Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Курс по математике для 10-11 классов

Курс по математике для 10-11 классов

  • Математика

Название документа КУРС .doc

Поделитесь материалом с коллегами:

«По ступенькам успеха – к вершинам знаний»

ТЕМА: Выполнение арифметических действий.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить, упрочить знания и умения по выполнению

арифметических действий над обыкновенными дробями,

десятичными дробями и периодической дробью.


Справочный материал:

1hello_html_m3dc73ffb.gif
hello_html_5a446b5a.gif. Свойства степени:

2hello_html_m49b453c9.gif
hello_html_m48c7137f.gif
. Свойства квадратного корня:

3. Обращение бесконечной периодической дроби в обыкновенную дробь:


0hello_html_28b826b.gif,(а1а2…аn) = hello_html_6520704d.gif в знаменателе девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода.


Решение упражнений:

1. Вычислить:

hello_html_b348e43.gif

! hello_html_6cdbcb4f.gifнельзя представить в виде десятичной дроби, поэтому в 1 скобке переходим к

обыкновенным дробям

hello_html_m6d75eea6.gif

2hello_html_m63cf7066.gif. Вычислить: hello_html_6f2cb18c.gif

hello_html_m4acc1be.gif

hello_html_m6cae1f3d.gif


hello_html_m13d4fa61.gif

3. Вычислить:

hello_html_4314b3b6.gif

hello_html_44b7b544.gif






hello_html_3059e214.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: 8.


4. Найти 150% от числа hello_html_7b1e2dc9.gif

Ответ: 0,15.


5. Найти х из пропорции: hello_html_m45f7f89f.gif

Ответ: х=70.


6. Найдите значение выражения: hello_html_2f14f4de.gif

0,4(6)=hello_html_659d97e9.gif и 0,41(6)=hello_html_65aa760e.gif

Ответ: hello_html_m47a52d1b.gif


ТЕСТ № 1.

Арифметические действия.


1. Вычислите: 175 + (1000 – 375) : 25

а) 200 б) 0,02 в) 0,2 г) 2 д) 2000

2. Вычислите:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m37787e85.gif

а)1,3 б) 2,2 в) 1,9 г) 1,19 д) 0,9

3. Вычислите: 5(89,1 - 83,7 : 2,7)

а) 290,4 б) 337,8 в) 29,04 г) 1,2 д) 118,43

4. Вычислите: 2 (-0,8) – 3· 0,6

а) 4,7 б) -3,4 в) 1 г) -4,2 д) 0,2

5. Вычислите:hello_html_693c7ac5.gif

а) hello_html_m9ece8db.gif б) 0 в) hello_html_4512a90e.gif г) 1,1 д) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1cfffc0a.gif

6. Вычислите: hello_html_272ace8b.gif

а) 3,2 б) 1 в) 2,5 г) 1,3 д) 1,5

7. Вычислите: hello_html_38767f9c.gif

а) hello_html_31e13c5b.gif б) hello_html_m51ce4be7.gif в) hello_html_m49f2fe77.gif г) -3 д) hello_html_m6c6298ec.gif

8. Вычислите: hello_html_ma9593c7.gif

а) hello_html_5aaa50e.gif б) hello_html_617b8dcc.gif в) hello_html_3d0423be.gif г) hello_html_m44c78edd.gif д) hello_html_44e34956.gif

9. Вычислите: hello_html_m33faabb.gif

а) 13,2 б) 1,32 в) 0,1 г) 0,305 д) 0,35

10. Вычислите: hello_html_39fb24c1.gif

а) 1,2 б) 3,8 в) 0,5 г) 1,002 д) 1,4

11. Вычислите: (6 – 4,5) : 0,003

а) 500 б) 50 в) 5 г) 0,5 д) 5000

12. Вычислите: hello_html_5341782a.gif

а) hello_html_m4bf21f14.gif б) hello_html_m51ce4be7.gif в) hello_html_18e13027.gif г) hello_html_2b05bf59.gif д) hello_html_6cdbcb4f.gif

13. Вычислите: hello_html_79353905.gif

а) 3 б) 4 в) 7 г) hello_html_6c3d1a46.gif д) 49

14. Вычислите: hello_html_m28024613.gif

а) 9 б) 8 в) 1 г) 6 д) 4

15. Вычислите: hello_html_m182864dd.gif

а) 1,8 б) 4 в) 1 г) 5,8 д) 0

16. Вычислите: hello_html_m3fe79077.gif

а) 12 б) 18 в) 14 г) 16 д) 15

17. Вычислите: hello_html_m6f660162.gif

а) hello_html_m12073454.gif б) hello_html_3e207f6f.gif в) hello_html_5ac5f87b.gif г) hello_html_16034fed.gif д) hello_html_4943f1c1.gif

18. Вычислите: hello_html_1200bb3f.gif

а) 1,6 б) 2,6 в) 3,6 г) 0,6 д) 0,06

19. Вычислите: hello_html_5c071ac0.gif

а) hello_html_m639bc46d.gif б) hello_html_62967ec0.gif в) hello_html_665cda07.gif г) hello_html_6f100763.gif д) hello_html_1ff0ea29.gif

20. Вычислите: hello_html_4149d308.gif

а) 5 б) 50 в) 0,05 г) 500 д) 0,5

21. Вычислите: hello_html_m444e2bfe.gif

а) hello_html_22a74e83.gif б) hello_html_m6c6298ec.gif в) hello_html_m51ce4be7.gif г) hello_html_m44fa276f.gif д) hello_html_a7084f8.gif

22. Вычислите: hello_html_m611a49f6.gif

а) 2,5 б) 1,25 в) 125 г) 12,5 д) 1,2

23. Вычислите: hello_html_315e4d70.gif

а) hello_html_62480d55.gif б) hello_html_2a1e0db4.gif в) hello_html_ma18077d.gif г) hello_html_5786aa57.gif д) hello_html_74e4a45c.gif

24. Вычислите: hello_html_m53d4ecad.gif36 · 9-2 · 51 – 9 · hello_html_7e8b039c.gif

а) 10 б) 1 в) 4 г) 0 д) 2


25. Вычислите: hello_html_m11324bbc.gif

а) 1 б) 0,1 в) 0,01 г) 10 д) 100

26. Вычислите: hello_html_m7d9af584.gif

а) 17 б) 44 в) 24 г) 15 д)12

27. Вычислите: hello_html_2b519c89.gif

а) hello_html_1a91e046.gif б) 0,7 в) 0,5 г) 1,3 д) 1

28. Вычислите: hello_html_m7a090396.gif

а) 11 б) 12,5 в) 0,6 г) 1,3 д) 1

29. Вычислите: hello_html_14a998ec.gif

а) hello_html_m1b36ed3c.gif б) hello_html_m62ad4e0.gif в) hello_html_m1526bcfc.gif г) hello_html_303f8d89.gif д) hello_html_4888cfba.gif

30. Вычислите: (1,5)3 · (2,25)-1,5 · (0,75)-1 ·hello_html_4bad3cf9.gif

а) 1,5 б) 8 в) 0,75 г) hello_html_meb3dc5f.gif д) 1

Ключ к тесту «Арифметические действия»


1

а


11

а


21

а

2

в

12

г

22

б

3

а

13

д

23

в

4

б

14

д

24

г

5

в

15

г

25

д

6

д

16

г

26

в

7

а

17

в

27

г

8

д

18

б

28

а

9

д

19

в

29

б

10

в

20

д

30

б




ТЕМА: Упрощение выражений.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить, обобщить знания, умения по теме, повторить

формулы сокращенного умножения, алгебраические преобразования:

сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей, свойства

корня п-ой степени, свойства степени с рациональным показателем и т.д.


Справочный материал:

1. Формулы сокращенного умножения:

hello_html_m1052c012.gif

2. Бином Ньютона:

hello_html_28b1ded.gif



3hello_html_493e2bf9.gif
hello_html_m479c9de0.gif
. Свойство корня n-ой степени:


4hello_html_3c417927.gif
. Разложение на множители двучлена:

5. Разложение на множители трехчлена:

ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2), где х1 и х2 – корни квадратного трехчлена.


6. Формула сложных радикалов:


hello_html_m6b0ea4c5.gif; hello_html_532de5b5.gif






Решение упражнений.

1. Упростить: hello_html_m673ec29f.gif

Решение:

hello_html_m61a1e2bb.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ:hello_html_7ebc69b0.gif

2. Упростить: hello_html_m713705e8.gif

Решение: Преобразуем первую дробь:

hello_html_m71a19def.gif

Преобразуем вторую дробь:

hello_html_m63b165e5.gif







  1. Упростить выражение: hello_html_m2b1f069.gif

Решение: Имеем: hello_html_2b0bc278.gif Поскольку заданное выражение содержит слагаемое hello_html_m48261c.gif, то 2-х≥0, откуда находим, что х≤2. Значит, х-3<0, а потому hello_html_3b3588b8.gif Итак,

hello_html_a1cbfde.gif




4. Упростить: hello_html_m53d4ecad.gif hello_html_m7de58981.gif

hello_html_1cb3b69d.gif

5. Вычислить: hello_html_m6577f24.gif

Решение: Возведем вычисляемое выражение в квадрат:

hello_html_43cc3ff6.gif




hello_html_1b730b13.gifИсходное выражение может быть равно 6 или -6; т.к. по свойству

неравенства hello_html_57712a3f.gif, то разность этих выражений должна

быть отрицательной hello_html_1b730b13.gif -6 Ответ: -6.


6. Вычислить: hello_html_m50a2810d.gif.

Решение: Воспользуемся формулой сложных радикалов:

hello_html_m6b0ea4c5.gifи hello_html_532de5b5.gif

hello_html_m50a2810d.gif= hello_html_m624a37a3.gif =hello_html_m7a46bdae.gif = hello_html_7f9ffe07.gif.

Ответ: hello_html_7f9ffe07.gif.

ТЕСТ № 2

Упрощение выражений


1. Запишите в виде многочлена произведение: (3-b)(b2+3b+9)

a) (3-b) б) 3 в) 0 г) (27-b3) д) (3+b)

2. Упростите выражение: 3а – (а-1)+(2а-5)

а) (4а+4) б) (4а-4) в) (а-2) г) (2а-4) д) (2а+2)

3. Разложите на множители: 2ах + bх + 2ау – bу

а) (2b-a) б) (b + a)(х – у) в) (2а + b)(х – у) г) 2(а+b)(х-у) д) (х-у)2

4. Упростите выражение: 6ху-х2+3(х-у)2

а) (х22) б) 3(х+у) в) (2х+3у)2 г) (3х-у2) д) (2х2+3у2)

5. Найдите значение выражения: hello_html_cd64061.gif

а) hello_html_m4af78936.gif б) hello_html_7038c7a5.gif в) а-1 г) а2 д) 5+а2

6. Найдите значение выражения: hello_html_m783576ff.gif

а) hello_html_m28a15b1b.gif б) 9 в) 1 г) 0 д) 3

7. Упростите выражение: (2х-3)(4х2+6х+9)+(х+3)(х2-3х+9)

а) (х2-3) б) 9х3 в) 3х2 г) 2х3 д) (х2+3)

8. Упростите выражение: hello_html_396e6e17.gif

а) (а2+1) б) а15 в) а12 г) а-3 д) а

9. Упростите выражение: hello_html_m6a861175.gif

а) (а+3)(а-1) б) (2а2-3) в) (а+3) г) (а+1) д) (2а+3)

10. Вычислите: hello_html_m6dad8b77.gif при а =5; b = 2 c = 3 d = 5

а) hello_html_ad0ff09.gif б) hello_html_2d944b35.gif в) 2 г) 1 д) hello_html_2166487e.gif

11. Упростите выражение: hello_html_73f5a8ca.gif

а) hello_html_6e9ac089.gif б) hello_html_45443a93.gif в) hello_html_35adc53e.gif г) hello_html_m71873a8a.gif д) hello_html_73d0e12f.gif

12. Упрости выражение: hello_html_15fc986d.gif

а) hello_html_116115e2.gif б) а в) hello_html_m1d8baac2.gif г) hello_html_3ea5b402.gif д) hello_html_m270beecd.gif

13. Упростите выражение: hello_html_m6bce7b0a.gif

а) hello_html_4bee036f.gif б) hello_html_48cdee0e.gif в) hello_html_m1f9fd133.gif г) hello_html_4b84896a.gif д) hello_html_7e3b11c4.gif

14. Упростите выражение: hello_html_m4db667b7.gif

а) a2b2 б) hello_html_m3d339a56.gif в) hello_html_m6437f2ba.gif г) hello_html_3ca70d2d.gif д) а2

15. Сократите дробь: hello_html_m4de453af.gif

а) hello_html_m28998435.gif б) hello_html_m17e34247.gif в) hello_html_m14a8b161.gif г) hello_html_48cdee0e.gif д) hello_html_m22d20990.gif

16. Сократите дробь: hello_html_m43305ccc.gif

а) hello_html_7acd7a1f.gif б) hello_html_6b9e01d5.gif в) hello_html_mf98f4e8.gif г) hello_html_3a9f3be4.gif

17. Сократите дробь: hello_html_2da7b54a.gif

а) hello_html_m75b5f45.gif б) hello_html_m5079771f.gif в) hello_html_627e34bc.gif г) hello_html_5c492ac9.gif д) 3

18. Сократите дробь: hello_html_79f5974a.gif

а) - hello_html_m7cce3a29.gif б) hello_html_m420b5de5.gif в) hello_html_299a2e86.gif г) - hello_html_m4c07ac96.gif д) hello_html_maa7840b.gif

19. Разложите на множители: х2 – 7х + 7у – у2

а) 7х + у б) 7(х + у) (х – у) в) (х2 – у2) г) (х2 + у2) д) (х – у) (х + у – 7)

20. Разложите на множители: а3 – 5а2 – 4а + 20

а) (а – 5) (а2 – 4) б) а3 – 5 в) а (5а – 4) г) 4 (а2 + 5) д) а – 4

21. Разложите на множители: х3 – 4х2 – 9х + 36

а) х3 – х2 б) (х – 4) (х2 – 9) в) (х – 4) (х + 9) г) 4х2 – 9 д) 4х + 36

22. Упростите выражение: hello_html_5245b0ce.gif - hello_html_6d800e9d.gif

а) hello_html_m10301d16.gif б) hello_html_6d800e9d.gif в) hello_html_m2c20648e.gifhello_html_m53d4ecad.gif г) hello_html_3b79cf1f.gif д) hello_html_1b4ce1ea.gif

23. Упростите выражение: hello_html_17b6c02e.gifhello_html_m53d4ecad.gif

а) hello_html_m49c9a76d.gif б) hello_html_m22b1cb10.gif в) hello_html_1c93d622.gif г) hello_html_15e4ee81.gif д) hello_html_m142fc29b.gif

24. Зная, чтоhello_html_m5e1c6cd8.gif , найдите значение выражения hello_html_4dcb9081.gif

а) 8 б) 2 в) 1 г) 0 д) - 2

25. Зная, что hello_html_29ea9050.gif, найдите значение выражения hello_html_m59ab225.gif

а) – 2 б) – 1 в) 1 г) 2 д) 0

26. Извлеките корень: hello_html_m39e16a3b.gif и найдите его значение при а = 2, b = 3, с = 2

а) 16 б) 3 в) 5 г) 1 д) 10

27. Извлеките корень: hello_html_40b1e923.gif и найдите его значение при а = 2, b = 2, с = 10

а) 1,2 б) 0,12 в) 120 г) 360 д) 100

28. Упростите выражение: hello_html_m6935d055.gif

а) х2 б) х4 в) hello_html_m53d4ecad.gifхhello_html_m70ea3ea9.gif г) х- 1 д) хhello_html_72456fe3.gif

29. Упростите выражение: hello_html_m18041cef.gifhello_html_m425f798e.gif

а) hello_html_m750546b2.gif б) х – 2 в) 3х + 2 г) х2 д) - 1

30. Исключите иррациональность в знаменателе: hello_html_54b36d78.gifhello_html_m53d4ecad.gif

а) hello_html_m750546b2.gif б) hello_html_236b9af9.gif в) hello_html_m14ee0eba.gif г) hello_html_m4948f6c4.gif д) hello_html_32cfd8cc.gif


Ключ к тесту № 2 «Упрощение выражений»

1

г


11

в


21

б

2

б

12

б

22

в

3

в

13

г

23

а

4

д

14

д

24

б

5

а

15

а

25

г

6

д

16

в

26

д

7

б

17

б

27

в

8

в

18

г

28

г

9

г

19

д

29

а

10

а

20

а

30

д


ТЕМА: Решение уравнений и систем уравнений.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить умения и навыки решения уравнений и их систем.

