C. Аманжолов атында ы Шы ыс Казакстан мемлекеттік университетіғ        ғ Восточно-Казахстанский государственный университет им. С.Аманжолова

Зарубин Н.П.

    Пособие рекомендовано учителям физики, студентам физмата, ученикам колледжей

                Г А Л И Л Е Я

1.      Введение

2.      Принцип относительности Галилея

3.      Равномерное движение (примеры решения задач)

4.      Задачи для самостоятельного решения

5.      Векторное сложение скоростей

6.      Принцип независимости движений

7.      Обобщение понятий

8.      Координатный метод решения задач

9.      Исследование ускоренного движения

10.  Законы сохранения и системы отсчета

11.  Системы координат обладающие ускорением

12.  Заключение

Принцип относительности – один из фундаментальных принципов в физике. Отказ от него означал бы отказ от возможности объективно исследовать мир, потому что в этом случае в каждой инерциальной системе отсчета тождественные законы природы имели бы различный вид. Мы просто вынуждены рассматривать явления с точки зрения наблюдателей, находящихся в относительном движении. Тело может двигаться относительно одних тел и находиться в покое – относительно других. Так пассажир в коляске мотоцикла движется относительно земли и находится в покое относительно водителя, льдина находится в покое относительно воды и движется относительно берега и т.п.

 К идее о том, что для изучения движения нужна какая-то система отсчета, люди пришли сравнительно поздно. Такая идея могла родиться только вместе с представлениями об относительности движения. Только в ХV веке появляются первые представления о том, что механическое движение относительно.

Николай Кузанский (1401-1464) в книге “О ученом знании” писал : «Нам уже ясно, что наша Земля в действительности движется, хоть мы этого не замечаем, воспринимая движение только в сопоставлении с чем то неподвижным. В самом деле, если бы кто-то на корабле среди воды не знал, что вода течет, и не видел берегов, то как бы он заметил движение судна? В связи с этим, поскольку каждому, будь он на Земле, на Солнце или на другой звезде, всегда будет казаться, что он как бы в неподвижном центре, а все остальное движется, он обязательно будет каждый раз устанавливать себе разные полюса».

       Принцип относительности проявляется в борьбе гелиоцентрической и геоцентрической систем мира. Поэтому в поддержку его высказывались и естествоиспытатели и поэты.

Николай Коперник (1539 г.) –“...Так при движении корабля в тихую погоду все, находящиеся вне его, представляется мореплавателям движущимся, как бы отражая движение корабля, а сами наблюдатели, наоборот, считают себя в покое со всем с ними находящимся. Это же, без сомнения, может происходить и при движении Земли, так что мы думаем, будто вокруг нас вращается вся вселенная.”

  Джордано Бруно (1580 г)-

     «Покоя нет - все движется вращаясь,        На небо иль под небом обретясь.

       И всякой вещи свойственно движенье,

       Близка она от нас иль далека,

       И тяжела она или легка…»

   Галилео Галилей (1632 г.) –«...Уединитесь с кемлибо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми. Пусть будет у вас там также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками.

Подвесьте на верху ведёрко из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие насекомые с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично

во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении... . Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту или другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется корабль или стоит неподвижно...»

.

 

 М. В. Ломоносов:

                                              Случились вместе два астронома в пиру         И спорили весьма между собой в жару.        Один твердил: «Земля, вертясь, круг Солнца ходит.»

       Другой, что Солнце все с собой планеты водит.

       Один Коперник был, другой слыл Птолемей.        Тут повар спор решил усмешкою своей.       Хозяин спрашивал: «Ты звезд теченье знаешь?

       Скажи, как ты о сем сомненье разсуждаешь?»        Он дал такой ответ: «Что в том Коперник прав,       Я правду докажу, на Солнце небывав.

       Кто видел простака из поваров такова,

     Который бы вращал очаг кругом жаркова?»

  А.С. Пушкин :          

         Движенья нет, сказал мудрец бродатый.

         Другой смолчал и стал пред ним ходить.           Сильнее бы не мог он возразить;           Хвалили все ответ замысловатый.           Но, господа, забавный случай сей

          Другой пример на память мне приводит:           Ведь каждый день пред нами Солнце всходит,            Однако ж прав упрямый Галилей.

 

И даже в детских стихах Михалкова  «… нельзя ли у трамвала вокзай остановить?», просматривается возможность рассматривать движение относительно разных тел отсчета.

Тело (или тела) , условно принимаемое за неподвижное, по отношению к которому рассматривается движение другого тела, называется телом отсчета. Для определения положения тела в пространстве в тот или иной момент времени с телом отсчета связывают какую-либо систему координат и часы, как систему времени. Система координат и часы образуют систему отсчета.  В школьном курсе физики используется только прямоугольная декартова система координат. Но она не единственная, в теоретических исследованиях часто применяются цилиндрические, сферические , полярные и другие системы координат.

Изменение положения тел относительно других, принятых за неподвижные, с течением времени называется механическим движением.

Движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути – называется равномерным.

 Различные тела, двигаясь равномерно, могут за одинаковые промежутки времени проходить различные пути.

 Физическая величина, которая показывает, какой путь проходит движущееся тело в единицу времени – называется скоростью.

Скорость зависит от системы отсчета. Например:

Два автомобиля движутся по прямолинейному шоссе со скоростью 45 км/ч и 50 км/ч относительно земли. Какова скорость первого автомобиля относительно второго, если:

 а) они движутся в противоположных направлениях;

 б) движутся в одну сторону.

