Презентация на тему «Системы счисления»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №18»

Грунтов Ю. Г.

 Магадан 2014

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………….........................

1.Позиционные системы счисления……………………………………………………………………………

А) Двоичная система счисления…………………………………………………………………………………

Б) Десятичная система счисления……………………………………………………………………………..

В) Восьмеричная система счисления…………………………………………………………………………

Г) Двенадцатеричная система счисления………………………………………………………………….

2.Смешанные системы счисления………………………………………………………………………………

3.Системы счисления разных народов……………………………………………………………………….

3.1 Система счисления Штерна–Броко………………………………………………………………………..

3.2 Древнеегипетская система счисления………………………………………………………………….

3.3 Алфавитные системы счисления…………………………………………………………………………..

3.4  Вавилонская  система счисления…………………………………………………………………………

3.5  Римская система счисления………………………………………………………………………………….

3.6 Система счисления майя………………………………………………………………………………………..

3.7 Кипу инков………………………………………………………………………………………………………………

3.8 Славянская система счисления……………………………………………………………………………..

Заключение………………………………………………………………………………………………………………….

Литература…………………………………………………………………….…………………………………………….

Введение:

Что же такое система счисления? Сразу бы вы не ответили, но я вам помогу и расскажу что, же это такое. Ну так вот слушайте!

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

·         Система счисления:

·         даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

·         даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

·         отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

·         Системы счисления подразделяются на: позиционные, непозиционные и смешанные.

Объект исследования:

многообразие систем счисления, необходимость их возникновения и место в истории развития человечества. Действия над числами в различных системах счисления.

Предмет исследования:

Образование чисел в разных системах счисления и их взамосвязь.

Цели и задачи:

Ознакомить с понятием «система счисления»;

Познакомиться с  историей возникновения нумераций и систем счисления;

Выяснить способ образования и запись чисел в разных системах счисления;

Рассмотреть о разнообразии систем счисления;

Проанализировать способ выполнения действий с числами в разных системах счисления;

Показать взаимосвязь между различными системами счисления.

Гипотеза:

Многообразие систем счисления связано с поиском наиболее удобных и простых способов счета и обработки информации людьми в разных исторических интервалах и жизненных условиях.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

3 — троичная;

8 — восьмеричная;

10 — десятичная (используется повсеместно);

12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);

13 — тринадцатеричная;

16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);

60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты) употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

Двоичная система счисления: В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Десятичная система счисления: Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В данной системе счисления 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Пример: 33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3=3*102 +3*101+3*100

Восьмеричная система счисления: В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). 3338 =3*82 +3*81+3*80

Двенадцатеричная система счисления : Позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Предполагается, что такая система возникала исходя из количества фаланг пальцев на руке при подсчёте их большим пальцем той же руки. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты (текущее состояние счёта засекалось большим пальцем), вместо загибания пальцев, принятого в европейской цивилизации. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время. Двенадцатые доли часто встречались и в европейских системах мер. У римлян стандартной дробью была унция (1/12). 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута и т. д. Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVII веке её сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Вольтер в «Истории Карла XII» утверждает, что этот монарх готовил указ о переходе на двенадцатеричную систему. Во времена Великой французской революции была учреждена «Революционная комиссия по весам и мерам», которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиями Лагранжа и других противников реформы дело удалось свернуть. В 1944 году было организовано «Двенадцатеричное общество Америки» (The Duodecimal Society of America), объединившее активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако, главным аргументом против этого всегда служили огромные затраты и неизбежная путаница при переходе. Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия:

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением - ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел, и каждое число  в ней представляется как линейная комбинация:

где на коэффициенты, называемые, как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа  в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса, начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида  как функции от  смешанной системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда  для некоторого, смешанная система счисления совпадает с показательной - ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней,  часов,  минут,  секунд» соответствует значению  секунд.

Система счисления Штерна–Броко

Система счисления Штерна–Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко. Дерево Штерна-Броко — это изящная конструкция, позволяющая построить множество всех неотрицательных дробей. Она была независимо открыта немецким математиком Морицем Штерном в 1858 г. и французским часовщиком Ахиллом Броко в 1861 г. Впрочем, по некоторым данным, эта конструкция была открыта ещё древнегреческим учёным Эратосфеном.

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи. В Древнем Египте числа первого десятка записывали соответствующим количеством палочек. А "десять" обозначалось скобочкой в виде подковы. Чтобы написать 15, надо было ставить 5 палочек и 1 подкову. И так до сотни. Для сотни придуман был крючок, для тысячи - значок вроде цветка. Десять тысяч обозначали рисунком пальца, сто тысяч - лягушкой, а миллион - знакомой нам фигуркой с поднятыми руками.

Не очень-то удобно было записывать таким способом большие числа и совсем неудобно было их складывать, вычитать, умножать, делить. Очень большая возня была с этими значками-иероглифами!

Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы, евреи и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

Когда возникла письменность, многие народы начали для обозначения чисел использовать алфавит. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. Чтобы различать буквы и цифры, над числами ставился особый значок – титло ( ~ ). Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч ¹, который ставился впереди символа, обозначавшего число. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Вавилонская система счисления

Гораздо лучше придумали запись чисел в древнем Вавилоне. Она очень похожа на современную, только мы считаем десятками, сотнями, тысячами и так далее, а жители древнего Вавилона объединяли единицы по 60, по 3600 (60x60=3600), а если надо, по 60x60x60=216000 и так далее. Писали в древнем Вавилоне на мягких глиняных табличках острыми палочками, а потом таблички обжигали, и они становились твердыми и прочными. При раскопках были найдены целые библиотеки и архивы из таких табличек.

Палочкой на глине трудно изображать сложные фигуры, поэтому вавилонская письменность состояла, в основном, из различных комбинаций клинышков (ее так и называют - клинопись). Единицы изображались узкими вертикальными клинышками, а десятки - широкими горизонтальными, все числа до 60 "собирали" из таких клинышков. Когда надо было записать число, большее, чем 60, то открывали следующий разряд --в него писали, сколько раз число 60 помещается в записываемом числе, а то, что оставалось (то есть остаток от деления на 60), записывали, как и раньше, в первый разряд. Между разрядами оставляли пробелы, чтобы цифры из разных разрядов не смешивались.

Следы этой нумерации остались в исчислении времени, измерении градусной меры углов.

Римская система счисления

Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д. Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других.

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Вот посмотрите римскую нумерацию: I - один, II - два, III - три. На руке человека пять пальцев. Чтобы не писать пять палочек, стали изображать руку. Однако рисунок руки делали очень простым. Вместо того чтобы рисовать всю руку, ее изображали знаком V, и этот значок стал обозначать цифру 5. Потом к пяти прибавляли один и получали шесть. Вот так: шесть - VI, семь - VII. А сколько записано здесь: VIII? Правильно, восемь. Ну а как короче записать четыре? Четыре палочки долго пересчитывать, поэтому от пяти отнимали один и записывали так: IV - это пять без одного.

Вы знаете, что десять состоит из двух пятерок, поэтому в римской нумерации цифру "десять" изображали двумя пятерками: одна пятерка стоит как обычно, а другая перевернута вниз - X. Иначе десять можно записать двумя пересекающимися палочками. Если рядом с X написать одну палочку справа - XI, то будет одиннадцать, а если слева - IX - девять.

Запомните особенность римской записи: меньшая цифра, стоящая справа от большей, прибавляется к ней, стоящая слева - отнимается. Поэтому знак VI означает 5+1, то есть 6, а знак IV -5-1, то есть 4. Научиться читать числа, записанные в римской нумерации, нетрудно, и мы советуем это сделать обязательно. Позднее появились значки и для обозначения других чисел. Так 100 стали обозначать буквой С (первая буква соответствующего латинского слова - centum), число 1000 - буквой М (mille - тысяча), число 500 - буквой D, буквой L - число 50.Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки). Исследования показали, что майя использовали свою систему счисления исключительно для отсчетов периодов времени. Однако ввиду того, что система счисления майя основана на универсальной гармонической последовательности, можно предположить, что ее использовали также для описания событий и явлений в пространстве, ведь она соответствует, кроме всего прочего, бинарным волновым гармоникам. Остается только гадать, как именно на нашей планете появилась столь совершенная система счисления, которая оперирует универсальными волновыми гармониками, предназначенными для управления всеми пространственно-временными процессами и явлениями.

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись.

Славянская система счисления

Современный русский алфавит значительно отличается от кириллицы. Как выглядели буквы кириллической азбуки, как назывались, как звучали? Чем "и десятеричное" отличается от "и восьмеричного"? Кроме того, славянские числа записывались в непривычном нам виде: не арабскими цифрами, а буквами той же самой кириллицы. Как же записать или прочесть число, обозначенное буквой? Интересно? Для того, чтобы не перепутать число и слово, над числом ставится титло. Где ставить титло? Есть два варианта: или титло расширяется и покрывает все число, либо ставится над второй справа буквой (если число обозначено двумя и более буквами). Славянская буквенная система счисления - система десятеричная, но не являющаяся позиционной; в ней каждому из разрядов числа соответствует свой знак - буква кириллицы. Нуля в этой системе нет. Число записывается как сумма своих сотен, десятков и единиц. В каком порядке пишутся буквы? Запомнить просто: как число произносится, так оно и записывается. Вслушайтесь в названия чисел второго десятка, от 11 до 19: один-на-дцать, две-на-дцать, три-на-дцать..., т. е. один-на-десять, два-на-десять и т. д. И записывается число второго десятка соответственно: сперва буква, означающая единицы, ну, например "веди" для двойки, а за ней "и десятеричное", "i" в качестве десятки. Для всех остальных чисел, например,"тридцать три", "двести восемьдесят пять" - порядок общий: сотни, потом десятки, затем единицы. Если же требуется записать число, содержащее тысячи (например, для указания номера года от Рождества Христова или от Сотворения мира), то к буквам, обычно означающим единицы, добавляется подстрочный знак, указывающий на увеличение в тысячу раз.

Заключение

Конечно, разные системы не могли жить долго во всем мире в разных места по разным причинам, поэтому рано или поздно в мире распространились те или иные системы. Сейчас мир пользуется одним времяисчислением – современный циферблат – римская система, а вот современные часовые пояса – вавилонская. Наиболее распространенные и известные цифры, взяты из арабской системы. Римские цифры так же распространены в мире.

Итак, мы выяснили, что во всех народов использовалась система счисления своя или заимствованная у других. Недостатками непозиционных систем счисления являются неудобство выполнения арифметических и логических операций и трудности при записи и восприятии больших чисел.

Главным преимуществом позиционных систем счисления по сравнению с непозиционными является удобство представления чисел и простота выполнения арифметических и логических операций.

Недостатком позиционных систем счисления является наличие межразрядных связей (переносов и заемов) при выполнении арифметических операций над числами, то есть невозможность выполнения арифметических операций как поразрядных (когда результат операции не зависит от ее результата в остальных разрядах). Несмотря на некоторые недостатки использование позиционных систем счисления в наши дни наиболее актуально. Огромное количество различной информации, развитие техники, множество новых устройств… Чтобы описать всё это необходима система счисления с очень мощным алфавитом и чтобы её использовать необходимо держать в памяти очень много дополнительной информации. Ну а чтобы производить различные математические действия необходимо ещё и много дополнительного времени, а им, к сожалению, современный человек не располагает. Ведь даже компьютер использует всего две цифры, а человеку на сегодняшний день достаточно 10. Таким образом, наша гипотеза подтвердилась.

Литература

http://www.slovo.ws/resh

http://www.otbet.ru/

http://www.otbet.ru/list_gdz.html