Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене. Матрицы и определители в школе.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3» г. Соль-Илецка

проект

Координатный метод решения

стереометрических задач

на Едином Государственном Экзамене.

Матрицы и определители в школе.

2014 г.

Введение

На уроках математики нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях, и что очень важно в настоящее время, о нестандартных методах решения задач. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Существуют ли более совершенные методы решения? И почему мы их не изучаем в школьной программе?».

Мы провели исследование по теме «Методы решения стереометрических задач» и хотели узнать, так ли важна эта тема в жизни старшеклассников.

Чтобы ответить на эти вопросы, мы:

·         изучили теорию вопроса;

·        встретились с учителями математики города и района, выпускниками прошлых лет, студентами математических вузов, преподавателями университета, учащимися 11 классов;

·        обработали результаты, полученные в ходе опроса;

·         просмотрели научные газеты и журналы, чтобы найти ответ на вопрос «Есть ли подобная информация в периодической печати?».

Выяснили что, учителям и старшеклассникам часто приходится решать стереометрические задачи нестандартными методами, применяя теоретические знания из курса высшей математики, конкретно по теории пределов, элементам высшей алгебры (матрицы, определители), аналитической геометрии.

Вышеперечисленные разделы математики изучаются в нашей школе на факультативах и кружках, что помогло нам быстро и комфортно сориентироваться в данных областях математической науки.

В результате работы над проектом мы научились оформлять выводы, делать презентацию, проводить опрос, отбирать задачи математического содержания, встречающиеся в быту и повседневной жизни, из сборников ЕГЭ и располагать их по темам, распределять работу между собой, оформлять брошюру.

Задачи  части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Около 30% выпускников приступало к решению задачи С2 на ЕГЭ 2010-2012 гг. Так в 2010 году процент приступивших к выполнению составил 30%, в 2011 году – 33,1%, а в 2012 году – 29%. Задание С2 оценивается в 2 балла. В 2010 году от 1 до 2 баллов за задачу С2 смогли получить 11,6% участников экзамена, в 2011 – 13,9%, а в 2012 – 5,53%.

Полное решение каждой задачи состоит из теоретической части, заключающейся в обосновании взаимного расположения элементов заданной стереометрической конфигурации, и вычислительной части. При  проверке задачи С2 выставление баллов производится в соответствии со следующими критериями:

·        Обоснованно получен верный ответ – 2 балла;

·        Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено – 1 балл;

·        Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов.

На наш взгляд данные критерии оценивания задачи С2 очень жестки, так как многие учащиеся решают стереометрические задачи нестандартными методами, порой собственными методами, и получают обоснованно верные решения и ответы.

Следует отметить, что при решении задачи координатным или векторным методами выпускник должен получить правильный ответ, и только тогда его решение будет оценено в 2 балла. В противном случае его решение не соответствует приведенным критериям и будет оценено в 0 баллов.

Визитная карточка проекта

Особенности реализации проекта

На уроке проектной деятельности проведено тестирование учащихся 11 класса с целью выявления наиболее заинтересованных ребят для работы над проектом. Им поставлена задача: собрать и систематизировать материал по теме «Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене»; подготовить небольшую компьютерную презентацию.

Ход выполнения проекта

Какие методы и приемы работы были освоены учащимися в работе над проектом

Анализ литературы, рефлексивный анализ собственной деятельности и т.д. Приемы умственной деятельности: анализ, конкретизация, обобщение, сравнение, выявление существенного.

Приемы работы:

·        консультации с учителем;

·        поиск недостающей информации в информационном поле и у руководителя проекта;

·        работа в сети Интернет;

·        работа в программах Microsoft Office, PowerPoint (для создания презентации) и Microsoft Office Word (для создания письменного варианта проекта).

Описание затруднений учителя, учащихся, возникших в процессе выполнения проекта и путей их разрешения

На этапе сбора и обработки информации у авторов проекта возникли трудности при структурировании собранного материала, отбора наиболее существенного и значимого. Также при создании презентации участникам было сложно выбрать основную информацию и представить её на слайдах в сжатой форме. 

ХОД ПРОЕКТА:
1.  ЭТАП
— изучение и анализ результатов ЕГЭ по математике по определению темы проекта;
— постановка задач, определение состава групп, определение возможных способов решения поставленных задач 
2. ЭТАП
— обсуждение собранного материала;
— разработка сценария основной части проекта.
3. ЭТАП
— форматирование и печать брошюры
— подготовка компьютерной презентации проекта
— оформление проекта.
4. ЭТАП
— защита проекта с демонстрацией подготовленного материала.
— оформление результатов проекта.

Оглавление.
1.Введение.
2.Основная часть.
3.Заключение.
4.Список используемой литературы.

Цели:

·       
образовательные: продолжение работы по формированию устойчивого интереса к математике; сформировать у учащихся основные ИКТ-компетентности: умения и навыки исследовательской, проектной деятельности; работать над повышением мотивации школьников к изучению математики на основе межпредметной интеграции и проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного получения информации, формирование умения отбирать и структурировать материал, добиваться лучших результатов на ЕГЭ по математике.

