Методы решения логарифмических уравнений

Методическая разработка урока по теме: Методы решения логарифмических уравнений.

Автор: Забара Виктория Викторовна – учитель математики ГБОУ гимназии №11 г. Санкт-Петербурга.

Цели:

Образовательные:

1. Вспомнить понятия логарифма числа и свойства логарифма. Ознакомьтесь и закрепите основные логарифмические методы решения уравнений, избегая типичных ошибок.

2. Дайте каждому ученику возможность проверить свои знания и повысить свой уровень.

3. Активно участвовать в работе класса через различные формы работы.

Развивающие:

1.    Развить навык самоконтроля.

Воспитательные:

1. Воспитывать ответственное отношение к работе, тренировать волю и настойчиво добиваться конечного результата.

2. Создать ситуацию успеха

Задачи урока: применить ранее полученные знания. 

Оборудование урока:

• Раздаточный материал;
• Учебник;

Формы работы:

• фронтальная; 
• индивидуальная.

Методы занятия: объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый.

План урока:

1. Организационный момент
2. Устная работа
3. Актуализация знаний
4. Из истории математики
5. Изучение нового материала: «Логарифмические уравнения».
6. Практическая работа: «Решение логарифмических уравнений».
7. Итоги урока
8. Рефлексия
9. Домашнее задание

Этапы урока

1. Организационный момент.

Тема урока: “Решение логарифмических уравнений”. Сегодня мы повторим понятие логарифма числа, свойства логарифма, закрепим умения применять эти понятия при решении уравнений.

На доске: дата, тема, план урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Логарифмом (log) числа b>0 по основанию а {где, а>0 и а≠1}, называется показатель степени x, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Свойства логарифмов имеют тесную связь со свойствами степени, поэтому логарифмирование как математическая операция является обратной операцией действия – возведение в степень.

Если a,b,c > 0 и a ≠ 1, то справедливы свойства:

1)                   Логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

0

2)                   Если основание и показатель логарифма равны, то логарифм равен единице:

1

3)                   Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log_a xy = log_a x + log_a y

4)                   Логарифм частного равен разности логарифмов:

log_a = log_a x - log_a y

5)                   Логарифм степени   равен логарифму по этому основанию, умноженному на показатель степени:

log_a x^p = plog_a x

7)                    Зависимость между логарифмами с различными основаниями определяется формулой:

, 𝑚 𝜖 𝑅, 𝑚 ≠ 0

8)                     Для того, чтобы работать с логарифмами, необходимо сначала их привести к одному основанию.

9)                    Для того, чтобы поменять местами основание и аргумент логарифма, используется данное свойство.

logab= , b≠1

Свойства сравнения логарифмов

10) Поменять местами основание степени и аргумент логарифма можно с помощью следующего свойства:

Устная работа

 

3. Изучение нового материала.

Тема урока: «Решение логарифмических уравнений»,

Цель: изучить методы решения логарифмических уравнений.

Из уроков математики, известно, что уравнением называется равенство, содержащее неизвестную переменную, значением которой̆ является корень уравнения.

Таким образом, корнем уравнения считается такое значение переменной̆, при подстановке которой̆ в исходное уравнение, оно обращается в правильное числовое равенство.

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма, считается логарифмическим.

Уравнение такого вида является простейшим, при x>0йимеет решение=ab :Logах=b, a>0,a≠1, (1)

Если под знаком логарифма в логарифмическом уравнении стоит функция, задаваемых неравенствам f(x)>0, то оно имеет множество  допустимых значений х, и равносильно уравнению f(x) = a , a > 0, a ≠ 1:

logaf(x)=b, a > 0, a ≠ 1 (2)
Простые логарифмические уравнения имеют следующиӗ вид:

logxA=B, где A > 0, (3)

a) при А ≠1 и В ≠0йимеют единственный̆ корень х = А1/В;

б) при А=1 и В =0йимеют решением любое положительное, отличное от 1, число;

в) при А = 1 и В ≠0йкорней нет;
г) при А ≠1 и В = 0йкорней нет.

Решить логарифмическое уравнение — значит найти все его корни или

показать, что решений нет.

Рассмотрим методы решения логарифмических уравнений:

1.                   По определению логарифма

Пример 6. Рассмотрим уравнение

1) Решить уравнение

Используем определение логарифма:

Ответ:

2.       Метод потенцирования

Идея данного метода состоит в применении элементарных преобразований, результатом которых является уравнение вида:

Данное уравнение при а>0; а≠1 равносильно следующей системе:

Пример 7. Рассмотрим уравнение:

Решение. Область допустимых значений данного уравнения можно определить неравенством:

Выполним преобразование правой части уравнения:

В результате имеем:

Ответ:

3.      Метод подстановки

Для того, чтобы воспользоваться методом подстановки, для начала необходимо сделать несколько элементарных преобразований.

Пример 8. Рассмотрим на примере:

Решение. Определим область допустимых значений: х > 0.

Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами логарифма:

Осуществим замену:  Теперь уравнение примет вид:

 Теперь, учитывая область допустимых значений, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

4. Метод приведения к одному основанию

Как правило, метод подстановки используется совместно с методом приведения к одному основанию.

Пример 9. Рассмотрим уравнение:

Решение. Область допустимых значений данного уравнения можно записать с помощью системы:

Осуществим переход к логарифмам по основанию 2.

, то обозначим  тогда

 Тогда уравнение сводится к решению следующей совокупности:

Ответ:

5. Метод логарифмирования

При решении следующего вида , обычно, используют метод логарифмирования.  Раскроем данный метод на этом примере:

Пример 10. Рассмотрим уравнение:

Решение. Область допустимых значений представляет собой систему:

Осуществим некоторые элементарные преобразования:

Тогда уравнение примет вид:

Прологарифмируем уравнение по основанию х:

=0.

Заменим

Теперь уравнение равносильно совокупности:

Ответ:

6. Функционально-графический метод

Идея данного метода состоит в использовании свойств показательной функции.

Если уравнение нельзя решить с помощью свойств логарифма, то используют графическую иллюстрацию функций, которые его задают. Представим данные функции в одной системе координат, найдем точки их пересечения. Решением уравнения являются координаты х точек пересечения.

Пример 11. Рассмотрим уравнение .

Решение. Данное уравнение удобнее решать графически. Изобразим графики функций  и  в одной системе координат. На рисунке видно, что в данном случае графики имеют одну точку пересечения (1; 0). Решение данного уравнения можно рассмотреть на рис. 1.

рис. 1

4. Самостоятельная работа.

Подведем итоги о осуществим взаимопроверку.

5. Работа над ошибками.

Разберём решение уравнений, которые у большинства обучающихся вызвали затруднения.

6. Подведение итогов. Выставление отметок.

Какое уравнение называется логарифмическим?

Что значит решить уравнение?

Какие вы знаете методы решения логарифмических уравнений?

7. Рефлексия.

Оцените свою работу по пятибалльной шкале на карточке с самостоятельной работой.

8. Домашнее задание.

Проработать весь теоретический материал и разобрать примеры: