Методические указания к выполнению практических работ по математике

Комитет образования и науки Курской области

Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Железногорский политехнический колледж»

Учебная дисциплина

ОУП.04У Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

по профессии

19.01.07. Повар, кондитер

Методические указания

по выполнению практических работ

2017

Методические указания по выполнению практических работ учебной дисциплины общеобразовательного цикла «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» разработаны на основе примерной программы общеобразовательной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для профессиональных образовательных организаций (Рекомендована ФГАУ «ФИРО» Протокол №3 от 21.07.2015 г.)

Методические указания для выполнения практических работ являются частью основной профессиональной образовательной программы ОБПОУ «Железногорский ПК» по профессии 19.01.07.Повар, кондитер. Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной формы обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов, порядок и образец отчета о проделанной работе.

Организация-разработчик: ОБПОУ «Железногорский ПК»

Печатается по решению методического совета колледжа

Темы практических занятий

страницы

Практическая работа №1

Действия над действительными и комплексными числами.

5

Практическая работа №2

Корень п-ой степени и свойства.

9

Практическая работа №3

Преобразование иррациональных, степенных и показательных выражений.

14

Практическая работа №4

Преобразование логарифмических выражений.

19

Практическая работа №5

Параллельность и перпендикулярность прямых.

22

Практическая работа № 6

Параллельность и перпендикулярность плоскостей в пространстве.

24

Практическая работа №7

Основные понятия комбинаторики.

38

Практическая работа № 8

Действия с векторами.

30

Практическая работа №9

Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.

33

Практическая работа №10

Преобразование тригонометрических выражений.

37

Практическая работа №11

Преобразование тригонометрических выражений.

41

Практическая работа №12

Тригонометрические уравнения.

44

Практическая работа №13

Тригонометрические неравенства.

45

Практическая работа №14

Преобразование графиков функций.

47

Практическая работа №15

Многогранники.

53

Практическая работа №16

Тела вращения.

55

Практическая работа №17

Объемы и поверхности тел.

57

Практическая работа №18

Вычисление производной функции.

63

Практическая работа № 19

Уравнение касательной. Производная в физике.

65

Практическая работа №20

Исследование функций.

70

Практическая работа №21

Вычисление неопределенного интеграла

75

Практическая работа №22

Применение интеграла при решении задач.

78

Практическая работа №23

Средние значения и их применение в статистике. Схемы Бернулли повторных испытаний.

82

Практическая работа №24

Решение уравнений и систем уравнений.

86

Практическая работа №25

Решение неравенств и систем неравенств

87

Введение

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Методические указания по дисциплине «Математика» для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.

Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель занятия, ознакомиться с краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к дифференцированному зачету, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

Желаем Вам успехов!!!

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 1

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Действия над действительными и комплексными числами».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Действия над действительными и комплексными числами»; закрепить умения использовать полученные знания по данной теме.

Примеры и последовательность выполнения заданий

Свойства арифметических действий над действительными числами.

Эти свойства называют иногда основными законами алгебры, причем свойства 1° и 5° выражают переместительный закон соответственно сложения и умножения, свойства 2° и 6° — сочетательный закон, а свойство 7° — распределительный закон умножения относительно сложения.

Из этих свойств выводятся другие свойства. Например, . В самом деле, имеем:

Примеры выполнения заданий

Пример 1. Вычислите .

Решение. Так как нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, то в первой скобке целесообразно перейти к обыкновенным дробям:

1) .

2) .

3) .

4) .
Ответ. 0,235.
Пример 2. Вычислите .

Решение. Выполним вычисление по действиям.

1) ;

2) ;

3);

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Ответ. 32.

Комплексные числа.

Мнимой единицей называется число, обладающее свойством .

Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, – мнимая единица, называют комплексными.Число a называют действительной частью комплексного числа,bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части.

Запись комплексного числа в виде z=a+biназывается алгебраическойформой комплексного числа.

Любое комплексное числоz =a + bi можно изобразить на комплексной плоскости точкой Z с координатами (а; b) .

Пример1. Построить геометрическую модель комплексного числа .

Два комплексных числа называют сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаком перед мнимой частью. Сопряженные комплексные числа обозначают: и . Например, и ;

Действия над комплексными числами, заданными валгебраической форме

Пусть даны комплексные числа: и .

I. Сложение .

2. Вычитание

3. Умножение

4. Возведение в степень производят по правилу возведения двучлена в соответствующуюстепень.

5. При делении двух комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо умножить

делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример 2.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , так как , , то получим

6. .

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Квадратное уравнение , для которого дискриминант отрицателен, в множествеR действительных чисел не имеет решения, так как корень из отрицательного числа в этом множестве не имеет действительного значения. Рассмотрим решение этого уравнения в множествеС комплексных чисел.

Пример 3.

Решим квадратное уравнение: .

Найдем дискриминант по формуле: . Учитывая, что , получим: . Тогда . Корни уравнения находим по формулам^;

; .

Ответ:, .

Выполнить задания:

;

;

1. ;

2. ;

3. ;

2. Решите квадратные уравнения:

1. x² – 2x + 8 = 0;

2. x² – 4x + 5 = 0;

1. x² + 6x + 25 =0;

2. x²-2x+2=0;

3. Дано: ,.

Найдите:

1. 1. 3. Дано: ,.

Найдите:

Найдите:

1. 1. 3. Выполните действия:

1. 1. ;

1. 2. ;

1. ;

2. ;

5. Выполните действие:

1. 1. 3. Выполните действие:

6. Обратите обыкновенную дробь в десятичную:

6. Обратите обыкновенную дробь в десятичную:

7. Обратите периодическую дробь в обыкновенную

7.Обратите периодическую дробь в обыкновенную

0,(27)

0,2(19)

8.Выполните действие:

8.Выполните действие:

; /Ответ: /

; /

Ответ: /

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 2

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия.

Тема: «Корень п-ой степени и свойства.

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Корень п-ой степени и свойства»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования выражений.

Методические рекомендации

КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.

Корень n – степени: , n - показатель корня, а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а

Если n – четное число, то выражение имеет смысл при

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

1. Правило извлечения корня из произведения:

2. Правило извлечения корня из дроби:
   
   

3. Правило извлечения корня из корня:

4. Правило вынесения множителя из под знака корня:

5. Внесение множителя под знак корня:

,

6. Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

7. Правило возведения корня в степень.

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

=,a – основание степени, n – показатель степени

Свойства:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным. 

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным. 

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

4. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.

5. Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.

6. Если

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

4. По определению:

Свойства:

6. Пусть r рациональное число , тогда

при r>0 > при r<0

7 .Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует

> при a>1 при

Формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Упростите выражение .

Решение

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷ .

Пример 2.Сократить дробь: 

Решение. Так область определения дроби  все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби  и  равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.

Пример 3.Сократить дробь: 

Пример 4.Упростить: 

Пример 5.Упростить: 

Пример 6. Упростить: 

Пример 7. Упростить: 

Пример 8.Упростить: 

Пример 9. Вычислить: .

Решение.

Пример 10.Упростить выражение: 

Решение.

Пример 11.Сократить дробь , если 

Решение..

Пример 12.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 

Решение.В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел  и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.

Практическая работа №2.

ВАРИАНТ - 1

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - 2

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ – 3

1. Выполните действие:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ – 4

1. Выполните действие:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

,

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - 5

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

,

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - 6

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

,

4. Привести указанное выражение к виду , где -а рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

8. Выполните действие

9. Сократите дробь

9. Выполните действие

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 3

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Преобразование иррациональных, степенных и показательных выражений».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Преобразование иррациональных, степенных и показательных выражений»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования выражений.

Контрольные вопросы.

1. Определение корня натуральной степени из числа.

2. Основные свойства корня натуральной степени из числа.

3. Определение степени с рациональным показателем.

4. Основные свойства степени с рациональным показателем.

5. Понятие степени с действительным показателем.

6. Теорема о сравнении степени с действительным показателем.

Методические рекомендации

КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.

Корень n – степени: , n - показатель корня, а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а

Если n – четное число, то выражение имеет смысл при

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

1.Правило извлечения корня из произведения:

2.Правило извлечения корня из дроби:

3.Правило извлечения корня из корня:

4.Правило вынесения множителя из под знака корня:

5.Внесение множителя под знак корня:

,

6.Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

7.Правило возведения корня в степень.

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

=,a – основание степени, n – показатель степени

Свойства:

1.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным. 

2.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным. 

3.При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

4.При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.

5.Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.

6.Если

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1.

2.

3.

4.По определению:

Свойства:

1.

2.

3.

4.

5.

6.Пусть r рациональное число , тогда

при r>0 > при r<0

7 .Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует

> при a>1 при

Формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Упростите выражение .

Решение

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷ .

Пример 2.Сократить дробь: 

Решение. Так область определения дроби  все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби  и  равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.

Пример 3.Сократить дробь: 

Пример 4.Упростить: 

Пример 5.Упростить: 

Пример 6. Упростить: 

Пример 7. Упростить: 

Пример 8.Упростить: 

Пример 9. Вычислить: .

Решение.

Пример 10.Упростить выражение: 

Решение.

Пример 11.Сократить дробь , если 

Решение..

Пример 12.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 

Решение.В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел  и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.

Примеры и последовательность выполнения заданий

Пример 1. Возвести в степень

Решение

Пример 2. Вычислить

Решение

Пример 3. Упростить выражение.

а)

Решение

б)

Решение

Пример 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе.

Чтобы уничтожить иррациональность в знаменателе, нужно знаменатель и числитель дроби умножить на такое выражение, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение в знаменателе.

а)

Решение

б)

Решение

Выполнить следующие задания.

Задание 1. Возвести в степень

Задание 2. Вычислить

Задание 3. Упростить выражение

а)

б)

Задание 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе.

а)

б)

Задание 5. Вычислить значение выражения.

Задание 6. Упростить выражение.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 4

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Преобразование логарифмических выражений».

Цель занятия: Обеспечить закрепление понятий: логарифм числа, десятичный и натуральный логарифм; формировать умения и навыки применения свойств логарифма к решению задач.

Контрольные вопросы.

1. Понятие логарифма числа.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Понятие десятичного логарифма числа.

4. Понятие натурального логарифма числа.

5. Основные свойства логарифмов.

6. Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Пример 1. Вычислить.

Решение.

Пример 2. Вычислить.

а)

Решение.

б)

Решение. Пример 3. Упростить выражение.

Решение.

Пример 4. Вычислить.

Решение.

Пример 5. Решить уравнение.

Решение.

Выполнить следующие задания.

Задание 1. Вычислить.

Задание 3. Упростить выражение

Задание 4. Вычислить

Задание 5. Решить уравнение

Практическая работа № 4.

1 вариант.

1. Вычислить: а) ; б) ; в)

2. Найти х по данному логарифму :

3. Прологарифмировать выражение:

4. Решить уравнение:

5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

Практическая работа № 4.

2 вариант.

1. Вычислить: а) ; б) ; в)

2. Найти х по данному логарифму :

3. Прологарифмировать выражение:

4. Решить уравнение:

5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

Практическая работа № 4.

3 вариант.

1. Вычислить: а) ; б) ; в)

2. Найти х по данному логарифму :

3. Прологарифмировать выражение:

4. Решить уравнение:

5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

Практическая работа № 4.

4 вариант.

1. Вычислить: а) ; б) ; в)

2. Найти х по данному логарифму :

3. Прологарифмировать выражение:

4. Решить уравнение:

5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 5

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Параллельность и перпендикулярность прямых».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Параллельность и перпендикулярность прямых »; закрепить умения использовать полученные знания на практике

Методические рекомендации

При решении задач используются следующие определения:

Определение

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она

перпендикулярна к этой плоскости.

В задачах часто используется теорема о 3-х перпендикулярах:

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на

эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,

перпендикулярна и к её проекции.

При решении задач на нахождение угла между прямой и плоскостью необходимо помнить, что углом между прямой и плоскостью является наименьший угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

AH - перпендикуляр

AM - наклонная

HM – проекция наклонной на данную плоскость

а - прямая, проходящая через основание наклонной

Литература:

1. Л.С. Атанасян «Геометрия 10, 11 кл.» стр. 34 – 44.

Выполнить следующие задания:

1. 1. 1. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N и P –cередины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB;б)PK и BC; в)MN и AB; г)MP и AC; д)KN и AC; е)MD и BC.

2)

3) Прямая m параллельна диагонали ВД ромба АВСД и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АД – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если угол АВС равен 128º.

4) Дан параллелограмм АВСД и точка Е, не лежащая в плоскости (АВС). Как расположена прямая АС и плоскость ЕВД? Ответ обоснуйте.

5) Из точки М проведён перпендикуляр к плоскости ∆АВС. ВМ = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АС.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 6

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Параллельность и перпендикулярность плоскостей в пространстве».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Параллельность и перпендикулярность плоскостей в пространстве»; закрепить умения использовать полученные знания на практике

b α , с ║ α

b ∩ α

Опр.

Опр. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

Литература: Атанасян Л.С. «Геометрия 10-11» Стр.3 - 10

Методические рекомендации

При решении задач используется определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Опр.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.

Обратить внимание на то, что в пространстве перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она

перпендикулярна к этой плоскости.

В задачах часто используется теорема о 3-х перпендикулярах:

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на

эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,

перпендикулярна и к её проекции.

При решении задач на нахождение угла между прямой и плоскостью необходимо помнить, что углом между прямой и плоскостью является наименьший угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

AH - перпендикуляр

AM - наклонная

HM – проекция наклонной на данную плоскость

а - прямая, проходящая через основание наклонной

Литература:

1. Л.С. Атанасян «Геометрия 10, 11 кл.» стр. 34 – 44.

Практическая работа № 6.

1 вариант.

1) Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка

Р – середина стороны АД, точка К – середина ДС.

а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?

б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если угол АВС равен 40º, а угол ВСА = 80º. Ответ обобщите.

2) Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти прямые быть

а) параллельными б) скрещивающимися? Сделать рисунок для каждого возможного случая.

3) Точка В не лежит в плоскости ∆ АДС. Точки М, N и Р – середины отрезков ВА, ВС, ВД соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (АДС) параллельны; б) Найдите площадь треугольника MNP, если S∆АДС = 48 см2 .

4) Дан тетраэдр МАВС, в котором МВ ВА. Доказать, что ∆МВД – прямоугольный, если Д – произвольная точка отрезка АС. Найти МД и площадь ∆МВД, если

МВ = ВД = а.

Практическая работа № 6.

2 вариант.

1) Основание трапеции АВСД лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно.

1) Каково взаимное расположение EF и АВ?

2) Чему равен угол между прямыми EF и АВ, если угол АВС = 150º. Ответ обоснуйте.

2) Прямые а и в лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть

а) параллельными б) скрещивающимися? Сделать рисунок для каждого случая.

