Модули 4,5 Логика финансовых операций (Финансовая математика)

Модуль 4. 

ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

4.1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств

            В финансовой практике  часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один, изменить схему начисления процентов и т.п. В таких случаях возникает вопрос о том, на каких принципах должно основываться изменение контракта.

            На практике в качестве такого принципа наиболее часто применяется принцип финансовой эквивалентности обязательств, позволяющий сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. Так, при изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость  между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называют процентные ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей для реализации названного принципа необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые оказываются  равными после их приведения  по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

4.2. Эквивалентность процентных ставок

            Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составить уравнение эквивалентности.

            а) Рассмотрим эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Предположим, что временная база равна 360 дням.

            Полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок должны быть одинаковы. Составим уравнение эквивалентности, исходя из равенства множителей наращения:

  

Решая эти уравнения относительно i и d, получим формулы 1.3 и 1.4. приведенные в разделе 1.

            Если срок финансовой операции задан в днях, то эти формулы примут вид:

                                                                              (4.1)

                                                                              (4.2)

Если же временная база для процентной ставки i, как это часто бывает, составляет 365 дней, а для учетной ставки d – 360 дней, то:

                                                                     (4.3)

                                                                      (4.4)   

Пример. Срок до погашения векселя 100 дней. Операция учета векселя должна принести 20% годовых в виде обычных точных процентов. Какую следует назначить учетную ставку?

Решение: 

            Следовательно, для обеспечения заданного уровня доходности необходимо назначить учетную ставку 18,7%.

б) Определим соотношение эквивалентности между простой процентной ставкой наращения и сложной процентной ставкой.

Для решения поставленной цели приравняем множители наращения друг другу:

где - простая процентная ставка наращения;

     -сложная процентная ставка наращения;

     -срок операции в годах.

Решим это уравнение относительно  и .

,                                                      (4.5)      

,

.                                                      (4.6)

Пример. Кредит предоставлен под 20% простых годовых на 0,5 года. Определите доходность финансовой операции в виде сложной годовой процентной ставки.

Решение; i =0,2;    n = 0,5.

    или 21%

4.3. Замена и консолидация платежей

В качестве метода, позволяющего осуществить принцип финансовой эквивалентности обязательств,  принято  использовать метод приведения (с помощью операций дисконтирования и наращения) платежей к одному моменту времени.

            При применении метода приведения следует, прежде всего, выбрать базовый момент времени, т.е. момент к которому предполагается приведение всех сумм в расчете.

            Дисконтирование применяется, если необходимо привести платежи к более ранней дате, наращение – когда базовый момент времени относится к будущему.

Пример. Выясните, являются ли равноценными два обязательства, если по одному из них должно быть выплачено 2 млн. рублей через 2 года, а по второму – 2,5 млн. рублей через 3 года. Для сравнения применить сложную процентную ставку 15% годовых.

Решение:

Найдем современную стоимость этих платежей:

Как видим, данные обязательства не являются равноценными.

            На практике при изменении условий платежей  принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается  к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени.  Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, реализуется на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных – на основе сложных.

             Пример.

Имеются два кредитных обязательства 400 тыс. руб. и 700 тыс.  руб. со сроками уплаты 1 августа и 1 января  (следующего года). По согласованию сторон условия обязательств пересмотрены: первый платеж в размере 600 тыс. рублей должник вносит 1 ноября, остальной долг он выплачивает 1 марта. Определите величину второго платежа, если в расчетах используется простая процентная ставка 20% годовых.  Проценты точные.

Решение:

За базовую дату примем дату искомого платежа. Все остальные платежи приведем к этой дате - 1 марта.

Срок от 1 августа (Р1=400 тыс. рублей) до 1 марта составляет 212 дней (365-213 +60).

Срок от 1 января (Р2=700 тыс. рублей) до 1 марта составляет 59 дней (60-1).

Срок от 1 ноября (Р3=600 тыс. рублей) до 1 марта составляет 120 дней (365-305+60).

Уравнение эквивалентности имеет вид:                                        

 

Отсюда Р4=529,65 тыс. рублей.

Пример.

Согласно контракту предприятие должно выплатить 200, 300 и 500 тыс. рублей соответственно через 1,5 года, 2 и 4 года. Предприятие предлагает пересмотреть контракт и вернуть долг одним платежом через 3,5 года. Найдите величину консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка  18% годовых.

