МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

 

 

 

 

Рекомендованно к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Оренбургский государственый университет»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оренбург 2004

 

ББК 22.161 я73

        Л 64

УДК 517 (075)

 

 

 

         Рецензент

         кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев

 

 

 

 

 

                        Литвиненко О.Д.

          Л64              Математика: Методические указания и задания 

                        к контрольной работе . – Оренбург:  ГОУ ОГУ, 2004. – 20 с.

 

 

 

                         

                

 

                         Работа содержит задания и методические рекомендации по           выполнению контрольной работы курса математики. Предназначена            для студентов заочного отделения специальности 290500.

 

 

       

                            

 

 

       

 

 

                                                                                                  ББК 22.161. я73 

      

 

      

                                                                                       

                                                                                       © Литвиненко О.Д., 2004

                                                                                       ©  ГОУ ОГУ, 2004

Введение

 

         Математика является одним из важнейших элементов в образовании современного инженера. 

        Современный инженер должен не только знать основы математики, но и хорошо владеть всеми новейшими математическими методами исследования, которые могут применяться в области его деятельности. Сегодня никакая научная и инженерная работа невозможна без математики.

         В процессе обучения студенту постоянно приходится пользоваться математикой. Такие основные предметы, как физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, строительная механика и многие другие широко применяют  математические методы. 

         Математика способствует развитию логического мышления, именно поэтому,  в наше время, несмотря на появление и распространение различных компьютерных математических и инженерно-строительных программ, овладение этой наукой по-прежнему остается актуальным.          При изучении математики очень существенно решение задач. Еще Ньютон высказывал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Пожалуй полностью с эти согласиться нельзя, но нет сомнения, что для инженера одно лишь теоретическое знакомство с материалом было бы бесполезно.

         В соответствие с учебным планом студенты-заочники специальности «Городское строительство и хозяйство» выполняют письменную контрольную работу. Данное пособие содержит методические указания по подготовке к контрольной работе по математике. Специфика работы с пособием состоит в том, что студент сначала знакомиться с требованиями к оформлению контрольной работы, с образцом решения типовых задач, входящих в данный курс, а затем переходит к самостоятельному выполнению заданий конкретного варианта.

          Отбор материала и способы его изложения строились автором так, чтобы у студента постепенно складывалось цельное представление об основных математических идеях и методах. Автор стремился вложить в руки пользователя простой, но эффективный инструмент необходимый для разрешения прикладных задач разного уровня.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1   Оформление контрольной работы

 

        Выполненная контрольная работа должна соответствовать  следующим требованиям:

-   контрольная работа должна быть выполнена и представлена на рецензирование в срок, установленный графиком;

-   лицевой бланк следует оформить согласно образцу, представленному в приложении;

-   задачи следует решать в том порядке, в котором они приведены в варианте;

-   решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, подробными расчетами и пояснениями. Необходимо четко формулировать выводы, раскрывающие значение исчисленных показателей;

-   работа должна быть написана разборчиво, без помарок, аккуратно оформлена. В работе допускаются лишь общепринятые сокращения, каждая страница должна иметь поля для замечаний;

-   в конце работы нужно привести список используемой литературы

(автор, название учебника), поставить подпись и дату выполнения работы;

-   в случае отсутствия замечаний работа допускается к собеседованию. При наличии замечаний перед выходом на собеседование необходимо внести исправления. Собеседование оценивается зачетом.

           Студенты, не получившие зачета по письменной работе, к экзамену не допускаются.

            Если выполнение работы вызывает затруднения, следует обратиться за устной или письменной консультацией на кафедру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2   Образец решения задач

 

 dx

Задача 1.  Исследовать сходимость:   1⁺ x2

                                                                         ₀

 

 

          Решение:  По определению                                                     

 

                    Так что интеграл                 ⁺∫0^∞₁+^dxx₂ сходится и равен       .

 

 

 

Задача 2.   Найти неопределенные интегралы:

 

a)   ∫ 3 xx34dx+1

 

 

Решение:    Сделаем замену переменной x z , тогда dz = 4x³dx

                                                                   Поэтому                         ∫ ₃ x_x34dx₊₁ = 1₄∫ 3 dz                                                                     , z = 14∫z−3dz= 833 z2 +c= 833 (x4 +1)2 +c                       где c = const.

 

б)  ∫ x²2^xdx

 

Решение:   Воспользуемся формулой интегрирования по частям                         ∫udv =uv−∫vdu

                          Здесь u = arcsin(x),dv ⁼ x^dx₊₁ , 

                    откуда находим du ⁼ 1^dx− x₂ ,v = ^∫ _x^dx₊₁ = 2 x +1

                    Применяя вышеуказанную формулу, получим                                               

                                                                                                                                                     ∫x22x dx = 2 x+1arcsin(x) − 2∫ x+1 1dx₋x2 = 2 x+1arcsin(x) − 2∫ 1dx−x =                                                                                                                                                    ^{= 2 x+1arcsin(x) + 4 1−x +c}              где c = const.