3) В тетраэдре ДАВС точки M, N и P – середины рёбер ДА, ДВ, ДС соответственно.

а) Доказать, что плоскости (MNP) и (АВС) параллельны.

б) Найти площадь ∆ АВС, если S_∆MNP= 14 см² .

4) Из точки М проведён перпендикуляр МД = 6 см к плоскости квадрата. Наклонная МО образует с плоскостью квадрата угол 60º. О – точка пересечения диагоналей. Доказать, что ∆МОД – прямоугольный. Найти площадь квадрата.

Практическая работа № 6.

3 вариант.

1) В тетраэдре АВСД точки М, К, Р являются серединами рёбер АВ, ВС, ВД. Доказать, что плоскость (МКР) параллельна плоскости (АДС) и вычислить S_∆МКР , если S_∆АДС = 48 см² .

2) Прямая МК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСД. Выяснить взаимное расположение прямых МК и АД и найти угол между ними, если угол АДС = 130º.

3) В ромбе АВСД диагонали пересекаются в точке О, точка F не лежит в плоскости (АВС). Можно ли провести плоскость через FC и точки А и О? Ответ обоснуйте.

4) Четырёхугольник АВСД – квадрат, О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости квадрата. Доказать, что МА = МВ = МС = МД. Найдите МА, если АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 7

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Основные понятия комбинаторики».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Основные понятия комбинаторики»; закрепить умения использовать полученные знания на практике

Методические рекомендации

Опр.

Перестановками из п разных элементов называются соединения, которые состоят из п элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок из п элементов обозначают Р_п и вычисляют по формуле Р_п = п!

п! ( п – факториал ) п! = 1·2·3·4·5·… п

Пример .Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, на котором поставлены 12 приборов?

Решение

Р₁₂ = 12! = 1·2·3·4·5·… 12 = 479 001 600 Ответ: 479 001 600

Опр.

Комбинации из т элементов по п элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями.

Обозначаются и вычисляются по формуле ,

Пример

Сколько существует вариантов распределения трёх призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Решение

Ответ: 210 вар

Опр.

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.

Обозначают и вычисляют по формуле

Пример

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?

Решение

Ответ: 630 способов

Бином Ньютона

Литература:

1. . Ш.А.Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл.

Практическая работа №7.

1 вариант.

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3)

2. Вычислить: 1) ; 2)

3. Решить задачи:

1) Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из 9 предметов?

2) В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из их состава староста и

казначей?

3) Сколькими разными способами можно разместить 6 групп школьников в 6 классных комнатах

(по одной группе в комнате)?

1. Записать разложение Бинома:

Практическая работа №7.

2 вариант.

1. Вычислить: 1) ; 2) ; 3)

2. Вычислить: 1) ; 2)

3. Решить задачи:

1) Сколькими способами можно выбрать для подарка 4 предмета из 8 предметов?

2) Имеются 3 билета на просмотр 3-х различных кинофильмов. Сколькими способами 8 друзей

могут распределить между собой эти 3 билета?

1. Сколькими разными способами можно составить график очерёдности ухода в отпуск 8

сотрудников лаборатории?

1. Записать разложение Бинома:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 8

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Действия с векторами.

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Действия с векторами»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.

Контрольные вопросы.

1. Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.

2. Понятие вектора. Действия над векторами в координатной форме.

3. Скалярное произведение векторов.

4. Угол между векторами.

5. Длина вектора. Разложение вектора по координатным векторам.

6.Формула Расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Основные понятия.

1. Вектором называется отрезок, у которого указано, какой из концов является началом, а какой – концом (направленный отрезок), обозначается , , где - начало вектора, - конец.

2. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.

3. Векторы называются ортогональными, если угол между ними .

4. Векторы можно складывать ( по правилам треугольника и параллелограмма), можно умножать на число: ; .

5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов:

6. Модуль вектора равен

7 Если заданы начало и конец вектора , то его координаты и длина находятся следующим образом:

; .

8 Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

9

Задание

1. Найти линейную комбинацию векторов

2. Найти длины векторов

3. Найти косинусы углов между векторами

4. Найти

Исходные данные:

Даны точки .

Задание 1

Решение:

Задание 2

Решение:

Задание 3

Решение:

Задание 4

Решение:

Даны точки .

, следовательно, векторы не являются ортогональными.

Выполнить следующие задания:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 9

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Действия с векторами. Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.

Контрольные вопросы.

1.Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.

2.Понятие вектора. Действия над векторами в координатной форме.

3.Скалярное произведение векторов.

4.Угол между векторами.

5.Длина вектора. Разложение вектора по координатным векторам.

6.Формула Расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Пример 1

Даны векторы ;

Вычислить |(2+ )| – 4(2- )

Решение.

2 2

2+ 2+

22

2- 2-

4(2- ) 4(2- )

Так как 4(2- ) - это скалярное произведение векторов, то по формуле скалярного произведения получим:

4(2- )=16∙(-1) + (-20)∙1 + (-36)∙(-1)= -16 – 20 + 36 = 0

Тогда |(2+ )| – 4(2- ) = + 0 =

Ответ: |(2+ )| – 4(2- ) =

Пример 2. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: и .

Решение.

У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:

, откуда

Ответ: m = -2, n = -2.5.

Пример 3.

Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол A треугольника ABC.

Решение.

1. Найдем координаты векторов , ,

2. Найдем длины каждого вектора. Это и будет длины сторон треугольника АВС.

- длина стороны АВ

- длина стороны ВС

- длина стороны АС

3. Найдем угол ВАС – это угол между векторами и .

.

Ответ: ,

Векторное задание прямой и плоскости в пространстве.

Направляющим вектором прямой называется вектор параллельный данной прямой. Прямая задается парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим, так называемый, направляющий вектор прямой:

Угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами.

Вычисление нормалей плоскостей

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, то D = 0. А если не проходит, то D = 1.

Нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение.

Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат —точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1).

Имеем:A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 2A + C + 1 = 0.Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 B + C + 1 = 0;A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 02A + B + 1 = 0

.Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: - 0,25A - 0,5B - 0,5C + 1 = 0.Ответ: - 0,25A - 0,5B - 0,5C + 1 = 0

Пример. Плоскость задана уравнением 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение.

Используя формулу уравнения прямой, получаем n = (7; - 2; 4).Ответ: (7; - 2; 4).

сякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением , которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения плоскости:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=;

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Пример . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0  D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Выполнить задания

Задание 1.

Какие из данных точек А( 5; 9; 0), В (5; 0; 0), С(0; 0; 9), D(-6; 0; 2), E( 0; 1; 0), F(5; 1; 0); G(0; 25; -1), H(9; 10; 11) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

Задание 2.

а) Запишите координаты векторов: = 5 - 2 - 3; = - - 7; = 8

б) Запишите разложения векторов и по координатным векторам , , и найдите их скалярное произведение: ;

Задание 3.

Даны векторы ;;

Вычислить |(- 4+ 5)| – (4- 3)

Задание 4.

При каких значениях k и c данные векторы коллинеарные:

а)

б)

Задание 5.

Докажите что точки A(14; -8; -1), B(7; 3; -1), C(-6; 4; -1), D(1; -7; 1) являются вершинами ромба ABCD. Найти периметр, площадь и углы ромба.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 10

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Преобразование тригонометрических выражений».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Основы тригонометрии»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования тригонометрических выражений.

Контрольные вопросы.

1. 1. Дайте определение тригонометрическим функциям через единичную окружность?