·        воспитательные: создание условий для отношений сотрудничества между учащимися, формирование таких качеств личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении поставленной цели. 

·        развивающие: развитие творческих способностей учащихся (воображения, наблюдательности, памяти), монологической речи, самоанализа и рефлексии; способности выявлять причинно – следственные связи, развитие логического мышления.

Вид проекта: исследовательский, практико–ориентированный, групповой, межпредметный, среднесрочный.

Проблема: «Научиться решать стереометрические задачи нестандартными методами для повышения познавательного интереса в математике и качества знаний выпускников школ? Почему многие «боятся? задачи С2 ЕГЭ математика?»

Девиз проекта: «Слишком много переживаем. Слишком серьезно воспринимаем. Надо относиться ко всему проще. Но с умом. Без нервов. Главное – думать. И не делать глупостей.»

Основная часть

Задача 1. На единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат, так как показано на рисунке, и найдем координаты точек, а затем и координаты векторов AB₁ и BC₁.

Теоретическая часть.

Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называть также геометрическими векто­рами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по—прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает  начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы бу­дем также обозначать вектор одной малой ла­тинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изобража­ющей вектор (см. чертеж), где изображён вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы    называются    равными,    если    они имеют   одинаковые   длины,   лежат на параллельных прямых  или   на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а| или а. Если |а| = 1, то вектор a называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным векто­ром а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а⁰.

Проекцией вектора на ось и называется число, равное величине отрезка оси и, где точка А₁ является проекцией на ось и точки А, а B₁ — проекцией точки В.

Проекция вектора  на ось и обозначается символом: пр_и Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозна­чать: пр_иa.

Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол  наклона к оси и формулой

                                                     (1)

Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство

означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси.

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки  M₁(x₁ ; у₁ ; z₁ )  и   М₂(x₂ ; у₂ ; z₂), являющиеся соответственно  началом  и  концом   вектора а,  то  его координаты X, Y, Z определяются по формулам

,            ,              

 Формула                                                          (2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если — углы, которые составляет вектор а с координатными осями (черт,   41), то   называются   направляющими  косинусами вектора а.

         Вследствие формулы (1) ,   ,            .

Отсюда и из формулы (2) следует, что . Последнее   равенство   позволяет   определить   один из   углов   если известны два других.

1.  Вычислить  модуль вектора а — {6; 3; — 2}.

2.  Даны две координаты вектора Х=4, У= —12. Определить его третью координату Z при условии, что   .

3.  Даны точки А(3; —1; 2)и В(— 1; 2; 1).Найти координаты векторов и .

4. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; —1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (I; 2; —3).

5. Определить начало вектора а = {2; —3; —1}, если его конец совпадает с точкой (1; —1; 2).

6. Дан модуль вектора  и углы = 45°, = 60°, =120°. Вычислить проекции вектора а на координатные оси.

7.  Вычислить направляющие косинусы вектора а ={12; —15; —16}.

8. Вычислить направляющие косинусы вектора

9. Может ли вектор составлять с координатными осями сле­дующие углы: 1) = 45°,  = 60°, = 120°; 2)  = 45°, =135°,  =  60°; 3)  = 90°,  =150°;  = 60°?

10. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1)  = 30°,  = 45°; 2)  = 60°, = 60°; 3)  = 150°,  = 30°?

11.  Вектор составляет с осями Ох и Oz углы  =120° и  = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

11.  Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы = 60°,        = 120°. Вычислить его координаты при условии, что .

Скалярное произведение векторов

      Скалярным произведением двух векторов называется число, равное про­изведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

      Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом аb (по­рядок записи сомножителей безразличен, т. е. аb = bа).

      Если угол между векторами а, b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой .                              (1)

      Скалярное произведение векторов а, b можно выразить также формулой

,    или      

      Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab < 0, если угол  — тупой; ab = 0 в том и только в том случае, когда векторы a и b перпендикулярны (в частности, ab = 0, если a = 0 или b = 0).

      Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом а². Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

Если векторы а и b заданы своими координатами:

,          и             ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:

.

Угол  между векторами

           и         

даётся формулой  , или  в  координатах,

      Проекция произвольного вектора S = {X; Y; Z} на какую—нибудь ось и определяется формулой Пр_и S = Se, где е — единичный вектор, направленный по оси и. Если даны углы , ,, которые ось и составляет с координатными осями, то  и для вычисления проекции вектора S может служить формула пр_и 5 = X cos α + Y cos β + Z cos γ.

1. Векторы    а    и    b    образуют    угол   ;    зная,   что |а| = 3,   |b| = 4,   вычислить:   1)   аb;   2)   а²;   3)  b²;   4)   (а + b)²; 5) (3а — 2b) (а + 2b); 6) (а —b)²; 7) (3а + 2b)².