В первом случае скорость равна 95 км/ч, во втором – 5 км/ч.

За тело отсчета можно принять любое произвольно взятое тело. Оно может быть в покое по отношению к нам или в движении. Если мы уславливаемся считать что-либо телом отсчета, то тем самым мы предполагаем, что оно неподвижно.

Тел и явлений в природе очень много, учесть все их взаимные влияния практически невозможно, поэтому исследуемое явление вычленяют, выделяют из этой всеобщей связи. Какими-то связями или чертами явления пренебрегают, считая их несущественными, а какие-то относят к важным, необходимым. Постоянно повторяющиеся признаки явления определяют каким-либо словом. Так появляются  понятия  и  определения. Процесс выделения наиболее существенных черт явления называется моделированием. А построенный образ физической системы или явления – физической моделью. Процесс моделирования связан с выдвижением разного рода гипотез о тех связях и характеристиках исследуемой системы, которые считаются основными на данном этапе развития науки. Без гипотез невозможно прогрессивное поступательное развитие науки. «Не должно торопиться порицать гипотезы. Они позволительны в предметах философских, и это даже единственный путь, которым величайшие люди успели открыть истины самые важные»- говорил М.В.Ломоносов. Гипотезы оформляются в теории, и значит теории являются абстрактными моделями.

Механика в этом смысле не исключение : все ее понятия являются модельными абстракциями.

Первой моделью является  материальная точка и основные закономерности механики можно систематизировать опираясь на нее :

Идеальный                    параметры состояния                            уравнения   объект                                                                                           состояния

at²

                                  Координаты       перемещение               r = r₀ + v₀t+

2

at²                                                           путь                                      S = v₀t +           

2

S               r материальная                                  скорость      средняя       v =   или   v =

                                                                                                                                                                                t                             t

    точка                                                                 мгновенная         V = dV/ dt

v^t −v⁰                                   ускорение    полное                                      а =

t

v2  ²R                                                        нормальное                     a =  или    a = w

R

GmM

             взаимодействие         сила            гравитации                         F=

R2                                                                        трения                                  F = kN                                                                        упругости                            F =  -kx

a⁰                               масса                инерционная                                    m = m₀

a

P                                                        гравитационная                                   m = _g                               импульс                                                                       P = m × V

                   энергия             кинетическая                                    K = ^{mV 2}

2 kx²                                                 потенциальная           П =                П = mgh

2

Основные понятия: материальная точка, система отсчета, путь, перемещение, средняя и мгновенная скорость, ускорение, масса, сила, импульс, работа, потенциальная и кинетическая энергия; амплитуда, период, частота, фаза.

 Законы: принцип относительности Галилея, законы Ньютона, закон всемирного тяготения, закон Гука, законы сохранения импульса и энергии.

Логика  механики

Основная задача : найти положение тела в любой момент времени.

Для этого надо: выбрать систему отсчета и систему координат, определить перемещение, для чего необходимо знать скорость, ускорение, время.

Характер движения определяется законами Ньютона. Для определения силы надо знать зависимость ее от координат (тяготения, упругости) или скорости (трения).

Закон сохранения импульса позволяет определить соотношение между скоростями взаимодействующих тел.

Закон сохранения энергии устанавливает связь между координатой и скоростью тела.

Принцип относительности Галилея: ни какими механическими опытами невозможно обнаружить равномерное прямолинейное движение.

Для развития умения описывать явления в разных системах отсчета рассмотрим несколько примеров.

1.     Какова траектория падения мяча с мачты плывущего парохода относительно пассажира, стоящего на палубе парохода и относительно рыбака на берегу? (прямая, парабола).

2.     Жонглер цирка, едущий на лошади, бросает и ловит мяч. Какова траектория полета мяча относительно зрителей и относительно лошади? Одинаковы ли перемещения мяча и пройденные им пути в системах отсчета  «арена» и «лошадь»? (парабола, прямая; относительно арены перемещение и путь больше).

3.     Может ли пешеход двигаться со скоростью 60 км/час? (да, например, относительно едущего автомобиля).

Последовательность действий при решении задач

1.     Знакомство с текстом задачи. Изображение ситуации на рисунке, на чертеже.

2.     Выделение физических закономерностей, описывающих данное явление, условий, его характеризующих.

3.     Выделение и описание физических тел, их состояний. Определение параметров состояний и их уравнений.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ В  РАЗНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

Пример 1. Проплывая под мостом, рыбак выронил удочку. Через 10 минут он заметил это и, повернув обратно, догнал удочку в километре ниже моста. Определить скорость течения реки, считая, что рыбак, двигаясь вниз и вверх по реке, греб одинаково.

      В системе отсчета  “Земля” задача может быть  решена так :                                                         В                      А           С_Vр

                                                                  Против течения реки рыбак проплыл расстояние АВ со скоростью  V_л – V_р , следовательно

АВ = (V_л   -  V_р  )× t₁

 ВС = (Vл  +   Vр ) × t2                                                           По течению проплыл ВС  со скоростью          Vл   +  Vр ,

                                               АС =  Vр × ( t1  +  t2 )        плот за все время проплыл расстояние АС

    Кроме того из рисунка видно, что  ВС = АВ + АС . Подставляя значения

ВС, АВ  и АС , раскрыв скобки , получим

                                       t₁ = t₂ , и из АС =  V_р (t₁ + t₂)   определим  V_р .