   2. Какой координате точки соответствует значение синуса угла?

   3. Какой координате точки соответствует значение косинуса угла?

   4. Перечислите основные тригонометрические тождества.

   5. Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

   6. Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?

   7. Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.

   8. При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?

   9. Сформулируйте правило записи формул приведения.

Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач.

I. Основные тригонометрические тождества.

1. ;

4. и

II. Формулы сложения.

III. Формулы двойного и половинного аргументов.

2. ;

IV. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.

V. Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Вычислить .

Пример 2. Вычислить .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере:; б) в градусной мере:

2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения и , если равно .

3. Определите знак: и .

4. Вычислите: а) ; б).

_в)

5. Найдите значение выражения:

а); б)

6. Упростите выражения:

а)б); в)

Вариант 2.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: ; б) в градусной мере: .

2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения и , если равно .

3.Определите знак: и .

4. Найдите значение выражения:

а); б)

5. Вычислите:

а); б) _;

в)

6. Упростите выражения:

а)б); в)

Вариант 3.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: ; б) в градусной мере: .

2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения и , если равно .

3. Определите знак: и .

4. Найдите значение выражения:

а) ; б)

5. Вычислите:

а); б) _{; в)}

6. Упростите выражения:

а) б); в)

Вариант 4.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере ; б) в градусной мере.

2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения и , если равно .

3. Определите знак: и .

4. Вычислите: а)

б) ; в)_.

5. Найдите значение выражения:

а); б)

6. Упростите выражения:

а)б)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 11

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Преобразование тригонометрических выражений».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Основы тригонометрии»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования тригонометрических выражений.

Контрольные вопросы.

1.Дайте определение тригонометрическим функциям через единичную окружность? 2.Какой координате точки соответствует значение синуса угла?

3.Какой координате точки соответствует значение косинуса угла?

4.Перечислите основные тригонометрические тождества.

5.Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

6.Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?

7.Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.

8.При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?

9.Сформулируйте правило записи формул приведения.

10.Как выполняется понижение степени тригонометрических функций? 11.При каких вычислениях необходимо знание формул сложения? 12.При каких вычислениях необходимо знание формул двойного и половинного аргумента?

Примеры и последовательность выполнения заданий.

При доказательстве тригонометрических тождеств обычно используют следующие способы:

1. Выражение, стоящее в одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства.

2. Выражения, стоящие в левой и правой части тождества с помощью тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду.

3. Доказывают, что разность между левой и правой частью тождества равны нулю.

При доказательстве тригонометрических тождеств используют основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы приведения, формулы сложения, формулы для двойного и половинного аргумента, формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, а также числовые значения тригонометрических функций для некоторых углов.

Пример 1 Доказать тождество:

Доказательство: - правая часть

Пример 2 Доказать тождество:

Доказательство:

Пример 3.

Вычислить а) ; б)

Решение

А)

Б)

Пример 4.

Найти: а) ; б)

Решение

А) Из основного тригонометрического тождества получим:

Так как следовательно III четверти. Косинус в третьей четверти имеет отрицательный знак. Значит .

Б) .

Пример 5.

Упростить выражение

Решение

Пример 6.

Доказать тождество

Доказательство

Выполнить следующие задания

Задание 1.

Вычислить а) ; б)

Задание 2.

Найти: а) ;

б)

Задание 3.

Упростить выражение

Задание 4.

Доказать тождество.

а)

б)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 12

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Тригонометрические уравнения».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», проверить умение пользоваться различными методами для решения конкретных задач.

Контрольные вопросы.

1. Определение обратных тригонометрических функций.

2. Решение простейших тригонометрических уравнений.

3. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

4. Понятие однородного уравнения и алгоритм решения однородных уравнений.

5. Алгоритм решения тригонометрических уравнений с помощью формул понижения степени.

6. Решение тригонометрических уравнений методом группировки и разложения на множители.

7.Решение тригонометрических уравнений методом преобразования сумм в произведение и произведения в суммы.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.

1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.

2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.

3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например,
   5. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

6.Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

7.Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

8.Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

Выполнить следующие задания

Решить тригонометрические уравнения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 13

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Тригонометрические неравенства».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические неравенства»; закрепить умения использовать полученные знания для решения тригонометрических неравенств.

Методические рекомендации

Опр.

Неравенства, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

При решении тригонометрических неравенств используют единичную окружность.

Задача Решить неравенство cos x >

По определению cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Абсциссу, равную , имеют две точки единичной окружности М₁ и М₂ . Абсциссу, большую имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М₁М₂ . Таким образом, решениями неравенства cos x > являются все числа х из промежутка .

Все решения данного неравенства – множество интервалов

Ответ:

Литература:

1. Ш.А.Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. , стр. 191-193

Практическая работа № 13.

1 вариант.

Решить неравенства:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 5)

______________________________________________________________________________________

Практическая работа № 13.

2 вариант.

Решить неравенства:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 5)

___________________________________________________________________

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 14

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: «Преобразование графиков функций»

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о функциях; отработать навыки и рассмотреть приемы построения графиков функций.

Контрольные вопросы.

1. Основные свойства функции.

2. Свойства функции y = sinx.

3. Свойства функции y = cosx.

4. Свойства функции y = tgx.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

1 преобразование: , t > 0 2 преобразование: , t > 0

сдвиг по оси x влево сдвиг по оси x вправо

3преобразование: , m> 0 4 преобразование: , m > 0

сдвиг по оси y вверх сдвиг по оси y вниз

5 преобразование: , k > 1 6 преобразование: , k < 1

сжатие по оси x растяжение по оси x

7 преобразование: , a > 1 8 преобразование: , a < 1

растяжение по оси y сжатие по оси y

Геометрические преобразования графиков функции

Функция

Преобразование

Графики

1

y = −ƒ(x)

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем симметрично отображаем его относительно оси OX.

y = − (x²)

y = x² → − (x²)

2

y = ƒ(−x)

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем симметрично отображаем его относительно оси OY.

y = √ (−x)

y =√(x) → √ (−x)

3

y = ƒ(x) +A

A - const

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если А>0 поднимаем полученный график на А единиц вверх по оси OY. Если А<0, то опускаем вниз.

y = x² → x² +1

y = x² → x² –1

4

y = ƒ(x −а)

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если а>0, то график функции смещаем на а единиц вправо, а если а<0, то на а единиц влево.

"−" − →

"+" − ←

y = x² → (x + 1)²

y = x² → (x -1)²

5

y = K ƒ(x )

k − const

k>0

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если K>0, то растягиваем полученный график в K раз вдоль оси OY. А если 0< K<1, то сжимаем полученный график в 1 ∕ K раз вдоль оси OY.

↕ ↓

↑

y = sin(x) → 2sin(x)

y = sin(x) → Ѕ sin(x)

6

7

y = ƒ(к x )

k − const

k>0

y = A ƒ(к x+а) +В

A, к, а, В − const

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если к >1, то сжимаем полученный график в к раз вдоль оси OХ. А если 0< к <1, то растягиваем полученный график в 1∕ к раз вдоль оси OХ.

