1147244
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаКонспектыМетодические рекомендации "Три метода решения геометрических задач"

Методические рекомендации "Три метода решения геометрических задач"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Тема: Три основных метода решения геометрических задач.

  1. Основные этапы решения задач:

а) построение чертежа;

б) выявления особенностей полученной конфигурации;

в) выбор пути и метода решения;

г) анализ полученного решения

2.Методы решения задач

При решении геометрических задач обычно используется три основных метода:

а) геометрический, когда требуемые утверждения выводятся с помощью логических рассуждений из ряда известных теорий;

б) алгебраический, когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнения;

в) комбинированный, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой – алгебраическим методом.


Две разновидности алгебраического метода:

  1. метод поэтапного решения;

  2. метод составления уравнений.


Сущность первого метода: величины, заданные в условии и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых определяется через предыдущие.


Задача: В параллелограмме со сторонами а и в, и углом  проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение.

hello_html_m76b6b0ba.png

SMNPQ - ?

  1. MNPQ – параллелограмм ( биссектрисы противолежащих углов параллельны)





  1. ВМА=hello_html_m79679b7.gifMNPQ – прямоугольник

  2. SMNPQ=MN hello_html_58ab5aeb.gif

MN=AN-AM; AM= вhello_html_m429dd84c.gif; AN=аhello_html_m429dd84c.gif

MQ=BQ-BM; BM= вhello_html_57ba27a3.gif; BQ= аhello_html_57ba27a3.gif

MN= (а- в)hello_html_me996454.gif; MQ= (а- в) hello_html_49271c63.gif

SMNPQ=(а- в)2hello_html_49271c63.gifhello_html_m429dd84c.gif

Ответ: SMNPQ=(а- в)2hello_html_49271c63.gifhello_html_m429dd84c.gif


Мы рассмотрели алгебраический метод решения, решали поэтапно, т.е. составляли план решения, а затем его реализовали.


Рассмотрим задачи, решаемые при помощи составления уравнений:

Один и тот же элемент (сторона которого, угол, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами, полученные выражения приравниваются (опорный элемент)

Задача: Стороны треугольника равны а, в, с. Вычислите высоту hc.

hello_html_m6a98b9d5.png

Решение.

  1. Выберем опорный элемент.

hc - общий катет двух прямоугольных треугольников.

  1. ∆ АDС


∆СDВ

hc2в2 – х2

а2 – (с – х)2= в2 – х2,

а2 – с2 + 2сх – х2 – в22= 0,

2сх = с2 + в2 – а2,


hc2 = а2 – (с – х)2

а2 – (с-х) 2 = в2- х2,

а2 – с2 + 2cosx2 – в22 = 0,

2сх = с22 –а2,

х = hello_html_3ff7d868.gif

hc = hello_html_m3d54439e.gif


Можно было за опорный элемент выбрать площадь треугольника.

Доказать самостоятельно

S= hello_html_6c2e1198.gif ; S=hello_html_m44b8e41f.gif



hello_html_6c2e1198.gif=hello_html_m44b8e41f.gifhello_html_m23785cf1.gifhc = ?


В этом случае говорят, задача решена методом площадей.


Задача: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см. и 12см. Найти катеты треугольника.


Решение.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки

hello_html_6bdf2faa.png

АС - ? СВ - ?

AF = AD =5см

CF=CE

BD=BE=12 см


Пусть CF=x? тогда

AC = x + 5

BC = X + 12

AB = 17

ACD, C = 90


hello_html_133dfd.gif по теореме hello_html_133dfd.gif

Пифагора


hello_html_133dfd.gif (x2+5)2 + (x+12)2 = 172,

x2 + 10x + 25 +x2 + 24x + 144 – 289 = 0,

2x2 + 34x – 120 = 0,

x2 + 17 – 60 = 0,

Д > 0, x1= -20 – не удовлетворяет условию задачи

x2= 3

AC = 8см, BC = 15 см.

Ответ: AC = 8см, BC = 15 см.


Задача: Найти длину основания равнобедренного треугольника, если S = 25см2, а углы  при основании таковы, что tg  = 4.

Решение.

AC - ?hello_html_4480ceac.png

ABC : BDAC,

AB=BC? AD=DC

tg = hello_html_m927917a.gif

BD=h, AD=a hello_html_133dfd.gif tg = hello_html_3da6d552.gif;

hello_html_3da6d552.gif= 4

S∆ABC = hello_html_302ad0af.gif= ah: ah=25

hello_html_m3fca922a.gifhello_html_3be0ea40.gifhello_html_m5221b892.gifhello_html_m16cdf237.gif - не имеет смысла

а = 2,5

Ответ: AC=5см


Задача: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция этого катета на гипотенузу равна 16см. найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

hello_html_3bb75898.png

Решение.

r - ?

r = hello_html_m4888701e.gif (для произвольного треугольника)

r = hello_html_m3f1df1dd.gif (для прямоугольного треугольника)

BC - ?, AB - ?