Решение:

Модуль  5.

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

5.1. Доходность финансовых операций.

Одной из важнейших проблем финансового менеджмента является оценка эффективности финансовых операций с целью определения наилучшего варианта инвестирования денежных средств. Результат финансовой операции может оцениваться с помощью показателей дохода или прибыли. Однако один и тот же финансовый доход в разных случаях может быть получен на основе инвестирования значительно отличающихся по объему денежных средств. Поэтому в качестве показателя эффективности финансовой операции, как правило, выбирают показатель доходности, рассчитанный на основе сопоставления дохода, полученного за  определенный промежуток времени, с произведенными затратами.

Предположим некоторая сумма  предоставлена в долг с условием, что через  лет будет возвращена большая сумма .

В качестве показателя доходности может служить:

а) обычная годовая ставка процентов,  рассчитанная по формуле ,                                                                                   (5.1)

б) сложная годовая ставка процентов, определенная из формулы наращения по сложным процентам :

                                                                                            (5.2)

в) эффективная ставка процентов, если известна номинальная ставка процентов i, и проценты начисляются m раз в год:

                      (5.3)

Пример

Ссуда в размере 2,5 млн. рублей выдана под простые проценты на 2 года, с условием возвратить в конце срока 3,5 млн. руб. Определить доходность этой операции на основе простой и сложной процентных ставок.

Решение:

    или 20%.

      или 18,3%.

Пример

На вклад, помещенный в банк под 16% годовых, проценты начисляются ежеквартально. Оцените доходность этой операции на основе эффективной процентной ставки.

Решение: i=0,16; m=4.

В некоторых финансовых операциях общий доход может исчисляться как результат сложения доходов от разных источников. Так, банки кроме взимания процентной ставки за кредит часто устанавливают комиссионное вознаграждение за осуществление операций по расчетным счетам клиентов а также удерживают с клиента определенную сумму, покрывающую затраты банка по каждой операции. 

Следовательно, измерение доходности любой финансовой операции сводится к учету всех источников дохода, нахождению суммарного дохода за определенный период времени и сопоставлению его с затратами. Для кредитных операций – это  сумма денег, предоставленная в кредит. Для владельца ценных бумаг – это сумма, затраченная для их приобретения. При этом все выплаты должны быть приведены к одному моменту времени, чаще всего к сроку начала или окончания финансовой операции.

Таким образом, в общем случае оценка доходности сводится к определению расчетной процентной ставки, отражающей общую доходность на вложенный капитал.

Пример

Ссуда 100 тыс. рублей выдана на 240 дней под 12% годовых. Проценты простые обыкновенные. При выдаче ссуды удержаны комиссионные в размере 1тыс. рублей. Определить полную доходность финансовой операции в виде сложной процентной ставки.

Решение: PV=100 тыс. руб.; t = 240 дней; Y = 360 дней.

Сумма долга с процентами составит:

 

Затраты составили 99 тыс. руб. (100-1). Срок финансовой операции

Определим  полную доходность финансовой операции в виде сложной процентной ставки из равенства: .

Следовательно, полная доходность этой финансовой операции составляет 13,94%.

5.2. Расчет средней процентной ставки

В условиях нестабильности финансового рынка процентные ставки могут быть непостоянны во времени. В  связи с этим возникает задача определения такого значения процентной ставки, которое  определяло бы уровень доходности за весь период финансовой операции. Для решения  этой задачи определяют среднюю процентную ставку с помощью уравнения эквивалентности, которое ставит в соответствие коэффициенту наращения, определенному на основе годовой процентной ставки последовательность коэффициентов наращения, задающих схему проведения данной  финансовой операции.

а) Предположим, что в течение периода времени  установлена  ставка простых процентов , в течение периода времени  действует ставка простых процентов  и т.д.  Всего число периодов начисления процентов -. В этом случае срок финансовой операции определяется суммой:

Обозначим процентную ставку ссудных процентов, характеризующую среднюю доходность за конверсионный период, символом . Тогда уравнение эквивалентности для ее определения будет иметь вид:

Отсюда                                                                        

                                                                    (5.4)                                                      

Аналогично для простых учетных ставок их средняя определяется из равенства: .                            (5.5)

Средняя ставка  (равно как и ) — это взвешенная средняя арифметическая величина, при расчете которой каждому значению процентной ставки ставится в соответствие интервал, в течение которого данное значение ставки использовалось.

В общем виде определение средней ставки может быть сформулировано следующим образом.

Средняя процентная ставка — это ставка, дающая такое наращение, которое эквивалентно наращению с применением ряда разных по значению процентных ставок, применяемых на различных интервалах времени.

Пример. На долг в 400 000 рублей согласно контракту предусматривается начислить годовые простые точные  проценты по схеме, определенной  следующей таблицей.

Таблица

Период
1	0,12	0,75	0,09
2	0,11	2,0	0,22
3	0,08	1,25	0,1
		4,0	0,41

Требуется оценить доходность этой кредитной операции в виде простой годовой процентной ставки и найти сумму долга с процентами.

 Решение:

Срок финансовой операции:

Средняя процентная ставка:

 или 10,25 % годовых.

Сумма долга с процентами:

 

б) Допустим, что доходность операции с плавающей процентной ставкой на каждом интервале начисления была выражена через сложный процент. В этом случае средняя процентная ставка, которая равноценна последовательности ставок за весь период финансовой операции, может быть получена из следующего уравнения эквивалентности: .

Отсюда,               (5.6)

где

 .

 Следовательно, сложная средняя процентная ставка рассчитывается по формуле средней геометрической взвешенной.

Пример. Сложная процентная ставка по ссуде определена на уровне 8,5 % плюс маржа 0,5 % в первые 2 года и 0,75 % в последующие 3 года. Требуется определить среднюю ставку сложных процентов.

Решение:  

       Срок финансовой операции:    

   Средняя ставка сложных процентов:      или 9,15% годовых.

5.3. Учет инфляции при оценке результатов финансовых операций

Инфляция возникает в результате изменения баланса между денежной массой и объемом созданных в стране благ и услуг. В результате повышается общий уровень цен в экономике, что влечет к снижению покупательной способности денег. Поскольку инфляционные процессы оказывают значительное влияние на реальную доходность финансовых операций, необходимо учитывать их влияние в финансовых вычислениях. В связи с этим наряду с номинальной процентной ставкой, оценивающей доходность финансовой операции без поправки на инфляцию, следует определять реальную процентную ставку. Последняя позволяет оценить доходность с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной способности денег.

Падение покупательной способности денег за период характеризуется с помощью индекса покупательной способностью денег. Этот индекс принимают равным обратной величине индекса цен за тот же период.

Пример. Цены на товары и услуги в отчетном периоде возросли на 5%. Как изменилась покупательная способность денег?

Решение: Индекс цен равен 1+ 0,05=1,05

Тогда индекс покупательной способности денег

Реально наращенная сумма денег  с учетом инфляции (S) может быть рассчитана, исходя из номинально наращенной суммы денег  по формуле

                                                          (5.7)

 где - номинально наращенная сумма денег.

Пример. Два вклада в размере 100000 руб. были размещены на три года под 12% годовых. Причем один вклад был размещен под простые проценты, а другой – под сложные. За этот период (3 года) цены на товары и услуги вследствие инфляции выросли на 30%. Определите реальные наращенные суммы по каждому из вкладов.

Решение:

Определим номинальные наращенные суммы денег по простым процентам:

 

Номинальные наращенные суммы денег по сложным процентам:

Найдем индекс покупательной способности:

 

После этого рассчитаем реально наращенные суммы денег.

Оценим реальную доходность финансовых операций с помощью реальной сложной процентной ставки. Обозначим показатели реальной доходности по первому вкладу  , а по второму -  .

        

      

Таким образом, реальная доходность по первому вкладу составила 1,5% годовых, а по второму -   2,7% .

5.4. Расчет реально наращенной суммы денег

с учетом покупательной способности

Реально наращенная сумма денег может быть рассчитана на основе наращения первоначальной суммы денег , скорректированной с учетом инфляции. При этом формулы наращения выбирают разные, в зависимости от применяемого процента (простой или сложный), а инфляционное влияние следует оценивать по сложному проценту, т.к. обесцениваются уже обесцененные деньги. Так, если наращение производится по простым процентам, то процесс наращения при наличии инфляции описывается формулой: .                                                  (5.8)

Если наращение производится по сложным процентам – по формуле:

                                                                (5.9)

      Где - первоначальная сумма денег, размещенная на вкладе;

              - годовая декурсивная ставка процента по вкладу;

              γ - средний годовой темп инфляции;

             - срок вклада.

