Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене. Матрицы и определители в школе.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене. Матрицы и определители в школе.

Выберите документ из архива для просмотра:

595.15 КБ SDC10001.JPG
590.33 КБ SDC10002.JPG
593.66 КБ SDC10003.JPG
4.79 КБ Задача 1.JPG
2.45 МБ Защита проекта С2.pptx
3.11 МБ Проект С2 ЕГЭ.docx
18.11 КБ Рис1.jpg
23.78 КБ Рис2.jpg
16.53 КБ Рис3.jpg
19.22 КБ Рис4.jpg
493.27 КБ сканирование0001.jpg
311.82 КБ сканирование0002.jpg
724.49 КБ сканирование0003.jpg
1006.97 КБ сканирование0004.jpg
1.16 МБ сканирование0005.jpg
585.27 КБ сканирование0006.jpg
422.36 КБ сканирование0007.jpg
167 КБ сканирование0008.jpg
57.34 КБ сканирование0009.jpg
485.87 КБ сканирование0010.jpg

Выбранный для просмотра документ Защита проекта С2.pptx

библиотека
материалов
Координатный метод решения стереометрических задач на ЕГЭ. Матрицы и определи...
Актуальность «Зачем мы изучаем математику? Существуют ли более совершенные ме...
Проблема «Научиться решать стереометрические задачи нестандартными методами д...
Что необходимо знать: Векторы и действия над ними; Определители второго и тре...
Определители второго порядка. Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел ...
Определители третьего порядка. Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел...
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точк...
Задача С2 (пробный ЕГЭ декабрь 2013 Соль-Илецкий район): Сторона основания пр...
Решение
Итоги: Мы считаем, что целесообразно включить в школьный курс математики изуч...
 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
13 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Координатный метод решения стереометрических задач на ЕГЭ. Матрицы и определи
Описание слайда:

Координатный метод решения стереометрических задач на ЕГЭ. Матрицы и определители в школе. МОБУ СОШ №3 – «Очно-заочная школа» г. Соль-Илецк

№ слайда 2 Актуальность «Зачем мы изучаем математику? Существуют ли более совершенные ме
Описание слайда:

Актуальность «Зачем мы изучаем математику? Существуют ли более совершенные методы решения? И почему мы их не изучаем в школьной программе?». Мы выяснили, что учителям и старшеклассникам часто приходится решать стереометрические задачи нестандартными методами, применяя теоретические знания из курса высшей математики, конкретно по теории пределов, элементам высшей алгебры (матрицы, определители), аналитической геометрии.

№ слайда 3 Проблема «Научиться решать стереометрические задачи нестандартными методами д
Описание слайда:

Проблема «Научиться решать стереометрические задачи нестандартными методами для повышения познавательного интереса в математике и качества знаний выпускников школ». Почему многие «боятся» задачи С2 ЕГЭ по математике?

№ слайда 4 Что необходимо знать: Векторы и действия над ними; Определители второго и тре
Описание слайда:

Что необходимо знать: Векторы и действия над ними; Определители второго и третьего порядка; Уравнение прямых и плоскостей в пространстве; Таблица умножения.

№ слайда 5 Определители второго порядка. Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел 
Описание слайда:

Определители второго порядка. Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел  Число  -   называется определителем второго порядка, соответствующего таблице. Этот определитель обозначается символом:   соответственно имеем: = -

№ слайда 6 Определители третьего порядка. Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел
Описание слайда:

Определители третьего порядка. Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел a1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 Определителем третьего порядка, соответствующим таблице, называется число, обозначаемое символом: и определяемое равенством: = - +

№ слайда 7 Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точк
Описание слайда:

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение А(х — xо) + В(у — yо) + С(z — z0) = 0 (1) определяет плоскость, проходящую через точку М0(х0; у0; z0) и имеющую нормальный вектор п = {А; В; С}. Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число —Ах0 — Ву0,—Сz0 буквой D представим его в виде: Ах + By + Cz + D = 0. Это уравнение называется общим уравнением плоскости может быть представлено в следующем виде: = 0

№ слайда 8 Задача С2 (пробный ЕГЭ декабрь 2013 Соль-Илецкий район): Сторона основания пр
Описание слайда:

Задача С2 (пробный ЕГЭ декабрь 2013 Соль-Илецкий район): Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна , а диагональ боковой грани равна Найдите угол между плоскостью А1ВС и плоскостью основания призмы.