В системе отсчета  “удочка”  вода неподвижна и лодка уплывала в стоячей воде 10 минут, затем возвращалась к тому же наблюдателю в стоячей воде. Следовательно, время движения в ту и другую стороны должно быть одинаковым. Т.е. за лодкой мы наблюдали  20 минут, или 1/3 часа. За это время мост переместился на 1 км, следовательно, скорость движения 3 км/ч.

Пример 2. Колонна моторизованной пехоты, растянувшись на 1200 м, движется со скоростью 18 км/ч. Командир , находящийся впереди колонны, посылает в конец колонны с поручением мотоциклиста, который движется в обе стороны относительно земли со скоростью 72 км/ч. Через сколько времени после получения поручения он вернулся обратно?

колонны переместился из точки В₁ в точку В₂,  то  есть  мотоциклист проехал 

                                                L – v_kt₁ = v_мt₁.

    При обратном движении ему пришлось проехать длину колонны В₂А₂ и расстояние А₂А₃ ,пройденное колонной за это время, т. е.                                                                  v_м t₂  =  L + v_kt₂.

  Определив из первого      t₁=L / (v_м + v_к)

и из второго                     t₂  =  L/ (v_м – v_к),    найдем      t  =  t₁ + t_2.                 t = 1200м/(20м/с +5м/с) + 1200м/(20м/с – 5м/с) = 128 с

   СО «колонна»- мотоциклист в одну и другую сторону проехал одно и тоже расстояние L, но скорость его движения была v_м + v_к в одну строну и  v_м - v_к    -в другую. Сразу получаем значения  t₁ и  t₂.

Попробуйте решить несколькими способами:

Расстояние между домиками Вини-Пуха и Пятачка – 1 км. Пятачок за 1 мин проходит 75 м, а Вини-Пух – 50 м.

а) Однажды Вини-Пух и Пятачок вышли из дома Вини-Пуха и пошли к дому Пятачка. Пятачок первым дошел до своего дома, повернул назад и с той же скоростью пошел навстречу Вини-Пуху. Через сколько минут они встретились?

б) Следующий раз Вини-Пух и Пятачок вышли из дома Вини-Пуха и

отправились к домику Пятачка. Пятачок дошел до своего дома, повернул обратно, встретил Вини-Пуха, повернул и опять пошел к своему дому. Так он ходил туда и обратно до тех пор, пока Вини-Пух не дошел до дома Пятачка.

Какой путь за все это время прошел Пятачок?

в) Однажды Вини-Пух и Пятачок одновременно вышли из своих домов на

прогулку и пошли навстречу друг другу. Гуляя они доходят до дома друг друга и тут же поворачивают обратно. Через сколько минут после выхода они встретились в первый раз? во второй раз?

г) какими будут ответы на вопросы а, б, в, если скорость Пятачка будет

150 м/мин ?  (16 мин, 1.5 км, 8 мин и 24 ми)

Задачи для решения в разных системах отсчета.

1.      Для определения скорости течения воды в реке лодочник произвел следующий опыт: опустив в воду бочонок, он начал грести вниз по течению. Через 40 минут, повернув обратно, он встретил бочонок на расстоянии 400 м от места бросания. Какое значение скорости получил лодочник? (0,3 км/ч)

2.      Идущая против течения реки лодка, встретила сплавляемые по реке плоты. Через час лодочный мотор заглох. Ремонт мотора продолжался 30 минут. Все это время лодка свободно плыла по течению реки. После ремонта мотора лодка повернула обратно и догнала плоты на расстоянии 7.5 км от места их первой встречи. Определить скорость течения реки, считая ее постоянной.            ( 3  км/ч)

3.      Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В, расположенными на берегу реки, за время t₁=3 ч, а плот – за время t=12 ч. Сколько времени  t₂ затратит моторная лодка на обратный путь? (6 ч)

4.      Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?   (90 с)

5.      Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал  n₁=50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал n₂=75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?   (100)

6.      Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии s=100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время t₁=4 ч, а идя против течения  - за время t₂=10 ч. Определить скорость течения реки u  и скорость катера v  относительно воды.   (u= 7.5 км/ч; v=17.5 км/ч)

7.      Корабль, длина которого L движется в озере равномерно и прямолинейно. Катер проходит от кормы до носа корабля и обратно за время t. Определить скорость движения корабля, если скорость катера относительно воды v_к.     (v=v_k(v_kt-2L)/t)

8.      От буксира ,идущего против течения реки, оторвалась лодка. В тот момент, когда на буксире заметили лодку, она находилась на расстоянии S₀ от него. С буксира спустили катер, который доплыл до лодки и вернулся с ней обратно. Сколько времени заняла поездка катера и какое расстояние прошел он в одну и другую сторону, если скорости катера и буксира относительно воды равны соответственно v_k и v₀.  (t=2S₀/(v_k-v₀), S=2S₀/(1+v₀/v_k)

9.      Определить скорость звука в воздухе при отсутствии ветра     и скорость теплохода, движущегося равномерно в море. Если известно, что звуковой сигнал , посланный от середины корабля, достиг его носа через 0.103 с, а кормы- через 0.97 с. Длина теплохода 68 м.   (340  м/с)

10.  .Моторная лодка преодолевает путь от А до В по реке за t₁, а обратно за t₂. За какое время от А до В доплывет плот ?  (t = t₁ t₂ / (t₂-t_{1 )}

11.Буксир доставляет баржу из одного пункта в другой по      течению реки за 3 часа, а против течения – за 6 часов. За какое время преодолеет это расстояние управляемая баржа без буксира? (12ч.)