2. Векторы а и b взаимно перпендикулярны; вектор с обра­зует с ними углы, равные , зная, что |а| = 3, |b | = 5, |c|  = 8, вычислить: 1) (3а — 2b) (b + 3с); 2) (а + b + c)²; 3) (а + 2b— 3с)².

3. Доказать справедливость тождества

                            (а + 6)² + (а — 6)² = 2(a² + b²)

и выяснить его геометрический смысл.

Определители второго порядка.

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел , , , :

. (1)

Число  называется определителем второго порядка, соответствующего таблице (1). Этот определитель обозначается символом ; соответственно имеем

. (2).

Числа , , ,  называются элементами определителя. Говорят, что элементы ,  лежат на главной диагонали определителя, ,  - на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

.

Рассмотрим систему двух уравнений

,  (3)

с двумя неизвестными x, y. (Коэффициенты , , ,  и свободные члены ,  предположим данными.) Введем обозначения

, , . (4)

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель  получается путем замены элементов первого столбца определителя  свободными членами системы (3); определитель  при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если , то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

, .

Если  и при этом хотя бы один из определителей ,  отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместны).

Если же , но также , то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3) ; тогда система (3) будем иметь вид:

, . (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение; x=0, y=0. Если , то это решение является единственным; если же , т о система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.

Определители третьего порядка

Пусть дана квадратная таблица  из девяти   чисел  a₁, а₂, а₃, b₁,  b₂, b₃,

                                               (1)

Определителем третьего   порядка,   соответствующим  таблице (1),   назы­вается число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

         = a₁b₂₃ + b₁с₂ a₂ + с₁а₂b₃  — с₁b₂а₃ — b₁а₂с₃— a₁с₂b₂                  (2)

Числа a₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃, с₁, с₂, с₃ называются элементами определителя. Элементы a₁, b₂, с₃ расположены на диагонали определителя, называемой главной; элементы а₃, b₂, с₁, составляют его побочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, что первые три слагаемые в правой части равенства (2) представляют собой произведения элементов определителя, взятых по три так, как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме слева.

Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2), нужно перемножить элементы   определителя по три так, как показано различными

пунктирами  на той же  схеме справа,  после  чего  у каждого из найденных произведений изменить знак.

В задачах 2 (а-ж) требуется вычислить определители треть­его порядка.

а). .  б) .  в) .

г). .  е).  .   ж).  .

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,

проходящей через данную точку и имеющей данный

нормальный вектор

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение

А(х — x_о) + В(у — y_о) + С(z — zz₀) = 0                    (1)

определяет плоскость,  проходящую   через  точку  М₀(х₀; у₀; z₀) и имеющую нормальный вектор п = {А; В; С}.

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число —Ах₀ — Ву₀,—Сz₀ буквой D представим его в виде:

                   Ах + By + Cz + D = 0.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости

может быть представлено в следующем виде:

                   = 0

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор n ={1, —2; 3}.

2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; —3}.

3. Точка Р (2; —1; —1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравне­ние этой плоскости.

4. Даны две точки М₁(3; —1; 2) и М₂(4; —2; —1). Соста­вить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендику­лярно к вектору .

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(3; 4; —5) параллельно двум векторам a₁ = {3; 1; —1} и a₂ = {1; —2; 1}.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(2; — 1; 3) и М₂(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; — 1; —4}.

Практическая часть: решение конкретных задач С2 ЕГЭ математика.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ACB₁ и BA₁C₁.

Решение:

Заключение.

        Мы считаем, что целесообразно включить в школьный курс математики изучение таких разделов, как матрицы и определители, уравнение прямых и плоскостей. На наш взгляд методы решения стереометрических задач при помощи высшей алгебры и аналитической геометрии позволит многим учащимся получить высокие баллы на Едином Государственном Экзамене.

        Но самое главное – это интерес к изучению геометрии и решению задач. Подстегивает, то, что мы и все учащиеся нашей школы хотим изучать математику, хотим решать задачи более совершенными методами, хотим знать больше, чем нам положено в рамках школьной программы.

        Мы очень рады, тому что мы и все ребята познаем математические тайны с большим интересом. Наверное, после этого проекта, мы с ребятами, найдем другие новые методы решения задач, и по другим предметам.

        Желаем всем математических побед.

Список использованной литературы

1.     Д.В .Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии", изд. 15. Москва, Наука, Физматлит, 1998. - ISBN 5-02-015080-0.

2.     В.С. Щипачев «Высшая математика», изд. 4. Москва, Высшая школа, 1998.

3.     А. Н. Канатников «Аналитическая геометрия», 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.— 388 с.

4.     Умнов А.Е. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» , 3-е изд., испр. и доп. - М.: МФТИ, 2011. — 543 с.

5.      Бортаковский А.С., Пантелеев А.В.  «Аналитическая геометрия в примерах и задачах»,  М.: Высшая школа, 2005. — 496 с.

6.     Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: полный курс.   9-е изд. — М.: 2009. — 608 с.

7.     Черкасов А.Н, Введение в высшую математику.  ., М.: Наука, 1964. — 244 с.