Методические указания по выполнению практического задания по теме "Построение графика разрывной функции"

Практическое занятие

«Построение графика разрывной  функции»

Цель работы: научиться исследовать функцию по схеме и строить график функции на его основе.

Схема исследования функции:

1.      Найти область определения функции D(f).

2.      Если область определения симметрична относительно ОУ, то исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.

3.Найти промежутки знакопостоянства (если это не вызывает затруднений), решив уравнение

      у = 0  и исследовать функцию на концах каждого промежутка.

4.Найти асимптоты графика.

5.Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание)  и точки экстремума.

1.      Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

На основе исследования построить график.

Разбор трех вариантов.

Пример 1: Исследовать функцию   и построить график.

Решение: Исследуем по схеме:

1. Найдем область определения функции , решив уравнение  

     .

2. Так как  симметрична относительно оси ОУ, то исследуем функцию на четность, нечетность:  функция нечетная, график симметричен относительно точки (0; 0).

      Непериодична.

3. Найдем промежутки знакопостоянства, решив уравнение  у = 0.

           .

у	—	+	—	+
График расположен	ниже оси ОХ	выше оси ОХ	ниже оси ОХ	выше оси ОХ

4. Найдем асимптоты графика:

а) вертикальные будем искать там, где функция неопределенна,

т.е. в точках x=1; x=. Для этого найдем односторонние пределы в этих точках.

  вертикальные асимптоты

б) наклонная асимптота:

;

     

       , следовательно  - наклонная асимптота.

5. Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.

 

				-1		0		1
	+	0	-	не сущ.	-	0	-	не сущ	-	0	+
	&	т. max	(	экст. нет	(	экст. нет	(	экст. нет	(	т. min	&

.

7) 

=

=;      

		-1		0		1
	-	не сущ.	+	0	-	не сущ.	+
		перег. нет		перег.		перег. нет

     Построим график по нашему исследованию.

Пример 2.  Построить график функции .

1) Найдем область определения функции:, кроме ; 

т. е. .

2) Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, то исследуем на четность/ нечетность: - функция четна, график симметричен относительно ОУ.

3) Найдем промежутки знакопостоянства. Решим уравнение   у = 0.

  

		-3	(-3; -2)	-2		2		3
	+	0	-	Не существует	+	Не существует	-	0	+
График располо- жен	Выше оси ОХ	Нуль функ-ции	Ниже оси Ох		Выше оси ОХ		Ниже оси Ох	Нуль функции	Выше оси ОХ

4) Найдем асимптоты:

а) вертикальные:

• ;

     - вертикальная асимптота.

• 

         -  вертикальная асимптота.

б) наклонную   

 (старшая степень в знаменателе). Следовательно наклонной асимптоты нет.

В) горизонтальную

( коэффициенты при старших степенях одинаковы)

 горизонтальная асимптота.

Графики асимптот нанесем на чертеж, а также поведение графика левее и правее асимптот.

5) Исследуем функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума. Вычислим производную, используя правило дифференцирования частного:   Найдем критические точки первой производной:

		-2		0		2
	-	Не существует	-	0	+	Не существует	+
	(	разрыв	(	max  2,25	&	разрыв	&

Найдем значение функции в точке максимума:

6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точку перегиба.

вынесем общий множитель числителя за скобки и сократим на него = .     Найдем критические точки второй производной:  , так как числитель не обращается в 0, то   .

		-2		2
	-	Не существует	+	Не существует	-
		Перегиба нет		Перегиба нет

7) Используя данные исследования, строим схематический график поведения функции.

Пример 3.  Построить график функции .

Решение:

1) ,  .

2)  ни четна, ни нечетна.

3) Непериодическая.

 Нули функции:   не пересекает ОУ.

		(0; 2)
	-	-	+

Это промежутки знакопостоянства.

4) Найти асимптоты:

    а) Найдем вертикальную асимптоту  вертикальная асимптота.

   б) Найдем наклонную асимптоту  наклонной асимптоты нет.

   в)   горизонтальная асимптота.

5)

 

.

		0		4
	-	не сущ.	+	0	-
	(	экстр. нет	&	m.max	(

6)   

 

		0		6
	-	не сущ.	-	0	+
		перег. нет		т. перег.

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Задание.

Исследовать по схеме и построить график функции.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15	Вариант 16
Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
Вариант 21	Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24
Вариант 25	Вариант 26	Вариант 27	Вариант 28
Вариант 29	Вариант 30	Вариант 31	Вариант 32