Контрольная работа по теме "Логика, теория множеств"

Вариант №1.

1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя переменные для обозначения простых высказываний:

а) Если дует ветер, то идет дождь.

б) Ветер дует тогда и  только тогда, когда идет дождь.

Указать таблицу истинности для каждого высказывания.

2. Построить таблицы истинности для следующих формул:

а) ;    б) .

3. Доказать тождественную истинность формул:

а) ;                    б) .

4. При каких значениях переменных  ложны следующие формулы:

а) ;      б) .

5. Доказать эквивалентности:

а) ;

б) .

6. Для заданных множеств  и  найти следующие множества:

,

если

а);

б)

7. По заданной диаграмме Эйлера-Венна описать множество, заданное штриховкой:

а)

б)

8. Решить задачу используя диаграмму Эйлера-Венна:

«12 учеников класса имеют отличные оценки, 13 – хорошие, 16 – удовлетворительные, 4 – только отличные и хорошие, 3 – только отличные и удовлетворительные, 2 – только хорошие и удовлетворительные, 5 – и отличные, и хорошие, и удовлетворительные, только на отлично не учится никто, только на хорошо – 2 ученика, только на удовлетворительно – 6 учеников, 1 ученик оценок не имеет. Сколько учеников в классе?»

9. Для данных множеств А и В найти , , ,

а) ,  ;                   б) ,  .

10. Проверить справедливость тождеств, используя диаграммы Эйлера-Венна.

а) ;       б) .

11. Вычислить: а) ;   б) .

12. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию:

а) ;        б) .

13. Ответить на вопросы:

а) Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать старосту, профорга и культорга?

б) Сколько можно составить целых чисел, каждое из которых изображается тремя различными цифрами?

в) Десять человек надо разбить на три группы  соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами это можно сделать?

г) Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется одно письмо?

д) Сколькими способами можно выбрать четыре делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

е) Из двадцати человек надо выбрать семь. Сколькими способами это можно сделать?

14. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся: а) все женщины; б) все мужчины.

15. Приемник и передатчик выходят в эфир в течении часа в любой момент времени и дежурят по 15 минут. Какова вероятность приема информации?

16. Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает тремя вычислительными устройствами. Каждое из этих устройств имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0.2. Найти вероятность того, что откажет только одно устройство.

17. Среднее число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи за одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит:

а) пять вызовов; б) менее пяти вызовов; в) не менее пяти вызовов; г) хотя бы один вызов.

18. Положение курса корабля при прохождении пролива равновозможно по ширине пролива, которая равна 3 км. Вероятность подрыва на мине в левой части пролива шириной 1 км равно 0.8, а в остальной части – 0.4. Корабль прошел пролив. Какова вероятность того, что он проходил через левую часть пролива?

19. Орудия, имея 3 снаряда, ведет стрельбу по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле 0.2. Составить ряд распределения случайной величины  – числа израсходованных снарядов. Найти функцию распределения  и построить её график.

20. В результате испытания двух приборов  и  установлены вероятности   наблюдения помех, оцениваемые по четырехбальной системе уровней помех :

По этим данным надо выбрать лучший прибор, если лучшим считается тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

Вариант №2.

1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя переменные для обозначения простых высказываний:

а) Если  идет дождь, то дует ветер.

б) Неверно, что ветер дует тогда и  только тогда, когда нет дождя.

Указать таблицу истинности для каждого высказывания.

2. Построить таблицы истинности для следующих формул

а) ;           б) .

3. Доказать тождественную истинность формул:

а) ;            б).

4. При каких значениях переменных  ложны следующие формулы:

а) ;

б) .

5. Доказать эквивалентности:

а) ;        б).

6. Для заданных множеств  и  найти следующие множества:

,

если

а);

б)

7. По заданной диаграмме Эйлера-Венна описать множество, заданное штриховкой:

а)

б)

8. Решить задачу используя диаграмму Эйлера-Венна:

«Из группы 60 туристов английским языком владеют 19 человек, немецким – 20 человек, испанским – 4 человека, английским и немецким – 2 человека, английским и испанским – 1 человек, немецким и испанским – 3 человека, все три языка не знает никто. Сколько человек не знают ни одного из перечисленных языков?».

9. Для данных множеств А и В найти , , ,

а) ,  ;                      б) ,  .