 

 

 

 

       в)               _x

 

       Решение: Применяем подстановку            t , откуда  .

                    Поэтому ^∫ _sin^dx_x = _∫ ^dt_t = lnt+ c = lntg(₂^x) + c, где c = const.

 

Задача 3. Вычислить определенные интегралы 

               ₁

^{а )}  ∫₀(2x³ −1) x⁴ −2x+1dx

 

Решение: Сделаем замену t = x⁴ − 2x +1. В данном случае выражать x через t, т.е. находить функцию x =ϕ(t)не нужно! Дифференцируя это равенство, получимdt = (4x³ − 2)dx, откуда(2  x³ −1)dx = 1₂.

 Поэтому будем иметь  ∫¹0 (2x3 −1) x4 −2x+1dx = 1 ^∫1⁰tdt = 1₂ t=0−1₃ =−1_{3 2}

 

б)     ^π

                    ∫(π−x)sinxdx

                  0

                                                                                 bb

Решение: Воспользуемся формулой     ∫ udv=uv−∫vdu       aa

                  В данном интеграле u =π− x,dv = sin xdx, тогда du =−dx,v =−cos x, 

      ππ                    поэтому ∫(π−x)sin xdx=−(π−x)cosx−∫cosxdx=π .

                                                               00

 

Задача 4.  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =1− x²,x = 2 и осями Ox и Oy.

 

Решение:   Воспользуемся тем, что если функция f(x) меняет свой знак при переходе x через точку c∈(a,b), т.е. часть криволинейной трапеции  abBA расположена над осью Ox, а другая часть под осью Ox, то площадь всей фигуры будет равна сумме двух площадей (рис.1)

 

                                              cb

                                                              Q⁼Q₁ ⁺Q₂ ⁼ ∫f(x)dx ⁺∫f(x)dx

                                              ac

или

                                                                                          ^{c  b}

                                                                                Q ⁼∫ f (x)dx ⁻∫ f (x)dx       Рисунок 1-Площадь фигуры Q

                                        a                             c

В данном случае 

  Q=∫¹ (1−x²)dx−_∫² (1−x²)dx=

            =x−0    ^{3 x3} =11− ¹ −1+ ⁸ − ¹ = 2(кв.ед) ^x     −x+

                    3        3           3          3     3

 

                                                                   Рисунок 2- Площадь искомой фигуры

 

 

 

Задача 5.  Найти длинну одной арки цеклоиды (рис.3).

                               

                             x = a(t −sin t), y = a(1− cost),0 ≤ t ≤ 2π,a > 0

 

Решение: 

 

 

 

 

 

 

 

                                            Рисунок 3-Арка циклоиды 

S ⁼   a2∫π (1− cost)² + sin²tdt = a2^∫0π 2 − 2costdt = a2^∫0π 4 −sin² ₂t dt =

= 2  a ^∫ sin ₂^t dt = 2a^2∫0^πsin ₂^tdt =−4a cos ₂^t = 8a(ед).                           

 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                    

3         Варианты контрольной работы Вариант 0    

 

        

1                 Исследовать сходимость:  ⌠^⌡−0∞ xdx

x e⋅

2                 Найти неопределённые интегралы:

 

     а)                                              б)                               в)                       



                                    ⌠   x² + x4x + 10 ^dx                                    ⌠^{            2} dx                           ^⌠ 5 − 3⋅1cos( )_x ^dx

                                                                         ^_⌡                              (ln(4x))                                      _⌡

⌡

             

3                 Вычислить определённые интегралы:  

 

                                                    ⌠⌡01 x2⋅ − xdx                                                                        ⌠⌡14 1 +x x dx

      а)                                                                         б)                            

4                 Найти площадь фигуры, заключённой между линиями: 

          Сделать чертёж.

5                 Найти длину цепной линии между точками с абсциссами  0  и   х,            при     х  >  0  

                                                                                                         x        −x

y := 5⋅x2 + 6⋅x − 10                         y := ^a⋅ea + ey :=a x2 − 2⋅x + 2 2

 

                                                                                                   

 

 

 

                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1            Исследовать сходимость:

⌠∞

                                                                                                   ⌡   arctg( )x dx

0

2            Найти неопределённые интегралы: 

     а)                                          б)                                       в) 

⌠⌡ (x⋅ ³x −x 1)2 dx ⌠⌡ ex dx ⌠⌡ 3 + 5⋅1cos( )x dx e2x − 9 3    Вычислить определённые интегралы:

      а)                                                       б) 

                                     ⌠⌡5 xx− 1 dx                                                          ⌠⌡ dx

2

4        Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг          оси ОХ фигуры, лежащей в I четверти и ограниченной линиями:                                                y= x3_{, y= 4x      Сделать чертёж}.