Повторить решение - линейных уравнений и их систем;

- квадратных уравнений и их систем;

- иррациональных уравнений;

- уравнений с модулем.



1. Линейные уравнения:

а) Решить уравнение: hello_html_m51c799bb.gifhello_html_b683e9b.gifhello_html_m7811ca9b.gif

б) Решить уравнение: hello_html_m1852310a.gif (обе части умножаем на 3)

hello_html_m30cdb7a4.gif2 (х + 3 ) = 6 + 2х

2х + 6 = 6 + 2х

hello_html_m25e18218.gif0х = 0 х – любое число

в) Решить систему уравнений: х + у – z = 2 (1)

2х – у + 4z = 1 (2)

х + 6у + z = 5 (3)

(1) уравнение умножаем на (-2) и складываем со вторым уравнением, получаем

- 3у + 6z = - 3 или у – 2z = 1

Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7у = 7, или у = 1

hello_html_m513b2f3f.gifх + у - z = 2

hello_html_1b730b13.gifу – 2z = 1 hello_html_1b730b13.gif у = 1, z = 0, х = 1

у = 1 Ответ: (1; 1; 0)

hello_html_4f1ec574.gif

г) При каких значениях параметра а система уравнений 2х + ау = а + 2

(а + 1) х + 2ау = 2а + 4

имеет бесконечно много решений?

Из первого уравнения выражаем Х: х = - hello_html_m58873aeb.gif - подставляем во второе уравнение, получаем: (а+1) hello_html_4241839f.gif+2ау = 2а + 4 - умножим обе части на 2 и упростим его: (а + 1) (а + 2-ау) + 4ау = 4а + 8;hello_html_m53d4ecad.gif

4ау – а (а + 1)у = 4 (а + 2) – (а + 1) (а + 2)

уа (4 – а – 1) = (а + 2) (4 – а – 1)

у · а (3 – а) = (а + 2) (3 – а), при а = 3 уравнение имеет вид:

0 · у = 0


Ответ : 3





2. Квадратные уравнения:

а) 2х2 + 5х – 1 = 0 б) х3 – 5х2 + 6х = 0

Д = 25 – 4 · 2 · (-1) = 33 > 0 х (х2 – 5х + 6) = 0; х1 = 0

х1 = hello_html_m3a1c60ad.gif; х2 = hello_html_m20c6b83d.gif; х2 – 5х + 6 = 0 по т.Виета: х1 = 3; х2 = 2

Ответ: х1 = hello_html_m3a1c60ad.gif; х2 = hello_html_m20c6b83d.gif; Ответ: 0; 2; 3.

в) Решить уравнение: hello_html_m4c0e8a78.gif

hello_html_7a21a5b2.gifРешение: вводим новую переменную: hello_html_m1d255f5d.gif ; hello_html_m665a0e04.gif; hello_html_m4c6266a8.gif;

у2- 4у + 3 = 0, у1 = 1, у2 = 3

у hello_html_3750bfcb.gif 0

hello_html_148b2b74.gifhello_html_148b2b74.gifhello_html_m7a690272.gifи hello_html_2076e272.gif

х2 – 5 = 0 х2 – 2х – 5 = 0

х hello_html_3750bfcb.gif0 х hello_html_3750bfcb.gif0

х1 = hello_html_m59c8c0fc.gif; х2 = - hello_html_m59c8c0fc.gif х3 = 1 + hello_html_bf8cd8c.gif, х4 = 1 - hello_html_bf8cd8c.gif

Ответ: - hello_html_m59c8c0fc.gif; hello_html_m59c8c0fc.gif; 1 - hello_html_bf8cd8c.gif; 1 + hello_html_bf8cd8c.gif.

hello_html_148b2b74.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_148b2b74.gifг) Решить систему: х + у + 2ху = 7 х + у = а а + 2b = 7

hello_html_148b2b74.gifhello_html_148b2b74.gifху + 2 (х + у) = 8 ху = b b + 2а = 8,

откуда а = 3 х + у = 3

b = 3, получаем ху = 2, решая систему, имеем:

Ответ: (2; 1); (1; 2).

3. Иррациональные уравнения.

Одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. Если показатель степени чётный, то необходима проверка найденных решений.

Замечание: Если при решении уравнений или систем уравнений делается проверка, то область допустимых значений можно и не находить.

hello_html_m2227821f.gifа) Решить уравнение: (х – 5) (х + 2) hello_html_ca5d058.gif = 0

х – 5 = 0 х = 5

х + 2 = 0 х = - 2

х – 7 = 0 х = 7 => Ответ: 7

х – 7 ≥ 0 (ОДЗ) х ≥ 7

б) Решить уравнение: (х + 4) (х + 1) - 3hello_html_m24217003.gif = 6

х2 + 5х + 4 – 3 hello_html_m24217003.gif = 6

Замена: hello_html_m24217003.gif = у

Имеем: hello_html_m24217003.gif2 + 2 – 3 hello_html_m24217003.gif = 6

у2 + 2 – 3у = 6

у2 – 3у – 4 = 0 по т.Виета: у1 = - 1; у2 = 4

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений:

hello_html_m24217003.gif= - 1 и hello_html_m24217003.gif = 4

не имеет решений х2 + 5х + 2 = 16

х2 + 5х – 14 = 0

х1 = 2; х2 = - 7

Проверка: Ответ: 2 и - 7.


4. Уравнения с модулем.

Алгоритм решения уравнений с модулем:

  1. находят критические точки, т.е. значение переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

  2. разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

  3. на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Пример: Решить уравнение hello_html_m5d707f87.gif

Критические точки: (значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль)

х + 3 = 0; х = - 3.

hello_html_2d73da07.gifhello_html_m7eaa7d36.gif- +

- 3hello_html_m53d4ecad.gif

1) рассмотрим промежуток (-; -3) 2) рассмотрим промежуток (-3; )

Выражение под знаком модуля на данном Выражение под знаком модуля на данном

промежутке отрицательно, поэтому: промежутке положительно, поэтому:

(х + 3) = 2х – 1 х + 3 = 2х – 1

- х – 3 = 2х – 1 - х = - 1 – 3

- х – 2х = - 1 + 3 - х = - 4

- 3х = 2 х = 4

х = - hello_html_a7084f8.gifhello_html_2f0749ea.gifрассм.промежуток 4 hello_html_m289d78ff.gif [ - 3; ∞ )

( - ∞; - 3) Ответ: 4.

Пример: Решить уравнение: │х + 2│ + │х + 3│= х

Критические точки: х + 2 = 0 и х + 3 = 0

х = - 2 х = - 3

= hello_html_a8eb4e6.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m2def1dd3.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif

- 3 - 2

1) – х – 2 – х – 3 = х 2) – х – 2 + х + 3 = х 3) х + 2 + х + 3 = х

- 2х – 5 = х х = 1 2х + 5 = х

- 3х = 5 1 hello_html_2f0749ea.gif [- 3; - 2) х = - 5

х = - hello_html_m1615a285.gif - 5 hello_html_2f0749ea.gif[ - 2; ∞)

-1hello_html_a7084f8.gifhello_html_2f0749ea.gif(- ∞; - 3) Ответ: решений нет Ø



Пример: Решить уравнение: │х + 5│ - │х - 3│ = 8

Критические точки: х + 5 = 0 и х – 3 = 0

х = - 5 х = 3


hello_html_703362a6.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif= ± ‡


- 5 3

1) – х - 5 + х – 3 = 8 2) х + 5 + х – 3 = 8 3) х + 5 – х + 3 = 8

- 8 = 8 ложно 2х + 2 = 8 8 = 8 верно

решений нет 2х = 6

х = 3 hello_html_2f0749ea.gifпромеж.[ - 5; 3) => Ответ: [ 3; ∞)


ТЕСТ №3

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

1. Решить уравнение: 7-(3,1-0,1у) = 3-0,2у

А) 5 В) 3,2 С) 0,5 D) -3


2. Решить уравнение: hello_html_223271ee.gif

А) 2hello_html_1ec8a5fe.gif В) 3 С) 5 D) 3hello_html_78853b40.gif

3. Решить уравнение: (х+8)(х-7) =0

А) 5 ; 0 В) 8 ; 7 С) -8 ; 7 D) -7; -8


4. Решить уравнение: hello_html_7aa6d3fb.gif

А) 5 В) 2 С) 0 D) -3

5. Решить уравнение: 6(х-1) = 9,4-1,7х

А) 5 В) 2 С) 0 D) -3

6. Решить уравнение: |2х-3|=1

А) 5 В) 2; -1 С) 2 ;1 D) -3 ; 0

7. Решить уравнение: 10+8х = 3х-5

А) 5 В) 2 С) 0 D) -3


8. Решить уравнение: hello_html_4c90ca49.gif

А) 3 ; -2 В) 2 С) 0 ; 3 D) -3 ; 2

9. Решить уравнение: |х-5| = 3

А) 2; 8 В) 2 С) 0 ; 3 D) -8 ; 2

10. Решить уравнение: |hello_html_m4cb07167.gif| = 2

А) 3; 6 В) -6; 6 С) 6 ; 3 D) -8 ; 2

11. Решить уравнение: х2+х-6=0

А) -3; 6 В) -6; 0 С) 6 ; 1 D) -3 ; 2



12. Решить уравнение: х2-4х+3=0

А) -3; 6 В) -3; 0 С) 3 ; 1 D) 3 ; 2

13. Решить уравнение:hello_html_2a72d350.gif

А) 2,5 В) 5; 0 С) 1 D) 3

14. Решить уравнение:hello_html_m51c4aa6c.gif

А) -2 В) 0 С) 1 D) 2

15. Решить уравнение: hello_html_m3774616.gif

А) 5 В) нет решений С) 1 D) -2

16. Решить уравнение: hello_html_m3528bd72.gif

А) 5 В) нет решений С) 1 D) -2

17. Решить уравнение:hello_html_542ff221.gif

А) 48 В) нет решений С) 3 D) 25

18. Решить уравнение: hello_html_m4c739cf5.gif

А) 50 В) нет решений С) 6 D) 26


19. Решить уравнение: hello_html_4e91e8c9.gif

А) -1,92 В) 0,62 С) -1,2 D) 1,84


20. Решить уравнение: hello_html_6d8b1881.gif

А) 0,92584 В) 6,2 С) 2,4 D) 0,05625


21. Решить уравнение: |5-2х|+|х+3|= 2-3х

А) -3 В) 0; -5 С) (-∞; ∞) D) (-∞; -3]


22. Решить уравнение: 4х2+12х+9=0

А) -1; 5 В) нет решений С) 0; 2 D) 5; 1


23. Решить уравнение: hello_html_9b94402.gif

А) 1; 5 В) нет решений С) -2; 2 D) -5; -1


24. Решить уравнение: hello_html_4bd74e7c.gif

А) 0; 5 В) нет решений С) 1 ; 3 D) 6; 10


25. Решить уравнение: hello_html_72a4396e.gif

А) 0 В) нет решений С) 1 D) 15


26. Решить уравнение: 3х3 – х2 + 18х – 6 =0

А) hello_html_m233bf45f.gif В) нет решений С) hello_html_6a91fd89.gifD) 5,1

27. Решить уравнение: х32 = 9х+9

А) 0; -1; 3 В) нет решений С) 1; 2; 8 D) -1; 3; -3


28. Решить уравнение: hello_html_453ac68c.gif

А) 0; -3; 3 В) нет решений С) 1; 5 D) -1


29.Решить уравнение: (х2-9)hello_html_924c549.gif

А) -3; 2 В) нет решений С) -3; 3; 2 D) 3; 2


30. Сколько решений в интервале (-1,366 ; 0,365 ) имеет уравнение: (х2-7х+8)(2х2+2х-1)=0 , если

1,732<hello_html_774d1622.gif< 1,734 ?

А) 0 В) 1 С) 2 D) 3


Ключ к тесту № 3 «Решение уравнений»


  1. D 11 D 21 D

  2. А 12 С 22 А

  3. С 13 А 23 В

  4. В 14 D 24 С

  5. В 15 А 25 С

  6. С 16 В 26 А

  7. D 17 В 27 D

  8. А 18 С 28 D

  9. А 19 А 29 А

  10. В 20 D 30 В




















ТЕМА: Показательные и логарифмические уравнения.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить знания и умения учащихся по решению показатель-

ных и логарифмических уравнений;


Теоретический материал:

Логарифмичекие уравнения.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: hello_html_m53d4ecad.giflog2 х = b, где а > 0, а ≠ 1

Множество его допустимых значений х > 0, и оно имеет решение: х = аb.

Если 1) logа f (х) = b, где а > 0, а ≠ 1, то

hello_html_49845b82.giff (х) > 0

ab = f (х)


hello_html_m513b2f3f.gif2) logaf (x) = loga (х) , то

f (х) > 0

(х) > 0

f (х) = (х) hello_html_m53d4ecad.gif

1. Пример: Решить уравнение: log5 (x + 1) + log5 (x – 1) = 3 log5 2

Решение:

Представим левую часть уравнения в виде логарифма произведения, а правую сведем к логарифму по основанию 5:

hello_html_7a21a5b2.gifhello_html_7a21a5b2.giflog5 (x + 1) (x – 1) = log5 23 и ОДЗ: х + 1 >0 х > - 1

( х + 1) (х – 1) = 8 => х > 1

х2 - 1 = 8 х – 1 > 0 х > 1

х2 = 9

х = ± 3 - 3 hello_html_2f0749ea.gif ОДЗ Ответ : 3.


2. Пример: Решить уравнение: log22 х – log2x – 2 = 0

Решение: ОДЗ: х > 0

hello_html_15b252fd.gif

Уравнение квадратное, относительно log2 х => log2 х = у => у2 – у – 2 = 0

по т.Виета у1 = 2; у2 = -1

log2x = 2 и log2 х = - 1

х = 4 х = hello_html_m4bf21f14.gif

4 и hello_html_m4bf21f14.gifhello_html_m1b762db3.gif ОДЗ, => Ответ: 4 и hello_html_m4bf21f14.gif

3. Пример: Решить уравнение: hello_html_m714eb49c.gif

Рhello_html_49845b82.gifешение: ОДЗ: х-2>0

x>0 x>2


hello_html_m689d1008.gif



Показательные уравнения:

Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = b, где а > 0, b > 0, а ≠ 1,

имеет решение: х = logab

1. Пример: Решить уравнение: hello_html_4c8a8271.gif - приводим степень в правой части уравнения к основанию hello_html_22a74e83.gif : hello_html_m3c7176cb.gif


2. Пример: Решить уравнение: 4hello_html_m32fb3d6b.gifhello_html_m241f12de.gif

Решение:

hello_html_460f110f.gif; hello_html_m578bf2e5.gif; hello_html_m54d0bab6.gif => 9 – 6х = 3;

- 6х = - 6; х = 1 Ответ: 1.

3. Решить уравнение: hello_html_m6dec08cf.gif

Решение:

hello_html_m79cab7c2.gif; hello_html_m567d1b9d.gif; hello_html_m7ba8897e.gif;

9 · 3 = 9 · 3; 3 = 3; -х = 2х; -3х = 0; х = 0

Ответ: 0

4. Решить уравнение: 0,1lgxxlgx = 1000x.

Решение:

(0,1х)lgx = 1000x ;

Прологарифмируем обе части уравнения: lg(0,1x)lgx = lg1000x

lgx ∙ (lg0,1+lgx) = lg1000 + lgx

lgx ∙ (-1 + lgx) = 3+lgx

lg2x – 2lgx – 3 = 0

lgx = a

a2 – 2a – 3 = 0

a1=3; a2=-1

lgx=3; x=1000; и lgx=-1; x=0,1. Ответ: 0,1 и 1000.


ТЕСТ № 4

Решение показательных и логарифмических уравнений.

1. Найдите х: а5 •а4 = ах

А) 9 В) 0 С) 1 D) 10 E) 7

2. Найдите у: hello_html_62ae5f00.gif

А) 5 В) 6 С) 5/6 D) 1 E) 12

3. Чему равно выражение log5log4log3 81?

А) 5 В) 6 С) 81 D) 0 E) 1

4. Вычислите значение выражения 10х , при х = lg2 + hello_html_7665d4b0.gif

А) 5 В) 6 С) 2 D) 0 E) 1

5.Чему равно выражение log2log2log216 ?

А) 5 В) 6 С) 2 D) 0 E) 1

6. Чему равно выражение? log32•log43•log54•log65?

А) log26 В) log35 С) 2 D) 0 E) log62

7. Найдите значение выражения: log4log14196 + log5hello_html_m59c8c0fc.gif

А) 26 В) 5 С) 2 D) 1 E) log62

8. Найдите значение выражения: х=hello_html_m7b82cb8c.gif

А) 26 В) 0,25 С) 243 D) 38E) log62

9. Найдите область определения функции: f(x) = log4(4-5x).

А) (-∞; 0,8) В) (4; 5) С) (0,8 ; 5) D) (-∞; ∞) E) (4/5; ∞)

10. Решите уравнение: hello_html_449d4cf9.gif=8

А) 23 В) ±4 С) 24 D) 32E) 1

11.Решите уравнение: log6x=1-log6(х-1)

А) 2 В) 4 С) 10 D) 3 E) 13

12. Решите уравнение: logx2+5х -5) =2

А) 0 В) ±5 С) 12 D) 32 E) нет корней

13. Решите уравнение: 4х+1 + 2х+1=72

А) 2 В) ±7 С) 1 D) 3 E) нет корней

14. Решите уравнение: hello_html_4e49c0c4.gif

А) 10 В) ±4 С) 25 D) 0 E) нет корней


15. Решите уравнение: 5х+1+2•5х=175

А) 5 В) 4 С) 2 D) 0 E) ½

16. Решите уравнение: 32-х - 6•3=32х+1

А) 1,5 В) 1/4 С) 2 D) 0 E) ½

17. Решите уравнение: х=hello_html_m5192dfaa.gif

А) ±3 В) 3 С) 0,2 D) 0,1 E) 5

18. Решите уравнение: 10х=20

А) 0,1 В) 1+lg2 С) 0,2 D) 1/3 E) lg10

19. Решите уравнение: hello_html_db51008.gif

А) 4 В) lg2 С) 2 D) 1/2 E) lg20

20. Решите уравнение: ln(x2-6x+9) = ln3 + ln(x+3)

А) 4 В) ln2 С) 2 и5 D) 0 и 9 E) нет корней

21. Решите уравнение: 4х-10•2х-1-24=0

А) 3 В) 1и4 С) 2 и3 D) 0 и 1 E) 101

22. Решите уравнение: 2•logx27- 3•log27X =1

А) 1/9 и 27 В) 1и3 С) 9 и1/27 D) 0 и 9 E) 10 и 1

23. Решите уравнение: hello_html_m208ef618.gif

А) 12 В) 13 С) 10 D) 3; 5 E) 11

24. Решите уравнение: log4Xlog2X + log2log4X =2

А) 1,2 В) 16 С) 100 D) 5и10 E) 1,1

25. Решите уравнение: hello_html_22e75c54.gif

А) 4 В) 16 С) 10и2 D) 5 E) 2

26. Решите уравнение: hello_html_m4f66cf63.gif

А) 4 В) 2 С) 1и2 D) 2,5 E) 9

27. Решите уравнение: lg cosX = 1

А) 1/4 В) 1/2 С) 1и2 D) 2,5 E) решений нет


28. Решите уравнение: 2х-4•3х-3 =3

А) 10 В) 1,2 С) 4 D) 25 E) решений нет

29. Решите уравнение: hello_html_m67f95b11.gif

А) 10 В) 1,2 С) 4 D) 25 E) решений нет

30. Вычислить: hello_html_m6d1e3510.gif

А) 14 В) 18 С) 49 D) 7 E) 9




Ключ к тесту № 4

«Решение показательных и логарифмических уравнений»


  1. А 11 Д 21 А

  2. С 12 Е 22 С

  3. Д 13 А 23 Е

  4. В 14 С 24 В

  5. Е 15 С 25 А

  6. Е 16 Д 26 Д

  7. Д 17 В 27 Е

  8. С 18 В 28 С

  9. А 19 А 29 Е

  10. В 20 Д 30 В






















ТЕМА: Решение неравенств.

ЦЕЛЬ: Повторить решение всех видов неравенств: линейных, рациональных,

иррациональных, неравенств с модулем.


  1. Решение линейных неравенств.

Пример:


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2c98343b.gif

2. Решение рациональных неравенств.

Пример 1: (х-1)(х+1) ≤ 0

а) находим нули функции

(х-1)(х+1)=0

х-1=0 х+1=0

х=1 х= -1

+ - +

hello_html_m55664e08.gifб) • •

-1 1

в) Ответ: hello_html_m53d4ecad.giff(х)≤0 при hello_html_m1f835483.gif

Пример 2: hello_html_m77cdd523.gifРазложим на множители:

hello_html_m2ece348d.gif

х2-2х+4; Д<0, hello_html_1b730b13.gif х2-2х+4>0 hello_html_1b730b13.gif

hello_html_1ce57625.gif

hello_html_m67c3ca0a.gif+ - +

• •

-2 0 f(х)≤0, при х hello_html_151c43f5.gif

3. Системы неравенств:

hello_html_749f18b3.gifРешаем каждое неравенство отдельно:

hello_html_m4f8d28a9.gifhello_html_5d051a7f.gif

+ - + + - +

hello_html_m48ddc6da.gifhello_html_26e8611d.gif ● ● ● ●

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ -1 3 \ \ \ \ \ \ \ -4 \ \ \ \ \ \ \ 4 hello_html_7e0f40a1.gif


Общее решение

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕

hello_html_703362a6.gif ● ○ ○ ●

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ -4 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕-1 3\ \ \ \ \ \4 \ \ \ \ \

hello_html_m776c0644.gif

4. Неравенства с модулем.

Пример 1: hello_html_m3be92a70.gif - +

hello_html_m2028891a.gifНаходим критические точки: х+4=0 х= -4 ○

-4

1) рассмотрим промежуток х<-4

-х – 4 ≥1

-х ≥ 5

х ≤ -5 решение входит в промежуток х< -4

2) х >-4 х + 4≥1

х ≥ -3 решение входит в рассматриваемый промежуток hello_html_1b730b13.gif

Ответ: х ≤-5 и х ≥-3.

Пример 2: Решить неравенство hello_html_m431025cc.gif - +

hello_html_m67d1b36.gifНаходим критические точки: х – 3 = 0 х = 3 ●

3

1) х < 3; -х + 3 < 1

-х < -2

х > 2 hello_html_1b730b13.gif решением является промежутком (2;3).

2) х ≥ 3; х – 3 < 1

х < 4 hello_html_1b730b13.gif решением является промежуток hello_html_49532eef.gif

Общее решение: hello_html_4f46cca4.gif

5. Иррациональные неравенства.

Пример 1: hello_html_8d00990.gif

1) ДДЗ: х – 5 ≥ 0 х ≥ 5 hello_html_m4674b94e.gif

hello_html_m7eaa7d36.gif2) Возведем обе части в квадрат, имеем х – 5 <1

hello_html_m2028891a.gifх < 6 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 6

3) Находим пересечение полученного множества и ОДЗ:

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕

hello_html_3640e19a.gif ● ●

∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 5 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 6

Ответ: [5; 6)

Пример 2: Решить неравенство: hello_html_45443a93.gif > - 2

ОДЗ: х ≥ 0 => hello_html_45443a93.gifвсегда ≥ 0, => Ответ: [0; ∞).

Пример 3: hello_html_m7402dce8.gif < х,

ОДЗ: 9х – 20 ≥ 0

9х ≥ 20

х ≥ hello_html_75d124b8.gifпри х ≥ 2hello_html_m14d9cd40.gifправая часть неравенства неотрицательная =>

возводим в квадрат обе части неравенства:

( 9х – 20) < х2

х2 - 9х + 20 > 0

х2 – 9х + 20 = 0


х1 = 5, х2 = 4 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕

hello_html_m49c064a2.gifОбщее решение: ● ○ ○

∕ ∕ ∕ ∕2hello_html_m14d9cd40.gif ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 4 5 \ \ \ \ \ \ \ [hello_html_m80c51f5.gif; 4) hello_html_4969d799.gif (5; ∞)

6. Логарифмические неравенства:

Пример 1: Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

log3 (2х + 1) – log35<0

Решение: log3 (2х + 1) < log35, т.к. основание 3>1, то функция является

возрастающей, по свойству возрастающей функции имеем: 2х + 1 < 5

2х < 4

х < 2

Учтем ОДЗ: 2х + 1 > 0

2х > -1

х > -hello_html_m4665d6fb.gif

Ответ: hello_html_m19eacabd.gif

Пример 2: Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству

logх+0,5(3 – х)>1

Решение: Логарифмическое неравенство подобно совокупности двух систем:

hello_html_m5fe89ff8.gifи hello_html_111f9dcb.gif

Решая первую систему имеем: hello_html_171ebafa.gif

Решая вторую систему имеем: hello_html_530ee58b.gifØ

Общее решение: hello_html_m3c969a5d.gif, наибольшее целое х из того промежутка х = 1.

Ответ: х = 1.


7. Показательные неравенства:

Пример 1: Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству: hello_html_m3e0c9c1a.gif.

Решение: hello_html_m19150d05.gif, функция возрастающая 3 > 1, => hello_html_742223f.gif < 2; => х < 4 – наибольшее значение : 3. Ответ: 3

Пример 2: Найти наибольшее целое Х, удовлетворяющее неравенству

hello_html_790c5791.gif< 0

Решение: Обозначим hello_html_25b7c8b7.gif= = у => исходное неравенство принимает вид:

Зу – 28 + hello_html_m4fbf16bf.gif < 0 (у всегда положительный hello_html_25b7c8b7.gif)

3у ∙ у – 28 ∙ у + hello_html_m4fbf16bf.gif ∙ у < 0 => 3у2 -28у + 9 < 0

2 – 28у + 9 = 0

у1/2 = hello_html_m51ce4be7.gif и 9 у > hello_html_m51ce4be7.gif и у < 9

Вернёмся к обозначению:

hello_html_m2227821f.gifhello_html_25b7c8b7.gif> hello_html_m51ce4be7.gifи hello_html_25b7c8b7.gif < 9 х + 1 < 4 х < 3

hello_html_25b7c8b7.gif> hello_html_m7250b1a1.gifhello_html_25b7c8b7.gif < 32 => =>

hello_html_5938cb2b.gif> - 1 hello_html_5938cb2b.gif < 2 х + 1 > 0 х > - 1

Ответ: х hello_html_m7f499848.gif ( - 1; 3) наибольшее целое зн-ие х = 2.


Пример 3: Найдите все такие t, что 25t+4952t > 9t+1732t.

Решение: 25t+4925t > 9t+179t

Вынесем за скобки общий множитель: 25t(1+49) > 9t(1+17)

25t50 > 9t18

hello_html_m61865bce.gifПреобразуем к виду:












Ответ: (-1; )


ТЕСТ № 5

Решение неравенств.