12.  Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полета дует ветер под углом  α  к трассе со скоростью  u ? Скорость самолета относительно воздуха  v ,длина трассы L. При каком направлении ветра продолжительность полета будет максимальной? t=(2L√ v²-u²Sin²α)/(v²-u²).

13.  Спортсмены бегут колонной длины L с одинаковой скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u (u<v). Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, бежит назад с той же скоростью v. Какова будет длина колоны, когда все спортсмены развернутся?

(L₁=L(v-u)/(v+u))

14.  С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью t₀. Длительность приема отраженного от дна импульса t. Скорость звука в воде с. С какой скоростью v погружается лодка?   (v=c(t₀-t)/(t₀+t))

Найти скорость точек А,В,С,D колеса, катящегося с постоянной скоростью V по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

 

Скорость точки А -  2V

Скорость точки  C – равна нулю

Скорость точки  D -  V 2

Скорость точки   B -  V 2

                                                     

15.Гусеничный трактор движется со скоростью 9 км/ч. Каковы скорости верхней и нижней части гусеницы относительно земли? (18 км/ч, 0)

16.Корабль плывет на юг со скоростью 42.3 км/ч. Заметив в море катер, наблюдатель на корабле определил, что катер движется на северовосток со скоростью 30 км/ч. Какова скорость катера относительно земли?  (30 км/ч)

17.Начальное положение, векторы скоростей относительно земли двух кораблей заданы. Определить кратчайшее расстояние между ними.

                     α                                     β              

18.  Какова скорость капель отвесно падающего  дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед по углом  60^о к горизонту, когда скорость автомобиля больше 30 км/ч?  (14.4 м/с)

19.  На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом 45^о к вертикали со скоростью 20 м/с: одно вниз, другое вверх. Определить разность высот, на которых будут тела через 2 с. (56.4 м)

Принцип независимости движений : Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то каждое из этих движений происходит независимо от других.

Если один шарик будет свободно падать, а другому шарику сообщить любую скорость в горизонтальном направлении, то оба  шарика на землю упадут одновременно.

20.  Вагон шириной  d = 2.4 м, движущийся со скоростью  v₁=15м /с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно к движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно l = 6 см. Какова скорость движения пули ?  (600 м/с)

21.  По гладкому столу движется быстро вращаясь волчок, имеющий форму конуса. При какой минимальной скорости движения волчок не ударится о край стола? Высота конуса h, радиус – r. (t = ²_g^h , V≥ ^r_t )

22.  В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося автобуса след, направленный под углом 30⁰ к горизонту. Какова скорость капель относительно земли, если автобус  движется со  скоростью 36 км/ч? (5.8 м/с)

23.  Капли дождя из-за сопротивления воздуха падают с постоянной скоростью V,перпендикулярной поверхности земли. Как необходимо расположить цилиндрическое ведро, находящееся на движущейся со скоростью U платформе, чтобы капли не попадали на стенки? tg ϕ = u/v.

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

                                                                  

                            Из точки А с высоты 45 м свободно падает тело. Одновременно из точки В, расположенной на 21 м ниже точки А, вертикально вверх бросается второе тело. Определить скорость бросания второго тела, если на землю они падают одновременно.

Определим значение времени падения первого тела

                        t = ²_g^H

V^o

 Второе тело   t₁ = _g    движется вверх, поднимаясь на

^C                                                                                       высоту     ВС = ^Vo2   и  падает затем с высоты  ОС = Н – h + 2g

ВС, т.е. t₂ = ^2ОС_g    . Для получения ответа нужно решить уравнение:

  , что выходит за рамки

школьной программы.

2. Координатный метод.

Система отсчета «земля», ось Х направлена вверх и начало координат на земле. Тогда уравнения движения тел в проекциях на ось  будут

gt²

                                                                                               Х_А = Н -        

2

                                              X_B = H – h  + V_o t - ^gt2 .

2

Так как через  t  секунд оба тела оказались на земле, т.е. в точке  О, координата которой равна нулю, получим два уравнения :

gt²

                                                                                             0 = Н -       

2

                                              0 = H – h + V_o t - ^gt2 .

2

Из первого находим  t, сравнивая первое и второе уравнения, получаем                             h = V_o t ,

h

V^o = откуда                          .

Для закрепления навыков составления уравнений движения следует рассмотреть их при выборе разных точек начала координат и направлении осей.

3.Если воспользоваться принципом независимости движения, можно получить ответ сложением векторов :

Перемещение первого тела  А определяется вектором  Н = g t²/2, направленным вниз.

Перемещение второго тела – В определяется геометрической суммой векторов  V_o t  направленного вверх  и вектора  g t²/2 , направленного вниз,

т.е. gt² /2 - V_ot = H – h . Подставляя вместо  Н ↔  gt² / 2 , получаем   h = V_o t .

4. Более интересным является решение задачи в системе  отсчета, связанной с телом А : относительно тела А тело В движется равномерно со скоростью  V_о  и проходит расстояние  h  за время равное времени, за которое земля, движущаяся с ускорением  g без начальной скорости проходит  Н, т.е.45 м, следовательно  t = ²_g^H = 3 с   и   V_о= 21 м / 3 с = 7 м/с.

                        

24.Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H>h) вертикально вниз. Оба тела на землю упали одновременно. Определить начальную скорость бросания второго тела. (C  высоты h тело падало  t = 2h/ g , за это время второе тело, двигаясь равномерно, прошло путь H-h)

25. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Когда оно достигло высшей точки подъема, из того же начального пункта с той же начальной скоростью брошено второе тело. На каком расстоянии от начального пункта они встретятся.

(Начальное расстояние v₀²/2g , скорость сближения v₀ , следовательно h=v₀(v₀/2g)-(g/2)*(v₀²/4g²)=3v₀²/8g)

26.Из лифта, опускающегося равномерно в некоторый момент выпал кирпич. Сколько времени кирпич падал на землю, если в момент его падения, лифт находился на высоте h=20м? (2с)

27. Два автомобиля выходят из одного пункта в одном направлении. Второй выходит на 20 с позже первого. Оба автомобиля движутся равноускоренно с одинаковым ускорением 0.4 м/с². Через сколько времени, считая от начало движения первого автомобиля, расстояние между ними окажется 240 м?  (40с)

28.Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх со скоростью 10 м/с брошено тело. Через сколько времени и на какой высоте от земли встретятся вертолет и брошенное тело? Какую скорость будет иметь тело относительно земли и вертолета? (2с, 208м, 6м/с, 10 м/с)

Исследование ускоренного движения

 Определите пути, проходимые равноускоренно движущимся телом за первую и каждую последующую секунды; найдите отношение пройденных расстояний к пути, пройденному за первую секунду. 

На QBASIC программа может быть такой:

INPUT “ задайте величину ускорения “; a

     FOR   t=1 TO  10

               S1 = a/2 : S2 = a * t^2/2 : S3 = a * (t-1)^2/2                ds = S2 – S3 : k = ds/S1

         PRINT  t, ds, k

    NEXT  t

Проведите вычисления при различных значениях ускорения, сделайте соответствующий вывод.

Видно, что пути, проходимые при равноускоренном движении в последовательные равные промежутки времени, относятся как нечетные числа.

Используя полученную закономерность определите пути, пройденные свободно падающим телом за 3-ю, 8-ю и 11-ю секунды.

Пример 2. Определить дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью V на склоне горы, уклон которой α.

 Если оси координат выбрать традиционно ось Х горизонтально и ось Y вертикально, то уравнения движения в проекциях на оси будут:

 

у = CA – g t² / 2  , х  =  vt

  Через t с тело упало в точку В, т.е. у = 0. Тогда

                                                                                                                                             t = ^2АС_g       , но АС = ^gt₂² ,

2VSin^α

Cosα, откуда t = gCosα и

2Sinα

                                    При падении тела на склон   у = 0. Определим из этого t =     _gCos^2Sinα_α и

подставив в первое уравнение, находим  х = АВ =

Используя принцип независимости движения эту задачу можно решить так:

По             горизонтали                      перемещение определится вектором АВ=Vt, за это же время падение по вертикали определится

gt² вектором BC =      . В результате тело

2

окажется в точке С. Все величины образуют прямоугольный треугольник

ВСАВ =tg         2gtVt2  , откуда t =2Vtgα и   AC = 2gCosV 2tgαα = 2gCosV 2Sin2αα α=    g

29.  С высоты h на наклонную плоскость с углом наклона w падает упругий мяч. На каком расстоянии от места первого падения мяч упадет на плоскость второй, третий и т.д. раз?(t=2w/g и дальность первого полета 4v²sinw/g, последующие промежутки определим из соотношения

S₁:S₂:S₃...=1:3:5:...).

30.  С какой скоростью должен вылететь снаряд , чтобы поразить ракету, стартующую вертикально вверх с ускорением а. Выстрел производится под углом w, расстояние от пушки до места старта ракеты L.

                                                   (v =        L(g +a)  ) .

Sin2ω

31.  Из точки, расположенной между двумя вертикальными плоскостями под углом α к горизонту бросают мяч. Какова начальная скорость полета, если мяч после упругого отражения от обеих плоскостей упал в точку бросания? Расстояние между плоскостями L. (v =  ^2gL   )

Sin2α

                             Законы сохранения и системы отсчета

Рассмотрение явлений в различных системах отсчета является хорошим способом проверки понимания законов движения.

                                 Потенциальная энергия.

К стене прикреплена растянутая пружина с шаром на другом конце. Сжимаясь, пружина совершает работу, равную изменению потенциальной энергии, взятой со знаком минус:

kx²                          А = - ∆Е_р ⁼ ₂ ,

k – жесткость пружины, х – ее начальное растяжение

Работа – произведение модулей векторов силы и перемещения на косинус угла между этими векторами – зависит от системы отсчета, так как при неизменной силе перемещение тела в различных системах отсчета различно. В то же время потенциальная энергия (а значит, и ее изменение) – функция расстояния между телами или их частями – от системы отсчета зависеть не может.

Что будет с приведенным равенством, если перейти в движущуюся систему отсчета? Работа изменится, а потенциальная энергия нет ?

Недоразумение разрешается просто. В действительности изменение потенциальной энергии двух взаимодействующих тел во всех случаях равно, со знаком минус, работе  двух  консервативных сил, приложенных к телам. Потенциальная  энергия, как и сила, характеризует взаимодействие  двух  тел.