Формула , характеризует процесс наращения в условиях инфляции: ставка доходности является    фактором роста денег и находится в числителе, а показатель инфляции является фактором их обесценивания и находится в знаменателе.

При сравнении годовой ставки процента по вкладу и среднего  годового темпа инфляции возможны три случая:

1).   > γ , тогда S > , т.е. только часть наращенной суммы денег «поглощается» инфляцией. Это наиболее оптимальный результат.

Темпы наращения денег по ставке процента опередили темп их обесценивания, в связи с этим, первоначальная сумма денег сохранила свою покупательную способность, и даже был получен некоторый прирост денег по вкладу.

2).   = γ, тогда S = , т.е. все наращение по вкладу «поглощено» инфляцией. Следовательно, роста реальной суммы нет. В этом случае ставка процента по вкладу позволила лишь сохранить покупательную способность первоначальной суммы вклада от инфляции.

3).   < γ , тогда S < . Т.е. инфляция «поглотила» все наращение и даже часть первоначальной суммы  денег, размещенной на вкладе. Такое положение называют «эрозией капитала». В этом случае темпы роста инфляции опередили темпы роста наращения денег по ставке процента. Это наихудший результат, при котором не удается спасти вложенные деньги от обесценивания в условиях инфляции.

Пример. Первоначальная сумма вклада составляет 6000 руб. Вклад размещен на 3 года под 4,5% годовых. В течение срока вклада ожидается средний годовой темп инфляции на уровне 7%. Требуется определить наращенную сумму  денег с учетом инфляции.

Решение:

Т.о. инфляция «поглотила» все наращение и даже часть первоначальной суммы вклада. Данная финансовая операция не позволила сохранить деньги от инфляции. По истечении срока вкладчик по покупательной способности получил сумму денег меньшую, чем та, которую он разместил на вкладе. Иначе говоря, произошла «эрозия капитала». Это стало возможно потому, что среднегодовой темп роста инфляции опередил наращение денег по декурсивной ставке процента.

Пример. Ежемесячный уровень инфляции составляет 7% (по отношению к предыдущему месяцу). Исчислить реально наращенную стоимость вклада в 200 тыс. руб., хранящегося на счете до востребования в сбербанке в течение 7 месяцев по ставке 10% годовых. Проценты простые.

Отметим, что в проектном анализе часто не вычисляют S, довольствуются сравнением   и γ путем вычисления  – реальной процентной ставки или нетто-ставки -  ставки доходности уменьшенной под влиянием инфляции. Ее находят из соотношения:

Выразив из этого равенства  получим:              (5.10)

Пример. Определить целесообразность помещения средств на год под 20% годовых, если прогнозируемый уровень инфляции 15%.

Решение:     = 0,2;  γ = 0,15.

 =  0,0435

Реальная положительная ставка - 4,35%, т.е. реальный доход по операции будет 4,35% от каждой единицы вложенных средств, обесцененной за год на 13% (0,87 или 87%      100-87=13%)

5.5. Учет инфляции при определении процентной ставки

Инфляция уменьшает реальную ставку процента. В результате реальная ставка процентов составит . При достаточно большой инфляции, когда  ставка процентов  может стать отрицательной. В случае если кредитор не отреагирует на инфляцию достаточным увеличением ставки по кредитам, он будет работать себе в убыток. Увеличение процентной ставки должно компенсировать обесценивающее влияние инфляции. Этого можно достичь, опираясь на наращение по ставке , которая определяется из соотношения  Следовательно, .                                                                                               (5.11)

Замечание. При невысокой инфляции величины  и   малы, поэтому их произведением можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается величиной темпа инфляции ,  и ставку корректируют по формуле: .

Пример. Кредит в 300000 рублей выдается на 2 года. Прогнозируемый уровень инфляции на этот период 8% в год. Проценты сложные. Какую процентную ставку должен назначить банк, чтобы обеспечить реальную доходность кредитной операции 10% годовых. Определите наращенную сумму долга.

Решение:

 

Следовательно, для того чтобы обеспечить требуемый уровень доходности, банк должен назначить процентную ставку 18,8%.

В этом случае сумма долга с процентами может быть определена таким образом:

            Дисконт банка при этом составит 123403,2 рубля.

Краткое описание документа:

В финансовой практикечасто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один, изменить схему начисления процентов и т.п. В таких случаях возникает вопрос о том, на каких принципах должно основываться изменение контракта.