Презентация по алгебре и началам анализа на тему "Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях"

• 1 слайд

  Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
  Подготовила
  учитель математики
  Болотина Татьяна Гавриловна МКОУ « Возовская СОШ» Поныровского района,
  Курской области
  2017 год
  

• 2 слайд

  арифметический способ
  геометрический способ
  функционально-графический способ
  Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
  алгебраический способ
  

• 3 слайд

  ● Арифметический способ:
  а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
  б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
  ● Алгебраический способ:
  а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;
  б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
  ● Геометрический способ:
  а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;
  б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.
  ● Функционально-графический способ:
  выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.
  

• 4 слайд

  Арифметический способ (непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения)
  Найдите корни уравнения cos x = 0,5, удовлетворяющие неравенству sin x ≤ 0.
  Решение
  cos x = 0,5, x = ± π 3 + 2πn, n ϵ Z,
  Проверим выполнение условия sin x ≤ 0.
  Для x = π 3 + 2πn, n ϵZ,sin π 3 + 2πn = sin π 3 = √3 2 >0.
  Первая серия корней является посторонней.
  Для x = - π 3 + 2πn, n ϵ Z,sin − π 3 + 2πn = −sin π 3 =− √3 2 <0.
  
  Ответ: x = − 𝝅 𝟑 + 2πn, n ϵ Z
  

• 5 слайд

  а) Решите уравнение 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−12𝑠𝑖𝑛𝑥+5=0.
  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку −𝜋;2𝜋 .
  Решение.
  а) Решая квадратное уравнение относительно sin, находим,
  𝑠𝑖𝑛𝑥= 5 2 или 𝑠𝑖𝑛𝑥= 1 2 .
  Уравнение 𝑠𝑖𝑛𝑥= 5 2 не имеет решений, так как sin х ≤1.
  Уравнение𝑠𝑖𝑛𝑥= 1 2 находим, 𝑥=( −1) 𝓃 𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
  Запишем решение уравнения в виде:
  𝒙= 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒙= 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒌, 𝒌,𝒏∈𝒁
  б) Рассмотрим отбор корней на отрезке −𝜋;2𝜋 .
  

• 6 слайд

  Пусть x = 𝝅 𝟔 + 2πn, n ϵ Z.
  при n= -1, x= - 11𝜋 6 ∉ [- π; 2π]
  при n = 0, x = 𝝅 𝟔 ϵ [- π; 2π]
  при n = 1, x = 13𝜋 6 ∉ [- π; 2π]
  
  Пусть x = 𝟓𝝅 𝟔 + 2πk, k ϵ Z.
  при k = -1, x=- 7𝜋 6 ∉ [- π; 2π]
  при k = 0,x= 𝟓𝝅 𝟔 ϵ [− π; 2π]
  при k = 1, x= 17𝜋 6 ∉ [- π; 2π]
  
  Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни 𝝅 𝟔 , 𝟓𝝅 𝟔 .
  Арифметический способ
  Перебирая значения переменной, обозначающей целые числа, мы должны добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.
  

• 7 слайд

  Пусть x = 𝝅 𝟔 + 2πn, n ϵ Z.
  при n = -1, x= - 11𝜋 6 = -330°∉ [- π; 2π]
  при n = 0, x = 𝝅 𝟔 = 30° ϵ [- π; 2π]
  при n = 1, x = 13𝜋 6 =390°∉ [- π; 2π]
  Пусть x = 𝟓𝝅 𝟔 + 2πk, k ϵ Z.
  при k = -1, x=- 7𝜋 6 = -210°∉ [- π;2π]
  при k = 0,x= 𝟓𝝅 𝟔 =150°ϵ [− π; 2π]
  при k = 1, x= 17𝜋 6 = 510°∉ [- π; 2π]
  
  
  [- π; 2π] [- 180°; 360°]
  
  Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни 𝝅 𝟔 , 𝟓𝝅 𝟔
  

• 8 слайд

  
  Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.
  Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [- π; 2π], слева и справа от него
  

• 9 слайд

  𝒙= 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒙= 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒌, 𝒌,𝒏∈𝒁
  
  n= -1,x = 𝜋 6 −2𝜋=− 11𝜋 6 ,
  k = - 1, x = 5𝜋 6 −2𝜋=− 7𝜋 6 .
  
  
  
  

• 10 слайд

  Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни , 𝜋 6 , 5𝜋 6 .
  
  𝒙= 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒙= 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒌, 𝒏,𝒌∈𝒁
  n = 0, x = 𝜋 6 +0 = 𝜋 6 ,
  k = 0, x = 5𝜋 6 +0 = 5𝜋 6 .
  
  
  
  

• 11 слайд

  Ответ: а) х = 𝝅 𝟔 + 2πn, n ϵ Z; х = 𝟓𝝅 𝟔 + 2πk, k ϵ Z.
  б) 𝝅 𝟔 , 𝟓𝝅 𝟔 .
  𝒙= 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒙= 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒌, 𝒏,𝒌∈𝒁
  n = 1, x = 𝜋 6 +2𝜋= 13𝜋 6 ,
  k = 1, x = 5𝜋 6 +2𝜋= 17𝜋 6 .
  
  
  
  

• 12 слайд

  
  Пусть x = 𝜋 6 + 2πn, n ϵ Z
  Тогда – π ≤ 𝜋 6 + 2πn ≤ 2π;
  - 7𝜋 6 ≤ 2πn ≤ 11𝜋 6 ;
  - 7 12 ≤n ≤ 11 12 ;
  n = 0; x= 𝜋 6 .
  
  Пусть x = 5𝜋 6 + 2πk, k ϵ Z.
  Тогда – π ≤ 5𝜋 6 + 2πk ≤ 2π;
  - 11𝜋 6 ≤ 2πk ≤ 7𝜋 6 ;
  - 11 12 ≤k ≤ 7 12 ;
  k = 0; x= 5𝜋 6 .
  Корни уравнения должны принадлежать отрезку [- π; 2π].
  Это значит, что – π ≤ x ≤ 2π.
  
  
  
  Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни 𝝅 𝟔 , 𝟓𝝅 𝟔 .
  2. Алгебраический способ.
  

• 13 слайд

  3. Геометрический способ
  ( Отбор корней с помощью тригонометрической окружности)
  x
  π - 𝝅 𝟔 = 𝟓𝝅 𝟔
  sin x = 1 2
  

• 14 слайд

  3. Геометрический способ
  ( Отбор корней с помощью тригонометрической окружности)
  x
  
  Отрезку [- π; 2π] принадлежат
  корни , 𝜋 6 , 5𝜋 6 .
  
  π - 𝝅 𝟔 = 𝟓𝝅 𝟔
  sin x = 1 2
  

• 15 слайд

  Корни принадлежащие отрезку [- π; 2π], отберем по графику y= sin x. Прямая y = 1 2 пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат отрезку [- π; 2π]. Так как период функции y = sin x равен 2π, то эти абсциссы равны 𝜋 6 , π - 𝜋 6 = 5𝜋 6 .
  
   
  
  
  
  
  
  Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни , 𝝅 𝟔 , 𝟓𝝅 𝟔 .
  3. Функционально-графический способ
  

• 16 слайд

  а) Решите уравнение 2sin4 x + 3 cos 2x + 1 = 0
  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π]
  

• 17 слайд

  2 sin4x + 3(1 – 2sin2 x) +1 = 0
  2 sin4x – 6 sin2 x + 4 = 0
  sin4x – 3 sin2x + 2 = 0, сделаем замену.
  sin2x = t
  t2 – 3 t2 + 2 = 0
  По теореме Виета или через дискриминант
  t1 = 1 или t2 = 2
  

• 18 слайд

  sin2x = 1 или sin2x = 2
  sinx = ±1 или sinx = ± 2 - уравнение корней не имеет
  sinx = ±1
  x = 𝝅 𝟐 + πn, n ϵ Z
  [π; 3π]
  

• 19 слайд

  Геометрический способ
  Отбор по окружности. На числовой окружности нужно показать нужный нам отрезок.
  x ϵ [π; 3π]
  Отберем все точки которые попадают на этот отрезок
  x = π + 𝜋 2 = 3𝜋 2 ,
  x = 2π + 𝜋 2 = 5𝜋 2
  

• 20 слайд

  Рассмотрим отбор корней с помощью координатной прямой.
  Покажем дополнительные точки, которые находятся внутри отрезка [π; 3π], слева и справа от него
  x = 𝝅 𝟐 + πn, n ϵ Z
  n = 0, x = 𝜋 2
  

• 21 слайд

  x = 𝝅 𝟐 + πn, n ϵ Z n = - 1, x = 𝜋 2 - π = - 𝜋 2
  n = 1, x = 𝜋 2 + π = 3𝜋 2 ϵ[π; 3π]
  
  n = 2, x = 𝜋 2 + 2π= 5𝜋 2 ϵ[π; 3π]
  

• 22 слайд

  Алгебраическийспособ
  Корни должны попадать в отрезок [π; 3π]
  Это значит, что π ≤ x ≤ 3π
  π ≤ 𝜋 2 + πn ≤ 3π
  π - 𝜋 2 ≤ πn ≤ 3π - 𝜋 2
  𝜋 2 ≤ πn≤ 5𝜋 2
  1 2 ≤ n≤ 5 2
  Это значит, что 0,5 ≤ n ≤ 2,5
  n = 1; x = 𝟑𝛑 𝟐 , n = 2; x = 𝟓𝝅 𝟐 .
  
  

• 23 слайд

  sin x = ±1
  y = sin x, y = 1, y = - 1
  
  Ответ: а) x = 𝝅 𝟐 + πn, n ϵZ
  б) 𝟑𝛑 𝟐 ; 𝟓𝝅 𝟐
  
  

• 24 слайд

  Спасибо за внимание