  1. Пусть = AD=x, BC=y ; ÐC=90 в ∆ACBhello_html_133dfd.gifпо теореме Пифагора 152+y2=(x=16)2

  1. ABC: DC2=152- x2

hello_html_m60560e88.gifhello_html_133dfd.gify2-162=152-x2

  1. BDC: DC2= y2-162

+hello_html_m64abb832.gif

450+y2-x2=x2+32x+256+y2-256

2x2+32x-450=0

x2+16x-225=0

x1=9, x2= - 25 – посторонний корень

y=20, BC=20см, АВ=25см, АС=15см

r =hello_html_m62a00377.gifhello_html_m28a0f894.gif= 5

Ответ: r=5см.


Задача: В ∆АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=hello_html_m6a772bb3.gifАС, а на стороне ВС взята точка К такая, что ВК=hello_html_m5f640c3e.gifВС. В каком отношении отрезок ИЬ делит Отрезок АК?

hello_html_74a471e7.png


Дано: ∆АВС,

АМ=hello_html_m6a772bb3.gifАС; ВК=hello_html_m5f640c3e.gifВС

Найти: hello_html_m2146a132.gif

Решение:


Пусть ВК=а, ВС=3а. В каких объектах содержатся AN и NK?

Д.П. ALBC, ALBM=L

Метод подобия

1) BNKLNA (Ð1=Ð2; Ð3=Ð4)

hello_html_3429bb8e.gif

hello_html_m61c12e69.gif=hello_html_m2146a132.gif; AL=?

2) AMLCMB (Ð5=Ð6, Ð3=Ð4)

hello_html_3429bb8e.gif

hello_html_3f4e9959.gif; hello_html_375b2087.gif; hello_html_m74a69b44.gif; AL=2a,

hello_html_m2146a132.gif=hello_html_42bbab6e.gif

Ответ: hello_html_m2146a132.gif=2


Эту задачу можно решить векторным способом (домашние задание).


Выводы: В качестве основных методов решения геометрических задач рассматривали: а) геометрический (метод подобия, векторный, поэтапное решение) и алгебраический метод.

Недостатки геометрического метода можно отметить следующие: нет алгоритма решения, при решении нужны хорошие чертежи, трудно выбрать из множества теорем нужную.

Преимущества алгебраического метода заключаются в том, что основные его модификации могут быть в достаточной степени алгоритмированы, (метод по этапного решения – аналогия – текстовые арифметические задачи), метод составления уравнений (аналогия - текстовые задачи на составление уравнений).

  1. Не нужно бояться числа неизвестных.

  2. Неизвестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.

  3. Величину какого-либо элемента выражают дважды различными способами через введенные неизвестные.

  4. Возможно, случай составления уравнения является частью общего решения уравнения.

Однако, следует заметить, что, ставя во главу алгебраический метод решения геометрических задач, необходимо избегать чрезмерного увлечения алгеброй и счетам, не забывать – речь идет о геометрических задачах. Поэтому, работая над задачей, нужно искать ее геометрические особенности, учится видеть геометрию.

В алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических методов, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой алгебраическим метом.


Комбинированный метод.

Таким методом мы уже решали задачи, но рассмотрим еще одну задачу.

Задача. На сторонах АD и CD квадрата ABCD со стороной 3см, взяты две точки M и N так, что MD+DN=3см, прямые BM и CD пересекаются в точка Е. найти длину отрезка NЕ, если MЕ=4см.


Решение.hello_html_10d6570a.png

1) ∆DAMEMD

hello_html_m57c50110.gif

NE=ND+DE=3-x+y

(y-x)=?

2) ∆MDE по теореме Пифагора x2+y2+16

hello_html_m39483fc8.gifhello_html_m2c09af03.gif

Пусть y-x=z, (1) -3z + xy = 0,

xy = 3z

(2) уравнение: (y-x)2+2xy=16,

hello_html_m17057257.gifhello_html_m72e496ba.gifz = 2; z = - 8 – не подходит

NE=3+2=5(см)

Ответ: NE=5см



Краткое описание документа:

1.Основные этапы решения задач:

а) построение чертежа;

б) выявления особенностей полученной конфигурации;

в) выбор пути и метода решения;

г) анализ полученного решения

2.Методы решения задач

При решении геометрических задач обычно используется три основных метода:

а) геометрический, когда требуемые утверждения выводятся с помощью логических рассуждений из ряда известных теорий;

б) алгебраический, когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнения;

в) комбинированный, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой – алгебраическим методом.

Две разновидности алгебраического метода:

1)                 метод поэтапного решения;

 

2)                 метод составления уравнений.

Общая информация

Номер материала: 382669

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.