Методические рекомендации для учащихся 11 классов "Решение задач по теории вероятности" (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике)

Методические рекомендации для    учащихся  11 классов

Решение задач по теории вероятности
(по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике)

Справочный материал

Классическое определение вероятности

Опр. Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов:

                                                Р(А)= 
где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.

Пример. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение

А - пассажиру В. достанется удобное место.

m = 12 + 18 = 30 - мест удобны пассажиру В.

n = 300 – всего мест

Ответ: р =  0,1.                                

Противоположные события

Событие, противоположное событию A, обозначают Ā.

Пример. А - промах при стрельбе, Ā - попадание при стрельбе. А и Ā – противоположные события.                                                   

                            Р(А) + Р(Ā) = 1;       Р(Ā) = 1 - Р(А)

Пример. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C , равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше. 

Решение

А - ниже 36,8°C,

Ā – равна 36,8°C или выше.

Р(Ā) = 1 - Р(А)=1-0,87=0,13

Ответ: р =  0,13.                                

Действия над событиями

Опр. События  А и В называются  несовместными, если их одновременное появление невозможно.

Пример. А - выпадение "решки" при бросании монеты, В – выпадение "орла". А и В – несовместны.

Опр. События А и В называются совместными, если они могут произойти при одном исходе испытаний.

Пример. А – ученик получил 5 по одному предмету,

В – ученик получил 4 по другому предмету. А и В – совместные.

Опр. Событие А  называется независимым от события В , если вероятность события А  не зависит от того, произошло событие  В или нет.

Опр. Событие А  называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие  В или нет.

Пример1.

 Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

  – появление герба на первой монете,

  – появление герба на второй монете.

В данном случае вероятность события   не зависит от того, произошло событие   или нет; событие   независимо от события.

Пример1.

 В урне два белых шара и один черный. Два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

  – появление белого шара у 1-го лица,

  – появление белого шара у 2-го лица.

Опр. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события   и обозначается  Р (В|А) 

Опр. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания (А или В ).

Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или».

Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе.

Пример 1. Пусть А - идет дождь,  В - идет снег.

События А и В совместны, тогда  (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;

Пример 2.  А - пошли на дискотеку;  В - пошли в библиотеку.

А и В  несовместны, тогда А + В - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

Опр. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в наступление обоих событий в результате испытания (А и В).

Пример 1. Пусть имеются следующие события:

                А – «из колоды карт вынута дама»,

                В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти».

Значит, А∙В означает «вынута дама пик».

Пример 2.  Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события:

                А – « число выпавших очков < 5»,

                В – «число выпавших очков > 2»,

                С – «число выпавших очков четное».

Тогда А∙В∙С – «выпало 4 очка».

Теоремы сложения и умножения вероятностей вероятностей

Сложение вероятностей зависит от того, являются события совместными или несовместными.

Т.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

                                            P(A + B) =P(A) + P(B)  

Пример. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.

 

Решение

Событие А – стрелок попал в зону I,

событие В – стрелок попал в зону II,

событие С – стрелок попал в зону III.

Стрелок попадёт или в зону I или в зону II, или в зону III, т. е. события А, В, С не совместны.

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0,15+0,23+0,17=0,65 – вероятность попадания.

Тогда вероятность промаха  р=1-0,65=0,35.

Ответ: р=0,35

Т.2. Если события A и B независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей  событий A и B:
                                      P(AB) = P(A) ∙ P(B)

Пример. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение 

Здесь удобно сначала найти вероятность события «оба автомата неисправны», противоположного событию из условия задачи. Пусть

Событие А - 1-ый автомат неисправен,

событие В - 1-ый автомат неисправен.

По условию  Р(А) =  Р(В) = 0,05.

Событие «оба автомата неисправны» − это АВ.

По формуле умножения вероятностей, его вероятность  равна  

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,05∙0,05 = 0,0025. Значит,                     

Ответ: р = 0,9975.

Т.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.                                                                                                                 P(A + B) =P(A) + P(B)  – P(AB)

Пример. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

 Решение                         

Событие А – 1-ый стрелок попал в мишень,

событие В – 2-ой стрелок попал в мишень.

