МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОБДА-

СТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧ-

РЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА»

 

 

 

 

 

 

ДИНАМИКА

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2014

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ ОБДА-

СТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧ-

РЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИРКУТСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТА И СТРОИТЕЛЬСТВА»

 

 

 

 

 

 

ДИНАМИКА

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2014

 

Рецензент: 

Кандидат физико-математических наук, доцент  кафедры ТПиМП Б.В.

Гаврилюк, ФГБОУ ВПО «ВСГАО».

 

Автор-составитель: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС». 

 

Динамика: учебное пособие /  авт.-сост.: О.Ю. Тихонова преподаватель ОГОБУ СПО «ИТТриС». - Иркутск: изд-во  Иркутский техникум транспорта и строительства, 2013 – 206с.

 

 

Учебное  пособие предназначено для студентов ОГОБУ СПО «ИТТриС», обучающихся по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог» и 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного». Данное пособие включает программу учебной дисциплины «Техническая механика», учебный материал по разделу динамика, задачи и их решения, перечень литературы. 

 

 

 

 

 

© ОГОБУ СПО «ИТТриС», 2014г.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение                                                                                                                                                                                   5

Аксиомы классической механики                                                                                                                   5

Дифференциальные уравнения движения точки                                                                              8

Основные задачи динамики                                                                                                                                  8

Основные виды прямолинейного движения точки                                                                     11

Свободные колебания без сопротивления                                                                                           12

Свободные колебания в поле постоянной силы                                                                            15

Свободные колебания с вязким сопротивлением                                                                        20

Вынужденные колебания с вязким сопротивлением                                                                22

Общие теоремы динамики точки                                                                                                                  24

Момент количества движения точки                                                                                                        26

Работа силы.  Мощность                                                                                                                                       29

Кинетическая энергия точки                                                                                                                             32

Принцип Даламбера для материальной точки                                                                                33

Динамика несвободной материальной точки                                                                                   34

Принцип освобождаемости от связей                                                                                                      35

Частные случаи относительного движения                                                                                        37

Введение в динамику системы                                                                                                                        38

Моменты инерции                                                                                                                                                       41

Общие теоремы динамики системы и твердого тела                                                                43

Законы сохранения количества движения                                                                                           45

Список литературы                                                                                                                                                     51

 

Введение

В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил.  Простейшим материальным объектом является материальная точка.

Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

 

Аксиомы классической механики

Первая аксиома или закон инерции.   Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета. 

Материальная точка, на которую действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.

Равномерное и прямолинейное движение точки называется движением по инерции.

Вторая  аксиома или основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе.

ma  F

Положительный коэффициент пропорциональности  m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется массой точки.

 

 

     Рис. 1-1

Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса считается постоянной величиной и зависит только от самой материальной точки.

Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.

Третья аксиома или закон о равенстве сил действия и противодействия.  Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и проти-

воположны по направлению.

                                                                                                        F₁  F₂

 

 

Рис. 1-2

 

Четвертая аксиома или закон независимого действия сил. При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

ma_i  F_i                 a  a_i

i

Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов.

Системы единиц

	СГС	Си	Техническая
[L]	см	м	м
[M]	г	кг	Т.е.м.
[T]	сек	сек	сек
[F]	дина	Н	кГ
[v]	см/сек	м/сек	м/сек
[a]	см/сек2	м/сек2	м/сек2
[L]

 

                1 кГ = 9.8 Н,                   36 км/час = 10 м/сек,               1 Т.е.м. = 9.8 кг

Дифференциальные уравнения движения точки.

Основное уравнение динамики    ma  F

                                                                 d²r                                      dv

можно записать так   m ₂  F   или  так   m           F dt  dt

Проецируя уравнение  ma  F  на оси координат получаем

max  Fx may  Fy maz  Fz так как   a_x  &x&, a_y  &y&, a_z  &z&,  то

m  &x&  F_x m &y&  F_y    m&z&  F_z

Частные случаи:

А) Точка движется в плоскости.  Выбираем в плоскости координаты xOy получаем m  &x&  F_x m &y&  F_y F_z  0

Б) Точка движется по прямой. Выбираем на прямой координату Ox по-

лучаем       m  &x&  F_x     F_y  0           F_z  0

Основное уравнение динамики    ma  F   можно спроецировать на естественные подвижные оси.

m a  F		man  Fn		mab  Fb
d2s a  2 dt		v2 an    		ab  0

Эта форма уравнений удобна для исследования некоторых случаев полета снарядов и ракет.

 

Основные задачи динамики

Первая или прямая задача: 

Известна масса точки и закон ее движения, необходимо найти действующую на точку силу.

                m        x  f₁(t )                  y  f₂(t )                  z  f₃(t )

Вычисляем вторые производные по времени от координат точки, умножаем их на массу и получаем проекции силы на оси координат

F_x  m  &x& m  f₁(t )    F_y  m &y&  m f₂(t) F_z  m &z&  m f₃(t )

Зная проекции силы на оси координат, определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:

F                         F_x²  F_y²  F²      cos  ^Fx       cos  F^y       cos   ^Fz _z

                                                                                                   F                      F                     F

Пример 1:  Движение точки в плоскости xOy определяется уравнениями:

x(t)  acos(t);     y(t)  bsin(t);      a,b,const;          t  время.

