Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Методические рекомендации "Три метода решения геометрических задач"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации "Три метода решения геометрических задач"

библиотека
материалов

Тема: Три основных метода решения геометрических задач.

  1. Основные этапы решения задач:

а) построение чертежа;

б) выявления особенностей полученной конфигурации;

в) выбор пути и метода решения;

г) анализ полученного решения

2.Методы решения задач

При решении геометрических задач обычно используется три основных метода:

а) геометрический, когда требуемые утверждения выводятся с помощью логических рассуждений из ряда известных теорий;

б) алгебраический, когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнения;

в) комбинированный, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой – алгебраическим методом.


Две разновидности алгебраического метода:

  1. метод поэтапного решения;

  2. метод составления уравнений.


Сущность первого метода: величины, заданные в условии и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых определяется через предыдущие.


Задача: В параллелограмме со сторонами а и в, и углом  проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение.

hello_html_m76b6b0ba.png

SMNPQ - ?

  1. MNPQ – параллелограмм ( биссектрисы противолежащих углов параллельны)





  1. ВМА=hello_html_m79679b7.gifMNPQ – прямоугольник

  2. SMNPQ=MN hello_html_58ab5aeb.gif

MN=AN-AM; AM= вhello_html_m429dd84c.gif; AN=аhello_html_m429dd84c.gif

MQ=BQ-BM; BM= вhello_html_57ba27a3.gif; BQ= аhello_html_57ba27a3.gif

MN= (а- в)hello_html_me996454.gif; MQ= (а- в) hello_html_49271c63.gif

SMNPQ=(а- в)2hello_html_49271c63.gifhello_html_m429dd84c.gif

Ответ: SMNPQ=(а- в)2hello_html_49271c63.gifhello_html_m429dd84c.gif


Мы рассмотрели алгебраический метод решения, решали поэтапно, т.е. составляли план решения, а затем его реализовали.


Рассмотрим задачи, решаемые при помощи составления уравнений:

Один и тот же элемент (сторона которого, угол, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами, полученные выражения приравниваются (опорный элемент)

Задача: Стороны треугольника равны а, в, с. Вычислите высоту hc.

hello_html_m6a98b9d5.png

Решение.

  1. Выберем опорный элемент.

hc - общий катет двух прямоугольных треугольников.

  1. ∆ АDС


∆СDВ

hc2в2 – х2

а2 – (с – х)2= в2 – х2,

а2 – с2 + 2сх – х2 – в22= 0,

2сх = с2 + в2 – а2,


hc2 = а2 – (с – х)2

а2 – (с-х) 2 = в2- х2,

а2 – с2 + 2cosx2 – в22 = 0,

2сх = с22 –а2,

х = hello_html_3ff7d868.gif

hc = hello_html_m3d54439e.gif


Можно было за опорный элемент выбрать площадь треугольника.

Доказать самостоятельно

S= hello_html_6c2e1198.gif ; S=hello_html_m44b8e41f.gif



hello_html_6c2e1198.gif=hello_html_m44b8e41f.gifhello_html_m23785cf1.gifhc = ?


В этом случае говорят, задача решена методом площадей.


Задача: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см. и 12см. Найти катеты треугольника.


Решение.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки

hello_html_6bdf2faa.png

АС - ? СВ - ?

AF = AD =5см

CF=CE

BD=BE=12 см


Пусть CF=x? тогда

AC = x + 5

BC = X + 12

AB = 17

ACD, C = 90


hello_html_133dfd.gif по теореме hello_html_133dfd.gif

Пифагора


hello_html_133dfd.gif (x2+5)2 + (x+12)2 = 172,

x2 + 10x + 25 +x2 + 24x + 144 – 289 = 0,

2x2 + 34x – 120 = 0,

x2 + 17 – 60 = 0,

Д > 0, x1= -20 – не удовлетворяет условию задачи

x2= 3

AC = 8см, BC = 15 см.

Ответ: AC = 8см, BC = 15 см.


Задача: Найти длину основания равнобедренного треугольника, если S = 25см2, а углы  при основании таковы, что tg  = 4.

Решение.

AC - ?hello_html_4480ceac.png

ABC : BDAC,

AB=BC? AD=DC

tg = hello_html_m927917a.gif

BD=h, AD=a hello_html_133dfd.gif tg = hello_html_3da6d552.gif;

hello_html_3da6d552.gif= 4

S∆ABC = hello_html_302ad0af.gif= ah: ah=25

hello_html_m3fca922a.gifhello_html_3be0ea40.gifhello_html_m5221b892.gifhello_html_m16cdf237.gif - не имеет смысла

а = 2,5

Ответ: AC=5см


Задача: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция этого катета на гипотенузу равна 16см. найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

hello_html_3bb75898.png

Решение.

r - ?

r = hello_html_m4888701e.gif (для произвольного треугольника)

r = hello_html_m3f1df1dd.gif (для прямоугольного треугольника)

BC - ?, AB - ?