 К одному телу понятие потенциальной энергии      не применимо  . Обычно “для простоты” рассматриваются такие системы отсчета, в которых одно из тел (стена в приведенном примере) неподвижно и потому одна из работ равна нулю. Работа же двух сил взаимодействия одинакова во всех системах отсчета благодаря третьему закону Ньютона. Покажем это.

Пусть два тела взаимодействуют друг с другом и в неподвижной системе совершают перемещения  s₁ и  s₂ , совпадающие по направлению с соответствующими силами  F₁ и F₂,  причем  F₁  = - F₂  . Тогда полная работа

                       А = А₁ + А₂ = F₁  s₁   + F₂  s₂

При переходе в систему отсчета, движущуюся относительно первой, оба тела получают дополнительные перемещения  s_о . Работа в этой системе

А^’ = А₁^’ + A₂^’ = F₁(s₁ + s_o) + F₂(s₂ – s_o) = F₁s₁+F₁s_o +F₂s₂ – F₂s_o = A.

Полученный результат справедлив не только для консервативных сил – тяготения и упругости, но и для сил трения.

В системе отсчета, где одно из взаимодействующих тел неподвижно, работа силы трения всегда отрицательна, так как сила трения направлена против скорости относительного движения. Согласно выше доказанному работа двух сил взаимодействия от системы отсчета не зависит. Поэтому  в любой системе отсчета суммарная работа сил трения отрицательна.

Кинетическая энергия и работа

Кинетическая энергия относится  не к двум телам, а к одному. Изменение кинетической энергии тела равно работе одной равнодействующей силы, т.е. сумме всех сил, приложенных к данному телу.

Эти силы могут быть как внутренними силами системы, так и внешними.

Согласно теореме о кинетической энергии,

                                    ∆Е_к = А.

При переходе в другую систему отсчета, движущуюся со скоростью v_о относительно первой, кинетическая энергия изменяется :

mv21

                                                                                            Е_к =      ,

2

                      Ек’ = mv22 = m(v1 −vo )2 = mv21 - m(v1vo) + mv2o ,

                                                                                                 2                   2                   2                                2

где  v₁ – скорость тела в первой системе отсчета, а v₂ = v₁ – v_o – во второй. При действии на тело внешней силы, по теореме о кинетической энергии, в движущейся системе отсчета

                                           ∆Е_к^’ = А^’ .

Таким образом, при переходе от одной системы отсчета к другой меняется не только кинетическая энергия, но и изменение кинетической энергии. Но всегда изменение кинетической энергии равно работе сил в этой же системе отсчета.

Итак следует выделить, что внешние силы непосредственно изменяют лишь кинетическую энергию тел системы, но не потенциальную энергию взаимодействия этих тел. Изменение потенциальной энергии системы всегда определяется работой сил взаимодействия (внутренних сил). Конечно, внешние силы изменяют расположение тел системы (так как изменяется их кинетическая энергия), и за счет этого меняется работа внутренних сил, а значит меняется потенциальная энергия системы. Но если бы в системе не действовали консервативные силы, то потенциальная энергия при этом не изменялась бы.

Для более четкого уяснения сохранения энергии в разных системах отсчета рассмотрим задачу :

Камень массой m соскальзывает с гладкой горки высотой  h.

Рассмотрим этот процесс в двух различных инерциальных системах отсчета.

1.С точки зрения наблюдателя в СО неподвижной относительно Земли

mv² потенциальная энергия камня   mgh  переходит в кинетическую энергию

2 , так что после соскальзывания с горки камень имеет скорость v.

2.Наблюдатель,находящийся в системе отсчета, движущийся со скоростью v , скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия  mgh и кинетическая  энергия  ^mv2 , а в конце нет ни той ни другой. Куда же

2 “пропала”  энергия?

Причина парадокса заключается в том, что рассуждения проведены для незамкнутой системы – одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась.

а) В неподвижной относительно Земли системе отсчета ( связанной с

центром масс системы камень-Земля) в начальный момент камень и Земля покоятся, и вся энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень приобретает скорость  v , а Земля – скорость  u, которую можно найти из закона сохранения импульса :                           m v – M u = 0, откуда m                         u = _M v , где М – масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

mv²   Mu²           mv²            m                mgh = 2 + 2 = 2 (1 + _M ) .

Поскольку масса камня ничтожно мала по сравнению с массой Земли, величиной  m/M по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим

mv²                                    mgh =     ,

2

что соответствует условию задачи.

б) В движущейся системе отсчета в начальный момент общая энергия

системы равна 

                        mgh + ^mv2 + ^Mv2 ,

                                                                                                        2                  2

а в конечный она равна

                                              ^Mu2 .

2

Из закона  сохранения импульса  mv + Mv – Mu = 0 получаем

                                u = v( 1 + _M^m )

и

                                                                                             Mu²                   Mv²                   mv²                            m

                              2 = 2 + 2 ( 2 + _M ).

Тогда из закона сохранения энергии имеем:

                                    

                  mgh + ^mv2²   + ^Mv2 ² = ^Mv2 ² + ^mv2² ( ^{2 +} _M^m ) , или, пренебрегая величиной  m/M  по сравнению с двойкой,                              mgh = ^mv2

2

- тот же самый результат, что и с точки зрения неподвижного наблюдателя.

Дело в том, что в движущейся системе отсчета сила реакции плоскости не перпендикулярна перемещению камня. Она-то и совершает отрицательную работу наряду с положительной работой силы тяжести, уменьшающую кинетическую энергию камня.

                    

       Закон сохранения импульса и СО

Чтобы показать зависимость изменения импульса от системы отсчета, рассмотрим задачу:

Пучок частиц, имеющих скорость v и массу  m , падает на пластину площадью  S; при этом он частично поглощается, а частично упруго отражается. Какая сила действует на пластину, если концентрация частиц в пучке равна  n , а доля поглощенных частиц  α ? Рассмотреть также случай, когда пластина сама движется со скоростью  u :  а) навстречу пучку,  б) в том же направлении, что и налетающие частицы.

Вначале рассмотрим случай  неподвижной  пластины. Каждая частица, поглощаемая пластиной, передает ей импульс  mv. За  время  ∆t  до пластины долетают те частицы, которые находятся в объеме  V = vS∆t (v – модуль скорости частиц), то есть

                                      N = n v S ∆t       частиц.

Из них поглощается

                                      N_погл = α N = α n v S ∆t     частиц,

и, следовательно, пластине передается импульс

                                Р_погл = N_погл m v = α n v S ∆t m v.

                                                                                                                                                                                           P^{погл                                                  2}.

Действующая на пластину сила определится так   F₁=       = α n S m v ∆t

При упругом отражении частицы модуль ее скорости, а значит, и модуль импульса частицы не меняются, однако направление вектора импульса меняется на противоположное. Поэтому изменение импульса частицы

                                     ∆Р = m v – (- m v) = 2 m v.

Число частиц, отраженных от пластины за время  ∆t , равно

                                     N_отр = (1 - α) N = (1 - α) n v S ∆t .

Следовательно, при отражении частиц пластине передается импульс

            Р_отр= N_отр 2 m v = 2 (1-α) n v S ∆t m v,

Что приводит к появлению силы  F₂, действующей на пластину. Ее модуль

                              F₂ = Р_отр / ∆t = 2 (1 - α) n S m v².

Полная сила, действующая на пластину, равна по модулю

                                F = F₁ + F₂ = ( 2 - α) n S m v².

Для того чтобы найти силу, действующую на движущуюся  пластину, перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью  u . В этой системе скорость частиц увеличивается при движении пластины навстречу пучку : v₁= v + u   и уменьшается при движении пластины в обратном направлении : v₂ = v – u  (здесь v,u,v₁ и v₂ – модули соответствующих скоростей). В остальном все остается таким же, как и в случае неподвижной пластины.

Следовательно, сила, действующая на пластину находится по формуле

                                           F = F₁ + F₂ = ( 2 - α) n S m v²

В которой следует  v  заменить на  v₁ или  v₂ :

                                           F_а = ( 2 - α) n S m ( v + u )²,

                                           F_б = ( 2 - α) n S m ( v – u )² .

В первом случае сила  в о з р а с т а е т , во втором – у м е н ь ш а е т с я.

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ОБЛАДАЮЩИЕ УСКОРЕНИЕМ

Строго инерциальных систем отсчета в природе нет. Если система отсчета движется с ускорением,  то для объяснения происходящих в ней механических явлений приходится вводить силы  инерции, некоторые из которых получили особые имена (центробежная сила, сила Кориолиса). Рассмотрим некоторые механические явления, происходящие в движущихся с ускорением системах отсчета.

1.     На столике в вагоне перед пассажиром лежит гладкий шар. Поезд начал разгон. Шар покатился.

СО- «Земля»                                                               СО- «Вагон»

Вагон начал ускоренное движение. На          Шар покатился под действием силы шар не действуют ни какие силы и он            инерции. остается в покое. 

2.     Наблюдатель находится в лифте. Перед ним стоят на столе пружинные весы с положенной на них гирей массой  m. Лифт начал ускоренно опускаться. Показания весов уменьшилось.

      СО- «Земля»                                                                 СО- «Лифт»

Сила тяжести направлена вниз, сила                  На гирю действует сила инерции, упругости пружины – вверх. Гиря уско-            направленная вверх. ряется разностью сил  ma = mg - kx.

      При движении лифта вверх вес тела увеличивается. Такое явление называется перегрузкой. Перегрузка в лифтах составляет 1.05-1.06  в то время как при взлете самолета – 1.5, при спуске космического корабля вес космонавта увеличивается в 8 – 10 раз.

3.     Наблюдатель сидит на вертящемся стуле с вертикальной осью, спереди к стулу приделан гладкий столик. Сидящий на стуле наблюдатель кладет на столик шар. Шар слетает со столика и падает.

СО- «Земля»                                                           СО- «Стул»

На шар не действует никакая сила.                Шар движется с ускорением.

Следовательно, он не может участвовать      Следовательно, на него действует Во вращательном движении. Шар слета-       сила, направленная от центра. Эту тает по касательной к столику  со ско-            силу называют центробежной. ростью  v = ω r.

4.     Наблюдатель на стуле подвешивает перед собой над столом маятник, например шарик на нитке. Этот маятник не устанавливается вертикально. Он отклоняется на угол α от вертикали в плоскости, проходящей через радиус и ось вращения. Угол α увеличивается с увеличением числа оборотов стула.