10. Проверить справедливость тождеств, используя диаграммы Эйлера-Венна.

а) ;          б) .

11. Вычислить: а) ;   б) .

12. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию:

а) ;        б) .

13. Ответить на вопросы:

а) В шахматном турнире участвует пять студентов и три школьника. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьниками, если никакие два участника не набрали одинокого числа очков?

б) Четверо студентов сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они экзамены сдали?  

в) Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трех бандеролях  соответственно по 2, 3, 4 книги в каждой бандероли?

г) Десять лиц, которые отдельно обедают и ужинают в одной и той же столовой, просят содержателя подождать с получением денег до тех пор, пока они не пересядут за столом всеми возможными способами, если каждый день за обедом они будут сидеть по-другому. Сколько лет пришлось бы ждать содержателю столовой, если бы он согласился на это предложение?

д) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера?

е) Имеется собрание сочинений из четырех книг одного автора и собрание сочинений из шести книг другого автора. Сколько наборов из четырех книг можно сделать, чтобы в наборе было две книги первого автора и две книги другого автора?

14. Из колоды в 52 карты наугад выбираются 4. Найти вероятность того, что среди них окажется: а) один туз; б) все тузы.

15. В неизвестном месте канала шириной 300м находится мина. Найти вероятность того, что: а) из идущих по каналу строем фронта трех судов ни одно не подорвется на мине; б) подорвется второе судно при следовании друг за другом.

Ширина первого судна 30м, второго 20м, третьего – 10м.

16. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равно 0.7. После первого попадания стрельбы прекращается. Найти вероятность того, что будут сделано 4 выстрела.

17. Стрелок попадает в цель с вероятность 0.7. Для получения зачета по стрельбе необходимо попасть в цель не менее 3 раз из 5 выстрелов. Найти вероятность сдачи стрелком зачета по стрельбе.

18. Имеется три схемы с ненадежными элементами:

Вероятность прохождения тока через каждый элемент равна 1/2. Найти вероятность того, что наудачу выбранная схема проводит ток.

19. Мишень состоит из круга №1 и двух колец с номерами №2, №3. Попадание в круг №1 дает 10 очков, в кольца №2, 3 – соответственно 5 и –1 очко. Вероятности попадания в круг и кольца равны соответственно 0.5, 0.3 и 0.2. Найти закон распределения случайно величины  – суммы выбитых очков в результате трех попаданий.

20. На каждые 20 приборов в среднем приходится 6 неточных. Составить ряд распределения числа точных приборов среди наудачу выбранных 5 приборов. Определить математическое ожидание и дисперсию этой случайно величины.

Вариант №3.

1. Записать составное высказывание в виде формулы, употребляя переменные для обозначения простых высказываний:

Утром встаешь в дурном расположении духа или с головной болью только тогда, когда  допоздна работаешь с компьютером или пьешь много кофе.

Указать таблицу истинности для высказывания.

2. Построить таблицы истинности для следующих формул

а) ;          б).

3. Доказать тождественную истинность формул:

а) ;              б) .

4. При каких значениях переменных  ложны следующие формулы:

а) ;

б) .

5. Доказать эквивалентности:

а) ;

б) .

6. Для заданных множеств  и  найти следующие множества:

,

если

а);

б)

7. По заданной диаграмме Эйлера-Венна описать множество, заданное штриховкой:

а)

б)

8. Решить задачу используя диаграмму Эйлера-Венна:

«Из 17 человек в шахматы умеют играть 7 человек, в нарды – 11 человек, в шашки – 7 человек, причем в шашки и шахматы умеет играть 4 человека, в нарды и шахматы – человека, в шашки и нарды – 5 человек. Сколько человек умеет играть во все три игры?».

9. Для данных множеств А и В найти , , ,

а) ,  ;                        б) ,  .

10. Проверить справедливость тождеств, используя диаграммы Эйлера-Венна.

а) ;         б) .

11. Вычислить: а) ;   б) .

12. Найти все натуральные n , удовлетворяющие условию:

а) ;        б) .

13. Ответить на вопросы:

а) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных, из которых один старший?

б) Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?

в) Сколькими способами можно распределить семь молодых специалистов по трем цехам, которым, соответственно, нужны 1, 2, 4 специалиста?

г) Сколькими способами 15 книг можно расположить на полке?

д) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных с одинаковыми обязанностями?

е) Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех книг разных авторов?

14. На стеллаж случайным образом расставлены 15 книг, причем 6 из них в переплете. Определить вероятность того, что из трех взятых наугад книг хотя бы одна будет в переплете.

15. На отрезке  длиной  наудачу поставлены 2 точки  и . Найти вероятность того, что точка  будет ближе к точке , чем к точке .

16. Автомат производит некоторые изделия и наполняет ими ящики. Известно, что в среднем 1 ящик из 100 содержит, по крайней мере, одно нестандартное изделие. Наличие нестандартного изделия в одном ящике не связано с наличием нестандартных изделий в другом. Найти вероятность того, что в любом из четырех ящиков окажутся только стандартные изделия.

17. Две из 4 независимо работающих ламп отказали. Найдите вероятность того, что отказали 1 и 2-я лампы. Вероятности отказа ламп равны соответственно 0.1, 0.2, 0.3, 0.4.

18. Имеются 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделии из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия во второй партии.

19. Имеется 10 радиоламп, среди которых 3 – неисправные. Случайно отбираются 4 лампы. Найти математическое ожидание случайно величины   – числа неисправных ламп среди отобранных.

20. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0.9. Найти вероятность того, что среди 5 прибывающих поездов: а) опаздывающих меньше двух; б) хотя бы один поезд опоздает.

Вариант №4.

1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя переменные для обозначения простых высказываний:

а) Неверно, что если идет дождь, то дует ветер.

б) Если сегодня ясно, то сегодня не  идет дождь и не идет снег.

Указать таблицу истинности для каждого высказывания.

2. Построить таблицы истинности для следующих формул

а) ;        б).

3. Доказать тождественную истинность формул:

а) ;         б).

4. При каких значениях переменных  ложны следующие формулы:

а) ;          б).

5. Доказать эквивалентности:

а) ;               б) .

6. Для заданных множеств  и  найти следующие множества:

,

если

а);

б)

7. По заданной диаграмме Эйлера-Венна описать множество, заданное штриховкой:

а)

б)

8. Решить задачу используя диаграмму Эйлера-Венна:

«В группе 28 студентов, на первую пару пришли 9 студентов, на вторую – 14 студентов, на третью – 16 студентов; на первой и второй парах присутствовали 3 студента, на второй и третьей – 9 студентов, на первой и третьей – 3 студента, 2 студента не были ни на одной из пар. Скольк студентов присутствовали на трех занятиях?».

9. Для данных множеств А и В найти , , ,

а) ,  ;                       б) ,  .

10. Проверить справедливость тождеств, используя диаграммы Эйлера-Венна.

а) ;           б) .

11. Вычислить: а) ;   б) .

12. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию:

а) ;        б) .

13. Ответить на вопросы:

а) В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день? (уроки не повторяются).

б) Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

в) Сколькими способами можно составить список из 25 студентов?

г) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика»?

д) Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это делать?

е) В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?

14. На 10 карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Две карточки вынимаются и укладываются в порядке появления. Найти вероятность того, что получившееся двузначное число – нечетное.

15. Авиационная бомба, сброшенная с самолета на узел связи площадью 2 км², может упасть в любую точку с равной вероятностью. На данном узле связи группа командно-штабных машин размещена на площади 0.8 км², а группа обеспечения – на площади 0.6 км². Найти вероятность того, что в результате бомбардировки связь будет нарушена.

16. Три орудия независимо друг от друга произвели залп по одной цели. Вероятность попадания первым орудием равна 0.6, вторым – 0.7, третьи – 0,8. Найти вероятность разрушения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.

17. Вероятность возникновения опасной перегрузки для прибора в каждом испытании равно 0.4. Найти: а) число опытов , при котором наиболее вероятное число отказа прибора равно 4; б) вероятность наиболее вероятного числа отказов прибора.

18. Деталь, изготовленная на заводе, попадает на проверку к одному из двух контролеров. К первому контролеру попадает 60% всех деталей. 94% из них первый контролер признана стандартными. Второй контролер признал стандартными 98% деталей. Найти вероятность того, что взятая наугад, оказавшаяся стандартной, деталь – проверена первый контролером.

19. Проводится последовательные испытания пяти приборов. Каждый следующий прибор испытывался только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайно величины – числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0.9.

20. Даны законы распределения независимых случайных величин   и :

Найти математическое ожидание для функций:  и .