Решение:

Fx  m &x&  ma2 cos(t); 2

F_y  m &y&  m_ bsin(t) ;

F_x  m_²  x;      F_y  m_²  y .

                                                                                           2                       2

                                                                        ^ ^{x }  ^ ^{y } 1   -  Уравнение траектории в ко-

                                                                                 a     b 

ординатной форме  (эллипс).

F  Fx2  Fy2  m2  x

F

F  m_² r;                                                         cos(F,x)         - ,      cos(F, y)       _y  - y F           r

 

Пример 2:   Точка,  имеющая массу  m ,  движется из состояния покоя по окружности радиуса  R  с постоянным касательным ускорением  a_.  Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние   s₁  R 2 .

 Решение:   Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:

F  m  a;     F_n  m ^v2 ;     F_b  0; R

a t2

Так как  a_  const,  то    v_  a_ t ,    s _       2

F  m  a;     Fn  m (a t)2 ;

R

 

₁       a^ t¹² R 2; следовательно   t₁²  ^{2R 2} ; s          

₂       a_

a2Rt14  a2  82 RR22  8;         следовательно

         2                             a 

F(t₁)  ma_  18  3ma_

F(t₁)  3ma_

Вторая или обратная задача: 

Известна масса точки и действующая на точку сила, необходимо определить закон движение этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в декартовой системе координат. Сила зависит от времени, координат точки, ее скорости и других причин.

                        d ²x                                                      d ² y

m 2  F_x(t,x,y,z,x&,y&,z& ),         m       2  F_y(t,x,y,z,x&,y&,z& ), dt dt

d ²z

m 2  F_z(t,x,y,z,x&,y&,z& )           dt

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных:  C₁,C₂ ,C₃,C₄ ,C₅,C₆

Каждая из координат x,y,z движущейся точки после интегрирования системы уравнений зависит от времени    и всех шести произвольных постоянных, т.е.

x  f₁(t,C₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆) y  f₂(t,C₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆) z  f₃(t,C₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆)

К этим уравнениям необходимо добавить начальные условия: x(t₀ )  x₀ , y(t₀ )  y₀ z(t₀ )  z₀

                 x&(t₀ )  v_x0,    y&(^t₀ )  ^v_y0     z&(t₀ )  v_z0

Используя эти начальные условия можно получить шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных 

C₁,C₂ ,C₃,C₄ ,C₅,C₆.

 

Основные виды прямолинейного движения точки

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Оx имеет вид:

                 m &x&  F_x(t,x,x& ),     Начальные  условия     x(t₀ )  x₀ ,       x&(t₀ )  v_x0 .

Наиболее важные случаи.

1.   Сила постоянна. F_x  const    m&x& const           &x& const

Имеем равнопеременное движение (движение с постоянным ускорением)

2.   Сила зависит от времени. F_x  F_x(t )                   m &x&  F_x(t )

                 t                                                               t     t

x&  1   F_x(t )dt                    &x&  _m¹  ( F_x(t )dt)dt _m

                 0                                                               0 0

3. Сила зависит от координаты или скорости.

Силу, зависящую от координаты  х  F_x( x), создают упругие тела при их деформации (например, сжатая или растянутая пружина). F_x  F_x(t )

Сила, зависящая от скорости движения F_x( x& ), это сила сопротивления (воздуха, воды и т.д.)

В этих случаях решение задачи упрощается.

 

Свободные колебания без сопротивления

Существуют устройства (упругие элементы), которые создают силу пропорциональную их удлинению. F  c x,  Эту силу называют восстанавливающей или центральной силой. Коэффициент пропорциональности называется жесткостью упругого элемента.

 

Дифференциальное уравнение движения точки с массой  m ,  закрепленной на упругом элементе,

имеет вид:

 

Рис. 2-1

m&x&c x  0  или &x&²  x  0,    где ² _ ^c m

                Начальные условия имеют вид:        при  t  0      x(0)  x₀,       v(0)  v₀.

Это дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки без сопротивления.

Характеристическое уравнение имеет вид:    ² ²  0 Корни характеристического уравнения равны:    _1,2  i 0

Решение имеет вид:

x(t)  C₁ cos(t)C₂ sin(t) x&(t)  C₁ sin(t)C₂ cos(t)

C1  x0                             C2  v0 

v⁰ sin(t)                x(t)  Asin(t ) x(t)  x₀ cos(t)    



^v2

                 A      x0² ⁰2  -  амплитуда колебаний;             tg()  ^x0v^0^

_ - круговая или циклическая частота колебаний (собственная частота).  Измеряется в  рад/ сек

                 _       - фазовый угол (или просто фаза).

                          2^       - период колебаний.

T 



1 

Рис. 2-2

Движение материальной точки – это свободные гармонические колебания  с постоянной амплитудой.  Амплитуда колебаний зависит от начальных условий и круговой частоты.

 

Понятие о фазовой плоскости

Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени x  x(t)  не является единственно возможным.  В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.

Состояние системы в любой фиксированный момент времени  t  определяется парой соответствующих значений  x  и  v  x&  и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат  x ,  v, если откладывать по оси абсцисс координату  x ,  а по оси ординат –скорость  v .  Такая плоскость называется фазовой.

В процессе движения рассматриваемой системы величины  x  и  v  изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.

Для построения фазовой траектории при заданном законе движения  x  x(t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости 

v  x&(t), а затем исключить время из двух уравнений:      x  x(t),  v  x&(t).

Функция  v  v(x)  и описывает фазовую траекторию данного движения.

Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.

Совокупность фазовых траекторий ,  которая описывает все возможные движения данной системы,  называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы.

Для свободных гармонических колебаний  x(t )  Asin(t ),  а  v(t)  Acos(t ).  Исключая из этих выражений время  t получаем

 

                Рис. 2-3

Свободные колебания в поле постоянной силы

На материальную точку кроме упругой силы, действует сила постоянная по величине и направлению.  

 

Рис. 2-4

Обозначим ее  F_ст ,  тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид:

m &x& c  x  F_ст    или                    &x&²  x _ ^Fст ,    где ² _ ^c m   m

                Начальные условия имеют вид:        при  t  0      x(0)  x₀,       v(0)  v₀.

Это неоднородное дифференциальное уравнение.  Его решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и частного

F^ст решения неоднородного дифференциального уравнения  x_частн. (t)  x_ст            . c

Решение имеет вид:

F^ст x(t)  C₁ cos(t)  C₂ sin(t)   c

x&(t )  C₁ sin(t )C₂ cos(t )

C1  x0  Fст       C2  v0 c          

x(t)  ^_x₀  ^{Fст }_cos(t)  ^v0 sin(t)  ^Fст ,

                                        c                                        c

F^ст

Если начало отсчета координаты сдвинуть на x_ст       ,  x₁  x  x_ст ,  тоc

гда в новой системе отсчета решение будет иметь вид:

v⁰ sin(t),   x₁(t)  Asin(t ) x₁(t)  x₁₀ cos(t)  

 

Параллельное включение упругих элементов

Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных параллельно.

 

Рис. 2-6

Сместим массу на расстояние  x .   F₁  c₁  x,   F₂  c₂  x, 

F  F₁  F₂  (c₁  c₂) x  c_  x

Результирующая жесткость упругих элементов расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов..

 

Последовательное включение упругих элементов

Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных последовательно.

 

 

  Рис. 2-7

 

Рис. 2-8

Сместим массу на расстояние  x .   В упругих элементах возникает восстанавливающая (упругая) сила  F ,  одинаковая для обоих элементов.  Первый упругий элемент изменит длину на  x₁,  второй  -  на  x₂ .  x  x₁  x₂.

F  c₁  x₁,     F  c₂  x₂ ,     F  c_  x.

                                  F     F         F                                        1      1      1

x  x₁  x₂                   ,  следовательно             _          c1                c2                       c            c            c1                  c2

Обратная величина результирующей жесткости упругих элементов расположенных последовательно равна сумме обратных величин жесткостей этих элементов.

Обратная величина жесткости упругого элемента называется податливостью  этого элемента.

                         1                  1                    1

u _ ,      u_{1 }           ,      u_{2 }     ,                  u  u₁  u₂ c c1          c2

Результирующая податливость упругих элементов расположенных последовательно равна сумме податливостей этих элементов..

 

Вынужденные колебания без сопротивления

Рассмотрим движение точки под действием двух сил: одна восстанавливающая,  другая зависит от времени. F(t )  F₀ e^it - гармоническая возмущающая сила.

                                                                                   F₀      - амплитуда возмущающей силы.

                                                                                   _         - круговая частота возмущающей силы.

 

  Рис. 2-9

Дифференциальное уравнение движения точки с массой  m ,  закрепленной на упругом элементе, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:  m &x& c x  F₀ e^it

Задавая решение уравнения в виде: x(t )  x₀ e^it  и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.

 m_²  x₀  c x₀  F₀.

Разделим     его     на      массу          и        обозначим                     ² _ ^c ,        тогда     m

x₀ ² ²  F₀ /m  и  окончательно  

F⁰ / m    -   амплитуда вынужденных колебаний. x₀          _{2                        2}

 

^       - частота собственных колебаний 

Материальная точка колеблется с амплитудой  x₀  и частотой возмущающей силы  _.

Построим  зависимость модуля амплитуды x₀ от частоты возмущающей силы  _.

 

Рис. 2-10

F^ст

                    Модуль амплитуды вынужденных колебаний  возрастает от  x_ст        

c (при   0)   до  бесконечности (при   _ )   и  убывает  от  бесконечности (при   _ )  до  нуля  (при   ).

Явление,  когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы,  называется резонансом.

 

 

Свободные колебания с вязким сопротивлением

Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости. F_Д  b x& . Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом  вязкого сопротивления.

Дифференциальное уравнение движения точки с массой  m ,  закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид:  m &x&  F_У  F_Д

 

Рис. 2-11

m&x&b x& c x  0   или    &x& 2n ²  x  0,    ²  ^c ,      2n  b .

                                                                                                                                             m                      m

                Начальные условия имеют вид:          _{t  0 x(0)  x0},        v(0) _ v₀ .

Характеристическое уравнение имеет вид:    _² _ 2_n_² _ 0. Корни характеристического уравнения равны:    _1,2  n  n² ²

Рассмотрим возможные решения:
1-й случай  n      1  2  n2 ,	1,2  n  i 1

Решение имеет вид: x(t )  Ae^nt sin(₁ t )

                 A _ ,         Ae^nt -  условная амплитуда затухающих ко-

лебаний;

 

 

Рис. 2-12

 

₁ - круговая или циклическая частота затухающих колебаний   Измеряется в  рад/ сек

_ - фазовый угол (или просто фаза).  tg()  ^{x0 1} v₀  n x₀

                           2         2

                 T₁   T  - период затухающих колебаний.

                            ₁                     

                                1 ¹                        - частота колебаний   (1 колеб/cек=1 Гц)

                ₁       

                           T₁           2

D  ^xxⁱi^maxmax1  e^nT1   -  декремент колебаний.

 ln(D)  nT₁   -  логарифмический декремент колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой ₁  и  амплитудой, величина которой все время убывает.

Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на Рис. 2-13 .     

 

 

Рис. 2-13

                          2-й случай  n  ₂                  n² ² , _1,2  n ₂

Решение имеет вид: x(t )  ent (C1 e2t C2 e2t )

Материальная точка совершает затухающее неколебательное движение. Рис.  2-14.

 

Рис. 2-14

                  3-й случай  n_,           _1,2  n   (два одинаковых корня)

Решение имеет вид: x(t )  e^nt (C₁ t C₂ )

Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение.  Рис.  2-14.

 

Вынужденные колебания с вязким сопротивлением

Рассмотрим движение точки под действием трех сил: одна восстанавливающая сила, вторая  - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления), а третья зависит от времени. F(t )  F₀ e^it - гармоническая возмущающая сила.

                                                                            F₀      - амплитуда возмущающей силы.

                   _       - круговая частота возмущающей силы.

Дифференциальное уравнение движения точки с массой  m ,  закрепленной на упругом элементе и демпфере, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид: 

m &x& b x&  c x  F₀ e^it

   Рис. 2-15

Задавая решение уравнения в виде: x(t )  x₀ e^it  и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для опре-

деления амплитуды вынужденных колебаний.

 m_²  x₀ ib x₀  c x₀  F₀.

Разделим его на массу и обозначим   ²  ^c ,  m

x₀ ² ² i2n F₀ /m  и  окончательно  

F / m

b

2n  ,   тогда     m

x₀  ₂ ₂ ⁰ _{i 2n}         -   амплитуда вынужденных колебаний.

       - частота собственных колебаний 

Материальная точка колеблется с амплитудой  x₀  и частотой возмущающей силы  _.

Построим  зависимость модуля амплитуды x₀ от частоты возмущающей силы  _.

 

Рис. 2-16

F^ст

                    Модуль амплитуды вынужденных колебаний  возрастает от  x_ст        

c (при   0)   до  некоторой величины, а затем  убывает  до  нуля  (при   ).  

 

Краткое содержание:  Общие теоремы динамики точки. Количество движения точки.  Элементарный и полный импульс силы.  Теорема об изменении количества движения точки.  Момент количества движения точки.  Теорема об изменении момента количества движения точки.  Работа силы.  Мощность.  Кинетическая энергия точки.  Теорема об изменении кинетической энергии точки.  Принцип Даламбера для материальной точки

 

Общие теоремы динамики точки

Для решения многих задач динамики  вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики. 

Количество движения точки 

Количеством движения материальной точки _q называется вектор,

равный произведению массы точки  m  на ее скорость _v .                 q  mv

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны: q_x  mv_x  m x&, q_y  mv_y  m y& , q_z  mv_z  m z&

                Единицей    измерения    количества    движения    в    СИ    является    –

1кг м/с 1Н с 

 

Элементарный и полный импульс силы.

Действие силы _F на материальную точку в течении времени  _dt 

можно охарактеризовать элементарным импульсом силы    dS  F  dt . 

t S   Fdt 0

Полный импульс силы    _F за время  t , или  импульс силы   S , определяется по формуле  .  (Полный интеграл за время _t от элементарного импульса).

В частном случае, если сила  _F  постоянна и по величине , и по на-

правлению ( F  const),   S  F t .

Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

t S x  F xdt 0

t S y  F ydt 0

t S z  F zdt 0

Единицей измерения импульса в СИ является – 1Н с 

 

Теорема об изменении количества движения точки.

Теорема.  Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

                                                                                                                                                       dv

                     Запишем основной закон динамики ma  F в виде  m               F .  Так

dt

как масса постоянна, то внесем ее под знак производной. 

Тогда                             ^{d( mv )} _ F ,                                                            (*) dt

что и требовалось доказать.

В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:

d                                                d                                              d

(mv_x)  F _x        (mv_y )  F _y  (mv_z )  F _z dt           dt         dt

Теорема импульсов (в дифференциальной форме).  Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Умножим левую и правую части уравнения (*) на  dt и получим

d(mv)  dF  dt  dS                                      (**)

В проекциях на координатные оси получаем:

d(mv_x )  dF _x  dt  dS _x , d(mv_y )  dF _y dt  dS _y , d(mv_z )  dF _z  dt  dS _z .

Теорема импульсов (в интегральной форме).  Изменение  количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до  _t  получаем:

mv  mv₀  S

В проекциях на координатные оси получаем:

mv_x  mv_0x  S _x ,

mv_y  mv_0y  S _y ,

mv_z  mv_0z  S _z

Момент количества движения точки.

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.

Моментом количеством движения мате-

риальной точки     k₀ относительно некоторого центра О  называется вектор, определяемый ра-

                                                                             венством      k₀  M₀(mv)  r mv

Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом.

Момент количества движения относительно какой-либо оси  Oz, проходящий через

центр О,  равен проекции вектора количества движения k₀ на эту ось  

k_z  M _z(mv)  k₀ cos().

                Если    количество    движения     m_v     задано    своими    проекциями 

mv_x,    mv_y,   mv_z   на оси координат  и даны координаты   x    y    _z  точки _m в

пространстве, то момент количества движения k₀  относительно начала координат вычисляется следующим образом:

j

                                                                       y                   zz                           xx                    y

y

                                                                  mv_y            mv_zmv_z                  mv_xmv_x                          mv_yПроек-

                      x      mvy

         ( y mv_z  z mv_y )i ( z mv_x  xmv_z ) j ( xmv_y  y mv_x )k

ции момента количества движения k₀ на оси координат равны:

 k_x  ( ymv_z  z mv_y )  k_y (zmv_x  xmv_z )  k_z  (xmv_y  ymv_x )

                Единицей    измерения    количества    движения    в    СИ    является    –

1кг м² / с 1Н  мс.

 

Теорема об изменении момента количества движения точки.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. d

(M ₀(mv))  M ₀(F) dt

Доказательство:  Продифференцируем момент количества движения по

                             d                       dr                      d                                             

времени   (rmv)          mv  r      (mv)  vmv  r(ma) dt           dt         dt

vmv  0, r(ma)  r F , следовательно  ^d (rmv)  rF ,                          (*)

dt

что и требовалось доказать.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение

(*) на эту ось. Для оси  Oz это будет выглядеть так:             ^dkz  M _z (F)

dt

Следствия из теорем:

1.                 Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.

                     M ₀(F)  0, _          k₀  M₀(mv)  (rmv)  const

2.                 Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.

                     M _z (F)  0, _         k _z  M _z (mv)  const

 

Работа силы.  Мощность.

Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

dA  F_ ^ds.     dA F dscos(),

  -  угол между  F  и ds  

 

Единицей измерения работы в СИ является – 1Н  м 1Дж 

При F_  0,        dA  0                  при   F_  0,        dA  0

Частные случаи:  0⁰,     dA  F  ds

 90⁰,     dA 0

180⁰,     dA F ds

Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы. 

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы. 

dA  F  ds  F  dr

Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки. 

dA F dr  F vdt  dS v

Если сила  F  задана своими проекциями (F_x    F_y   F_z ) на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями ( dx    dy    dz) на оси координат, то элементарная работа силы равна:

dA F_x dx F_y dy F_z dz (аналитическое выражение элементарной работы).

Работа силы на любом конечном перемещении   M₀M  равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

             M                       M                                  M

A  dA  F ds  (F_x dx F_y dy  F_z dz)

            M0                      M0                               M0

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы. 

 W _ dA,              W  F vdt  F v dt         dt

Мощность равна скалярному произведению силы на скорость. 

Единицей измерения мощности в СИ является – 1Дж/ c 1Вт 

кГ  м

В технике за единицу силы принимается  1л.с. 736Вт  75       . с

 

Пример 1.   Работа силы тяжести.

  Пусть точка М, на которую действует сила тяжести    Р,       перемещается      из положения 

 M₀(x₀, y₀, z₀⁾   в положение   M₁(x₁, y₁, z₁). Выберем оси координат так, чтобы ось   _Oz была направлена вертикально вверх.  

Тогда,  P_x  0,    P_y  0,    P_z  _P    и

                             M1                     z1

A_(M0M1 )  dA  ( P )dz  P( z₀  z₁ )

                            M0                     z0

 

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус  произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

 

Пример 2.   Работа силы упругости.

 Рассмотрим материальную точку закрепленную на упругом элементе жесткости с, которая совершает колебания вдоль оси х.  Сила

упругости  (или восстанавливающая сила)  F_x  c x . Пусть точка М, на которую действует только сила упругости, перемещается из положения   M₀(x₀)   в положение   M₁(x₁).  ( F_y  0,   F_z  0).

M1  x _{0 1} 1 c ² x₁² )

A_(M M )  ^dA  ^(c x)dx  2 (x₀ 

                                                                                                             _M0                     _x0

Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого элемента на  разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатия) упругого элемента. Работа силы упругости равна площади фигуры (трапеции) располо-

женной под кривой  F_x (x).  A_(M0M₁)  ^c (x₀²  x₁² )   ^{(F1  F0 )} (x₁  x₀ )

                                                                                                   2                                    2

 

 

 

Пример 3.   Работа и мощность пары сил.

 

Пусть пара сил приложена к вращающемуся вокруг неподвижной оси телу.  Элементарная работа пары сил равна  dA 2F ds  2F Rd_.  

                                                                    Полная          работа          пары          сил         равна 

A 2F R М _

 - угол поворота тела,  _М -  момент пары сил.

Мощность пары сил равна

                          W  dA  М _

dt

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

 T  mv2

2

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема.  Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

mv²

d(  )  dA

2

dv

                Доказательство: Основной закон динамики    m       F .

dt

Умножим левую  и правую части уравнения скалярно на   dr справа, получаdv

ем   m      dr  F dr .              F dr  dA - элементарная работа.

dt

          dv                         dr                               m^v2

 m     dr  m(dv )  m(dvv)  d(      ) - дифференциал от кинетической dt dt         2 энергии.    mv² d(  )  dA,           что и требовалось доказать.

2

Теорема.  Производная по времени от кинетической энергии точки равна  мощности, подводимой к этой точке.

d     mv²

(      ) W dt            2

Теорема.  Изменение  кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

mv²       mv₀²

                            A

      2            2

Принцип Даламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:

 ma  F  R,

_F - равнодействующая активных сил, _R - равнодействующая сил реакции связей.

Силой инерции материальной точки называют произведение массы

точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е.  Φ  ma.

Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики

принимает вид: FRΦ0

Принцип Даламбера.  При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

 

Динамика несвободной материальной точки

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка.  Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности,  которое называется уравнением связи.

f x,y,z 0

Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.

                 f₁x,y,z 0,          f₂x,y,z 0

Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей.  При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.

Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.

Связь называется двухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.

 

Пример

Материальная точка подвешена на стержне длины  l .

Уравнение связи имеет вид:

x2  y2  z2  l2

Связь называется односторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях.

 

 

Пример

Материальная точка подвешена на нити  длины  l .

Уравнение связи имеет вид:

x2  y2  z2  l2

 

Принцип освобождаемости от связей

Связь можно отбросить заменив действие связи силой реакции связи.

ma  F  R .

В проекциях на оси декартовой системы координат это будет выглядеть так: m &x&  F_x  R_x , m &y&  F_y  R_y, m&z& F_z  R_z .

 

 

Относительное движение материальной точки

Во многих задачах динамики движение материальной точки рассматривается относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета. 

Получим дифференциальные уравнения движения материальной точки

относительно подвижной системы отсчета.

O₁x₁y₁z₁  -  инерциальная система отсчета.

Oxyz  -  подвижная система отсчета.

ma  F  R ,

где  F -  сумма активных сил,  R  -  сумма сил реакции связи.

Согласно теореме Кориолиса  a  a_e  a_r  a_k

Перепишем дифференциальное уравнение следующим образом

ma_r  F  R  ma_e  ma_k

Введем обозначения

Ф_e  ma_e  -  переносная сила инерции,

Ф_k  ma_k  -  кориолисова сила инерции.

С учетом этих обозначений мы получаем  динамическую теорему Кориолиса (уравнения относительного движения).

Материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и силам реакции связей следует добавить кориолисову и переносную силу инерции.

ma_r  F  R Ф_e Ф_k

Силы  Ф_e и Ф_k  являются поправками на неинерционность системы.

В проекциях на подвижные оси m &x&  F_x  R_x Ф_ex Ф_kx m &y&  F_y  R_y Ф_ey Ф_ky

m&z&  F_z  R_z Ф_ez Ф_kz

 

Частные случаи относительного движения

1.  Относительное движение по инерции

Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называется относительным движением по инерции.

v_r  const,   a_r  0,   следовательно

F  R Ф_e Ф_k  0

2.  Относительное равновесие

При покое материальной точки относительно подвижной системы отсчета ее относительные скорость и ускорение равны нулю, т.е.  

v_r  0  и  a_r  0,   следовательно ускорение Кориолиса  тоже равно нулю    

a_k  2v_r  0

Условие относительного равновесия имеет вид:

F  R Ф_e  0

3.  Инерциальные системы отсчета

Переносное ускорение в общем случае вычисляется по формуле

a_e  a₀ r r,

где a₀  -  ускорение точки, принятой за полюс (начало координат);  _  -  угловая скорость вращения подвижной системы координат вокруг выбранно-

го полюса;  _  -  угловое ускорение этого вращения (_ ^d);  r  -  радиусdt

вектор движения точки относительно полюса.

Если подвижная система отсчета движется поступательно, прямолинейно и равномерно, то

Ф_e  ma_e  0,        Ф_k  ma_k  0

и уравнения относительного движения имеют вид:

ma_r  F  R Ф_e Ф_k .

 

Введение в динамику системы

Механической системой называется любая система материальных точек и тел.

Внешними силами механической системы называются силы, с которыми на точки и тела механической системы действуют точки и тела не входящие в рассматриваемую систему. 

Равнодействующая всех внешних сил приложенных к i  ой точке обо-

значается  _F⁽_i ^{e )} (от латинского  exterior - внешний).

Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы. 

Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к i  ой точке

(i ) обозначается  F _i  (от латинского  interior - внутренний).

Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается.

Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:

Теорема.  Главный вектор всех внутренних сил системы (векторная

(i ) сумма) равен нулю при любом состоянии системы.  F _i  0.

Доказательство: Согласно одной из аксиом динамики, любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.

Теорема.  Главный момент всех внутренних сил системы (векторная сумма) относительно любой точки или оси равен нулю при любом состоянии

системы.   M₀(F (_i i ) )  0   или   M _z (^{F (}_i ^{i )} )  0.

Доказательство: Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси равна нулю.

Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:

mi  d22ri  F(i e )  F(i i ) ,    i 1,...,n dt

Геометрия масс

Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа  n  материальных точек с массами  m₁, m₂,  .  .  .  , m_n , а положение точек в

пространстве задается радиус-векторами  r₁,  r₂,  .  .  .  , r _n , то

Центром масс  механической системы называется геометрическая точка С, радиус-

вектор которой  r _c  определяется выражением 

rc ⁽m_i r_i )/ M

i

                                                                                     где      M  m_i  - масса системы.

i

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами  dmdv. Суммы в пределе переходят в интегралы и центр масс определяет-

ся выражением   r_c  r dv/ ^M

V

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Центр масс характеризует распределение масс в системе.

Координаты центра масс имеют вид:

xc  (mi xi )/ M  i	xc  xdv/ M V
yc (mi yi )/ M  i	yc   ydv/ M V
zc (mi zi )/ M  i	zc  z dv/ M V

Для тел типа тонкого листа (поверхность) и тонкой проволоки (линия) dm  _S  ds  и  dm  _l dl,  где    _S  и_l - поверхностная и линейная плотности соответственно. Интегралы вычисляются по поверхности и линии.

Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.

Момент инерции относительно точки

Скалярная величина 

J_o  m_i d_i²           или    J_o  d² ^dv

V

называется полярным моментом инерции относительно точки О. d – расстояние от текущей точки до точки  О.

Момент инерции относительно оси

                Скалярная величина                 J_l  m_i r_i²           или    J_l  r² _dv

V

называется моментом инерции относительно оси  l.   r – расстояние от точки до оси.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга.  Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции.

Величина  _l    называется радиусом инерции.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой же оси определяется выражением   J_l  _l² M .

Моменты инерции относительно осей  координат

                   J_x  m_i (y_i² z_i^{2 )}          J_x  ( x²  y² )dv

V

                  J _y  m_i (x_i² z_i^{2 )}          J_y  ( x²  z² )dv

V

                   J_z  m_i (x_i²  y_i^{2 )}          J _z  ( x²  y² )dv

V

J_o  m_i (x_i²  y_i²  z_i² ) J_o  ( x²  y²  z² )dv

V

Центробежные моменты инерции 

J xy  mi  xi  yi	J xy  xi  yi dv V
J xz  mi  xi  zi	J xz  xi  zi dv V
J yz  mi  zi  yi	J yz  zi  yi dv V

Установим зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс.

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. 

(Теорема Штейнера)

Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими ося-

ми. J_Ol  J_Cl  M d²

Доказательство:  Пусть имеется две декартовы системы координат _Oxyz и  Cxyz, оси которых параллельны. Начало системы  Cxyz^ находится в центре масс системы. Докажем теорему для осей  _Oz  и  Cz.

 

JOz  mi (xi2  yi2 )          JCz  mi (xi2  yi2)

Координаты связаны между собой соотношениями:

x_i  x_i  x_C ,            y_i  y_i  y_C ,           z_i  z_i  z_C

m_i (x_i²  y_i²)  m_i ((x_i  x_C )²  (y_i  y_C )²) 

         m_i (x_i²  2 x_i  x_C  x_C²  y_i²  2 y_i  y_C  y_C² )                           

m_i (x_i²  y_i²)  M (x_C²  y_C² )  2 x_C m_i  x_i  2 y_C m_i  y_i

                2 x_C m_i  x_i  0,         2 y_C m_i  y  0_i ,                   x_C²  y_C²  d ² .

JOz  JCz  M d2

Следовательно  , что и требовалось доказать.

Главными осями инерции называются оси, в которых центробежные моменты инерции равны нулю.

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела. 

Тензор инерции и тензор инерции для главных осей:

                         J x       J xy   J xz                       J x 0     0 

                J   J _xy       J _y        J _yz ^                J   0 J _y 0 

                                                J                          0     0 J z 

                             J xz      J yz           z    

Общие теоремы динамики системы и твердого тела

Количество движения системы.

Количеством движения системы материальных точек _Q называется векторная сумма количеств движений отдельных точек системы.

Q  m_i v_i

Единицей    измерения количества движения    в        СИ    является      – 1кг м/ с 1Н с 

Количество движения системы можно выразить через массу системы и

скорость центра масс.    Q  M v_C

 

Теорема об изменении количества движения системы.

Эта теорема существует в трех различных формах.

Теорема.  Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

                                              ^ddt^Q _ _F ⁽_i ^{e )} ,                                   (6.1)

Доказательство:   Теорема об изменении количества движения для  i  ой точки  имеет вид:

d(mi vi )  F i(e)  F i(i) ,       i 1, . . ., n dt

Сложим все  n  уравнений и получим:

                                               ddtQ  Fi( e ) , 

что и требовалось доказать.

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

dQx  Fix( e ) ,   dQy  Fiy( e ) ,   dQdtz  Fiz( e ) . dt         dt

Теорема. (в дифференциальной форме).  Дифференциал от количества движения системы равен сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Умножим левую и правую части уравнения (6.1) на  dt и получим

                                      dQ  F_i^{( e )} dt,                                           (6.2)

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

dQ_x   F_ix^{( e )}  dt ,       dQ_y  F_iy^{( e )} dt ,       dQ_z  F_iz^{( e )} dt .

Теорема (в интегральной форме).  Изменение  количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до  _t  получаем:

                   ( e )

Q  Q₀  S _i                    

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

Qx  Q0x  Six( e ) ,      Qy  Q0y  Siy( e ) ,       Qz  Q0z  Siz( e ) .

 

Законы сохранения количества движения.

1.       Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю

(^{F (}_i ^{e )}  0 ), то количество движения системы постоянно по величине и на-

правлению. Q  const

2.       Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на ка-

кую-либо ось равна нулю (^{F (}_ix^{e )}  0), то проекция количества движения системы на эту ось является постоянной  величиной. Q_x  const

 

Теорема о движении центра масс.

Теорема   Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе. 

                  dQ             ( e )                                                                                                                       ( e )

                       dt  F _i                    Q  M vC , следовательно            M aC  F i              

 

Момент количества движения системы.

Моментом количества движения системы материальных точек K₀ относительно некоторого центра O называется векторная сумма моментов количества движения отдельных точек этой системы относительно того же

центра O        K₀  k₀  r_i m_i v_i

Моментом количества движения системы материальных точек K_z относительно  какой-либо оси  Oz, проходящей через центр O,  называется проекция вектора количества движения K₀ на эту ось   K _z  K₀ cos(). 

 

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения

при вращательном движении твердого тела.

Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.

K_z  M _z(m_i v_i )

vi  hi 

M z(mi vi )  hi mi vi  mi hi2 

K_z ^m_i h_i²  J_z

 

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при

вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения. K_z  J _z

Теорема об изменении момента количества движения системы.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил,  действующих на систему относительно того же центра.

                                                         dK0  L(0e)                                  (6.3)

dt

Доказательство:   Теорема об изменении момента количества движения для  i  ой точки  имеет вид:

d                                        (e)                                   (i)

_dt (M ₀(mi v_i ))  M 0(F _i )  M ₀(F _i ),      i 1, . . ., n

Сложим все  n  уравнений и получим:

 dtd M 0(mi vi )  M 0(F i(e) )  или   ddtK0  L(0e) ,  что и требовалось доказать.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил,  действующих на систему относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3)  на эту ось. Для оси  Ozэто будет выглядеть так:.

                                                         dK z  L(ze)                                  (6.4)

dt

Теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс.  (без доказательства)

Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

Законы сохранения момента количества движения.

1.       Если главный момент внешних сил системы относительно точки O

(e ) равен нулю (L₀  0), то момент количества движения системы относительно

точки O постоянен по величине и направлению. K₀  const

2.       Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю ( L⁽_x^e)  0), то момент количества движения системы относительно  этой оси является постоянной  величиной. K_x  const

 

Кинетическая энергия системы.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.

 T  mi 2vi2

Теорема Кенига.  Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс.  

 T  M  vC² T_C( r ) 2

Доказательство:   Рассмотрим движение механической системы относительно двух систем координат. Одна система неподвижна, другая, с началом в центре масс системы, перемещается относительно первой поступательно. 

 _j ,   v_j  -  радиус-вектор и абсолютная скорость j  ой точки соответственно;

_C ,  v_C  -  радиус-вектор и абсолютная скорость центра масс системы соответственно;

 r_j ,   v _jr  -  радиус-вектор j  ой точки относительно центра масс и относительная скорость этой точки соответственно.

 _j  _C  r_j ,    v _j  v_C  v _jr   (так как переносное движение поступательное)

                              M  2C  2vC  j2v j   m j 2v2j( r ) v2            m

Так как m _j v _j  0,  то

 T  M  v2C2   m j 2v2j( r )    или     T  M  v₂C2 TC( r )

Кинетическая энергия твердого тела.

1. Поступательное движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.

v2

 T  M  ,   _v  -  скорость любой точки твердого тела 2

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

2



 T  J_z   ,   _  -  угловая скорость вращения твердого тела. 2

3. Плоское движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения..

                       2                    2

v^{C } ,   v_C  -  скорость центра масс твердого тела,  _  -  угловая

 T  M       J_z 

                      2              2

скорость вращения твердого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Эта теорема существует в двух формах.

Теорема.  Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

 (e )      (i ) dT  dA  F _i  dr_i  F _i  dr_i

Доказательство:   Теорема об изменении кинетической энергии для  i  ой точки  имеет вид:

d( ^mvi2 )  dA_i^(e)  dA_i^{(i )} ,      i 1, . . ., n

2

Сложим все  n  уравнений и получим:

d( m₂vi² )  dAi(e)  dAi(i )

или    d_^m2vi² _  dT  dAi(e )  dAi(i )

_

( e )      ( i ) или    dT  F _i dr_i  F _i dr_i

что и требовалось доказать.

Теорема.  Изменение  кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы..

T T0  Ai( e )  Ai(i )

Список используемой литературы

1.     Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов – М.: Высшая школа, 1989.

2.     Краткий курс теоретической механики С.М. Тарг.

3.     Куклин Н.Г., Куклина Г.С. Детали машин. – М.: Машиностроение, 1987.

4.     Методические указания к решению задач по теоретической механике. В.Н. Адамов.

5.     Мовнини Н.С., Израелит А.Б., Рубашкин А.Г.. Основы технической механики. – Л.: Машиностроение, 1990.

6.     Никитин Г.М. Теоретическая механика для техникумов. – М.: Наука, 1988.

7.     Руководство к решению задач по теоретической механике. Т.Б. Айзенберг, И.М. Воронков, В.М. Осецкий.

8.     Теоретическая механика в примерах и задачах (том 1). М.И.Бать, Г.Ю.

Джанелидзе, А.С. Кельзон.

9.     Теоретическая механика. В.М. Старжинский.