№ слайда 9 Решение
Описание слайда:

Решение

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 Итоги: Мы считаем, что целесообразно включить в школьный курс математики изуч
Описание слайда:

Итоги: Мы считаем, что целесообразно включить в школьный курс математики изучение таких разделов, как матрицы и определители, уравнение прямых и плоскостей. На наш взгляд методы решения стереометрических задач при помощи высшей алгебры и аналитической геометрии позволит многим учащимся получить высокие баллы на Едином Государственном Экзамене. Но самое главное – это интерес к изучению геометрии и решению задач. Подстегивает, то, что мы и все учащиеся нашей школы хотим изучать математику, хотим решать задачи более совершенными методами, хотим знать больше, чем нам положено в рамках школьной программы. Мы очень рады, тому что мы и все ребята познаем математические тайны с большим интересом. Наверное, после этого проекта, мы с ребятами, найдем другие новые методы решения задач, и по другим предметам.

№ слайда 13  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Выбранный для просмотра документ Проект С2 ЕГЭ.docx

библиотека
материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3» г. Соль-Илецка







проект

Координатный метод решения

стереометрических задач

на Едином Государственном Экзамене.

Матрицы и определители в школе.



















2014 г.

Введение

На уроках математики нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях, и что очень важно в настоящее время, о нестандартных методах решения задач. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Существуют ли более совершенные методы решения? И почему мы их не изучаем в школьной программе?».

Мы провели исследование по теме «Методы решения стереометрических задач» и хотели узнать, так ли важна эта тема в жизни старшеклассников.

Чтобы ответить на эти вопросы, мы:

  • изучили теорию вопроса;

  • встретились с учителями математики города и района, выпускниками прошлых лет, студентами математических вузов, преподавателями университета, учащимися 11 классов;

  • обработали результаты, полученные в ходе опроса;

  • просмотрели научные газеты и журналы, чтобы найти ответ на вопрос «Есть ли подобная информация в периодической печати?».

Выяснили что, учителям и старшеклассникам часто приходится решать стереометрические задачи нестандартными методами, применяя теоретические знания из курса высшей математики, конкретно по теории пределов, элементам высшей алгебры (матрицы, определители), аналитической геометрии.

Вышеперечисленные разделы математики изучаются в нашей школе на факультативах и кружках, что помогло нам быстро и комфортно сориентироваться в данных областях математической науки.

В результате работы над проектом мы научились оформлять выводы, делать презентацию, проводить опрос, отбирать задачи математического содержания, встречающиеся в быту и повседневной жизни, из сборников ЕГЭ и располагать их по темам, распределять работу между собой, оформлять брошюру.

Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Около 30% выпускников приступало к решению задачи С2 на ЕГЭ 2010-2012 гг. Так в 2010 году процент приступивших к выполнению составил 30%, в 2011 году – 33,1%, а в 2012 году – 29%. Задание С2 оценивается в 2 балла. В 2010 году от 1 до 2 баллов за задачу С2 смогли получить 11,6% участников экзамена, в 2011 – 13,9%, а в 2012 – 5,53%.

Полное решение каждой задачи состоит из теоретической части, заключающейся в обосновании взаимного расположения элементов заданной стереометрической конфигурации, и вычислительной части. При проверке задачи С2 выставление баллов производится в соответствии со следующими критериями:

  • Обоснованно получен верный ответ – 2 балла;

  • Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено – 1 балл;

  • Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов.

На наш взгляд данные критерии оценивания задачи С2 очень жестки, так как многие учащиеся решают стереометрические задачи нестандартными методами, порой собственными методами, и получают обоснованно верные решения и ответы.

Следует отметить, что при решении задачи координатным или векторным методами выпускник должен получить правильный ответ, и только тогда его решение будет оценено в 2 балла. В противном случае его решение не соответствует приведенным критериям и будет оценено в 0 баллов.

Визитная карточка проекта

ФИО руководителей проекта

Альбрехт Ольга Карловна

Мукашев Марат Каиргалиевич

Место работы, должность

МОБУ СОШ №3 г. Соль-Илецка, учителя математики

ФИ учащихся

Савченко Татьяна

Борисов Константин

Место учебы, класс

МОБУ СОШ №3 г. Соль-Илецка, 11 класс

Предметный раздел

Математика

Тема проекта

«Координатный метод решения

стереометрических задач

на Едином Государственном Экзамене»

Вид проекта

Информационный проект – сбор и обработка информации по проблеме проекта.

По комплексности: монопроект – реализуется в рамках одного учебного предмета или одной области знания.

По характеру контактов:
внутришкольный 

По продолжительности средний, требующий 5 месяцев.

Цели проекта

  • Познакомить учащихся с инновационными методами решения стереометрических задач,

  • Углубить знания учащихся школы по математике,

  • Подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ по математике,

  • Привлечь внимание, заинтересовать математическую общественность (выпускники, учителя математики, преподаватели ссузов, вузов) в рациональности использовании данных методов в решении стереометрических задач.

Задачи проекта

  1. Провести беседу с учащимися 11 классов с целью выяснить их знания о применении координатного метода в решении задач.

  2. Собрать и систематизировать информацию по теме проекта.
    3. Подготовить продукты проекта: презентацию

    «Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене», брошюру «Решение задач координатным методом»;
    4. Подготовить выступление перед математической общественностью.

Этапы работы (перечень из содержания)

  1. Проведены беседы с учащимися, учителями, родителями учащихся, преподавателями вузов.

  2. Проведена работа по сбору информации в сети интернет, а также из других источников. Отобраны задачи из сборников ЕГЭ. Информация обработана и систематизирована.

  3. Оформлена и отформатирована брошюра.

  4. Подготовлены продукты проектной работы:
    Презентация «Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене», напечатана брошюра.

  5. Проведена рефлексия и самооценка участников проекта.

Реальность реализации и практическая ценность проекта

Данный проект представляется ценным с той точки зрения, что развивает у учащихся старшего звена, интерес к математике, вызывает стремление глубже изучать математику. 
Участники проекта приобрели навыки проектной деятельности, повысилась их самооценка, т.к. они не только собрали материал по теме проекта, но и выступили в роли « корреспондентов», делись с полученными знаниями.



Краткое описание выполненного проекта



Реализуя проектную идею, ученики собрали и систематизировали информацию по выбранной теме; изготовили и напечатали брошюру; создали медиапрезентацию в качестве сопровождения рассказа для выступления. Выступление планируется в рамках школьной недели математики и на районной конференции.

Презентация проекта

Проект будет защищаться в середине 3-й четверти во время проведения внеклассного мероприятия.



Особенности реализации проекта

На уроке проектной деятельности проведено тестирование учащихся 11 класса с целью выявления наиболее заинтересованных ребят для работы над проектом. Им поставлена задача: собрать и систематизировать материал по теме «Координатный метод решения стереометрических задач на Едином Государственном Экзамене»; подготовить небольшую компьютерную презентацию.

Ход выполнения проекта

Какие методы и приемы работы были освоены учащимися в работе над проектом

Анализ литературы, рефлексивный анализ собственной деятельности и т.д. Приемы умственной деятельности: анализ, конкретизация, обобщение, сравнение, выявление существенного.

Приемы работы:

  • консультации с учителем;

  • поиск недостающей информации в информационном поле и у руководителя проекта;

  • работа в сети Интернет;

  • работа в программах Microsoft Office, PowerPoint (для создания презентации) и Microsoft Office Word (для создания письменного варианта проекта).

Описание затруднений учителя, учащихся, возникших в процессе выполнения проекта и путей их разрешения

На этапе сбора и обработки информации у авторов проекта возникли трудности при структурировании собранного материала, отбора наиболее существенного и значимого. Также при создании презентации участникам было сложно выбрать основную информацию и представить её на слайдах в сжатой форме. 

ХОД ПРОЕКТА:
1. ЭТАП
— изучение и анализ результатов ЕГЭ по математике по определению темы проекта;
— постановка задач, определение состава групп, определение возможных способов решения поставленных задач 
2. ЭТАП
— обсуждение собранного материала;
— разработка сценария основной части проекта.
3. ЭТАП
— форматирование и печать брошюры
— подготовка компьютерной презентации проекта
— оформление проекта.
4. ЭТАП
— защита проекта с демонстрацией подготовленного материала.
— оформление результатов проекта.





Оглавление.
1.Введение.
2.Основная часть.
3.Заключение.
4.Список используемой литературы.

Цели:


  • образовательные: продолжение работы по формированию устойчивого интереса к математике; сформировать у учащихся основные ИКТ-компетентности: умения и навыки исследовательской, проектной деятельности; работать над повышением мотивации школьников к изучению математики на основе межпредметной интеграции и проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного получения информации, формирование умения отбирать и структурировать материал, добиваться лучших результатов на ЕГЭ по математике.

  • воспитательные: создание условий для отношений сотрудничества между учащимися, формирование таких качеств личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении поставленной цели. 

  • развивающие: развитие творческих способностей учащихся (воображения, наблюдательности, памяти), монологической речи, самоанализа и рефлексии; способности выявлять причинно – следственные связи, развитие логического мышления.



Вид проекта: исследовательский, практико–ориентированный, групповой, межпредметный, среднесрочный.



Проблема: «Научиться решать стереометрические задачи нестандартными методами для повышения познавательного интереса в математике и качества знаний выпускников школ? Почему многие «боятся? задачи С2 ЕГЭ математика?»

Девиз проекта: «Слишком много переживаем. Слишком серьезно воспринимаем. Надо относиться ко всему проще. Но с умом. Без нервов. Главное – думать. И не делать глупостей.»

Основная часть

Задача 1. На единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и BC1.

Решение:C:\Users\Администратор\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Рис2.jpgC:\Users\Администратор\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Рис1.jpg



Введем прямоугольную систему координат, так как показано на рисунке, и найдем координаты точек, а затем и координаты векторов AB1 и BC1.

C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0002.jpg


















Теоретическая часть.

Понятие вектора. Проекции вектора

hello_html_m726958d5.png

Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по—прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (см. чертеж), где изображён вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а| или а. Если |а| = 1, то вектор a называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а0.

Проекцией вектора hello_html_m970300c.gifна ось и называется число, равное величине отрезка hello_html_63445d47.gifоси и, где точка А1 является проекцией на ось и точки А, а B1 проекцией точки В.

Проекция вектора hello_html_m970300c.gif на ось и обозначается символом: приhello_html_m970300c.gif Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозначать: приa.

Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол hello_html_m6bafde09.gif наклона к оси и формулой

hello_html_ea6e6b2.gif (1)

Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство

hello_html_7802898d.gif

означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси.

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M1(x1 ; у1 ; z1 ) и М2(x2 ; у2 ; z2), являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его координаты X, Y, Z определяются по формулам

hello_html_m67af6d21.gif, hello_html_5ca71624.gif, hello_html_m34b26b35.gif

Формула hello_html_m4ab9b159.gif (2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если hello_html_2900c0ff.gif— углы, которые составляет вектор а с координатными осями (черт, 41), то hello_html_342ebc61.gif называются направляющими косинусами вектора а.