  1. Пусть = AD=x, BC=y ; ÐC=90 в ∆ACBhello_html_133dfd.gifпо теореме Пифагора 152+y2=(x=16)2

  1. ABC: DC2=152- x2

hello_html_m60560e88.gifhello_html_133dfd.gify2-162=152-x2

  1. BDC: DC2= y2-162

+hello_html_m64abb832.gif

450+y2-x2=x2+32x+256+y2-256

2x2+32x-450=0

x2+16x-225=0

x1=9, x2= - 25 – посторонний корень

y=20, BC=20см, АВ=25см, АС=15см

r =hello_html_m62a00377.gifhello_html_m28a0f894.gif= 5

Ответ: r=5см.


Задача: В ∆АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=hello_html_m6a772bb3.gifАС, а на стороне ВС взята точка К такая, что ВК=hello_html_m5f640c3e.gifВС. В каком отношении отрезок ИЬ делит Отрезок АК?

hello_html_74a471e7.png


Дано: ∆АВС,

АМ=hello_html_m6a772bb3.gifАС; ВК=hello_html_m5f640c3e.gifВС

Найти: hello_html_m2146a132.gif

Решение:


Пусть ВК=а, ВС=3а. В каких объектах содержатся AN и NK?

Д.П. ALBC, ALBM=L

Метод подобия

1) BNKLNA (Ð1=Ð2; Ð3=Ð4)

hello_html_3429bb8e.gif

hello_html_m61c12e69.gif=hello_html_m2146a132.gif; AL=?

2) AMLCMB (Ð5=Ð6, Ð3=Ð4)

hello_html_3429bb8e.gif

hello_html_3f4e9959.gif; hello_html_375b2087.gif; hello_html_m74a69b44.gif; AL=2a,

hello_html_m2146a132.gif=hello_html_42bbab6e.gif

Ответ: hello_html_m2146a132.gif=2


Эту задачу можно решить векторным способом (домашние задание).


Выводы: В качестве основных методов решения геометрических задач рассматривали: а) геометрический (метод подобия, векторный, поэтапное решение) и алгебраический метод.

Недостатки геометрического метода можно отметить следующие: нет алгоритма решения, при решении нужны хорошие чертежи, трудно выбрать из множества теорем нужную.

Преимущества алгебраического метода заключаются в том, что основные его модификации могут быть в достаточной степени алгоритмированы, (метод по этапного решения – аналогия – текстовые арифметические задачи), метод составления уравнений (аналогия - текстовые задачи на составление уравнений).

  1. Не нужно бояться числа неизвестных.

  2. Неизвестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.

  3. Величину какого-либо элемента выражают дважды различными способами через введенные неизвестные.

  4. Возможно, случай составления уравнения является частью общего решения уравнения.

Однако, следует заметить, что, ставя во главу алгебраический метод решения геометрических задач, необходимо избегать чрезмерного увлечения алгеброй и счетам, не забывать – речь идет о геометрических задачах. Поэтому, работая над задачей, нужно искать ее геометрические особенности, учится видеть геометрию.

В алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических методов, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой алгебраическим метом.


Комбинированный метод.

Таким методом мы уже решали задачи, но рассмотрим еще одну задачу.

Задача. На сторонах АD и CD квадрата ABCD со стороной 3см, взяты две точки M и N так, что MD+DN=3см, прямые BM и CD пересекаются в точка Е. найти длину отрезка NЕ, если MЕ=4см.


Решение.hello_html_10d6570a.png

1) ∆DAMEMD

hello_html_m57c50110.gif

NE=ND+DE=3-x+y

(y-x)=?

2) ∆MDE по теореме Пифагора x2+y2+16

hello_html_m39483fc8.gifhello_html_m2c09af03.gif

Пусть y-x=z, (1) -3z + xy = 0,

xy = 3z

(2) уравнение: (y-x)2+2xy=16,

hello_html_m17057257.gifhello_html_m72e496ba.gifz = 2; z = - 8 – не подходит

NE=3+2=5(см)

Ответ: NE=5см




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

1.Основные этапы решения задач:

а) построение чертежа;

б) выявления особенностей полученной конфигурации;

в) выбор пути и метода решения;

г) анализ полученного решения

2.Методы решения задач

При решении геометрических задач обычно используется три основных метода:

а) геометрический, когда требуемые утверждения выводятся с помощью логических рассуждений из ряда известных теорий;

б) алгебраический, когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнения;

в) комбинированный, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой – алгебраическим методом.

Две разновидности алгебраического метода:

1)                 метод поэтапного решения;

 

2)                 метод составления уравнений.

Автор
Дата добавления 12.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров552
Номер материала 382669
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх