Методическая разработка по математике на тему "Методы решения тригонометрических уравнений"

Методы решения тригонометрических уравнений

Квадратные тригонометрические уравнения

1 тип.                                      

Так как уравнение содержит одноименные функции sin x, то необходимо заменить sin x = y; y Î [-1; 1]. Тогда исходное уравнение принимает вид  ay² + by +c = 0, а это квадратное уравнение. Далее необходимо решить квадратное уравнение и найти его решение: y₁, y₂.

Вернуться к старой переменной и решить простейшие тригонометрические уравнения:  sin x = y₁ и sin x = y₂.

Аналогично решаем уравнения, содержащие другие тригонометрические функции.

Пример:                         sin² x + sin x – 2 = 0,  заменим sin x = y, y Î [-1; 1]

                                        y² + y – 2 = 0 Þ D = 9; y₁ = 1   y₂ = -2

Возвращаемся к старой переменной     sin x = 1 Þ x = p/2 + 2pn; nÎZ

                                                                   sin x = - 2 Þ решения нет, т.к. – 2 Ï [-1; 1]

Решить самостоятельно:

1)  3sin²x +2sin x – 8 = 0        2) sin² 2x + sin 2x – 2 = 0             3) 2 sin²(x/3) + sin (x/3) – 6 = 0

  4) 2 sin² x + sin x – 1 = 0            5) sin (x²) – 2sin (x²) + 1 = 0        6) 2cos² x – cos x – 1 = 0

  7) 2cos² 3x + cos 3x – 6 = 0       8) tg² x – 3tg x – 4 = 0                  9) tg² (x/4) – tg (x/4) + 1 = 0

2 тип.                                       (1)

Так как уравнение содержит разноименные функции, то слагаемое содержащее квадрат, необходимо заменить, используя основное тригонометрическое тождество (в данном случае sin² x = 1 – cos² x). Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и свести уравнение  (1) к первому типу квадратного тригонометрического уравнения.

Пример:                        2sin² x – cos x – 1 = 0,

 заменим  sin² x = 1 – cos² x   и уравнение примет вид          2(1 – cos² x) – cos x – 1 = 0

                                                                                                     2 – 2cos² x – cos x – 1 = 0

Приведем подобные слагаемые и получим уравнение         -2cos² x – cos x + 1 = 0

           Далее решаем по схеме  решения 1 типа квадратного тригонометрического уравнения, пусть  cos x = y; y Î [-1; 1],тогда  уравнение примет вид  - 2y² – y + 1 = 0 Þ D = 9 Þ y₁ = - 1  и  y₂ = - ½.

Возврат к старой переменной и соответственно к простейшим тригонометрическим уравнения, которые имеют решения:

                                                cos x =  - 1 Þ x = p + 2pn; nÎZ

                                                cos x =  - ½ Þ x ± 2p/3 + 2pn; nÎZ

Решить самостоятельно:

10)  2 cos² x - sin x + 1 = 0             11) 2 cos²(x/2) + sin (x/2) – 1 = 0          12) 4sin² 2x - cos 2x – 1 = 0     

13)    2 sin² (x²) +3 cos ( x²) = 0     14) tg x = ctg x

Метод введения вспомогательного аргумента

    Уравнения вида      решаем способом введения вспомогательного аргумента, используя формулу         (1)

Выпишем коэффициенты и , вычислим    

Разделить коэффициенты уравнения на      , после чего уравнение будет выглядеть         которое по формуле (1) представимо в виде

 Þ  ;

      (2)

Угол j находим из условия Þ , где угол j - угол первой координатной четверти.

В значении корня уравнения (2) заменим j его величиной.

Пример                                    2sin x + cos x = 2

Выпишем  из уравнения       a = 2       b = 1 Þ       

                                                

                                                 Þ     ;

                                               

Вычислим угол j из условия    Þ 

   Ответ:        

Решить самостоятельно:

15) sin x – cos x = 1                             16) sin 2x + cos 2x = 1                       17)   sin (x/3) + cos (x/3) = 2   

18) sin 5x + cos 5x =   

Однородное уравнение 1 степени  

         (1)    поделим каждое слагаемое уравнения на cos x ≠ 0,  тогда уравнение (1)

    Þ       Þ          Þ            корень уравнения находим по формуле простейшего тригонометрического уравнения:

Однородное уравнение 2 степени   

 (2)   поделим каждое слагаемое уравнения на cos² x ≠ 0. Тогда уравнение (2)  будет выглядеть,    Þ    Решаем квадратное тригонометрическое уравнение относительно тангенса.

Примеры:   а) sin 2x + cos 2x = 0: cos 2x ≠ 0       б) – sin²x – 5sinx cosx + 6 cos²x = 0:cos²x ≠ 0

                         tg 2x + 1 = 0                                               -  tg²x – 5 tgx + 6 = 0

                         tg 2x = - 1                                                    пусть  tg x = y, y – любое число

                         2x = - p/4 + pn         : 2                               - y² – 5 y + 6 = 0

                         x =  -p/8 + pn; nÎZ                                    D = 49      y₁ = - 6         y₂ = - 1

                                                                                            tg x = - 6 Þ x = - arctg 6 + pn; n Î Z

                                                                                            tg x = - 1 Þ x = - p/4 + pn; n Î Z

Решить самостоятельно:

19)                                         20)                       

21)                                 a       22)

23)                  24)

Если в однородном уравнении 2 степени вместо нуля в правой части стоит число, то его необходимо умножить на 1, а её заменить основным тригонометрическим тождеством. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть и привести к стандартному виду однородности.

Пример:      

  Далее решаем по схеме решения однородного уравнения 2 степени и записываем ответ.

Решить самостоятельно:

25)                         26)        

Краткое описание документа:

Методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов первого курса колледжей и учащихся 10 классов школ при изучении темы "Решение тригонометрических уравнений". В методическом пособии подробно описаны методы решения, разобраны примеры и даны задания для самостоятельной работы. Часть материала пособия можно использовать и при проведении контроля знаний обучающихся.