Методическое пособие для учителей математики и учащихся 10-11 классов "Метод оценки для решения уравнений и неравенств"

Метод оценки

для решения уравнений и неравенств

Подготовила

преподаватель математики

МОУ «Технический лицей

г.Донецка»

Милаенко Е.В.

    Вот простейший пример применения этого метода:

Если требуется решить уравнение  и при этом известно, что на  общей области определения функций  и выполняются неравенства , а , то данное уравнение равносильно системе  Если  для  всех значений  х  из общей области определения функций  и справедливы  неравенства , то уравнение  решений не имеет.

Проиллюстрируем этот метод следующими примерами.

 Пример 1.   Решите уравнение .

Решение. Так как  и возрастает при ,

                  то ,                                      

                  а , поэтому , значит уравнение   

                  равносильно системе

                       

                              

          

             

                

                 так как - решения   уравнения то

                

                 , тогда

                

                  .

                  Значит,

Ответ.

Для решения задач методом оценки необходимо уметь оценивать выражения. Для этого можно воспользоваться следующими свойствами.

1.     Неравенство Коши (неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим):   если , то . Равенство достигается, если . 2.     Если , то . 3.     , равенство достигается, если . 4.     Если ,то . Равенство достигается, если . 5.     Если ,то . Равенство достигается, если . 6.     Неравенство Коши для n переменных , где неотрицательные числа. 7.     . 8.     Если , то , где , равенство достигается при ;       если , то , где , равенство достигается при          . 9.      при ; при . 10. .

Пример 2.   Решите уравнение .

Решение. ОДЗ  .

                 Воспользуемся неравенством  для оценки левой части    

                 уравнения, получим

                  .

                

                 Значит, данное уравнение равносильно системе

               

               так как обращает первое уравнение системы в верное равенство, то

               он является корнем данного уравнения.

Ответ. 3.

.

Пример 3.   Решите уравнение .

Решение. ОДЗ   R.

                Так как  , а при,то 

                уравнение равносильно системе

                   .

Ответ. .

Пример 4.   Решите уравнение .

Решение. ОДЗ .

               

                 так как   

                 тогда   

                 а поэтому уравнение равно-

                 сильно системе

                  

                  

Ответ.

Задачи для самостоятельной работы

Пример 5.   Решите уравнение .

Ответ. 1.

Пример 6.   Решите уравнение .

Ответ. 3.

Пример 7.   Решите уравнение .

Ответ. .

Пример 8.   Решите уравнение .

Ответ. 0, ±1.

Пример 9.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 10.   Решите уравнение .

Ответ.0.

Пример 11.   Решите неравенство.

Ответ. 2.

Пример 12.   Решите неравенство .

Ответ. 3.

Пример 13.   Решите неравенство .  

Ответ.  5.     

Пример 14.   Решите неравенство .   

Ответ. Æ.

Пример 15.   Решите уравнение .

Ответ. .

Пример 16.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 17.   Решите уравнение . 

Ответ.               

Пример 18.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 18.   Решите уравнение .

Ответ. Æ.

Пример 18.   Решите уравнение .

Ответ. .

Пример 18.   Решите уравнение .

Ответ. .

Пример 18.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 19.   Решите уравнение .                        

 Ответ. .

Пример 20.   Решите уравнение .

Ответ. Æ

Пример 21.   Решите уравнение .

Ответ. Æ

Пример 22.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 23.   Решите уравнение  .

Ответ. 2.

Пример 24.   Решите уравнение .

Ответ. 0, .

Пример 25.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 26.   Решите уравнение .

Ответ. .

Пример 27.   Решите уравнение .

Ответ. 0.

Пример 28. Решите неравенство .

Ответ. Æ.

Пример 29. Решите неравенство .

Ответ. Æ.

Пример 30. Решите неравенство .

Ответ. 2.

Пример 31. Решите неравенство .

Ответ. 2.

Пример 32. Решите неравенство .

Ответ. .

Пример 33.   Решите уравнение .

Ответ. Æ