1. Решить неравенство методом интервалов: (х-1)(х-2)(х+4)≥0

А) -4≤х≤1 ; х≥2 В) (-∞; ∞) С) (-1;4) D) [-4;-1] E) [2;∞)

2. Решить неравенство: (18х-36)(х-7)>0

А) (-∞; 2) В) (-∞; 7) С) (2;7) D) (-∞; 2)hello_html_4969d799.gif(7;∞) E) [7;18]

3. Решить неравенство: hello_html_65435d82.gif

А) (-∞; 21) В) (-∞; -7) С) (-21;7) D) (-∞; -21)hello_html_4969d799.gif(7;∞) E) (-7; 21)

4. Решить неравенство: hello_html_m697005e2.gif

А) (-∞; 2] В) (-∞; -4) С) (2;4] D) (-∞; -2)hello_html_4969d799.gif(4;∞) E) [-4; 2)

5. Решить неравенство: hello_html_19b387f6.gif

А) (-∞; -3] В) (-∞; 17) С) (-4;4) D) (-∞; ∞) E) [-14; 2)

6. Решить неравенство: 2х2-18<0

А) (-3; 3) В) (-∞; 18) С) (-3;9) D) (-∞; -3)hello_html_4969d799.gif(3;∞) E) [-9;18]

7. Решить неравенство: х2-5х-50<0

А) (-5; 30) В) (-∞;0,5) С) (-5;10) D) (-∞; -5)hello_html_4969d799.gif(10;∞) E) [-5;10]

8. Найдите наибольшее целое решение неравенства: -3х2+6х+9>0

А) 30 В) 0,5 С) 10 D) 2 E) -5

9. Найдите наименьшее целое решение неравенства: -3х2+3х+18>0

А) -1 В) -5 С) 1 D) 22 E) -6

10. Решить неравенство: hello_html_45317c64.gif

А) (-3; 2) В) (-∞; -3) С) (-3;5) D) [1;2]hello_html_4969d799.gif(3;∞) E) [-1;2]

11.Решить неравенство: log2(х-3)(х+2)>log2(х+2)

А) (1;2)hello_html_4969d799.gif(3;∞) В) (-∞; -3) С) (-3;4) D) (3;∞) E) (4;∞)

12. Решить неравенство: log0,2(hello_html_642528c4.gif)>0

А) (12;14)hello_html_4969d799.gif(15;∞) В) (-∞; -6) С) (-6;4) D) (6;∞) E) (12;14)

13. Решить неравенство: hello_html_2387d710.gif

А) (-3; 2) В) (0;∞) С) (-3;3) D) [1;2] E) [-1;2]

14. Решить неравенство: 9х-3х-6>0

А) х>1 В) х<0,5 С) 9< х<10 D)х> 2 E) (-5; 1)

15. Решите неравенство: 4х-10∙2х+16<0

А) (-3; 10) В) (-∞; 3) С) (1; 3) D) [1;3]hello_html_4969d799.gif(5;∞) E) [-10;2]

16. Найдите наибольшее целое положительное решение неравенства: hello_html_4f15162e.gif

А) 1 В) 5 С) 12 D) 2 E) 6

17. Решите неравенство: hello_html_m1666069a.gif

А) (-3; 0) В) (0; 3] С) [1; 3] D) [1;3]hello_html_4969d799.gif(5;6) E) (-10;2]

18. Решить неравенство: log9(2+х) >0,5

А) (1; ∞) В) (0; 1] С) [1; 2] D) (0,5;6) E) (-10;5]

19. Решить неравенство: log0,3(2,3-2х)<1

А) (1; ∞) В) (0; 1] С) (-∞; 1) D) (0,3;1) E) (-10; 0,3)

20. Сколько целых решений имеет неравенство: hello_html_50ca5c40.gif

А) 19 В) 45 С) 12 D) 21 E) 47


21. Сколько целых чисел имеет неравенство: hello_html_m4d722a8a.gif

А) 19 В) нет решения С) 20 D) 17 E) 27

22. Решите неравенство: |х+5|≥2х-4

А) (1; 9) В) (0; 1] С) (-∞; 9] D) (3;1) E) (-∞; ∞)

23. Решите неравенство: hello_html_97eeaf6.gif

А) (1; 4) В) (-1; 1] С) (4; 9] D) (-4;1) E) (-∞; 0)

24. Решите неравенство: hello_html_m31f501aa.gif

А) (1,5; 5) В) (-1; 1,2] С) (-∞; ∞) D) (-4; 0,2) E) нет решений

25. Решите неравенство: х2+2|х|≤ 63

hello_html_m5e2238bb.gifА) (2; 9) В) [-7; 7] С) (7; 9] D) (-7;1) E) (-∞; 63)

26. Решите систему неравенств: hello_html_5a6a8373.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m39dbdece.gif

А) (-2; 7) В) [1,3; 2,5] С) (-7; 2] D) (-3;1,5) E) (-∞; ∞)


2hello_html_5b902363.gif7. Решить систему неравенств: 3х-4<8х+6

2х-1>5х-4

11х-9≤15х+3


А) (2; 15) В) [1,3; 2,5] С) (-7; 2]hello_html_4969d799.gif(5; 11) D) (-3;5) E) (-2; 1)


2hello_html_7fb3c877.gif8. Решить систему неравенств: 21х2+39х-6<0

х>0

А) (2; 21) В) [3; 5] С) (0; hello_html_241beab6.gif) D) (-3;6) E) (hello_html_241beab6.gif; ∞)

2hello_html_5b902363.gif9. Решите систему неравенств: hello_html_2376a5e8.gif

х2<36

А) (2; 6) В) [-1; 6] С) (0;∞) D) (1;6) E) (-7; ∞)


30. Решите неравенство: hello_html_479507ed.gif

А) (1/2; 2) В) [-1,5; 0,5) С) [1/3;1/2) D) (1,2;3,6) E) (0; ∞)




Ключ к тесту №5 «Решение неравенств»

  1. А 11 Е 21 D

  2. D 12 Е 22 С

  3. Е 13 В 23 А

  4. С 14 А 24 Е

  5. В 15 С 25 В

  6. А 16 D 26 А

  7. С 17 В 27 Е

  8. D 18 А 28 С

  9. А 19 С 29 D

  10. D 20 Е 30 С



ТЕМА: Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

ЦЕЛЬ: Повторить формулы тригонометрии, обобщить, систематизировать знания по упрощению тригонометрических выражений.


Справочный материал:

  1. Сhello_html_m3c981b2f.gif
    hello_html_m66917b57.gif
    оотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

  1. Формулы сложения и вычитания аргументов:

hello_html_45228eb.gif
3. Формулы двойного угла: 4. Формулы понижения степени:

hello_html_39711a32.gif

5hello_html_1f13e860.gif
.Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение:

hello_html_m38ab9ac8.gif
6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

hello_html_6aeb8821.gif








7. Преобразование выражения hello_html_f8e8d36.gif

hello_html_m41d1da63.gif

Например: 3sin2t + 4cos2t = 5sin(2t+), где sin=4/5, cos=3/5, tg=4/3.

8. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции:

hello_html_mb537039.gif





















Примеры решения упражнений:



1. Вычислить cos 840° = cos (2 ∙ 360 + 120° ) = cos 120° = cos (180° - 60° ) = cos 60° = - 0.5


2. Вычислить: tg a, если sin a = hello_html_604dc576.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifи π < α < hello_html_297cd90b.gifπ α – ІІІ четверть

tg α = hello_html_60355d66.gif; hello_html_68a0e9da.gif cos2 α = 1 - hello_html_5c325a30.gif

cos α = ± hello_html_24723c1.gif

tg α = - hello_html_md68cefd.gif

3hello_html_m6fa02fce.gif. Вычислить arccos (cos (-hello_html_m6b176c87.gif) = arccos (cos hello_html_m6b176c87.gif) = arccos hello_html_34eb923d.gif => arccos (cos α) = α




4. Упростить: hello_html_m4adf1588.gif


5. Упростить: hello_html_58450366.gif


6. Вычислить: cos15° - sin15° = cos15° - sin (90° - 75°) = cos15° - cos75° = - 2 sin hello_html_m70d549dc.gif

sin hello_html_m14ad6dbf.gif


7. Вычислить: 2 sin hello_html_m233dc0ad.gif

=hello_html_m8ce92b2.gif


8. Вычислить:

ahello_html_30551668.gifrccos (-α) = π – arccos α hello_html_m618739ce.gif

arcsin (-α) = - arcsin α = hello_html_57c8d953.gif

arctg (-α) = - arctg α = hello_html_1041b2c5.gif


9. Вычислить tg α, если cos 2α = hello_html_c85ad68.gif и α hello_html_m1b762db3.gif(π; hello_html_m78765403.gif) - III четв.

cos 2α = hello_html_2524172f.gif ; 13 – 13 tg2 α = - 5 – 5 tg2 α

- 13 tg2α + 5 tg2α = - 5 – 13

- 8 tg2α = - 18

tg2α = hello_html_43195fe3.gif tg α = hello_html_297cd90b.gif (III четв. +)

10. Вычислить: hello_html_mc4321ba.gif , если tg α = hello_html_2bcdd124.gif

hello_html_4b6029a.gif


11. Вычислить sin α, если sin hello_html_m70db220d.gif

Возведём обе части в квадрат: (sin hello_html_d2d2346.gif

hello_html_m1cba925.gif

1 – sin α = 1.96

1 – 1.96 = sin α sin α = - 0.96


12. Вычислить: hello_html_m61ee0f2c.gif

= hello_html_7c052d3f.gif


13. Вычислить: sin (2arccoshello_html_2bcdd124.gif); arccos hello_html_2bcdd124.gif = α

sin 2α = 2 sin α ∙ cos α = 2 sin (arccoshello_html_2bcdd124.gif) ∙ cos (arccos hello_html_2bcdd124.gif) = 2 ∙ hello_html_2bcdd124.gif ∙ sin (arccos hello_html_2bcdd124.gif) = hello_html_m22b1cb10.gif ∙ sin α;

sin α = hello_html_36804903.gif hello_html_726bbc31.gif; hello_html_77338b67.gif



ТЕСТ№6

УПРОЩЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

1. Найдите значение выражения: sincos3 + sin3cos

А) hello_html_m233ee02c.gif В) sincos С) 0 D)1 Е) hello_html_m362d9e87.gif

2. Упростите выражение: hello_html_m6558565d.gif

А) sin+cos B) sincos C) cos2 D) 1 E) 2

3. Чему равен cos, если sin=hello_html_11d6f011.gif , hello_html_439ac418.gif

А) hello_html_m75351874.gif В) hello_html_m56b1d7a4.gif С) -hello_html_5c9fcc2d.gifD) hello_html_5c9fcc2d.gif Е) -hello_html_m56b1d7a4.gif

4. Упростите выражение: cos(+hello_html_m224932c5.gif) + cos(hello_html_m224932c5.gif- )

A) cos+sin B) cos C) sin D) 1 E) 0,5

5. Упростите: sin(hello_html_3e9057d6.gif)∙sin(hello_html_39ca8ff8.gif) - cos(hello_html_39ca8ff8.gif)∙cos(hello_html_3e9057d6.gif)

A) hello_html_m21eb27e2.gif B) ½ C) sin2 D) 0 E) cos2

6. Вычислить: hello_html_m64c97275.gif

А)3/4 В) hello_html_m75351874.gif С) 1 D) 3/2 E) hello_html_m4ed76ec8.gif

7. Упростить: hello_html_m5ff5838f.gif

А) ctg B) sin C) cos D) tg E) 1

8. Упростите выражение: hello_html_68ed5fd4.gif

А) tg2 B) ctg2 C) cos2 D) 1 E) hello_html_10660f6a.gif

9. Вычислить: sin7cos23 + sin23cos7

A) 1 B) 3/2 C) 2 D) ½ E) 0

10. Упростите выражение: hello_html_m1b410a11.gif

А) ¼ В) hello_html_m17819f0d.gifC) cos40 D) cos50 E) sin80

11. Упростить выражение: tg2sin2 - tg2sin2

A) tg B) sin C) cos22 D) 1 E) 0

12. Упростить выражение: (1-cosx)∙(1+cosx)

A) 1 B) cos2x C) sin2x D) 0 E) 2cos2x

13. Упростить выражение: tg2x – sin2x∙tg2x

A) 1 B) cos2x C) sin2x D) 0 E) 2cos2x

14. Найдите числовое значение выражения: hello_html_730c6573.gif

А) 1 B) cos245 C) sin222 D)tg1 E) 2ctg22

15. Вычислить: arctg(-hello_html_774d1622.gif)

A) 15 B) 60 C) 30 D) -60 E) -30

16. Вычислить arctg(-1)

A) 45 B) -45 C) -30 D) -60 E) -90

17. Вычислить: cos105+cos75

A) 1 B) 2cos15 C) ½ D) -1/2 E) 0


18. Вычислить: cos105- cos75

A) 1 B) 2 C) ½ D) -1/2 E) -2sin15

19. Вычислите: sin(hello_html_1bfc1af9.gif- arcsinhello_html_m89a4988.gif)

A) 0 B) ¼ C) ¾ D) -1/2 E) -1

20. Вычислить: hello_html_774d1622.giftg600

A) 3 B)hello_html_774d1622.gif C) hello_html_m33610a6a.gif D) -3/4 E) 1,5

21. Вычислить: lgtg45

A) 0 B) ¼ C) ¾ D) -1/2 E) -1

22. Вычислить cos2, если ctg=-2

A) 1/5 B) 3/5 C) ½ D) -2 E) 2/7

23. Вычислите: hello_html_774d1622.giftg+ctg2 – 2cos2 , если sin=hello_html_m3907a0ac.gif, hello_html_519f3b43.gif

A) 1/5 B) 3/5 C) ½ D) 3 E) 2/7

24. Упростите: cosx - sinx∙ctgx

A) 1 B) 2cosx C) ½ D) -1/2 E) 0

25.Упростите: hello_html_m1fb5b4b1.gif

А) tg2х B) ctg2х C) cos2 х D) 1 E) hello_html_1e81e6e3.gif

26. Упростите: hello_html_m6f25582d.gif

A) 1 B) cos2x C) ctgx D) 0 E) 2cos2x

27. Вычислите tg, если cos=hello_html_m78523bb3.gif, hello_html_m780cdf3f.gif

A) 1/5 B) 3/4 C) ½ D) -2 E) 2/7

28. Найдите значение выражения: cos4-sin4

A)cos2 B) ½ C) sin2 D) 0 E) cos4

29. Найдите значение выражения: 4sincoscos2

A)cos 22 B) ¼ C) sin4 D) 0,5 E) cos4

30.Вычислить sin(arccoshello_html_m233bf45f.gif)

А) hello_html_m75351874.gif В) hello_html_m56b1d7a4.gif С) hello_html_5c9fcc2d.gifD) hello_html_3b346d86.gif Е) -hello_html_m56b1d7a4.gif

Ключ к тесту №6

«Преобразование тригонометрических выражений»

1B 11E 21A

2A 12C 22B

3C 13C 23D

4B 14A 24E

5D 15D 25E

6E 16B 26C

7C 17E 27B

8A 18E 28A

9D 19C 29C

10B 20A 30D



ТЕМА: Решение тригонометрических уравнений.

ЦЕЛЬ: Повторить формулы корней тригонометрических уравнений в общем и частных случаях, повторить способы решения уравнений.