Вследствие формулы (1) hello_html_730a669a.gif, hello_html_m26d9029b.gif, hello_html_m3a0a8a29.gif.hello_html_5194c344.png

Отсюда и из формулы (2) следует, что hello_html_m3d313a93.gif. Последнее равенство позволяет определить один из углов hello_html_2900c0ff.gif если известны два других.

1. Вычислить модуль вектора а{6; 3; — 2}.

2. Даны две координаты вектора Х=4, У= —12. Определить его третью координату Z при условии, что hello_html_30607956.gif.

3. Даны точки А(3; —1; 2)и В(— 1; 2; 1).Найти координаты векторов hello_html_4d407e97.gifи hello_html_5a9dde66.gif.

4. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; —1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (I; 2; —3).

5. Определить начало вектора а = {2; —3; —1}, если его конец совпадает с точкой (1; —1; 2).

6. Дан модуль вектора hello_html_m75a9c45b.gif и углы hello_html_17d03d94.gif= 45°, hello_html_m42d395e5.gif= 60°, hello_html_5859b385.gif=120°. Вычислить проекции вектора а на координатные оси.

7. Вычислить направляющие косинусы вектора а ={12; —15; —16}.

8. Вычислить направляющие косинусы вектора

hello_html_m50ab32ce.gif

9. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) hello_html_17d03d94.gif= 45°, hello_html_m42d395e5.gif = 60°, hello_html_5859b385.gif= 120°; 2) hello_html_17d03d94.gif = 45°, hello_html_m42d395e5.gif=135°, hello_html_5859b385.gif = 60°; 3) hello_html_17d03d94.gif = 90°, hello_html_m42d395e5.gif =150°; hello_html_5859b385.gif = 60°?

10. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) hello_html_17d03d94.gif = 30°, hello_html_m42d395e5.gif = 45°; 2) hello_html_m42d395e5.gif = 60°, hello_html_5859b385.gif= 60°; 3) hello_html_17d03d94.gif = 150°, hello_html_5859b385.gif = 30°?

11. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы hello_html_17d03d94.gif =120° и hello_html_5859b385.gif = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

11. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы hello_html_17d03d94.gif= 60°, hello_html_m42d395e5.gif = 120°. Вычислить его координаты при условии, что hello_html_m75a9c45b.gif.



Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом аb (порядок записи сомножителей безразличен, т. е. аb = ).

Если угол между векторами а, b обозначить через hello_html_m6bafde09.gif, то их скалярное произведение можно выразить формулой hello_html_m7508deda.gif. (1)

Скалярное произведение векторов а, b можно выразить также формулой

hello_html_30843361.gif, или hello_html_60fe5710.gif

Из формулы (1) следует, что ab > 0, если hello_html_m6bafde09.gif— острый угол, ab < 0, если угол hello_html_m6bafde09.gif — тупой; ab = 0 в том и только в том случае, когда векторы a и b перпендикулярны (в частности, ab = 0, если a = 0 или b = 0).

Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом а2. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

hello_html_585459aa.gif

Если векторы а и b заданы своими координатами:

hello_html_121fb04e.gif, и hello_html_7879955c.gif,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

hello_html_m5a24465c.gif.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:

hello_html_m1004c010.gif.

Угол hello_html_m6bafde09.gif между векторами

hello_html_121fb04e.gif и hello_html_7879955c.gif

даётся формулой hello_html_m2f7445b2.gif, или в координатах,

hello_html_m403ab4d1.gif

Проекция произвольного вектора S = {X; Y; Z} на какую—нибудь ось и определяется формулой При S = Se, где еединичный вектор, направленный по оси и. Если даны углы hello_html_17d03d94.gif, hello_html_m42d395e5.gif,hello_html_5859b385.gif, которые ось и составляет с координатными осями, то hello_html_m35fe4db.gif и для вычисления проекции вектора S может служить формула при 5 = X cos α + Y cos β + Z cos γ.