СО-“Земля”                                                            СО- “Стул”

Шарик маятника движется по кругу               На шарик действует сила тяжести, радиуса r. Для этого необходима цен-           направленная вертикально вниз и тростремительная сила F = mω ²r,                    центробежная сила. Равнодействукоторая  является равнодействующей             ющая этих сил направлена по нити. сил тяжести и упругости нити.

        Центробежная сила, способствующая отделению капель воды в центробежной сушилке превышает силу тяжести в 5 – 9 раз, в молочном сепараторе – в 100 – 250 раз.

5.     Прикрепим к столику баллистический пистолет из которого будем стрелять в мишень, связанную со стулом и участвующую во вращении. Сначала произведем выстрел на неподвижном стуле и определим место попадания. Затем приведем стул во вращение со скоростью ω. Снаряд отклоняется от цели на расстояние  S.

СО- «Земля»                                                        СО- «Стул»

Снаряд летит без действия сил по прямой,        Во время движения снаряд полу-

За время полета  t , мишень смещается  на         чает ускорение, перпендикулярS  = ω r t . Но время полета  t = r / v , где              ное к его скорости. За время v – скорость снаряда. Следовательно,                   полета  t  снаряд отклоняется на

   S = ω v t² .                                                               S =  a t². Следовательно,                                                                                     a = 2 ω v. Это ускорение назы                                                                                    вают ускорением  Кориолиса.

   Отклонение под действием силы Кориолиса используется для определения скорости движения молекул в опытах Штерна.

   Действие силы Кориолиса на вращающемся Земном шаре проявляется:

1. Маятник Фуко колеблющийся  в Исаковском соборе, описывает розетки.

2.У всех двухрельсовых железных дорог северного полушария сильнее изнашивается    правый рельс каждой колеи.

3.Правый берег реки размывается сильнее левого.

4.Снаряды отклоняются вправо.

5.Втекание атмосферного воздуха в область барометрического минимума происходит по искривленному пути, что ведет к образованию вихрей (циклонов).

Определите силу Кориолиса, действующую на ракету массой 500 кг, летящую со скоростью 200 м/с. Как меняется величина силы при изменении массы?  Скорости?

Вследствие вращения Земли дальность полета тел зависит от широты местности: на экваторе, при одинаковых условиях тело улетит дальше, чем на северных широтах.

Исследуйте изменение дальности полета на широте 20,30 ….70^о при различных скоростях бросания.

Пусть тело находится в точке О на широте φ (Рис.1). Сила тяготения ОЕ и реакция земной поверхности ОА направлены под углом друг к другу. Тогда тело будет давить на поверхность Земли (по третьему закону Ньютона) с силой ОС = - ОА. Разложим силу ОС на две: направленную вдоль радиуса OD и по касательной ОВ. Вращение Земли приводит к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как ОС ≈ OD, то это уменьшение равно DE = mR ω² Cos²

φ.

Во-вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила ОВ = mR ω² Cos φ Sin φ , и Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к элипсоиду вращения. Сила тяжести на широте  φ будет mg -  m ω² R Cos² φ   и ускорение свободного падения  g - R ω²  Cos² φ .

Тело, брошенное под углом к горизонту, будет двигаться по параболе (сопротивление воздуха не учитывается). Время подъема

V^oSinα

тела t₁ = _{g −Rω}2_Cos2_ϕ. Таким же будет и время падения

Тогда дальность полета  S = V Cos α × 2t₁ и программа для вычислений может быть такой: REM Полет на разных широтах

INPUT "Какова начальная скорость бросания?"; V

INPUT "Задайте угол бросания в градусах";А0

РI=3.14159 : G=6.672Е-11 : А=А0*PI/180

М=5.997Е+24 : R=6.378Е+6 : Т=86400

       FOR W0=10 ТО 80 STEP 10 : W = W0 * PI / 180

          А1 = (2 * PI / Т)^2 *R * COS(W)^2

          А2 = G * M / R^2

          Q = А2 – А1

          T1 = 2 * V * SIN(A) / Q

      S = V * T1 * COS(А)

PRINT "На широте    ";W0;

PRINT USING"   дальность полета  ##.##  м";S

NEXT

PRINT" При начальной скорости   ";V;" м/с и углу ";А0

З а к л ю ч е н и е

Принцип относительности не может быть справедливым только для тех явлений, которые относятся к механике, он должен быть распространен на все физические явления.  Так применяя принцип относительности к упругому удару и получая правильный результат, мы фактически применяем этот принцип к электромагнитным взаимодействиям. Что касается оптики – она в значительной мере описывается как частный случай электромагнитных явлений (электромагнитные волны).

Допуская относительность некоторых элементарных величин, мы достигаем неизменности основных уравнений, описывающих все явления природы во всех инерциальных системах. Это утверждение составляет одну из основ специальной теории относительности. Первый постулат Эйнштейна гласит: в любой инерциальной системе отсчета любые физические явления при их тождественной постановке происходят одинаково.

Список использованной литературы:

1.      Бубликов С.В., Голубовская М.П., Кондратьев А.С., Уздин В.М. Методические рекомендации к использованию принципа относительности в курсе физики средней школы. Ленинград, 1989.

2.      Блудов М.И. Беседы по физике. М., Просвещение, 1973.

3.      Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах. М., Наука, 1979.

4.      Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. М.,Высшая школа, 12979.

5.      Журнал «Квант»

6.      Павлов А.М. Курс общей физики. Механика. ВКГУ Усть-Каменогорск, 1993.