задачи из второго столбика?

Так вот основные два правила комбинаторики это правила: «правило умножения», и «правило сложения». (слайд 17 – 19)



III.

А теперь, ребята отправимся на несколько тысячелетий назад в Древний Китай, где в конце XIX века на постоялом дворе произошел разговор между пассажиром и кучером.

Инсценировка. (слайд 20)

Пассажир ходит, ожидая кучера. Затем появляется кучер и пассажир спрашивает:

- Не пора ли запрягать?

  • Что вы! - ответил кучер.

  • Еще полчаса до отъезда. За это время я успею 20 раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой...

  • А сколько в карету впрягается лошадей?

  • Пять.

  • Сколько времени полагается на запряжку лошадей?

  • Да минуты 2, не более.

  • Ой, ли? - усомнился пассажир.

  • Пять лошадей запрячь в две минуты... Что-то уж очень скоро!

  • И очень просто, - отвечал кучер.

  • Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить двоих средних лошадей к дышлу, взять вожжи в руки, сесть на козлы и готово... Поезжай!

Ну, хорошо! - заметил пассажир.

- Допустим, что таким образом
можно запрячь и отпрячь лошадей хоть 20 раз в полчаса. Но если их придется
перепрягать одну на место другой, да еще всех, то уж этого не сделать не
только в полчаса, но и в два часа.

- Тоже пустячное дело! - расхвастался кучер.

- Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше - одну лошадь на место другой поставил, и готово! Минутное дело!
- Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, - сказал
пассажир, а всеми способами, какими только можно перепрячь 5 лошадей,
считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь.
Самолюбие кучера было задето.

  • Конечно, всех лошадей и всеми способами я перепрягу не более как за час.

  • Я дал бы 100 рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! - сказал пассажир.

  • А я при всей своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если я этого не сделаю, - ответил кучер.

Так и условились.


Учитель: Итак, ребята, кучер с пассажиром задали нам задачу. Ответьте на этот вопрос дома, т. е. помогите кучеру посчитать, сколькими способами можно перепрячь пять лошадей, и успеет ли он выполнить эту работу за час. Плюс к этому Вам раздаю ксерокопию домашнего задания, и предлагаю Вам дома решить не меньше трёх задач.


Домашняя работа.


1. В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?

Выберите букву правильного ответа.


А) 256    Б) 31    В) 240      Г) 16


2. В классе 25 учащихся, сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя?

Выберите букву правильного ответа.


А) 25        Б) 600        В) 49     Г) 625


3. Квартет.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть квартет...

Начали музыканты играть — не получается.

Стой, братцы, стой! —

кричит Мартышке, — погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите...

И так и этак пересаживались — музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у них раздоры

И споры,

Кому и как сидеть...

Помогите музыкантам перепробовать всевозможные способы перемены мест.


4. Имеются треугольники четырёх цветов, синий, жёлтый, зелёный и красный. Сколько можно составить ёлочек, не повторяя цвета.



IV. Подведение итога урока


С какой наукой мы познакомились?

Кто из учёных внёс вклад в развитие науки?

Какие способы решений задач Вы узнали?

А теперь давайте посмотрим видео фрагмент из фильма «Турецкий гамбит», герои которого использовали игральные кости для разрешения проблемной ситуации.


V.


Используемая литература:


1. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. Комбинаторика. М., 2006.
2.
В.Е. Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2006.
3.
И.И. Ежов, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Элементы комбинаторики. М., 1977.
4.
Д.Ж. Риордан. Введение в комбинаторный анализ. М., 1963.

5. С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. Ленинградские математические кружки.

6. В.Н. Студенецкая, Л.Г. Козлова, Л.Ф. Кочетова, Т.А. Лопатина, Е.П. Семисинова,

Математика. 10 - 11 кл: Элективный курс «В мире закономерных случайностей».

7. Ю.В. Лепехин. Олимпиадные задания по математике 5 -6 классы.

8. http://festival.lseptember.ru/articles/509929

Краткое описание документа:

Комбинаторика это один из сложных разделов в математики для обучащюихся, а тем более для пятиклассников.Не смотря на то, что в учебнике под редакцией Н.Я.Виленкина задачи по данной теме даны сначала с решениями, не всем они понятны.Поэтому считаю, что следует выделить несколько отдельных уроков по теме "Комбинаторика" не только в пятом классе, но и далее в шестом и время от времени включать в домашнии работы комбинаторные задачи для повторения.Данный конспект урока включает историю возникновения комбинаторных задач, примеры комбинаторных задач, с помощью проблемного обучения позволяет научить обучающихся правилу произведения и сложения.  Для наглядности к разработке этого урока рекомендую использовать презентацию.

Общая информация

Номер материала: 354441

Похожие материалы