1. Векторы а и b образуют угол hello_html_516e5e3b.gif; зная, что |а| = 3, |b| = 4, вычислить: 1) аb; 2) а2; 3) b2; 4) (а + b)2; 5) (3а2b) (а + 2b); 6) (аb)2; 7) (3а + 2b)2.

2. Векторы а и b взаимно перпендикулярны; вектор с образует с ними углы, равные hello_html_m94aecee.gif, зная, что |а| = 3, |b | = 5, |c| = 8, вычислить: 1) (3а — 2b) (b + 3с); 2) + b + c)2; 3) (а + 2b— 3с)2.

3. Доказать справедливость тождества

(а + 6)2 + (а — 6)2 = 2(a2 + b2)

и выяснить его геометрический смысл.







Определители второго порядка.

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_001.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_002.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_003.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_004.gif:

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_005.gif. (1)

Число http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_006.gif называется определителем второго порядка, соответствующего таблице (1). Этот определитель обозначается символом http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_007.gif; соответственно имеем

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_008.gif. (2).

Числа http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_009.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_010.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_011.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_012.gif называются элементами определителя. Говорят, что элементы http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_013.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_014.gif лежат на главной диагонали определителя, http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_015.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_016.gif - на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_017.gif.

Рассмотрим систему двух уравнений

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_018.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_019.gif (3)

с двумя неизвестными x, y. (Коэффициенты http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_020.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_021.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_022.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_023.gif и свободные члены http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_024.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_025.gif предположим данными.) Введем обозначения

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_026.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_027.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_028.gif. (4)

Определитель http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_029.gif, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_030.gif получается путем замены элементов первого столбца определителя http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_031.gif свободными членами системы (3); определитель http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_032.gif при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_033.gif, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_034.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_035.gif.

Если http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_036.gif и при этом хотя бы один из определителей http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_037.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_038.gif отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместны).

Если же http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_039.gif, но также http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_040.gif, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3) http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_041.gif; тогда система (3) будем иметь вид:

http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_042.gifhttp://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_043.gif. (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение; x=0, y=0. Если http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_044.gif, то это решение является единственным; если же http://www.a-geometry.narod.ru/theory/img_a1/img_a1_045.gif, т о система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.





1

Вычислить определители:


 http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_001.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_002.gif;


 http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_003.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_004.gif;


 http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_005.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_006.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_007.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_008.gif.

2.

Решить уравнения:


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_009.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_010.gif;


 http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_011.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_012.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_013.gif;


 http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_014.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_015.gif;


 http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_016.gif.

Решить неравенства:


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_017.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_018.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_019.gif;


http://www.a-geometry.narod.ru/problems/img_a1/Img_a1_020.gif.





















Определители третьего порядка



Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел a1, а2, а3, b1, b2, b3,

hello_html_m21a01691.gif (1)

Определителем третьего порядка, соответствующим таблице (1), называется число, обозначаемое символом

hello_html_3474c722.gif

и определяемое равенством

hello_html_7ea49ed9.gif= a1b23 + b1с2 a2 + с1а2b3 с1b2а3 b1а2с3 a1с2b2 (2)

Числа a1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 называются элементами определителя. Элементы a1, b2, с3 расположены на диагонали определителя, называемой главной; элементы а3, b2, с1, составляют его побочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, что первые три слагаемые в правой части равенства (2) представляют собой произведения элементов определителя, взятых по три так, как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме слева.

Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2), нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано различными

hello_html_54eafa21.png

пунктирами на той же схеме справа, после чего у каждого из найденных произведений изменить знак.

В задачах 2 (а-ж) требуется вычислить определители третьего порядка.