 

5        Найти длину дуги параболы  y = ax² , при  а>0  от вершины до   произвольной точки с абсциссой  х.

     

 

                                                                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1          Исследовать сходимость:

⌠⌡∞ 21+ x dx x 1

2          Найти неопределённые интегралы:

     а)                               б)                                в) 

                            ⌠ 2x⋅x−+35 dx                           ⌠ x ln(x)⋅( 1 + 3) dx               ⌠ (sin( )x )52 dx

                              _{⌡                                          ⌡                                       }   (cos( )x )

⌡ 3    Вычислите определённые интегралы:

      а)                                                                 б) 

                             ⌠9            1            dx                                     ⌠2 (2x + 1)e2xdx

⌡6 2 − 7⋅x + 10 ⌡0 x

4          Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:  

                                    y := _x²                   _y := x₂²                y := 2x

 

       Сделать чертёж.

5          Вычислить всю длину астроиды, определяемой  уравнением:

2 2 2 x3 + y3 := a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1          Исследовать сходимость:

⌠



⌡          ctg( )x dx 0

2          Найти неопределённые интегралы: 

                                  ⌠        2x − 5 3 dx                                   ⌠ x 3⋅ xdx                                     ⌠        1         dx

                                      (x2 − 5x + 4)                   ⌡                                         ⌡  2 + sin( )x

⌡

      а)                                           б)                                    в) 

3          Вычислить определённые интегралы:

      а)                                                          б) 

                                         ^⌠¹ x² − x + 1 dx                                                            ^⌠_^e 1 + 2x⋅ln( )x dx

                                          ⌡     1 + x_{2                                                                          ⌡}1

0

4          Найти площадь фигуры, ограниченной кривой    у = ln x,          касательной к ней  в  точке х = е   и отрезком оси  ОХ. Сделать чертёж.

5          Найти длину дуги кривой     у = ln x  от точки  с  абсциссой 1  до            точки  с  абсциссой  3.

 

 

 

 

 

                                     

 

 

 

 

 

                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1                 Исследовать сходимость:

⌠⌡2 3 11− x dx 0

2                 Найти неопределённые интегралы: 

       а)                                        б)                                        в) 

                               ⌠      1        dx                                     ⌠^ (x² − x + 1)⋅ln( )x dx                         ^_⌡⌠ (cos( )x )⁴dx

3

                                 _      2x ₋ 3                                              _⌡

⌡

3                 Вычислить определённые интегралы:

      а)                                                         б) 

                           ^⌠^e 1 + 4⋅(ln( )x )⁴ dx                                                      ^⌠⌡¹ (3x + 1)⋅₃^{x 1−} _dx

                             ⌡           x                                                                              0

1

4                 Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, 

      заключённой между линиями: ху= 2; х-2у = 0; у = 0; х = 4. Сделать чертёж.

 

 

5                 Вычислить длину дуги  

y := e^x

                 от точки с абсциссой  0  до точки с абсциссой Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1            Исследовать сходимость:

⌠⌡∞       − xdx e 0

 

2            Найти неопределённые интегралы:

      а)                                         б)                                в) 

                                     ⌠                                                   ⌠                                       ⌠

                                  ⌡        x           dx                                   ⌡  ln3( )xx  dx                         ((cossin( )( )xx))25 dx

                                        x2 + 4x + 1                                           

⌡ 3     Вычислить определённые интегралы:

      а)                                                          б)

2 − x)⋅e

                                     ⌠⌡⁰1 (           − xdx                                                               ⌠⌡5 e xx 4++4 dx

0

4        Найти объём тела, образованного вращением вокруг фигуры,         ограниченной линиями:  х у = 6; у = 1; у = 6;  х = 0; Сделать чертёж.

5        Вычислить длину одной арки циклоиды: x = а (t – sin t)

y = a (1 – cos t)

 

 

 

 

                                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1                   Исследовать сходимость:

                                                                                ⌠⌡3   1    2 dx

9 − x

0

 

2                   Найти неопределённые интегралы:

     а)                                             б)                                    в) 

                                     ⌠                                                      ⌠                                              ⌠

                                   e4x − e22⋅e^x2x − 3 dx                        _⌡ ln^x( )₃x dx                                 _⌡ (1 ₋coscos( )x( )x )₂ dx

⌡

3                   Вычислить определённые интегралы:

     а)                                                             б) 

⌠9⌠e

                                                   x     dx                                                                     _⌡ x⋅(1 + ln( )x ) dx

                                          _⌡     x ₋ 1                                                                               ₁

4

4                   Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

                           y := (x − 4)²             y := x^{2                 y:=1}

      Сделать чертёж.

 

5                   Определить длину всей кривой Штейнера:

 

                           x:= 2R cos⋅ ^ 3^{t } − R cos⋅    ^ ²3^{t }

 

 

                 y := 2R sin⋅ ^ 3^{t } − R sin⋅ ^ ²3^{t }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                

1                   Исследовать сходимость:

⌠∞ 2 + 41x + 9 dx

⌡−∞ x

2                   Найти неопределённые интегралы:

        а)                                           б)                                        в) 

                                                   ⌠   x² + 1 d                                       ⌠^_ ln(x + 1 + x²) dx                       ⌠ (cos( )x )⁶ dx

                                                    _    ² − 1    x                                                                        _⌡⌡

                                                       x

⌡

3                   Вычислить определённые интегралы:

                    а)                                                    б) 

                                          ⌠1 x2⋅exdx                                                                  ⌠− ln( )2  _{1 − e}− 2x_dx

_{⌡  ⌡ 0          0}

4                   Найти площадь фигуры , заключённой между линиями: у = х, 

y := x² + 1 х = 0 , у = 2,

                      Сделать чертёж.

             5       Найти поверхность тела, образованного вращением кардиоиды 

                           x:= 2R cos⋅ ( )t − R cos⋅ ( )2t                     

                         y := 2R⋅sin( )t − R sin⋅ ( )2t      0 ≤ t ≤ 2π                                          

                         вокруг её оси. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                    

 

 

 

 

 

 

 

1              Исследовать сходимость:

                                                                                                         ⌠∞       1       dx

                                                                                                        ⌡   3 3 − 1

x

2

2              Найти неопределённые интегралы:

            а)                                     б)                                    в) 

                                               ⌠                                            ⌠                                            ⌠

^ x2 1 ^dx  2x +x1 + 1 ^dx  4 + tan( )x1+ 4⋅ctg( )x ^dx ⌡ + 6x + 5 _⌡⌡

3              Вычмслить определённые интегралы:

           а)                                                                       б) 

                                ⌠⌡1e (ln( )x )2 dx                                                                        _⌡⌠4 xx2−+23 dx

3

4              Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг           оси ОУ  фигуры, ограниченной  линиями

              х у = 6,  х + у = 7. Сделать чертёж.

 

5              Найти  поверхность тела, полученного от вращения астроды

y := R⋅sin t 3

                                                            4 

                                       x:= R⋅cos t 3             0 ≤ t ≤ 2π

                                                            4

 

        вокруг  оси ОХ.

 

                                                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1            Исследовать сходимость:

⌠⌡∞ − x⋅sin( )x dx e 0

2            Найти неопределённые интегралы:

            а)                                       б)                                  в) 

                                          ⌠    2x + 3 dx                                    ⌠⌡ (x + 3)⋅e− 2xdx                   ⌠ dx

                                               x2 + 1                                                                                                       ⌡

⌡

3            Вычислить определённые интегралы:

            а)                                             б) 

                                       ⌠⌡12 xln( )x dx                                   ⌠⌡1 x₂4₊x4+x8₊ 5 dx

0

4            Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,         ограниченной линиями: х = 1, у = 0, y = xe^x               Сделать чертёж.

5            Найти поверхность тела, образованного вращением                            одной арки циклоиды        _x:= a⋅(t − sin(t))

                                                                 _y := a⋅(1 − cos( )t )              0 ^при≤ t ^≤ 2^π

 

                вокруг оси ОХ.

                     

 

 

4   Рекомендуемая литература

 

1                    Берман Г.Н.  Сборник задач по курсу математического анализа / Под ред. Арамановича Л.И. М.: Эдиториал УРСС, 1999.-416 с.

2                    Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика: Учебник для вузов. Т.2 / М.: Эдиториал УРСС, 2000.-184с.

3                    Натансон И.П. Краткий курс высшей математики: Учебник для высшей школы / СПб.: Лань, 1999.-7636с.

4                    Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для немат.спец.вузов / Под ред. Акад. А.Н. Тихонова / М.: Высшая школа, 1995-479с.

 

Приложение А

(обязательное)

 

Образец оформления лицевого бланка контрольной работы

 

 

 

 

Министерство образования Российской Федерации

(14 пт)

 

Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

Оренбургский государственный университет

(14 пт)

 

Факультет вечернего и заочного обучения

(14 пт)

 

Кафедра математического анализа

(14 пт)

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

(16 пт)

Вариант №

(14 пт)

 

 

 

                                                                                   Выполнил: 

                                                                                          студент (группа, курс,                                                                                             специальность, ФИО) 

                                                                               Проверил:  

                                                                                         преподаватель (звание,                                                                                                должность, ФИО)               

                                            Оренбург 2004                                                    (14 пт)