к >1 − →←

0< к <1 − ←→

ƒ( x ) → ƒ(к x ) → ƒ(к( х + а ∕ к )) →A ƒ(к( х + а ∕ к )) → A ƒ(к( х + а ∕ к )) +В

y = sin(x) → sin(2x)

y = sin(x) → sin (Ѕ x)

y = 2√(2x-2)+1

y =√x →√2x→√2(x -1) → 2√2(x -1) →2√2(x-1)+1

8

y = │ƒ(x)│

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменения, а часть графика, расположенную ниже оси ОХ, заменяем симметричным отображением относительно ОХ.

y =│x ^-3│

y = x ^-3→│x ^-3│

9

y = ƒ(│x│)

Сначала строим график функции ƒ(x), а затем часть графика, расположенную правее оси ОУ, оставляем без изменения, а левую часть графика заменяем симметричным отображением правой относительно ОУ.

y = (│x│−1)² −2

y = x²→(x -1)²→ (x -1)² − 2→(│x│−1)² −2

10

y = │ƒ(│x│)│

ƒ(x) → ƒ(│x│) →│ƒ(│x│)│

y= │(│x│−1)² - 2│

y= x² → (x-1)² →(x-1)² - 2→(│x│−1)² - 2→│(│x│−1)² - 2│

Выполнить следующие задания.

Постройте график функции и определите D(f), E(f) и T:

3. y = tgx + 1

6. y = – 3cosx

7. y = 1/3sinx

8. y = cos1/2x

Практическая работа №14

1 вариант

1. Построить графики функций.

а) в)

б) г)

2. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

3. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

__________________________________________________________________________________________

Практическая работа №14

2 вариант

1. Построить графики функций.

а) в)

б) г)

2. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

3. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

Практическая работа №14

3 вариант

1. Построить графики функций.

а) в)

б) г)

2. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

3. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

_________________________________________________________________________________________

Практическая работа №14

4 вариант

1. Построить графики функций.

а) в)

б) г)

2. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

3. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 15

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Многогранники.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.

Контрольные вопросы.

1. Понятие многогранника, выпуклого многогранника.

2. Призма. Элементы призмы. Свойства призмы.

3. Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Куб.

4. Пирамида. Элементы пирамиды. Свойства пирамиды.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна дм, а диагональ боковой грани равна дм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.

Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD₁.

1. Рассмотрим треугольник BD₁D: угол D₁DB = 90⁰, BD = дм. Чтобы найти BD₁,необходимо знать сторону треугольника D₁D.

2. Рассмотрим треугольник AB₁B: угол B₁BA = 90⁰, AB₁ = дм, B₁B = D₁D. Для того чтобы найти B₁B, необходимо знать сторону треугольника AB.

3. Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 90⁰, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD² = AB² + AD² = 2AB². Таким образом,

()² = 2AB², 18 = 2AB², AB² = 9, AB = 3 дм.

4. Из треугольника AB₁B: BB₁² = AB₁² – AB² = ()² – 3² = 32 – 9 = 23, BB₁ = дм.

5. B₁B = D₁D = дм.

6. Из треугольника BD₁D: BD₁² = BD² + DD₁² = ()² + ()² = 18+23 = 41, BD₁ = дм.

7. дм.

Ответ: BD₁ = дм, S_бок = 12дм.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).

1. Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:

2. Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = . По т. Пифагора получим

MA =

3. Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = , BK = ½ BC = 8 см. По т. Пифагора получим .

4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле .

Ответ :

Выполнить следующие задания.

Задача 1.

Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 20 и 18 дм; высота призмы 16 дм. Найти сторону основания призмы.

Задача 2.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны см. Найдите высоту пирамиды.

Задача 3.

Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.

Задача 4.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 16

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Тела вращения.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.

Контрольные вопросы.

1. Конус. Площадь полной и боковой поверхности.

2. Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхности.

Примеры выполнения задан

Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: S_полн = 2πr (r + h). Для нахождения S_полн необходимо знать радиус и высоту цилиндра.

8. Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольный: угол ABD = 90⁰, АD = см. Найдем катеты AB и BD.

9. Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.

10. По теореме Пифагора получим: AD² = AB² + BD² = x² + x² = 2x². Таким образом, .

AB = BD = 3 см.

11. AB = h = 3см, BO₁ = r = ½ BD = 1.5 см.

12. дм.

Ответ: S_полн = 13,5 см².

Пример 2. Около конуса, высота которого равна см и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

1. Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=ΠR(R + l).

R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.

Рассмотрим ∆ MON – прямоугольный: MO = см, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN² = MO² + ON² = ()² + 10² = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда S_полн = 10 Π (10 + 20) = 300П см².

2. Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - . Для этого рассмотрим ∆ MON – прямоугольный:

3. Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь ∆ MNH: S_∆MNH = ½ NH MO = ½ 20 ∙ = см².

4. Найдем площадь полной поверхности пирамиды: S_полн = S_осн + 4S_AMB.

1. В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим ∆ ADB: = 30⁰. AD = AB = 2R = 20 см.

2. S_∆ADB =½ AD∙AB∙Sin= ½ 20 ∙ 20 ∙ sin30⁰ = 200∙1/2 = 100 см².

3. S_ABCD = 2 S_∆ADB = 200 см².

4. S_∆AMB = ½ AB∙MN = ½ 20∙20 = 200 см².

5. S_полн = S_осн + 4S_AMB = 200 + 4∙200 = 1000 см².

Ответ: = 60⁰, S_сеч = см², S_{полн кон} = 300П см², S_{полн пир} = 1000 см².

Выполнить следующие задания.

Задача 1.

В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в 120º. Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Задача 2.

Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

Задача 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.

Задача 4. Треугольник АВС со сторонами АВ = 41 см, АС = 15 см и ВС = 52 см вращается вокруг прямой, содержащей его большую сторону. Найдите высоты конусов, из которых составлено тело вращения, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности тела вращения (рис 1).

Задача 5. Тело получено при вращении ромба со стороной 18 см и углом 60° вокруг стороны. Найдите расстояние от его образующей до оси вращения, высоты получившихся конуса и цилиндра, площадь полной поверхности тела вращения (рис 2).

Рис. 1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 17

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Объёмы и поверхности тел.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках;

совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников, построение сечений.

Контрольные вопросы.

1. Понятие многогранника.

2. Понятие тела вращения.

3. Параллелепипед. Площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

4. Призма. Площадь полной и боковой поверхностей, объем призмы.

5. Пирамида. Площадь полной и боковой поверхностей, объем пирамиды.

6. Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхностей, объем цилиндра.

7. Конус. Площадь полной и боковой поверхностей, объем конуса.

8. Шар. Площадь полной и боковой поверхностей, объем шара.

Алгоритм решения задач, связанных с использованием формул S и V

1. Запиши одну из формул для нахождения S или V.

2. Подставь в формулу все известные величины.

3. Задай вопрос: «Какие величины ещё неизвестны?», и ответь на него.

4. Найди неизвестное через известное, но неиспользованное ещё в решении.

5. Вычисли S или V.

Методические рекомендации:

1. Объём куба вычисляется по формуле: , где а – ребро куба.

2. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: ,

где а, в, с – измерения прямоугольного параллелепипеда ( длина, ширина, высота)

3. Объём призмы равен

4. Объём цилиндра вычисляется по формуле:

5.Объём пирамиды вычисляется по формуле: , где S – площадь основания, h -высота

6. Объём конуса вычисляется по формуле: , где S – площадь основания, h – высота

7. Объём шара равен: R³

1. Площадь поверхности многогранника находится как сумма площадей всех его граней.

2. Площадь поверхности призмы равна

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на

высоту.

3. Площадь поверхности цилиндра равна

, где r - радиус цилиндра, h -высота цилиндра

4. Площадь поверхности конуса равна

5. Площадь поверхности пирамиды:

6. Площадь поверхности шара:

Применение полученного алгоритма к решению задач.

Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если

1 м³ земли имеет массу 1650 кг?

Решение

Задача 2. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с углом 30⁰. Гипотенуза этого треугольника равна боковому ребру и равна 6. Найти объем призмы.

Решение

1. 1. V = S_осн ∙ Н.

   2. V = S_осн ∙ 6

   3. S_осн - ?. S_осн = ½ AB ∙ BC

   4. BC = ½ AC = 3; AB =

S_осн = ½ ∙ 3 =

5. V = ∙ 6 =

Выполнить следующие задания.

Задача 1. Боковые ребра прямой треугольной призмы равны 15, а расстояния между ними 26, 25 и 17. Найти ее объем и площадь полной поверхности.

Задача 2. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 9 м, а стороны оснований 5м и 7м. Найти объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

Задача 3. В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти боковую поверхность и объем цилиндра.

Задача 4. Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стенок 3 см. Найти объем материала, из которого изготовлен шар.

Задача 5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, площадь боковой поверхности равна сумме площадей оснований. Найти объем призмы.

Задача 6. Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 и 16 см, вращается вокруг гипотенузы. Найти объем тела вращения.

Практическая работа № 17

1 вариант.

1. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 4 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 30º . Найдите объём призмы.

2. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и острым углом в 60º. Меньшее из диагональных сечений является квадратом. Найти объём призмы.

3. В куб вписан шар. Найдите отношение объёмов куба и шара.

4. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найти объём призмы.

Практическая работа № 17

2 вариант.

1. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда составляет 45º с плоскостью основания.

2. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 6 см и острым углом в 60º. Меньшее из диагональных сечений является квадратом. Найти объём призмы.

3. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого – квадрат. Найти отношение объёмов шара и цилиндра.

4. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найти объём призмы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 18

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Вычисление производной функции.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о формулах и правилах нахождения производных; совершенствовать умения и навыки нахождения производных.

Методические рекомендации.

Опр.

Производной функции f(x) в точке х называется предел разностного отношения при .

.

Опр.

Операция нахождение производной называется дифференцированием.

Это правило является основным, т.к. выведено из самого определения. Однако при дифференцировании сложных функций, суммы, произведения, частного применение общего правила представляет большие трудности. Поэтому применяют правила дифференцирования.

Правила

1. - Производная суммы равна сумме производных.

2. - Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

3. - Производная произведения.

4. Производная частного

Формулы дифференцирования

1. С′ = 0 11.

2. ( х ) ′ = 1 12.

3. ( х ² ) ′ = 2х 13.

4. ( х ³) ′ = 3х²

5. ( х ^р ) ′ = р х ^{р – 1} 14.

6. ( е ^х ) ′ = е ^х 15.

7. 16.

8. 17.

9. 18.

10.

При решении задач на нахождение уравнения касательной к графику функции в точке используется геометрический смысл производной

Уравнение касательной

Примеры:

Задача 5

Литература:

1. Ш.А.Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. , стр. 225 - 250

Практическая работа №18

1 вариант

Задание 1. Найти производную функции.

а) б) в)

г) д) е)

Задание 2. Решить уравнение f′(x) = 0, если

Задание 3. Написать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х₀

х₀ = 2

Практическая работа №18

2 вариант

Задание 1. Найти производную функции.

а) б) в)

г) д) е)

Задание 2. Решить уравнение f′(x) = 0, если

Задание 3. Написать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х₀

х₀ = 3.

Практическая работа №18

3 вариант

Задание 1. Найти производную функции.

а) б) в)

г) д) е)

Задание 2. Решить уравнение f′(x) = 0, если

Задание 3. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х₀

и написать уравнение касательной в этой точке.

Практическая работа №18

4 вариант

Задание 1. Найти производную функции.

а) б) в)

г) д) е)

Задание 2. Решить уравнение f′(x) = 0, если

Задание 3. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х₀ и написать уравнение касательной в этой точке.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 19

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Уравнение касательной. Производная в физике.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о формулах; совершенствовать умения и навыки нахождения производных.

Методические рекомендации

При решении задач на нахождение уравнения касательной к графику функции в точке используется геометрический смысл производной

Уравнение касательной

ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ

1. 1. Приращение аргумента и приращение функции.

На рисунке - приращение аргумента в точке , - приращение функции в точке .

Задание. Вычислите приращение функции в произвольной точке, если:

а) ; б) .

План вычисления приращения

Применение

плана

шага

функции

а)

б)

1

Фиксируем произвольное значение аргумента и находим значение функции

,

,

2

Задаем приращение и находим значение функции

,

.

,

3

Находим приращение функции:

Пример 1. Вычислите приращение функции в произвольной точке х₀, если:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

2. Производная функции.

Определение. Производной функции в заданной точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , когда стремится к нулю, т.е.

.

Задание. Вычислите производную функции в точке , если:

а) ; б) .

План вычисления производной

Применение

плана

шага

функции

а)

б)

1

Фиксируем точку x и даем аргументу приращение

2

Вычисляем приращение функции

3

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

4

Вычисляем производную

5

Вычисляем

Пример 2. Вычислите производные следующих функций:

1) в точке ; 2) в точке ; 3) в точке ; 4) в точке ; 5) в точке ; 6) в точке ;

7) в точке ; 8) в точке .

Пример 3. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени .

РЕШЕНИЕ. Скорость движения – это производная от пути по времени, следовательно,

.

Значит, в момент времени скорость данного движения такова: .

Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: .

Значит, в момент времени ускорение данного движения равно: О т в е т: 46; 24.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 2.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 3.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 4.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Дополнительные задания

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

2.По прямой движутся две материальные точки по законам и . В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй.

3. Найдите х, при котором , если .

4.Решите неравенство , если .

5. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 20

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Исследование функции

Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыки исследования функций и построения графиков с помощью производной.

Контрольные вопросы.

1. Определение точки минимума и точки максимума.

2. Определение критической точки.

3. Необходимое условие, чтобы точка х₀ была точкой экстремума.

4. Алгоритм нахождения критических точек функции.

5. Определение стационарных точек.

6. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).

7. Достаточные условия существования экстремума функции .

8. Достаточный признак возрастания, убывания функции.

9. Алгоритм нахождения экстремумов функции.

10. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

11. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Примеры выполнения заданий.

Задание. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения – множество действительных чисел.

2. Точки пересечения с осями координат:

если x = 0, то y = 0 – точка А (0,0);

если y = 0, то решим уравнение .

и

и

Получили еще две точки В (; 0) и С (; 0).

3. Четность, нечетность: - функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Находим производную. .

5. Стационарные точки. Приравняем производную к нулю: , получим x = -1, x = 0, x= 2 – стационарные точки.

6. Промежутки возрастания и убывания. Найденные точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка, определим знак производной на этих промежутках.

7. Точки экстремума. x = -1, x = 2 – точки минимума; x = 0 – точка максимума.

8. Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: .

Найдем точки перегиба: ;

и - точки перегиба

Определим знак второй производной на интервалах:

9. Составим таблицу.

x

x < -1

- 1

– 1 < x < 0

0

0 < x < 2

2

x > 2

3

f ‘(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

-5/12

min

0

max

-8/3

min

9/4

Задача

Построить график функции

Решение

2. Производная :

1. Область определения:

3. Стационарные точки:

5. Промежутки возрастания и убывания

6. Точки экстремума и значение функции в этих точках.

Методические указания

На практике часто приходится решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.

Наибольшее f(b), наименьшее f(x₂)

x_1, x₂ – стационарные точки

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a; b] нужно:

1) найти значение функции на концах отрезка, т.е . f(a) и f( b) ;

2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b)

3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание: Если на (a, b) нет стационарных точек, то наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка [a; b].