Теоретический материал

1. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.



cos x = α

sin x = α


tg x = α


x = ± arcos α + 2πn, n z


x = ( -1)narcsin α + πn, n z


x = arctg α + πn, n z


Ч А С Т Н Ы Е С Л У Ч А И:


1) cos x = 1; x = 2πn, n z


1) sin x = 1; x =hello_html_m7a909234.gif+2πn, n z


1) tg x = 0; x = πn, n z


2) cos x = 0; x = hello_html_m7a909234.gif+πn, n z


2) sin x = 0; x = πn



3) cos x = -1;x = π +2πn,n z


3)sin x = -1; x = hello_html_m674a29cf.gif+2π z hello_html_m53d4ecad.gif



Примеры решения уравнений:

Решить уравнения:

1) sin (15° + x) + sin (45° - x) = 1 sin α + sin = 2 sin hello_html_m228f9ce6.gif

2 sin hello_html_3fbade28.gif

2 sin 30° ∙ cos (x - 15°) = 1

2 ∙ hello_html_m4bf21f14.gif ∙ cos (x – 15) = 1

cos (x – 15) = 1

x – 15 = 2πn, n z

x = 15° + 2πn, n z Ответ: 15° + 2πтб т z


2) 1 – sin 3x = (sin hello_html_54b97fa4.gif)2

Решение:

1 – sin 3x = sin2hello_html_19547620.gifsin x = 0 или cos 2x = 0

1 – sin 3x = 1 – sin x, x1 = πn, n z или 2x = hello_html_m7a909234.gif + π n

sin x – sin 3x = 0 x = hello_html_m3eea0093.gif

2 sin hello_html_47c40f18.gif

- 2 sin x ∙ cos 2x = 0 Ответ: х1 = πn, n z

=> x2 = hello_html_m77f21a91.gif n z

3) sin 3x + sin x = sin 2x

Решение:

2 sin 2x ∙ cos x = sin 2x

2 sin 2x ∙ cos x – sin 2x = 0

sin 2x (2 cos x – 1) = 0

sin 2x = 0 или 2 cos x – 1 = 0

2x = πn, n z cos x2 = hello_html_m4bf21f14.gif

x1 = hello_html_m46ba486.gif, n z x2 = ± arccos hello_html_m4bf21f14.gif + 2πk, k z

x2 = ± hello_html_m6b176c87.gif+2πk, k z

Ответ: x1 = hello_html_m46ba486.gif, n z x2 = ± hello_html_m6b176c87.gif+2πk, k z

4) Решить уравнение sin 4x = cos (180° - 2x) и указать его решения, входящие в

[-30°; 0°]

Решение:

Воспользуемся формулой приведения: sin 4x = - cos 2x

sin 4x + cos 2x = 0 или 2 sin 2x ∙ cos 2x + cos 2x = 0

cos 2x (2 sin 2x + 1) = 0

cos 2x = 0 2 sin 2x + 1 = 0

2x = hello_html_28cd773d.gif, n z sin 2x = - hello_html_m4bf21f14.gif

x1 = hello_html_m3eea0093.gif, n z 2x = (-1)n arcsin (hello_html_m3e7126d2.gif) + πn, n z

x2 = (-1)n+1 hello_html_m38bf002d.gif, k z

Найдём значения х1 и х2при n = 0, ± 1 и k = 0, ± 1

n = 0, x1 = hello_html_m1f80958e.gif = 45° k = 0; x2 = - 15°

n = 1, x1 = hello_html_m598558f7.gif 135° k = 1; x2 = 105°

n = - 1, x1 = hello_html_m7a5d87cf.gif - 45° k = - 1; x2 = -75°

На промежутке [ - 30; 0 ] имеется лишь один корень: - 15°

Ответ: - 15°

5) Решить уравнение: hello_html_mefa80dd.gif

Решение: Исходное уравнение эквивалентно системе.


hello_html_7254e45f.gifhello_html_m53d4ecad.gifпри n = 2k, получаем πn = 2πk

таким образом, подходят только n = 2k + 1;

x = π + 2πk, k z

6) Решить уравнение: sin2 2x + sin2 3x + sin24x + sin25x = 2

Решение:

hello_html_42bbd0b9.gif

1 – cos 4x + 1 – cos 6x + 1-cos 8x + 1 – cos 10x = 4

cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos 10x = 0

2 cos hello_html_87602f8.gif

2 cos 5x ∙ cos x + 2 cos 9x ∙ cos x = 0

2 cos x (cos 5x + cos 9x) = 0

2 cos x = 0 или cos 5x + cos 9x = 0

x1 = hello_html_1490d0cf.gif 2 cos 7x ∙ cos 2x = 0

cos 7x = 0 или cos 2x = 0

7x2 = hello_html_m7a909234.gif + πk 2x3 = hello_html_m7a909234.gif + πl , l zhello_html_m53d4ecad.gif

x2 = hello_html_69d6ca9.gif x3 = hello_html_m40e15d7b.gif , l z

Ответ: x1 = hello_html_68937283.gif n z

x2 = hello_html_666001bf.gif, k z

x3 = hello_html_m3960c21.gif

7hello_html_14604357.gif) Решить уравнение: hello_html_15c442cc.gif

Решение: Применим формулу hello_html_m5cf8e1de.gif

hello_html_m2afacef6.gif

Решая квадратное уравнение, получим а1=3; а2=-hello_html_m4665d6fb.gif (не подходит)

tg2х=3 Имеем 2 решения:

tg х1=hello_html_m7d317f7d.gif и tg х2 = -hello_html_m7d317f7d.gif

х1 = hello_html_m762a5cc3.gif х2=-hello_html_m21338df9.gif

Ответ: х1 = hello_html_m762a5cc3.gif х2=-hello_html_m21338df9.gif


ТЕСТ№7

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

1. Решить уравнение: hello_html_2b44dc9d.gif

hello_html_4c3f3ef6.gif

2. Решить уравнение: 2sinxcosx – cos2x=sin2x

hello_html_53bb6f36.gif

3. Решить уравнение: cos2(x/3)=1/4

hello_html_m315e059f.gif

4. Решите уравнение: hello_html_3f4d91f0.gif

A) hello_html_m2e7fce1d.gif

B) hello_html_m5842aeaf.gif

C) hello_html_1b15ccd9.gif

D) hello_html_d388424.gif

E) hello_html_4ae54626.gif

5. Решить уравнение: (coshello_html_m13c8defc.gif+1)(sin2hello_html_m13c8defc.gif+2)=0

hello_html_m56d8f250.gif

6. Решить уравнение: (tgx-1)(2sin2x+3)=0

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3a5aaea0.gif

7. Решить уравнение: sin3x+0,5=0

hello_html_m55c00fc0.gif

8. Решить уравнение: 2cos2x=hello_html_m62632d12.gif

A) hello_html_m2e7fce1d.gif B) hello_html_m5842aeaf.gif C) hello_html_1b15ccd9.gif D) hello_html_d388424.gif E) hello_html_mfa0f0ff.gif

9. Решить уравнение: 3sin(5x-hello_html_m5a034e58.gif)+3=0

hello_html_m75d907a9.gif

10. Решить уравнение: 7cos(4x+hello_html_m224932c5.gif)=0

hello_html_36d8de29.gif



11. Решите уравнение: cos3xcosx – sin3xsinx = -1

hello_html_5db9b9e1.gif

12. Решить уравнение: sin22x=1/2

hello_html_1f6720f0.gif

13. Решить уравнение: hello_html_m533a42ad.gif

hello_html_m5de31204.gif

14. Решить уравнение: 5sin3x- 2cos3x=0

A) hello_html_m2e7fce1d.gif B) hello_html_m5842aeaf.gif C) hello_html_m1512f4d9.gif D) hello_html_d388424.gif E) hello_html_7c1a77c5.gif

15. Решите уравнение: cos2x+cos4x=2cos3x

hello_html_6aa412e1.gif

16. Найдите решение уравнения sinhello_html_59b33135.gif-12coshello_html_21c41205.gif=0 в интервале (17; 25).

А) 20 В) 18 С) 25 D)22 Е) нет решения.

17. Найдите наименьшее решение уравнения sinx =1/2 в интервале [500; 760]

А) 510 В) 600 С) 720 D) 730 Е) решений нет.

18. Решить уравнение: cos22xcos23x = 4cos2(x/2)

hello_html_m518d0ce9.gif

19. Решить уравнение: cos4x+sin4x=cos4x

hello_html_3edb065e.gif

20. Решить уравнение: sin3xcosx+cos3xsinx=1/4

hello_html_m7ed1cd50.gif



Ключ к тесту № 7

«Решение тригонометрических уравнений».


  1. А 11. А

  2. Е 12. D

  3. В 13. В

  4. С 14. Е

  5. D 15. С

  6. А 16. А

  7. В 17. А

  8. Е 18. В

  9. С 19. D

  10. D 20. D




ТЕМА: Арифметическая, геометрическая прогрессии.

ЦЕЛЬ: Повторить определения арифметической и геометрической прогрессии,формулы, соответствующие данным прогрессиям.

Справочный материал


Арифметическая прогрессия


* Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

а1; а2; а3; а4; ……

d = а2 – а1 – разность арифмет. прогресс.

ап = а1+(п-1)d – ф-ла п-го чл.ар.пр.

hello_html_3990010d.gif

Геометрическая прогрессия


* Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией.

в1; в2; в3; в4; ……

hello_html_m53d4ecad.gifq = hello_html_73515b2c.gif

вп1 ∙ qп-1

hello_html_22a04918.gif


Примеры решения задач:


1) Сумма а3 + а9 = 8. Найти сумму первых 11 членов этой прогрессии.

Решение:

а3 + а9 = 8 выразим через а1 = d: а1 + 2d + а1 + 8d = 8 hello_html_1b730b13.gif1+ 10d = 8

hello_html_6e75e6a6.gif

Ответ: 44.

2) Первый и четвертый члены арифметической прогрессии соответственно равны 1,2 и 1,8. Найти сумму первых шести ее членов.

Решение: а1 = 1,2 а4 = 1,8 Выразим а4 через а1 и d; а4 = а1 + 3d hello_html_1b730b13.gif

1,8 = а1 + 3d hello_html_1b730b13.gif 1,8 = 1,2 + 3d; 3d = 0,6; d = 0,2

hello_html_m77615339.gif

Ответ: 10,2

3) Вычислить: 7,5 + 9,8 + 12,1 + … + 53,5

Решение: Данная прогрессия является арифметической, т.к. hello_html_m644c949c.gif

Выясним номер члена 53,5: 53,5 = 7,5 + (п – 1) ∙ 2,3; п = 21

hello_html_60881e3e.gif

Ответ: 640,5


4) Определить, при каких х3 три числа а1; а2; а3; взятые в указанной последовательности, образуют арифметическую прогрессию, если а1=lg2 a2=lg(3х – 3)

a3 = lg (3х+9)

Решение: Если числа образуют арифметическую прогрессию, то выполняется следующее равенство:

lg (3х – 3) = hello_html_m4b965e64.giflg (3x – 3)2 = lg 2∙ (3x + 9),

по свойству log имеем: (3x – 3)2 = 2 ∙ (3x + 9), раскрываем скобки:

(3x)2 – 6 ∙ 3x + 9 = 2 ∙ 3x + 18; (3x)2 – 8 ∙ 3x – 9 = 0; (3x) = y

y2 – 8y – 9 = 0

по т. Виета:

у1 = 9; у2 = -1 =>

3х = 32 и 3х = - 1 (нет решения)

х = 2

Ответ: х = 2

5) Знаменатель геометрической прогрессии равен - 2, сумма её первых пяти членов равна 5,5. Найти пятый член этой прогрессии.

Решение.

S5 = 5.5 S5 = hello_html_m2b840de4.gif 5.5 = hello_html_27813af8.gif b1 = 0.5

q = - 2 b5 = b1q4; b5 = 0.5 ∙ (-2)4 = 8

b5 - ? Ответ: 8.


6) Найти третий член ∞ убывающей геометрической прогрессии, сумма которой = 1,6, а второй член равен - 0,5.

Решение:

S = 1.6; b2 = - 0.5. Перепишем, используя в1 и q:

hello_html_m2c03d2dd.gifhello_html_m31a31a00.gifhello_html_3558700b.gif(2 ур. разд. на 1 ур.) => q (1 – q) = - hello_html_m10bfdc7a.gif => q2q - hello_html_m10bfdc7a.gif = 0

b1q = - 0.5 b1q = - 0.5 q1 = hello_html_m71b461b8.gif (не подх)

q2 = -hello_html_18e13027.gif => b1 = 2

b3 = b1q2 => 2 ∙ hello_html_m13b6bf93.gif

Ответ: 0,125







ТЕСТ№8.

«ПРОГРЕССИИ»

1. Чему равна сумма всех двузначных натуральных чисел ?

А) 4905 В) 4856 С) 5122 D) 2896 E) 1288

2. Чему равна сумма всех трехзначных чисел, кратных 5?

А) 555 В) 98000 С) 98550 D) 99865 E) 125520

3. Чему равна периодическая дробь 0,58(3) ?

А) 8/9 В) 7/12 С) 5/7 D) 4/11 E) 3/17

4. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, для которой а1=6; а10=33.

А) 400 В) 236 С) 352 D) 405 E) 128

5. Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если а1=7, а8=42.

А) 126 В) 265 С) 198 D) 306 Е)117

6. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а11=23, а21=43.

А) 120 В) 432 С)326 D) 180 E) 228

7. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если а11=23, а21=43.

А) 100 В) 98 С) 53 D) 101 E) 76

8. Найдите сумму первых семи членов арифметической прогрессии, если а1=3, а2=7.

А) 102 В) 100 С) 101 D) 107 Е) 109

9. Для арифметической прогрессии разность d=30, S8=1800. Найдите первый член этой прогрессии.

А) 180 В) 20 С) 24 D) 102 Е)120

10.При каком значении х число 2х-3 определяет четвертый член арифметической прогрессии?

А) 10 В) 11 С) 13 D) 12 E) 15

11. В геометрической прогрессии b3=18, b5=162. Найдите b6.

А) ±486 В) 256 С) ±512 D) 170 E) ±321

12. Первый член геометрической прогрессии b1=4, а знаменатель геометрической прогрессии q=3. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

А) 312 B) 486 C) 658 D)484 E) 132

13. При каких значениях х три числа lg(5x – 4), lg3 и lg(5x+4) образуют арифметическую прогрессию?

А) 2 В) 0 С) 1 D) 5 E) 10

14. При каких значениях х три числа lg(2x – 1), hello_html_m7121505c.giflg31 и lg(2x + 1) образуют арифметическую прогрессию?

А) 2 В) 3 С) 1,5 D) 3,5 Е) 2,5

15. Найдите шестой член арифметической прогрессии: 18, 15, …

А) 5 В)3 С) 6 D) 12 E) 1

16. Найдите последний член арифметической прогрессии, если а1=10; d=4; n=11.

А) 50 В) 30 С)60 D) 120 E) 110

17. Первый член геометрической прогрессии b1=2, а знаменатель q=-3. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

А) 120 В) 216 С) 182 D) 221 Е) 122

18. Три положительных числа, первое из которых равно 4, составляет геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

А) 4 В)5 С) ½ D) ±2 Е)3

19. Найдите b5 геометрической прогрессии, если b4=25 и b6=16.

А) 18 В) 21 С)±22 D)±20 Е) 20,5

20. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b2=-18, b5=144.

А) ±2 В) 3 С) ±3 D) -2 E) ½

21. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, в которой а1=4, d=2.

А) 152 В) 236 С) 180 D) 206 Е) 192

22. Найдите сумму 75 членов последовательности с общим членом аn= 3n – 19.

A) 7125 B) 6938 C) 4998 D) 8566 E) 546

23. Геометрическая прогрессия состоит из 6 членов. Найдите её знаменатель, зная, что сумма трёх

первых членов в 8 раз меньше сумы трех последних членов.

А) ±2 В) 2 С)-2 D) ±3 E) 1/3

24. Решите уравнение: 2+5+8+…+х=155.

А) 20 В) 16 С) 98 D) 29 E) 45

25. Решите уравнение: 1-5-11-…-х= - 207.

А) 47 В) 23 С) 52 D) 69 E) 45

26. Найдите сумму: hello_html_m26e3c586.gif

А) -2 В) 1 С) ½ D) 1/3 E) 2/3

27. Произведение первых семи членов геометрической прогрессии делится на шестую степень первого члена той же прогрессии, тогда получится…

А) 22 член прогрессии, В) 18член С) 20член D) 31член Е) 2член

28. От суммы первых девяти членов арифметической прогрессии вычитаем восемь раз первый член той же прогрессии, то получим …

А) 35 член прогрессии В) 37член С) 42член D) 5член Е) 28член

29. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна 18, а разность между четвертым и третьим 162. Составить прогрессию. (найти b1 и q).

А) b1=9, q=1/3 B) b1=3, q=1/2 C) b1=9, q=3 D)b1=6, q=±1/3 E) b1=2, q=±3

30. Арифметическая прогрессия 6, 8, 10, … и геометрическая прогрессия 1, 2, 4, … имеют по 61 члену. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

А) 12 членов В) 5 членов С) 8 членов D) 4 члена Е) нет общих членов.


Ключ к тесту № 8 «Прогрессии»

  1. А 9 Е 17 Е 25 А

  2. С 10 В 18 Е 26 Е

  3. В 11 А 19 D 27 А

  4. D 12 D 20 D 28 В

  5. Е 13 С 21 С 29 С

  6. А 14 Е 22 А 30 D

  7. D 15 В 23 В

  8. С 16 А 24 D



ТЕМА: Производная функции, её применение.

ЦЕЛЬ: Повторить таблицу производных, правила вычисления производных, ур-ие касательной, обобщить материал, систематизировать, выработать прочные умения и навыки при решении упражнений по данной теме.


Тhello_html_6cc706ca.pngеоретический материал

























hello_html_2bf5d92b.png


















hello_html_m67f7cb4d.png














hello_html_45bbe7b6.png














Пример 1. Найти f(х), если f (х)=5х7.

Решение: (5х7)=5∙7∙х6=35х6.

Пример 2. Вычислить значение производной функции f (х)=hello_html_7fbca45c.gif при х=1.

Решение: f(х)= hello_html_4924ec1d.gif=

=hello_html_2aeb3ec0.gif

f(1)=hello_html_18e08076.gif

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (х)=hello_html_a6e48c2.gif

на отрезке [-1; 2].

Решение: Найдем значение функции на концах отрезка:

f (-1)=hello_html_75671746.gif


f (2)=hello_html_m63ca81c6.gif

Найдем производную функции и приравняем её к нулю, находим критические точки функции:

f(х)=hello_html_35aba8a3.gif

f(х)=0

3-2=0; х3=1; х=1. 1[-1; 2]

Найдем значения функции в точке х=1.

f (1) =hello_html_1a2b2180.gif

hello_html_1d44c9f2.gif

f (-1)=4;


f (-2)=hello_html_m1c850b07.gif; => fmax=hello_html_m1c850b07.gif; fmin=0

f (1)=0.


Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=hello_html_mfd25ce4.gif в точке его пересечения с осью ординат.

Решение: Так как касательная к графику функции проходит, т.е. касается его в точке пересечения с осью ординат, то х0=0,

f(x0)=hello_html_7a213c0a.gif => точка касания (0; -2).

Найдем производную и её значение в точке х0=0.

f(х)=(hello_html_mfd25ce4.gif)==hello_html_m7dc239cb.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Нhello_html_m7da94e0b.gifайдем f(0)=-2.

Составим уравнение касательной: у=f(x0)+ f0)(x-x0)


у=-2+(-2)(х-0)=-2-2х =-2х-2.

Ответ: у=-2х-2.


Пример 5: Число 86 представлено в виде суммы двух слагаемых так, что их произведение максимально. Найдите эти слагаемые.

Решение: Пусть заданное число представлено в виде суммы двух слагаемых х и у , то есть 86=х+у, х-первое число, у=(86-х) – второе число.

f(x)=х∙(86-х),

теперь найдем значение х, при котором функция достигает максимума.

f(x) = 86х-х2;

f (x)=(86х-х2) = 86-2х;

86-2х=0

х=43;

у= 86-43=43

Ответ: 43 и 43.


Пример 6:

В некоторых случаях при исследовании свойств функций, удобно пользоваться графиком функции. Например, при указании промежутков возрастания и убывания квадратичной функции, целесообразней найти вершину параболы (m=b/2a), а не определять эти промежутки через производную.


hello_html_m490bddd9.gif




hello_html_m6af5b889.gifhello_html_6009af27.gif




















hello_html_m17777c89.gifhello_html_3b65e182.gif



hello_html_m5eb986a7.gifhello_html_m1be881e6.gif










ТЕСТ№9

«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ»

1. Найти производную: у=3х2+5х+6.

А)3х2+1 В) 6х С) 3х+5 D) 6x+5 E) 6x+6

2. Найти производную функции: у= sin3x+ cos5x

A) 3sin3x+5cos5x B) 3cos3x-5sin5x C) 3cos3x+5sin5x D) 3sin3x-5cos5x E) 15sinxcosx

3. Дана функция f(x)=5x3. Найдите f (2).

A) 60 B) 30 C) 40 D) 17 E) 125

4. Дана функция f(x)=4sin3x. Найдите f ′(x).

А) 4sinx B) 4cos3x C) 12cos3x D) -12sin3x E) hello_html_1e4027a1.gif cos3x

5. Дана функция у=х7-4х5+2х-1. Найдите у′.

А)7х-20х+2х В) 7х6-20х4 С) х7-4х5+2х D) -1 Е)7х6-20х4+2

6. Найдите производную функции: у=х3+4х-5.

А) 3х2+4 В) 3х2+4х-1 С) х3+4х-1 D) 4x-5 E) 3x2-4

7. Дано: f(x)=(3-5x)5. Найти f ′(x).

А) 5(3-5х)4 В) 25(3-5х)4 С) -25(3-5х)4D) -25(5x-3)4E) 5(3-5x)5

8. Дано: у=cos2x; найти f ′(x).

A) 2cosx B) 2sinx C) sin2x D) –sin2x E) -2cos2x

9. Дано: f(x)=2coshello_html_30f837df.gif, найти f ′(x).

A) sinhello_html_30f837df.gif B) -sinhello_html_30f837df.gif C) cosx D) 2cos2x E) 2sinhello_html_30f837df.gif

10. Дано: f(x)=х3+hello_html_m521dd6a7.gif; найти f ′(x).

A) 3x2+hello_html_m791cdff6.gif B) 3x2+hello_html_m7121505c.gifx C) 3x2-2hello_html_45443a93.gif D) hello_html_7c2487c1.gif E) 3x2+hello_html_m3907a0ac.gif

11. Дано: f(x)=hello_html_m3907a0ac.giftgx, найти f ′(x).

A) hello_html_m3907a0ac.gifctgx B) tg2x C) hello_html_m32627c1a.gif D) - hello_html_5e8c8071.gif E) hello_html_m39d0e85e.gif

12. Дано: f(x)=tg3x , найти f ′(x).

A) hello_html_307b3172.gif B) hello_html_m5db4e660.gif C) hello_html_m6f1972c.gif D) - hello_html_247317da.gif E) 3ctg3x

13. Дано: f(x)=x-hello_html_5b037ed9.gif; найти f ′(hello_html_m62632d12.gif).

A) ½ B) -1/2 C) -3/2 D) 3/2 E) 2,5

14. Найти производную функции: у=hello_html_m7a244d1a.gif.

А) - hello_html_m74f32e37.gif В) -15х2+1 С) -hello_html_5ac04735.gifD) hello_html_40da92b3.gif E) hello_html_m5b74b101.gif

15. Найти производную функции: f(x)=hello_html_694ecd5b.gif

A) hello_html_m28e06ee1.gif B) - hello_html_m28e06ee1.gif C) - hello_html_m45c9e809.gif D) hello_html_m45c9e809.gif E) hello_html_m65b17c77.gif

16. Напишите уравнение касательной к графику функции у=cos4x – 1 в точке М0(hello_html_m6fb6f76d.gif.

А) у=2х-3 В) у=-4х+1 С) у=-2 D) у=-2х+4 Е) у=4х-1

17. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у(х)=2х2-9х+10 на отрезке

[0; 2].

А) уmax=0; ymin=-10 B) уmax=20; ymin=10 C) уmax=10; ymin= -10

D) уmax=2; ymin=0 E) уmax=10; ymin=0

18. Найти производную функции: f(x)=ln(sinx).

A) cosx B) hello_html_m1a1cf4f1.gif C) 2tgx D) ctgx E) -ln(cosx)

19. Найти производную функции: f(x)=hello_html_m5b0c4572.gif.

A) 3ех В) 3х2е3 С) ех3D) 3x2hello_html_bcbdc4d.gifE) 3hello_html_bcbdc4d.gif

20. Для функции у=х2-2х-8, определите:

а) нули функции, б) промежутки возрастания, в) промежутки убывания функции.

А) -2; 4 (1; ∞) (-∞; 1)

В) -2; 0; 4 (-∞; -1) (-1; ∞)

С) нет (-∞; 0) (0; ∞)

D) -4; 2 нет (-∞; ∞)

Е) нет (-∞; ∞) нет

21. Для функции У=hello_html_m1a7a1438.gif, определите:

а) нули функции, б)промежутки возрастания, в)промежутки убывания функции.

А) -4; 4 (1; ∞) (-∞; 1)

В) -4; 4 (-∞; 0), (0; ∞) нет

С) нет (-∞; 0) (0; ∞)

D) нет (-∞; ∞) нет

E) -4; 0; 4 (-∞; 0), (0; ∞) нет

22. Для функции У=hello_html_m6d5a8d88.gif определите:

а) нули функции, б)промежутки возрастания, в)промежутки убывания функции.

А) -4; 4 (1; ∞) (-∞; 1)

В) -4;0; 4 (-∞; 0), (0; ∞) нет

С) нет (-∞; 0) (0; ∞)

D) нет (-∞; ∞) нет

E) -4; 4 нет (-∞; 0), (0; ∞)

23. Для функции У= - hello_html_m5274e180.gif найдите:

а) все критические точки, б) точки min и точки max.

A) a) x1=-4, x2=0, x3=4 б) xmin=-4, xmax=4

B) a) x1=-4, x2=4 б) xmin=-4, xmax=4

C) a) x1=-2, x2=2 б) xmin=-2, xmax=2

D) a) x1=-2, x2=0, x3=2 б) xmin=-2, xmax=2

E) a) x1=-6, x2=6 б) xmin=-6, xmax=6

24. Материальная точка движется по прямой линии по закону S(t)=3t2+4cos(0,5t). Найдите скорость материальной точки в момент времени t=2c.

A) 10м/с В) 12м/с С) 6м/с D) 8,5м/с Е) 9,8м/с


25. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции у=cos2x в точке с абсциссой х=-hello_html_m576e20f6.gif.

А) hello_html_m2f245c67.gif В) hello_html_m49703859.gif С) 90 D) 45 E) hello_html_m576e20f6.gif


Ключ к тесту №9.

«Производная функции, её применение»


1Д 11Е 21В

2В 12С 22Е

3А 13Д 23С

4С 14А 24В

5Е 15В 25А

6А 16С

7С 17Е

8Д 18Д

9В 19Д

10А 20А



ТЕМА: Первообразная. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции.

ЦЕЛЬ: Повторить таблицу первообразных, формулы для нахождения площади криволинейной трапеции и формулу для нахождения объема тела.


Справочный материал.


Функция – f(x)

Первообразная – F(x)

hello_html_37d6ab05.gif

hello_html_m3e1d826e.gif

hello_html_2608c3b4.gif

hello_html_m2e3306da.gif

hello_html_3a838f27.gif

hello_html_438672a2.gif

hello_html_3634a028.gif

hello_html_4c5be9e7.gif

hello_html_2562ebb5.gif

hello_html_7b34479b.gif

hello_html_24d60da4.gif

hello_html_m137bedd5.gif

hello_html_6536467e.gif

hello_html_6c9b450a.gif

hello_html_m1051a7c1.gif

hello_html_m956a562.gif

hello_html_m1a1eb873.gif

hello_html_m5c349970.gif

hello_html_m33018d4e.gif

hello_html_20015f97.gif

hello_html_61aaf470.gif

hello_html_m3de71dd7.gif

hello_html_6ee93c88.gif

hello_html_78f0f936.gif

hello_html_3294147e.gif

hello_html_7b7fd9e0.gif

hello_html_m1f440290.gif

hello_html_m322f4a72.gif

hello_html_74606361.gif

hello_html_692296dd.gif

hello_html_m5b6a645e.gif

hello_html_m22fde0a6.gif

hello_html_2d33273a.gif

hello_html_7d546dbc.gif

hello_html_m7c37523e.gif

hello_html_6b0fce61.gif

hello_html_3a43785a.gif

hello_html_mef021d0.gif

hello_html_63606121.gif

hello_html_m66990c3b.gif

hello_html_16a86220.gif

hello_html_4b0f144b.gif

hello_html_m2eab7b0e.gif

hello_html_40dd7de3.gif

hello_html_3d3110e5.gif

hello_html_5ed6df35.gif

hello_html_m59fed05f.gif

hello_html_513e05b3.gif

hello_html_m4e90f0ce.gif

hello_html_4f38a19e.gif

hello_html_59fb9d2.gif

hello_html_4525efee.gif

hello_html_14046bf0.gif

hello_html_m22ea1c5e.gif

hello_html_m42d6d1b5.gif

hello_html_34465c42.gif


Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

hello_html_me464bbe.gif

Формула для вычисления объема тела: hello_html_6765ba74.gif.

Формула замены переменной: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m766473ca.gif


ТЕСТ №10

«Первообразная. Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».


1. Найти все первообразные функции: f(x)=4х2-3х

А) hello_html_5cf8912c.gif

В) hello_html_m2c3b8cfd.gif

С) hello_html_m23b649a3.gif

D)hello_html_fa1bd69.gif

Е) hello_html_m5e33b16b.gif

2. Найти все первообразные функции: f(x)=ex-sinx

A) F(x)=xex+cosx +C

B) F(x)= ex+ cosx +C

C) F(x)= ex- cosx +C

D) F(x)= ex+ cosx

E) F(x)= ex+C


3. Найти все первообразные функции: f(x)=(x-2)2

A) F(x)=(x-2)3+C

B) F(x)=2(x-2)2+C

C) F(x)=hello_html_m700790eb.gif

D) F(x)=hello_html_24fd3bbf.gif(x-2)2+C

E) F(x)=hello_html_m19e8bb17.gif(x-2)3

4. Найти первообразную для функции f(x)=2x+3, график которой проходит через

точку М(1;2):

А) F(x)=x2+3x-2

B) F(x)=x2+3x+2

C) F(x)=x2-2

D) F(x)=x2+3x

E) F(x)=2x2+3x-2

5. Найти первообразную для функции f(x)=sin2x, график которой проходит через

точку М(hello_html_m77fdfc92.gif;5):

A)hello_html_40e85ae7.gif

B)hello_html_316746e9.gif

C) hello_html_b1d057a.gif

D)hello_html_40e85ae7.gif

E)hello_html_m204c2f81.gif


6. Вычислить интеграл: hello_html_m23a6042b.gif

А)4 В)3/2 С)0 D) hello_html_m55a1993b.gif E)2,5

7. Вычислить интеграл: hello_html_4bebc9d1.gif

А)0,4 В)36 С)10 D) hello_html_m55a1993b.gif E)2,75

8. Вычислить интеграл: hello_html_57f0f6dd.gif

А)4 В)3 С)1 D) hello_html_3b031e5e.gif E)0

9 Вычислить интеграл: hello_html_4790417e.gif

А)hello_html_32dda1b2.gif В)hello_html_m9b24522.gif С)2hello_html_1caef8ee.gif D)1 E)0,5

10. Вычислить интеграл: hello_html_4cb5e633.gif

А)625/8 В)78 С)624 D) 0,hello_html_3b031e5e.gif E)0


11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х2, х=1, у=0.

А)4,2 В)3,6 С)1,5 D) hello_html_3b031e5e.gif E)1/3

12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х3, х=1.

А)1/4 В)6 С)1,55 D)hello_html_m38c4de60.gifE)1/3

13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2х-х2, у=0.