а). hello_html_44ba6037.gif. б) hello_html_m4b66505.gif. в) hello_html_f922b77.gif.

г). hello_html_60eae2b6.gif. е). hello_html_m72ecdaa7.gif. ж). hello_html_m2b659b9a.gif.



Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,

проходящей через данную точку и имеющей данный

нормальный вектор



В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение

А(х — xо) + В(у — yо) + С(z — zz0) = 0 (1)

определяет плоскость, проходящую через точку М00; у0; z0) и имеющую нормальный вектор п = {А; В; С}.

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число —Ах0 — Ву0,Сz0 буквой D представим его в виде:

Ах + By + Cz + D = 0.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости

может быть представлено в следующем виде:

hello_html_m2d76e9b1.gif= 0



1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор n ={1, —2; 3}.

2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; 3}.

3. Точка Р (2; 1; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

4. Даны две точки М1(3; —1; 2) и М2(4; —2; —1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к вектору hello_html_772a140a.gif.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 4; —5) параллельно двум векторам a1 = {3; 1; —1} и a2 = {1; —2; 1}.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; — 1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; — 1; —4}.



Практическая часть: решение конкретных задач С2 ЕГЭ математика.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ACB1 и BA1C1.

Решение:C:\Users\Администратор\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Рис4.jpgC:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Рис3.jpg





C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0001.jpg















































C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0003.jpg













C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0004.jpg





C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0005.jpg



C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0006.jpg











C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0007.jpg



















C:\Users\Администратор\Desktop\Проект\Мои сканированные изображения\сканирование0010.jpg















Заключение.

Мы считаем, что целесообразно включить в школьный курс математики изучение таких разделов, как матрицы и определители, уравнение прямых и плоскостей. На наш взгляд методы решения стереометрических задач при помощи высшей алгебры и аналитической геометрии позволит многим учащимся получить высокие баллы на Едином Государственном Экзамене.

Но самое главное – это интерес к изучению геометрии и решению задач. Подстегивает, то, что мы и все учащиеся нашей школы хотим изучать математику, хотим решать задачи более совершенными методами, хотим знать больше, чем нам положено в рамках школьной программы.

Мы очень рады, тому что мы и все ребята познаем математические тайны с большим интересом. Наверное, после этого проекта, мы с ребятами, найдем другие новые методы решения задач, и по другим предметам.

Желаем всем математических побед.























Список использованной литературы

  1. Д.В .Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии", изд. 15. Москва, Наука, Физматлит, 1998. - ISBN 5-02-015080-0.

  2. В.С. Щипачев «Высшая математика», изд. 4. Москва, Высшая школа, 1998.

  3. А. Н. Канатников «Аналитическая геометрия», 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.— 388 с.

  4. Умнов А.Е. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» , 3-е изд., испр. и доп. - М.: МФТИ, 2011. — 543 с.

  5. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В.  «Аналитическая геометрия в примерах и задачах», М.: Высшая школа, 2005. — 496 с.

  6. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: полный курс.   9-е изд. — М.: 2009. — 608 с.

  7. Черкасов А.Н, Введение в высшую математику.  ., М.: Наука, 1964. — 244 с. 





Краткое описание документа:

На уроках математики нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях, и что очень важно в настоящее время, о нестандартных методах решения задач. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Существуют ли более совершенные методы решения? И почему мы их не изучаем в школьной программе?». 

Чтобы ответить на эти вопросы, мы:

·         изучили теорию вопроса;

·        встретились с учителями математики города и района, выпускниками прошлых лет, студентами математических вузов, преподавателями университета, учащимися 11 классов;

·        обработали результаты, полученные в ходе опроса;

 

·         просмотрели научные газеты и журналы, чтобы найти ответ на вопрос «Есть ли подобная информация в периодической печати?».

Автор
Дата добавления 23.10.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1331
Номер материала 100801
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх