Научно-исследовательская работа " Цепные дроби"

• 1 слайд

  Цепные дроби
  Выполнила:
  ученица VIII «Б» класса
  Тищенко Элина
  
  

• 2 слайд

  Цель реферата – рассказать о видах цепных дробей и их применении.
  

• 3 слайд

  Глава 1. Вид цепной дроби и применение цепных дробей при решении олимпиадных задач.
  

• 4 слайд

  Вид цепной дроби
  Канонической цепной дробью называется выражение вида:
  
  
  
  
  
  Используется компактная запись:
  
  

• 5 слайд

  – K-подходящая дробь
  

• 6 слайд

  Вид цепной дроби
  Рациональные числа представляются конечными цепными дробями:
  

• 7 слайд

  Решение олимпиадных задач
  Задача №1.
  
  
  
  Ответ: 1, 2, 3.
  

• 8 слайд

  Решение олимпиадных задач
  Задача №2.
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  Ответ:
  

• 11 слайд

  Глава 2. Зубчатая передача.
  

• 12 слайд

  Зубчатая передача
  
  R1
  R2
  или
  Рис.1. Модель зубчатой передачи колесо-шестерня
  (1)
  (2)
  

• 13 слайд

  Зубчатая передача
  ;
  (3)
  (4)
  

• 14 слайд

  Зубчатая передача
  

• 15 слайд

  Зубчатая передача
  ;
  (5)
  (6)
  

• 16 слайд

  Зубчатая передача
  

• 17 слайд

  Глава 3. Календарь
  

• 18 слайд

  Календарь
  

• 19 слайд

  Календарь
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия № 9

РЕФЕРАТ

по математике

Цепные дроби

                                                       Выполнила:

                                                  ученица VIII «Б» класса

                                                  Тищенко Элина

                                                  Проверил:

                                                  учитель математики

                                                  Хатунцева

                                                  Ирина Владимировна

Воронеж – 2014

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

Глава 1. Вид цепной дроби и применение цепных дробей при решении задач……………………………………………………………………………………..4

Глава 2. Зубчатая передача……………………………………………………...7

Глава 3. Календарь…………………………………………………………......11

Заключение…………...………………………………………………...………13

Список использованной литературы………………………………………....14

Введение

Вы когда-нибудь задумывались о том, по каким правилам был составлен современный календарь? Как учёные вычисляют с такой точностью затмения и движения планет? На эти вопросы помогают ответить цепные дроби.

Любое действительное число можно записать в виде цепной дроби. Но что представляет собой цепная дробь? Чем она отличается от обычных дробей? Где используются цепные дроби?

Цель данного реферата – рассказать о виде цепных дробей и их применении.

Этой теме посвящено много литературы. Об этом писал Хинчин, рассказывая о том, что такое цепная дробь, и о её свойствах. В книге Арнольда «Цепные дроби» можно узнать, где используются цепные дроби и как разложить любое рациональное и иррациональное число в цепную дробь.

Актуальность этой темы заключается в том, в настоящее время теория цепных дробей находит всё большее применение в вычислительной технике, позволяя строить алгоритмы и программы для решения задач на компьютере.

Глава 1. Вид цепной дроби и применение цепных дробей при решении задач

Канонической цепной (или непрерывной) дробью называется выражение вида:

Числа  называются элементами цепной дроби. Используется компактная запись: .

Если оборвать запись  на элементе , то останется дробь . При обращении ее в обыкновенную дробь получится выражение  – k-я подходящая дробь (или подходящая дробь порядка k) для исходной цепной дроби.

Рациональные числа представляются конечными цепными дробями:

Иррациональные числа представляются бесконечными цепными дробями. Доказано, что квадратичные иррациональности представляются
периодическими цепными дробями. Рассмотрим пример:

Разложения в обобщенные цепные дроби могут быть достаточно красивыми:

;              .

Цепные дроби помогают в решении ряда сложных олимпиадных задач.

Задача №1.

Дано выражение:

.

Найти: x, y, z.

Решение.

Разложим  в цепную дробь:

.

Отсюда следует, что , , а .

Ответ: 1, 2, 3.

Задача №2.

Сократить дробь .

Решение.

Разложить числитель и знаменатель дроби на знаменатели проблематично, т.к. это довольно большие числа. Можно поступить по-другому – разложить дробь  в цепную дробь:

Дробь  равна 32, следовательно:

Теперь получившуюся цепную дробь приведём к более привычному виду:

 – это и есть сокращённая дробь.

Ответ: .

Глава 2. Зубчатая передача

Практическое значение цепных дробей огромно. Так в 1680 г. во время строительства планетария в Париже при конструировании механизма зубчатой передачи Гюйгенсу пришлось решать задачу о выборе наилучшего приближения для отношений периодов планет.

Он рассмотрел вращательное движение двух соприкасающихся окружностей без проскальзывания. Последнее условие означает, что линейные скорости точки касания относительно центра каждой окружностей одинаковы:

Рис.1. Модель зубчатой передачи колесо-шестерня.

или

(1)

Здесь T – период вращения окружности. Окружности на рис.2 соответствуют т.н. начальным окружностям зубчатых колес передачи. Поскольку зубья колеса и шестерни имеют одинаковую толщину, т.е. размер вдоль начальной окружности, то отношение длин окружностей равно отношению чисел зубьев n на каждой из них. Поэтому из (1) получаем:

(2)

Рассмотрим пару планет Земля-Луна как элемент механической модели солнечной системы. Для расчета соответствующих колес зубчатой передачи возьмем следующие приближенные значения земного года и периода обращения Луны вокруг Земли, выраженные в земных сутках:

; .

(3)

При этом:

(4)

Если в (3) считать все цифры верными, то последней верной цифрой в десятичной дроби (4) является четвертая цифра после запятой. Рассмотрим соответствующие подходящие дроби:

k	Дробь
0	0
1
2
3
4
5
6

Таблица 1. Последовательность подходящих дробей для системы Земля-Луна.

Видно, что удовлетворительная точность достигается уже в подходящей дроби четвертого порядка. Таким образом, при создании механической модели движения планет для достижения требуемой точности передаточного числа вовсе не нужно использовать колеса зубчатой передачи с большим числом зубьев. В последнем примере это 21 и 281. Создание таких колес является технически весьма сложной задачей. Гораздо проще сделать колеса с числом зубьев 5 и 67.

Рассмотрим пару планет Юпитер-Уран. Используем значения периодов обращения этих планет вокруг Солнца, выраженные в земных годах:

; .

(5)

При этом:

(6)

Если в (5) считать все цифры верными, то последней верной цифрой в десятичной дроби (6) является четвертая цифра после запятой. Рассмотрим соответствующие подходящие дроби:

k	Дробь
0	0
1
2
3
4
5

Таблица 2. Последовательность подходящих дробей для системы Юпитер-Уран.

Видно, что необходимая точность достигается уже в подходящей дроби третьего порядка.

Поэтому нам нужно сделать колёса зубчатой передачи с количеством зубьев, равным 12 и 85. Большее количество делать не стоит, т.к. это технически трудно выполнимо.

Глава 3. Календарь

Проблема составления точного календаря издавна считалась очень сложной. Попытки его составить предпринимались с I века до н. э. ещё Юлием Цезарем. И только в 1864 году русский астроном И. Медлер составил точный календарь, используя цепные дроби.

Выразим длину года в сутках и представим эту величину в виде цепной дроби:

Последовательность подходящих дробей для нее такова:

Возьмем подходящую дробь 1-го порядка. В этом случае за 4 года набегает один «лишний» день, – и мы получаем юлианский календарь, введенный в 46 г. до н.э. Юлием Цезарем. Каждый четвертый год должен быть на 1 сутки больше чем обычный год, состоящий из 365 суток. Длинными, или високосными, стали считать годы, номер которых делится на 4. Средняя длина юлианского года больше истинной на 11 минут 14 секунд. В 1582 году, когда расхождение между истинным и юлианским годом составило 10 дней, Папа Римский Григорий XII предпринял очередную реформу календаря. В григорианском календаре сохраняется чередование простых и високосных лет, но оно дополняется правилом: если номер года оканчивается двумя нулями, а число сотен не делится на 4, то этот год - простой (годы 1700, 1800, 1900-й – простые, а год 2000 – високосный). По григорианскому календарю средняя длина года на 26 секунд больше истинной. Такая точность вполне приемлема, ведь ошибка в 1 сутки при данной системе набежит примерно за 3300 лет.

Возьмем 3-ю подходящую дробь . Теперь за 33 года набегает 8 «лишних» дней, и это календарь, предложенный в 1079 г. персидским математиком и поэтом Омаром Хайямом. Он даже точнее григорианского.

А если выбрать 4-ю подходящую дробь , то получим соответствующий ей календарь фантастической точности, по которому средняя длина года на 1 секунду будет превышать истинную.

Заключение

Итак, мы узнали, что канонической цепной дробью называется выражение вида . Рациональные числа представляются конечными цепными дробями, а иррациональные – бесконечными.

Мы решили несколько задач с помощью цепных дробей, узнали, как при создании механической модели движения планет определить оптимальное количество зубьев у колёс зубчатой передачи и как составлялись календари.

В настоящее время цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений, вычислении логарифмов чисел. Также они позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени.

Аппарат цепных дробей успешно применяется в различных задачах, в которых необходимо выполнять приближение точных значений различных величин рациональными числами.

Литература

1.     Арнольд, В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2000. – 40 с.

2.     Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра: Пособие для учащихся 10-11 кл. /Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

3.     Леонова, Л.М. Зубчатые передачи. Элементы расчета и конструирования: Методические указания. /Л.М. Леонова, Н.Н. Чигрик, В.П. Татурова. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. – 45 с.

4.     Хинчин, А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. – 112 с.