Пример:

на [-2; 1]

1)

2) при и

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на интервале ( a ; b ) , нужно:

Если функция дифференцируема на интервале ( a ; b ) и имеет только одну стационарную точку х₀: это либо точку максимума, либо точку минимума, тогда

если х₀ - точка максимума, то функция в этой точке принимает наибольшее значение;

если х₀ - точка минимума, то функция в этой точке принимает наименьшее значение;

Задача

Число 36 записать в виде произведения 2-х положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Решение

Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен .

Сумма этих чисел равна . По условию задачи х – положительное число. Таким образом задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция принимает наименьшее значение на интервале х > 0.

Найдём производную :

Стационарные точки: х₁ = 6 и х₂ = - 6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х= 6.

При переходе через точку х = 6 производная меняет знак с « - » на « + » , и поэтому точка х = 6 – точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция принимает в точке х = 6 . это значение

Ответ: 36 = 6 · 6

Пример

1) на [-4; 3]

1)

2)

-  (-4; 3)

Ответ:

Литература:

1. Ш.А.Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. , стр. 267 - 271

Практическая работа №20

Вариант 1.

Задание 1.

Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.

а) б)

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

²(х-2).

[1;4]

4. у = - ¼ х⁴ + 2х² + 1.

[-3;3]

2. у =1/3 х³ + х²

[-4;1]

5. у = х⁴ – 8х² – 9.

[-3;3]

3. у = - 2/3 х³ + 2х – 4/3.

[-1,5;1,5]

6. у = (х – 2)(х + 1)².

[-1,5;1,5]

__________________________________________________________________________________

Практическая работа №20

Вариант 2.

Задание 1.

Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.

а) б)

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

²(х-2).

[1;4]

4. у = - ¼ х⁴ + 2х² + 1.

[-3;3]

2. у =1/3 х³ + х²

[-4;1]

5. у = х⁴ – 8х² – 9.

[-3;3]

3. у = - 2/3 х³ + 2х – 4/3.

[-1,5;1,5]

6. у = (х – 2)(х + 1)².

[-1,5;1,5]

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 21

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Вычисление неопределённого интеграла.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания по данной теме; совершенствовать умения и навыки нахождения неопределённых интегралов.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Неопределенный интеграл

Отыскание функции F(x) по известному ее дифференциалу (или по известной производной) называется интегрированием, т.е. интегральное исчисление решает задачу, обратную задаче нахождения производной: найти функцию F (х), зная ее производную F ^/(х)= f ( x ).

О. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для любого x принадлежащего(a;b) выполняется равенство F ^/(x) = f(x).

Теорема 1 . Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f ( x ) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.

О. Неопределенным интегралом от функции f (х) (или от выражения f(x)dx ) называется совокупность всех ее первообразных.

Если F ( x ) – первообразная для f ( x ), то, где C – произвольное число. Здесь f(x)-подынтегральная функция, f(x)dx –подынтегральное выражение, х- переменная интегрирования.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F ^/(x) = f(x) соответствует 

 Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

Таблица неопределенных интегралов.

 

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.  

Метод непосредственного интегрирования.

Пример 1.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 2.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 3.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 4.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 5.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 6.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Задание 1.Найти первообразные следующих функций

1 вариант

а) у = 1 ; б) в) у =3sinx ; г) д) е) y = sin 2x + 2cos 3x

2 вариант

1. б) в) г) д)

2. е)

3 вариант

а) б) в) г) д)

е)

4 вариант

а) б) в) г) д)

е)

5 вариант

а) б) в)_; г)_; д)_;

е)

6 вариант

а)_; б)_; в)_; г)_; д)_;

е)

7 вариант

а)_; б)_; в)_; г)_; д)_; е)

8 вариант

а)_; б)_; в)_; г)_;

д)_; е)

9 вариант

а)_; б)_; в)_; г)_;

д)_; е)

10 вариант

а)_; б)_; в)_; г)_; д)_; е)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 22

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Применение интеграла при решении задач

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания по данной теме; совершенствовать умения и навыки нахождения интегралов.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Приведите примеры криволинейных трапеций.

б) Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

в) Покажите на рисунках и запишите интегральные формулы, с помощью которых можно вычислить площади фигур, не являющихся криволинейными трапециями.

г) Запишите и с помощью иллюстрации прокомментируйте интегральную формулу для вычисления объемов тел.

2. С помощью обучающей таблицы повторить план вычисления площади криволинейной трапеции и изучить образцы решенных задач.

3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).

4. Изучить условие заданий для практической работы.

5. Оформить отчет о работе.

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке знака функции , прямыми и отрезком . Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле

. (*)

Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ; б) .

План вычисления площади

Применение

плана

шага

криволинейной трапеции

а)

б)

1

Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией

2

Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры

3

Находим пределы интегрирования

,

4

Вычисляем искомую площадь по формуле (*)

,

(кв.ед.)

,

(кв.ед.)

Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8);

9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа.

Площадь фигуры, изображенной на

рисунке, вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 2.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2. 

Выберите правильный вариант ответа.

Площадь фигуры, изображенной на

рисунке, вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 3.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ; б) 4; в) .

Вариант 4.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ; б) ; в) .

Вариант 5.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна , если, а равно:

а) ; б) 0,5; в) .

Вариант 6.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна , если b равно:

а) ; б) 4; в) .

Вариант 7.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ; б) ; в) .

Вариант 8.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ; б) ; в) .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 23

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Средние значения и их применение в статистике. Схемы Бернулли повторных испытаний.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания по данной теме.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Опр.

Случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая.

Опр.

Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Опр.

Полигоном частот называют зависимость, выражающую распределение величины Х по частотам или по относительным частотам.

Характеристики случайной величины:

Опр.

Размах ( обозначается R ) - разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины.

Опр.

Мода ( обозначается М_о ) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.

Опр.

Медиана ( обозначается М_е ) – это так называемое серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.

Пример

В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22,16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.
б) Определите моду ряда (самый распространенный размер).
в) Постройте диаграмму частот.
г) Найдите средний размер по этой выборке.

Решение.

а) Сначала при просмотре всей выборки выясним, какие в ней встречаются размеры, и расположим их в порядке возрастания: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Далее подсчитаем количество пар каждого размера в выборке (т.е. частоту появления каждого размера) и сведем данные в таблицу

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Частота

12

8

11

16

19

15

14

19

20

16

б) Мода данного ряда – число 23.

в) Воспользуемся данными таблицы для построения диаграммы частот, в которой по горизонтальной оси отложены номера имеющихся размеров, по вертикальной оси – количество пар каждого размера.

г) Найдем средний размер. Для этого сначала вычислим сумму всех членов ряда: 15 ·12 + 16 · 8 + 17· 11 + 18 · 16 + 19 · 19 + 20 · 15 + 21 · 13 + 22 · 19 + 23 · 20 + 24 ·16 = 3000, затем общее количество членов ряда. Это удобно сделать, сложив частоты: 12 + 8 + 11+ +16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 + 16 = 150, далее, разделив первый результат на второй, получим средний размер: 3000 / 150= 20.

Схема Бернулли.

Вспомним определение вероятности: вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Тот факт, что такое число существует (т.е. что относительная частота случайного события вообще к чему-то приближается), мы оставляли до сих пор без каких-либо объяснений и ссылались на повседневный опыт. Теперь мы дадим некоторые математические обоснования этого факта. Для начала напомним терминологию.

Говоря о частоте и вероятности некоторого случайного события А, мы подразумевали наличие определенных условий, которые можно неоднократно воспроизводить. Этот комплекс условий мы называли случайным опытом или случайным экспериментом. Именно многократное повторение случайного опыта в неизменных условиях позволяло говорить о стабилизации частоты и приближении ее к некоторому числу Р(А), называемому вероятностью случайного события А.

При этом естественно предполагать, что опыты проводятся человеком или природой так, что результат одного опыта никак не влияет на результаты последующих, т.е. все опыты независимы. Серию таких опытов будем называть повторными независимыми испытаниями.

Если в каждом опыте нас интересует вероятность наступления определенного события А, условимся говорить, что испытание закончилось успехом, когда в результате опыта событие А наступило, и неудачей, когда событие А не наступило. Заметим, что названия «успех» и «неудача» носят условный характер и определяются выбором события А, а не содержательным смыслом исхода. С этой точки зрения наш опыт имеет всего два возможных исхода: - успех и неудача. Вероятности этих исходов обозначим :

Серию повторных независимых испытаний с двумя исходами называют испытаниями Бернулли, а саму модель, построенную на таких испытаниях, - схемой Бернулли.

Схема Бернулли должна удовлетворять требованиям:

1. У каждого испытания должна быть два исхода, называемых условно успех и неудача;

2. В каждом опыте вероятность события А должна оставаться неизменной;

3. Результаты опытов должны быть независимыми.

Этот простой набор требований делает схему Бернулли достаточно универсальной, но в то же время дает возможность получить целый ряд интересных результатов. Прежде, чем переходить к их выводу, рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Подбрасывание монеты. Событие А – выпал «орел». Серия из N таких испытаний представляет собой схему Бернулли. Успехом считается появление «орла», неудачей – появление «решки». Вероятности успеха и неудачи равны:

Пример 2. Тестирование. Ученик отвечает на вопрос, к которому дается L вариантов ответа. Ровно один из предлагаемых вариантов верный. Предположим, что ученик не знает предмета и выбирает правильный ответ наугад. Будем считать успехом событие А – выбран правильный ответ. Его вероятность Экзамен, в котором ученик отвечает на N таких вопросов, можно считать схемой Бернулли, в которой .

1 вариант.

1. На стол одновременно бросают два игральных тетраэдра, грани каждого из которых пронумерованы числами 1, 2, 3, 4. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – суммы очков на гранях тетраэдров, касающихся поверхности стола.

2. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 10 класса. На основании этих данных составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 10 класса. Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W)

40

44

44

46

46

44

48

46

44

38

44

48

50

40

42

50

46

54

44

42

42

52

44

46

38

46

42

44

48

46

48

44

40

52

44

48

50

46

46

48

40

46

42

44

50

46

44

46

48

3. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:

11

12

13

14

15

М

3

1

5

6

5

4. Найти размах, моду и медиану выборки:

1, 3, -2, 4, -2, 0, 2, 3, 1, -2, 4

Построить полигон частот значений величины и указать на нём размах, моду и медиану.

5.Что такое испытания Бернулли?

6.Будут ли испытаниями Бернулли следующие серии опытов (если да, то найдите p и q в тех случаях, когда это возможно):

а) ответы у доски на уроках математики в течение месяца; успех – получение пятерки;

б) проверка лампочек при их продаже в магазине; успех – лампочка бракованная;

в) вытаскивание 12 карт из колоды без возвращения; успех – вытаскивание черной масти.

7.Приведите свой пример испытаний Бернулли.

2 вариант.

1. На стол одновременно бросают игральный кубик и игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4). Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – суммы очков, выпавших на кубике и грани тетраэдра, касающейся поверхности стола.

2. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 10 класса. На основании этих данных составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 10 класса. Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W)

42

52

44

46

38

46

42

44

48

48

40

46

42

44

50

46

44

46

48

50

40

44

44

46

46

44

48

46

44

46

48

44

40

52

44

48

50

46

46

38

44

48

50

40

42

50

46

54

44

3. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:

23

24

25

26

27

28

М

6

5

2

3

1

3

4. Найти размах, моду и медиану выборки:

0,2 ; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6

Построить полигон частот значений величины и указать на нём размах, моду и медиану.

5.Что такое повторные независимые испытания?

6.Будут ли испытаниями Бернулли следующие серии опытов (если да, то найдите p и q в тех случаях, когда это возможно):

а) десятикратное бросание кубика; успех – выпадение шестерки;

б) ежедневная регистрация осадков; успех – отсутствия дождя и снега;

в) вытаскивание 10 карт из колоды без возвращения; успех – вытаскивание красной масти;

7.Приведите свой пример испытаний Бернулли.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 24

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Решение уравнений и систем уравнений.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания об уравнениях и их системах; совершенствовать умения и навыки решения уравнений различных типов и их систем.

Контрольные вопросы.

1. Понятие рационального уравнения и основные методы их решения.

2. Понятие иррационального уравнения и основные методы их решения.

3. Основные приемы решения логарифмических и показательных уравнений.

4. Основные методы решения систем уравнений.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Пример 1.

Решение

Проверка:

Ответ: x = -1

Пример 2. Рассмотрим решение показательного уравнения:

Используя свойства показательной функции , преобразуем уравнение,

Вынесем общий множитель 3^х за скобки:

Ответ. 1

Пример 3.

Решение

Обозначая , получаем уравнение

y² – 5y + 6 = 0,

корни этого уравнения: y₁ = 2, y₂ = 3. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно

двум уравнениям вида:

и

решения которых: x = 4 и x = 8.

Ответ: x = 4, x = 8.

Выполнить следующие задания

Задание 1. Решить уравнение.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Задание 2. Решить систему уравнений

а)

б)

в)

г)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 25

Учебная дисциплина: Математика: начала математического анализа; геометрия

Тема: Решение неравенств и систем неравенств.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о неравенствах; совершенствовать умения и навыки решения неравенств различных типов и их систем.

Контрольные вопросы.

1. Понятие неравенства.

2. Основные виды неравенств.

3. Методы решения рациональных неравенств.

4. Метод равносильных переходов при решении логарифмических неравенств.

5. Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные неравенства.

6. Логарифмическая функция, ее свойства. Простейшие логарифмические неравенства.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение.

Приведем неравенство к стандартному виду:

Найдем критические точки:

Построим числовую прямую, полученные точки разобьют ее на интервалы. Определим знак на каждом из интервалов:

Так как неравенство < 0 , следовательно, выберем те промежутки, которые имеют знак минус. Решениями неравенства являются следующие промежутки:

Пример 2. Решить иррациональное неравенство

Решение.

Исходное неравенство равносильно системе неравенств:

Решим каждое неравенство в отдельности:

Решением данного неравенства является отрезок [;]

Решениями второго неравенства являются промежутки

Запишем найденные решения в систему неравенств:

Ответ. ,

Пример 3.

Решение.

Так как 2 > 1, функция возрастает, следовательно

x² – 3x +3 > x² – 2x +5

-3x + 2x > 5 – 3

- x > 2

x < 2

Пример 4.

Решение.

, так как е > 1, то функция возрастающая, следовательно, получим систему неравенств:

Ответ: x > 1.

Выполнить следующие задания

Решить неравенства.

Список рекомендуемой литературы

Основная литература по всем разделам:

Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. —М., 2014.

Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Дополнительная литература:

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М: Высшая школа, 2013 г.

Интернет-ресурсы

www. fcior. edu. ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).

www. school-collection. edu. ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).