Хотя бы один из стрелков попадёт в мишень, т.е. или 1-ый, или 2-ой, или оба вместе,

т. е. события А и В совместны.

   P(A+B)=P(A)+P(B)=0,8+0,6-0,8*0,6=0,92

Ответ: р=0,92

Т.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

                              Р(АВ)= Р(А)∙Р_А(В)    или   Р(АВ)= Р(А)∙Р(В|А) 

где Р_А(В) или Р(В|А) – условная вероятность события В при условии, что А наступило. 

Пример1. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй.

Событие В – появление белого шара при первом вынимании.

Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение 

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет 

.
Вероятность события А при условии, что событие В  не произошло, будет                  .

Пример2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение

Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А):

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В ), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, то есть условная вероятность:

По теореме умножения вероятностей, искомая вероятность:

Ответ: р = 0,2333.

Дерево вероятностей

Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития событий часто используют схему "дерево вероятностей"

Пример1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Ответ: р = 0,2333.

Пример2. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение

Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1,  В - маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): АА, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

;

;

отсюда искомая вероятность

Можно составить дерево вероятности и получить такой же результат.

Ответ: р = 0,6

Пример3. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода.

Р=0,9∙0,9∙0,9 + 0,9∙0,1∙0,1+0,1∙0,1∙0,9 +0,1∙0,9∙0,1=0,756

Ответ: р = 0,756

Задания для самостоятельного решения

Классическое опре­де­ле­ние вероятности

1.       На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

2.        В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

3.       На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

4.       В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

5.       В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз.

6.       В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

7.       В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 5 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет.

8.       Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся во­семь сумок со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

9.       В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии, 7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 — из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции.

10.   На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

11.   Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

12.   В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

13.   На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет чётной?

14.   Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 10 до 19 де­лит­ся на три?

15.   В груп­пе ту­ри­стов 5 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют двух че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село за про­дук­та­ми. Ту­рист А. хотел бы схо­дить в ма­га­зин, но он под­чи­ня­ет­ся жре­бию. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что А. пойдёт в ма­га­зин?

16.   Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

17.   Иг­раль­ный кубик бро­са­ют два­жды. Сколь­ко эле­мен­тар­ных ис­хо­дов опыта бла­го­при­ят­ству­ют со­бы­тию «А = сумма очков равна 5»?

18.   На рок-фе­сти­ва­ле вы­сту­па­ют груп­пы — по одной от каж­дой из за­яв­лен­ных стран. По­ря­док вы­ступ­ле­ния опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что груп­па из Дании будет вы­сту­пать после груп­пы из Шве­ции и после груп­пы из Нор­ве­гии? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Теоремы о ве­ро­ят­но­стях событий

1. Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.
2. Если гросс­мей­стер А. иг­ра­ет бе­лы­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у гросс­мей­сте­ра Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,52. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Гросс­мей­сте­ры А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, при­чем во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.
3. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос на тему «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.
4. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.
5. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.
6. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.
7. По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.
8. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.
9. Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.
10. Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не ­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,2. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 4 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся.
11. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
12. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Лингвистика», аби­ту­ри­ент должен на­брать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каж­до­му из трёх предметов — математика, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на спе­ци­аль­ность «Коммерция», нужно на­брать не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх предметов — математика, рус­ский язык и обществознание.

Вероятность того, что аби­ту­ри­ент З. по­лу­чит не менее 70 бал­лов по математике, равна 0,6, по рус­ско­му языку — 0,8, по ино­стран­но­му языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите ве­ро­ят­ность того, что З. смо­жет поступить хотя бы на одну из двух упо­мя­ну­тых специальностей.

13. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
14. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Ответы к задачам по теме «Классическое опре­де­ле­ние вероятности»: 0,95. 0,4. 0,25. 0,14. 0,5. 0,25. 0,995. 0,93. 0,36. 0,16. 0,36. 0,25. 0,5. 0,3. 0,4. 0,375. 4. 0,33.

Ответы к задачам по теме  «Теоремы о ве­ро­ят­но­стях событий»: 0,019. 0,156. 0,35. 0,52. 0,02. 0,9975. 0,91. 0,08. 0,75. 0,52.  0,4 0,408.  0,392. 0,0625.