Методический материал по математике на тему " Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным"

 

Урок № 

 

Тема: Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Решить уравнения:

1)    sin 2 x + sin x – 2 = 0. Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначим sin x =  y, тогда получим уравнение:                               у 2 + у – 2 = 0. Кони данного уравнения найдем по формуле: Решим простейшие уравнения:  1)sin x = 1 х =  + 2π n, n Ζ  2) sin x = - 2         не имеет  корней Ответ:  х =  + 2π n, n Ζ	2) 2 cos 2 x – 5 cos x + 2 = 0.  Это уравнение является квадратным относительно cos x. Обозначим cos x =  y, тогда получим уравнение:                                     2 у 2  – 5у  + 2 = 0. Кони данного уравнения найдем по формуле: Решим простейшие уравнения: 2) cos x =  2        не имеет   корней Ответ:
Р.С.        1)   sin 2 x + 2 sin x – 3 = 0.                       2)   2 cos 2 x – 9 cos x + 4 = 0.

3) 2sin 2 x –  cos x  – 1  = 0. Используя формулу   sin 2 x = 1 – cos 2 x  получаем:  2 (1 – cos 2 x) –  cos x  – 1 = 0, раскроем скобки                          2 – 2 cos 2 x – cos x  – 1 = 0,      приведем подобные                       – 2 cos 2 x – cos x  + 1 = 0     или                  2 cos 2 x  + cos x  – 1 = 0.  Обозначим cos x =  y,   тогда получим уравнение:                                            2у 2  + у – 1= 0. Кони данного уравнения найдем по формуле: Решим простейшие уравнения: 1)    cos x = – 1   х = π + 2π n, n Ζ             Ответ:  х =  π + 2π n,    n Ζ                   n Ζ

4) 2 cos 2 x – 5 sin x + 1 = 0. Заменим  соs 2 x = 1 – sin 2 x , тогда уравнение примет вид:                    2 (1 – sin 2 x) – 5 sin x + 1 = 0,                    2 – 2 sin 2 x – 5 sin x + 1 = 0,       - 2 sin 2 x – 5 sin x + 3 = 0      или               2 sin 2 x  + 5 sin x – 3 = 0.  Обозначим sin x =  y, тогда получим уравнение :                                               2у 2  + 5у – 3 = 0. Кони данного уравнения найдем по формуле: Решим простейшие уравнения: 1)sin x = - 3        не имеет   корней Ответ:

Р.С.    1) 4sin 2 x – 3 cos x  – 3  = 0.                    2) 3 cos 2 x – 2 sin x – 2  = 0.

Урок №

 

Тема: Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

5) 3 tg 2 x  – tg x – 2 = 0, Обозначим tg x =  y,   тогда получим уравнение:                                         3 у 2  –  у  – 2 = 0. Корни данного уравнения найдем по формуле: Решим простейшие уравнения:      1) tg x =  x = arctg () + π n,    n Ζ x =  – arctg + π n,    n Ζ 1)    tg x = 1      х =  +  π n,  n Ζ  Ответ: х =  +  π n,  n Ζ        x =  –  arctg  + π n,    n Ζ

6) tg x – 2 ctg x + 1 = 0. Так как  , то уравнение запишем в виде:                           умножим обе части уравнения на  tg x,  получаем               tg 2 x + tg x – 2 = 0, Обозначим tg x =  y,   тогда получим уравнение:                                          у 2  + у – 2 = 0. Корни данного уравнения найдем по формуле: Решим простейшие уравнения: 1)    tg x = 1  х =  +  π n,  n Ζ 2)     tg x =  – 2 x = arctg (– 2 ) + π n,    n Ζ x =  – arctg 2  + π n,    n Ζ Ответ: х =  +  π n,  n Ζ              x =  – arctg 2  + π n,    n Ζ

Р.С.          1)  4 tg 2 x  – tg x – 5 = 0,                       2)  tg x + 7 ctg x – 8  = 0.