А)5/4 В)6/7 С)hello_html_36066030.gifD)hello_html_m38c4de60.gifE)1/5


14. Найти общий вид первообразных для функции: f(x)= 1+ ctg2x/2


hello_html_m30324cc2.gifhello_html_5eb00f4f.gifhello_html_m2604c658.gifhello_html_m6419ccee.gifhello_html_f10e979.gif

15. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = sin4x

hello_html_m250279da.gif

hello_html_m781adfee.gif

С) hello_html_m720bfa17.gif

hello_html_m32f43d3b.gif

hello_html_60866a52.gif



Ключ к тесту №10 «Первообразная. Интеграл».


1 D 6 D 11E

2 B 7 C 12 A

3 C 8 D 13 C

4 A 9 A 14 D

5 E 10 B 15 C


ТЕМА: Решение геометрических задач.

ЦЕЛЬ: Повторить способы решения геометрических задач, основные формулы планиметрии, стереометрии.

Справочный материал:


При решении геометрических задач полезно помнить некоторые формулы:

Пифагоровы тройки»


a

b

c

P

h

r

R

S

3

4

5

12

2.4

1

2.5

6

5

12

13

30

4.62

2

6.5

30

6

8

10

24

4.8

2

5

24

7

24

25

56

6.72

3

12.5

84

8

15

17

40

7.06

3

8.5

60

9

40

41

90

8.78

4

20.5

180

10

24

26

60

9.23

4

13

120

12

16

20

48

9.6

4

10

96

12

35

37

84

11.35

5

18.5

210

15

20

25

60

12

5

12.5

150



Медианы треугольника можно найти по формулам:


ma = hello_html_m3c43f8e2.gif; mb=hello_html_m4b3db95a.gif; mc=hello_html_mef97dc8.gif


Биссектрисы треугольника:

hello_html_m58ad0fbc.gifили hello_html_177a96d2.gif

Высоты треугольника:

hello_html_7ced4471.gif= hello_html_7dc27deb.gif ; hello_html_m3147128c.gif; hello_html_mfe68d2c.gif.

Сторона и площадь правильного n-угольника:


hello_html_m5825f6d7.gif; hello_html_m4c88d6ff.gif; hello_html_25640ce3.gif; hello_html_m396b2c25.gif .


Деление отрезка в данном отношении: hello_html_33bb892d.gif


Условие перпендикулярности двух прямых у=k1x+b1 и у=k2x+b2 : k1 k2 = -1

Расстояние между точкой и прямой: d=hello_html_m58c57643.gif, где (х1; у1) – координаты точки, Ах+Ву+С=0 - уравнение прямой.


Примеры решения задач:



Задача1: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5см и 12см. Найдите катеты треугольника.

Решение:

hello_html_5e85e4c3.gifА В треугольнике АВС угол С прямой, АD=5см,

DB=12см, Е и F-точки касания вписанной

Д окружности и соответствующих катетов.

F АD=AF; BD=BE, FC=EC по свойству

касательных к окружности, проведенной из

одной точки.

С В Пусть ЕС = х, тогда по теореме Пифагора для

E тр-ка АВС можно записать:

(5+х)2+(12+х)2=(5+12)2, х1=3; х2=-20 (не подходит)

  • АС=5+3 =8(см), ВС=12+3=15(см).

Ответ: 8 и 15.




Задача2: Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 68см.

Определите радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на

64 см..

Решение: Заметим, что средняя линия не является диаметром.

По свойству ср. линии трапеции : hello_html_mbb0be14.gif

По условию задачи АD-BC=64, получаем систему:

hello_html_49845b82.gifhello_html_2b241631.gifВ С BC+AD=136

AD-BC=64 => 2AD=200, AD=100(см),

BC=36(см).

По свойству описанного четырехугольника

AB+CD=BC+AD,

так как AB=CD, то AB=hello_html_m2629ebd1.gif, или АВ=68.

А E D Рассмотрим прямоугольный треугольник АВЕ (ВЕ AD),

так как трапеция равнобокая, то АЕ=hello_html_5dd0572c.gif=32, то по

теореме Пифагора для тр-ка АВЕ имеем: АВ2=АЕ2+ВЕ2, откуда ВЕ=hello_html_3f683cf8.gif зная, что ВЕ=2R, имеем: R=30.

Ответ: 30см.


Задача3: Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь которого равна 25см2, а углы при основании таковы, что tg=4.

Решение:


hello_html_19f91aae.gifhello_html_m168ab75b.gifВ В АВС ВDАС, АВ=ВС. По свойству равнобедр.

треугольника AD=DC. Обозначим ВD=h, AD=a, тогда

hello_html_m513b2f3f.giftg=hello_html_ab465a2.gif; SABC=hello_html_46f3aed2.gif Получим систему уравнений:

hello_html_ab465a2.gif=4,

a∙h=25. h=4a, 4a2=25, a=2,5 или а=-2,5

в АВС основание АС=2а=5см.

А С Ответ: 5см.

D



Задача4: В круговой сектор, дуга которого содержит 60, вписан круг. Найти отношение площади сектора к площади этого круга.

Решение:

О1А – радиус круга, проведенного в точку касания, поэтому

hello_html_3f6cc926.gifО О1АОА. Аналогично, О1ВОВ.

ОВО1=ОАО1(прямоугольные тр-ки с общей гипотенузой

и равными катетами О1А=О1В) О1ОА = hello_html_m4bf21f14.gifАОВ, т.е.

О1ОА=30, отсюда О1А=ОО1sin30= 0,5∙ОО1;OC=OO1+O1C

Если обозначить радиус круга r, а радиус кругового сектора

А О1 В R, то R=3r. Площадь круга S=R2, площадь сектора

S=hello_html_m223c6e28.gifR2=hello_html_6cdbcb4f.gif(3r)2=hello_html_297cd90b.gifr2.

С hello_html_404d94c7.gif Ответ: 1,5.



Задача5: Объём шара = 12. Найти объём другого шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.


Решение: Все шары подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а объёмов – кубу коэффициента подобия.

S/S=k2=9. Отсюда k=3, V/V=k3=27, получаем V=27∙V=27∙12=324.

Ответ: 324.


Задача6: В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен 32/3.

Решение: Изобразим осевое сечение конуса.

Сечение шара на этом рисунке является

hello_html_70170ea.gifвписанным кругом, r= hello_html_m58c43858.gif, где а- сторона тр-ка.

hello_html_43234997.gifРадиус основания конуса R=hello_html_300e42ca.gif.

а а Высота конуса H=hello_html_4755f7f2.gif. Объём конуса:

hello_html_1a731146.gifr V=hello_html_m51ce4be7.gifHR2=hello_html_mf4f76c8.gif,

R Объём шара:V=hello_html_2066f819.gif.

Так как hello_html_60ed8203.gif, то Vконуса=hello_html_8d85079.gif

hello_html_m7ff86c05.gif, Vк= 2,25∙Vш=2,25∙hello_html_m2dfc145.gif=24.

Ответ: 24ед3.


ТЕСТ№11.

«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ»


1. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 13см, 14см, 15см.

А) 104см2 В) 98см2 С)42см2D)96см2E) 84см2

2. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 17см, 65см, 80см.

А) 8см В) 2,7см С) 10см D) 9,8см Е) 7,2см

3. Найдите площадь треугольника, если ВС=7см, АС=14см, С=30.

А) 48см2 В) 35см2 С) 84,5см2D) 24,5см2 Е) 25см2

4. Найдите площадь треугольника, если ВС=3см, АВ=18√2см, В=45.

А) 46см2 В) 30√2 см2 С) 84см2D) 27см2 Е) 26см2

5. Стороны треугольника равны 0,8см, 1,6см, 2см. Найдите стороны подобного ему треугольника,

периметр которого равен 5,5см.

А) 1; 2; 2,5 В)2; 2; 1,5 С) 1,2; 2,2; 2,1 D) 0,5; 2; 3 Е) 4,4; 0,1; 1

6. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами

равен 80.

А) 60; 40 В) 30; 70 С) 50;50 D) 10; 90 Е) 20;80

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20см. Найдите его катеты, если один из них

на 4см больше другого.

А) 10см; 14см В) 8см; 12см С) 12см; 16см D) 11cм; 15см Е) 9см; 13см.

8. Чему равен угол треугольника со сторонами 5см, 12см, 13см, противолежащий стороне 13см?

А) 45 В) 60 С) 30 D) 90 E) 180

9. Дан треугольник АВС, у которого АВ=4см, С=30, В=45.Найдите сторону АС.

А) 4см В) 5,2см С) 3,8см D) 3√3см Е) 4√2см.

10. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5см и 12см. Найдите длину медианы, проведенной к

гипотенузе.

А) 6,5см В) 13см С) 6см D) 8,5см Е) 7см

11. Вычислите периметр ромба, длина меньшей диагонали которого 8см, а один из углов равен 60.

А) 32см В) 16см С) 24см D) 48см Е) 28см

12. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7м, боковая сторона равна 1м, угол

между ними 60. Найдите меньшее основание.

А) 1,5 В) 1,7 С) 1,9 D) 2 E)2,5

13. Периметр прямоугольника равен 26см, а его площадь равна 42см2. Найдите стороны прямоугольника.

А) 13 и 4 В) 6 и 7 С) 21 и 2 D) 20 и 22 Е) 20 и 6

14. Диагональ квадрата равна 2√2. Найдите площадь квадрата.

А) 3√6 В) 4 С) 4√2 D) 3√2 E) 6√2

15. Вычислите длину окружности, если радиус равен 10см.

А) 10 см2 В) 40 см2 С) 15см2D) 31,4 см2E) 20 см2

16. Найдите уравнение окружности с центром в точке А(3; 1) и проходящей через точку В(6; 5).

А) (х-3)2+(у-1)2=25, В) х22=15, С) (х-6)2+(у-5)2=25, D) (х-1)2+(у-3)2=25, Е) (х+3)2+(у+1)2=25.

17. Стороны треугольника 8см, 15см, 17см. Найдите радиус описанной окружности.

А) 6,5см В) 13см С) 6см D) 8,5см Е) 7см

18. hello_html_m3e5dcac4.gif, а угол между ними равен 135. Вычислите скалярное произведение векторов.

А) 2,5 В) 2√2 С) -3√2 D) -2√3 E) 6

19. Сумма всех углов правильного многоугольника равна 1080. Найдите число сторон многоугольника.

А) 5 В) 6 С) 12 D) 4 E) 8

20. В прямоугольном треугольнике катеты равны √3 и √2 соответственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла.

А) hello_html_m67322e5e.gif В) hello_html_16627a63.gif С) hello_html_39e24087.gifD) hello_html_m63629d4d.gif Е) 3 и 2


21. Три линейных размера прямоугольного параллелепипеда равны 2см, 3см, 6см.

Найдите длину диагонали.

А) 7см В) 4см С) 10см D) 8см Е) 5,5см

22. Площадь основания правильной четырехугольной призмы 144см2, а высота 14см.

Определите объём призмы.

А) 2000см3 В) 1986см3 С) 2016см3D) 158см3 Е) 1580см3

23. Линия пересечения двух сфер есть:

А) парабола В) эллипс С) окружность D) окружность или эллипс Е) любая из перечисленных линий

24. Высота конуса равна радиусу основания. Объём конуса равен 9 см3. Найдите образующую конуса.

А) 3см В) 4,2см С) 5√2см D) 3√2см E) 3,5см

25. Площадь поверхности сферы 324 м2. Найдите радиус сферы.

А) 13см В) 12см С) 10см D) 8см Е) 9см.

26. Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Каждое боковое ребро 13см. Определите высоту пирамиды.

А) 10см В) 12см С) 9см D) 5см Е) 14см.

27. В пирамиде плоскость сечения, параллельная основанию, делит высоту в отношении 1:1. Найдите площадь основания, если площадь сечения равна 2м2.

А) 10см2 В) 8см2 С)4см2D)9см2E) 18см2

28. Из центра круга, описанного около прямоугольного треугольника с острым углом в 30, восстановлен к его плоскости перпендикуляр, длина которого 6см. Конец перпендикуляра, лежащий вне плоскости треугольника, удален от большего катета на 10см. Найти гипотенузу треугольника.

А) 32 см В) 12см С) 29см D) 15см Е) 24см.

29. Два равнобедренных треугольника АВС и АСД имеют общее основание АС, двугранный угол при АС равен 60, а угол, образованный стороной ВС с плоскостью АСД равен 45. Найдите площадь треугольника АВС, если ВС=6см.

А) 46см2 В) 12√2 см2 С) 8,4см2D) 25см2 Е) 26см2

30. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80см, сторона основания 120см. Вычислить площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.

А) 2080см3 В) 3986см3 С) 2016см3D) 4500см3 Е) 2580см3


Ключ к тесту №11 «Геометрические задачи».


  1. Е 11. A 21. A

  2. Е 12. B 22. C

  3. D 13. B 23. C

  4. D 14.B 24. D

  5. A 15.E 25. E

  6. C 16. A 26. B

  7. C 17. D 27. B

  8. D 18. C 28. A

  9. E 19. E 29. B

  10. A 20. C 30. D






ТЕМА: Решение текстовых задач.

ЦЕЛЬ: Повторить, закрепить знания, умения, навыки решения текстовых задач:

на движение, на «работу», на концентрацию, на проценты и т.д.



Умение решать задачи зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Все текстовые задачи можно условно разбить на следующие типы задач:

  1. задачи «на движение»

  2. задачи «на совместную работу»

  3. задачи «на планирование»

  4. задачи «на зависимость между компонентами»

  5. задачи «на проценты»

  6. задачи «на смеси»

  7. задачи «на разбавление»

  8. задачи «на оптимальное решение» (нахождение экстремума функции)

  9. другие виды задач.


Рассмотрим решение некоторых из них:


Задача: Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75м.



Решение:

1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир,

40 км/ч=hello_html_m4f843920.gifм/с.

2. Встречный поезд за 3 с прошел 3х м, а поезд с пассажиром - hello_html_m4924f804.gifм.

3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно, hello_html_2fd5ee6a.gif+3х=75,

х=13hello_html_2f272d4d.gifм/с=hello_html_6ab8dcb6.gifкм/ч.

Ответ: 50км/ч.


Задача: По окружности длиной 60м равномерно и в одном направлении движутся 2 точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее другой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек.

Решение:

  1. Пусть первая точка проходит полный оборот за х с, а вторая точка – за у с. Тогда

hello_html_m7543b7b0.gif

  1. Будем полагать, что х<y, тогда из условия задачи следует уравнение у-х=5.




  1. Так как точки встречаются каждую минуту и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг 60м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая точка, т.е. hello_html_m165631a1.gif

  2. Отсюда имеем второе уравнение: hello_html_78c4af7c.gif

  3. Сhello_html_m31a31a00.gifоставим систему и решим её:

уhello_html_m31a31a00.gifhello_html_m31a31a00.gif-х=5, у=х+5, х=15,

hello_html_78c4af7c.gif; hello_html_4d9a707e.gif; у=20.


Тогда hello_html_m7491c2a9.gif

Ответ: 4м/с; 3м/с.

Задача: Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна вторая бригада, производительность труда которой более высокая, чем первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение:

  1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй бригадой за у дней.

  2. Принимая всю работу за 1, имеем:

hello_html_6fe4202.gif- производительность первой бригады,

hello_html_m7063c5fe.gif- производительность второй бригады,

hello_html_m1bb31959.gif- часть работы, которую могла выполнить первая бригада за 18 дней,

hello_html_45438619.gif- часть работы, которую могла выполнить вторая бригада за 18 дней.

  1. Составляем уравнения:

Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить всю работу за 18 дней, то на основании этого имеем:

hello_html_2026bbae.gif

  1. Далее из условия задачи следует, что первая бригада выполнила 2/3 всей работы, следовательно, она затратила на это hello_html_m2c5785af.gif дней, а вторая бригада выполнила hello_html_m51ce4be7.gifвсей работы, следовательно, она затратила на это hello_html_m63f7b970.gif дней.

  2. Так как всего было затрачено 40 дней, то можно составить второе уравнение:

hello_html_m1d9e821c.gif

  1. Составим систему уравнений и решим её:

hello_html_917d3cc.gifhello_html_2026bbae.gif

hello_html_m1d9e821c.gifИмеем: х1=24, х2=45, у1=72, у2=30.

  1. Так как производительность второй бригады была выше, чем первой, то условию задачи удовлетворяют х=45 и у=30.

Ответ: 45 дней, 30 дней.

Задача: Свежие грибы содержат по массе 90%, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: Найдем, сколько % по массе абсолютно сухих грибов в 22 кг сырых.

100% - 90% = 10%. Найдем, сколько кг абсолютно сухих грибов в 22 кг сырых.

(22*10):100 = 2,2 кг; на самом деле грибы недосушенные будут содержать 12% воды. Тогда 100% - 12% = 88% что составляет 2,2 кг; (2,2 *100):88 = 2,5 кг.

Ответ: из 22 кг сырых грибов можно получить 2,5кг сухих, содержащих 12% воды.

Задача: Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

Решение: Найдем, сколько тонн содержит руда химически чистого металла.

100% - 40% = 60%, найдем 60% от 24 тонн. (24*60):100 = 14,4 т.

В выплавленном металле с 4% примесей, чистый металл составляет 100%-4%=96%.

Что составляет 14,4 т. Найдем число по величине его процента: (14,4*100):96=15(т)

Ответ: 15 тонн.

Задача: Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из них. Найти эти числа.

Решение: Пусть первое число х, второе у; (х>у); среднее пропорциональное hello_html_m1aa04c84.gif,

сhello_html_m6d91a1c3.gifhello_html_m6d91a1c3.gifhello_html_m6d91a1c3.gifреднее арифметическое hello_html_m54710e6c.gif.

hello_html_m1aa04c84.gif- у =12 hello_html_m1aa04c84.gif= 12 +у (hello_html_m1aa04c84.gif)2=(12+у)2

Система уравнений:

hello_html_m54710e6c.gif+ 24 = х; х+у+48=2х 48=х-у


(48+у)*у=144+24у+у2

48у+у2=144+24у+у2

48у-24у=144

24у=144

У=6

Х=48+6=54.

Ответ: 54 и 6.

hello_html_m546dc9c3.png































hello_html_m546dc9c3.png





Некоторые задачи на «смеси, сплавы, растворы» удобно решать с помощью формулы:

hello_html_m7576d808.gif






масса

1 смеси

массовая доля чистого вещества в

1 смеси

масса

2 смеси

массовая доля чистого вещества во

2 смеси

массовая доля чистого вещества в общей смеси

hello_html_m7576d808.gifрешение


m1

p1

m2

p2

p


№1. Смешали некоторое количество 11% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. Ответ:15%

hello_html_53230574.gif

11%

hello_html_m1da820c8.gif

19%

p%

hello_html_53230574.gif=hello_html_m1da820c8.gif, значит p=hello_html_d2144e2.gif

hello_html_706676e8.gif

№2. Сколько килограммов 20%-ного раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-ного раствора, чтобы получить 12%-ный раствор соли? Ответ:0,25 кг

hello_html_53230574.gif

20%

1

10%

12%

hello_html_1c8c5205.gif;

hello_html_m458b3696.gifкг

№3. Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор кислоты? Ответ:42г

hello_html_53230574.gif

75%

30

15%

50%

hello_html_67574598.gif;

hello_html_16072c74.gif

№4. Сколько воды нужно добавить к 0,5 л раствора спирта в воде, чтобы объемное содержание спирта в растворе уменьшилось с 60% до 40%? Ответ:0,25л

0,5

60%

hello_html_m1da820c8.gif

0%

40%

hello_html_488bda78.gif;

hello_html_m1da820c8.gif=0,25л

№5. Слиток сплава меди и цинка массой 36кг содержал 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди? Ответ:13,5л

36

45%

hello_html_m1da820c8.gif

100%

60%

hello_html_2c650a23.gif;

hello_html_m1da820c8.gif=13,5л



Тест №12

«Текстовые задачи»

1. Теплоход должен был пройти 72 км с определенной скоростью. Фактически первую половину пути он шел со скоростью на 3 км/ч меньше и вторую половину пути со скоростью на 3 км/ч больше, чем полагалось. На весь путь теплоход потратил 5 часов. На сколько минут опоздал теплоход?

A)12 B)15 C)20 D)25 Е)30

2. Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей. Изготовляя ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на день раньше срока. Сколько дней затратила бригада на выполнение задания?

A)10 B)5 C)9 D)18 Е)36

3. Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 30 км. Начав бег на 3 мин позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, больше предполагавшейся на 1км/ч и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.

A)30 B)25 C)18 D)20 Е)21

4. Клумба, имеющая форму прямоугольника со сторонами 2м и 4м, окружена дорожкой, имеющей везде одинаковую ширину. Определите ширину этой дорожки, если её площадь в девять раз больше площади клумбы.

A)1 B)2 C)3 D)4 Е)5

5. Скорость вертолета на 85км/ч больше скорости автомобиля, а отношение их скоростей равно 35:18 Определите скорости вертолета и автомобиля.

A)90 и 75 B)85 и 170 C)95 и 185 D)100 и 185 Е)150 и 65

6. Моторная лодка прошла вниз по течению реки 14 км, а затем 9км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5км/ч

A)1 B)3 C)5 D)2 Е)4

7. Одно натуральное число больше другого на 3, а их произведение равно 180. Найдите эти натуральные числа.

A)5 и 8 B)12 и 9 C)15 и 12 D)19 и 16 Е)21 и 18

8. Одно натуральное число меньше другого на 4, а их произведение равно 192. Найдите эти числа.

A)16 и 12 B)18 и 14 C)20 и 16 D)10 и 6 Е)12 и 8

9. Тракторная бригада вспахала за день 24 га земли, что составило 15% всего поля. Какова площадь поля?

A)120га B)125га C)150га D)158га Е)160га

10. В середине года 1 кг масла стоил 80 тенге, через год оно уже стоило 360 тенге. На сколько процентов удорожало масло?

A)180% B)100% C)250% D)300% Е)350%

11. Ученики класса поровну собрали 172 тенге 73 тиына на общие мероприятия. Сколько учеников было в классе?

A)15 B)20 C)23 D)25 Е)30

12. После того как рабочий истратил 11% зарплаты, у него осталось 7120тенге. Какую зарплату получил рабочий?

A)10000тг B)10500тг C)9000тг D)8000тг Е)8200тг

13. Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 25%. На сколько % снизили первоначальную цену товара?

A)40% B)45% C)50% D)35% Е)25%

14. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 15 л морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

A)15л B)20л C)25л D)30л Е)35л

15. Велосипедисту надо было проехать 15 км. Выехав на 15 минут позже назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью на 2 км/ч больше, чем предполагал, и прибыл своевременно на место. С какой скоростью ехал велосипедист?

A)15км/ч B)20км/ч C)12км/ч D)13км/ч Е)25км/ч

16. От листа жести, имеющего форму квадрата, отрезают полосу шириной 3 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равной 10см2. Определите первоначальные размеры листа жести.

A)5см B)6см C)7см D)8см Е)9см

17. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифры этого числа переставить, то получится число, больше искомого на 18. Найдите это число.

A)18 B)30 C)45 D)57 Е)55

18. Высота прямоугольника составляет 75% его основания. Найти периметр этого прямоугольника, зная, что площадь его равна 48м2.

A)23 B)25 C)28 D)29 Е)30

19. Реактивный самолет за 0,5 часа пролетел на 2оо км больше, чем моторный самолет пролетел за 1 час. Найти скорость каждого самолета, если скорость реактивного самолета в 3 раза больше скорости моторного.

A)1200км/ч B)1500км/ч C)2000км/ч D)2200км/ч Е)2500км/ч

20. На птицефабрике было гусей в 2 раза больше, чем уток. Через некоторое время число гусей увеличилось на 20%, число уток – на 30%. При этом оказалось, что число гусей и уток увеличилось всего на 8400 голов. Узнайте, сколько стало на ферме гусей и уток.

A)20500гус; B)28800гус; C)34700гус; D)18400гус; Е)10000гус;

13000ут. 15600ут. 26700ут. 10300ут. 8400ут.

21. Один трактор может вспахать поле на 1 день скорее, чем второй. Оба трактора совместно работали 2 дня, а затем оставшуюся часть поля второй трактор вспахал за 0,5 дня. За сколько дней может вспахать поле каждый трактор, работая отдельно?

A)1день B)2дня C)3дня D)4дня Е)5дней

22. В четырех ящиках поровну лежит чай. Когда из каждого ящика вынули по 9 кг, то во всех вместе осталось столько же, сколько было в каждом. Сколько чаю было в каждом ящике?

A)12кг B)13кг C)14кг D)15кг Е)16кг

23. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна из сторон которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200м2.

A)120м B)125м C)130м D)140м Е)145м

24. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Когда ширину прямоугольника увеличили на 3м, то его площадь увеличилась на 24м2. Определите длину и ширину прямоугольника.

A)7м B)8м C)9м D)10м Е)11м

25. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 часов. Одна первая труба заполняет его на 5 часов скорее, чем одна вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

A)15 и 10 B)10 и 5 C)20 и 15 D)25 и 20 Е)30 и 25

26. Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, находящийся в 10 км от А, а затем возвращается в А. Если собственная скорость лодки 3км/ч, то путь из А в В занимает на 2часа 30мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 часа?

A)2км/ч B)3км/ч C)4км/ч D)5км/ч Е)6км/ч

27. Первое число больше второго на 4. Разность между квадратами первого и второго чисел равна 56. Найдите эти числа.

A)5 и 1 B)8 и 4 C)10 и 6 D)9 и 5 Е)20 и 16

28. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%.

A)100кг B)110кг C)120кг D)130кг Е)140кг

29. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй – 32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди?

A)1кг, 3кг. B)2кг, 4кг. C)3кг, 5кг. D)4кг, 6кг. Е)5кг, 7кг.

30. Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?

A)800г B)700г C)750г D)850г Е)900г

Ключ к тесту №12 «Текстовые задачи»


1A 11C 21E

2C 12D 22A

3B 13A 23D

4C 14E 24B

5A 15C 25A

6D 16A 26C

7C 17D 27D

8A 18D 28C

9E 19A 29C

10E 20B 30Ahello_html_m4d466bb7.png

73


Название документа Программа курса по выбору по алгебре и началам анализа.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Программа курса по выбору по алгебре и началам анализа

«По ступенькам успеха – к вершинам знаний»

для учащихся 11 класса

2 часа в неделю, всего 68 часов


Арифметические действия…………………………………………………2 ч

  • Действия с обыкновенными и десятичными дробями

  • Формула перевода периодической дроби в обыкновенную

  • Действия с периодическими дробями

  • Степень с натуральным и целым показателем

  • Вычисление степени числа и числа, обратного ему

  • Свойства арифметического квадратного корня

Упрощение выражений………………………………………………………4 ч

  • Раскрытие скобок, заключение в скобки, приведение подобных слагаемых

  • Формулы сокращенного умножения

  • Разложение на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения

  • Сокращение алгебраических дробей, действия с алгебраическими дробями

  • Свойства корня n-ой степени

  • Преобразование рациональных выражений

  • Формулы сложных радикалов.

Решение уравнений и систем уравнений………………………………….6 ч

  • Линейные уравнения, квадратные, рациональные, иррациональные, уравнения с модулем

  • системы уравнений

  • уравнения и системы уравнений с параметрами.

Решение показательных и логарифмических уравнений……………..8 ч

  • Показательная и логарифмическая функция. Область определения.

  • Виды и способы решения показательных и логарифмических уравнений.

Решение неравенств и их систем…………………………………………...6 ч

  • Линейные неравенства

  • Квадратичные неравенства

  • Рациональные неравенства

  • Неравенства с модулем

  • Показательные, логарифмические неравенства, способы их решения.

Упрощение тригонометрических выражений……………………………6 ч

  • Значения тригонометрических функций.

  • Свойства тригонометрических функций.

  • Формулы приведения.

  • Основные тригонометрические тождества.

  • Формулы сложения, формулы двойного угла, формулы преобразования суммы в произведение, формулы преобразования произведения в сумму.

  • Обратные тригонометрические функции.




Решение тригонометрических уравнений………………………………..6 ч

  • Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Частные случаи решения тригонометрических уравнений.

  • Виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Прогрессии……………………………………………………………………4ч

  • Арифметическая и геометрическая прогрессии.

  • Формулы суммы n-первых членов.

  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

  • Задачи на свойства арифметической и геометрической прогрессии.


Производная и её применение…………………………………………. 6 ч

  • Правила дифференцирования,

  • Таблица производных,

  • Уравнение касательной, физический и геометрический смысл производной.

  • Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций, точек экстремума функций.

Первообразная. Интеграл………………………………………………..6 ч

  • Таблица первообразных.

  • Правила вычисления первообразных.

  • Определенный интеграл.

  • Площадь криволинейной трапеции.

  • Формула объема тела.

Решение задач по геометрии……………………………………………10 часов

  • Формулы планиметрии и стереометрии.

  • Формулы для нахождения медиан, биссектрис, высот треугольника.

  • Деление отрезка в данном отношении.

  • Решение треугольников. Теоремы синусов, косинусов

  • Решение стереометрических задач.

Решение текстовых задач……………………………………………….. 4 ч

  • Виды текстовых задач: задачи на «движение», на «работу», на «концентрацию», на «смеси», на «проценты»; способы их решения.

  • Решение текстовых задач из экзаменационных сборников.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Курс   предназначен  для повышения эффективности подготовки учащихся 10 - 11 классов к итоговой аттестации по математике за курс полной средней школы, к успешной сдаче ЕНТ  и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Курс «По ступенькам успеха –  к  вершинам знаний»  представлен в виде практикума, который позволит систематизировать и восполнить пробелы в знаниях учащихся в решении задач по основным разделам математики. Данный курс  содержит блочный материал по отдельным темам, повторение которых рассчитано на 2-3 часа, а также тематические  тесты, составленные  на основе сборников ЕНТ начиная с 2003 года, предназначенные для проверки знаний по теме и выявлению уровня усвоения знаний учащихся. Курс состоит из 12 разделов и содержит систему понятий из области: преобразование числовых и алгебраических выражений, уравнений и неравенств, свойств функций и их графиков, отдельных разделов математического анализа, геометрических задач, текстовых задач. Каждый из разделов состоит из отдельных пунктов, в которых разбираются типовые задачи и задачи более высокого уровня сложности, затем даются тестовые задания для самостоятельного решения.

   Материалы данного курса могут быть использованы учащимися старших классов.

Автор
Дата добавления 04.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров803
Номер материала 421446
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх